D´ecision dans le risque Une courte introduction Denis Bouyssou

(1)

D´ ecision dans le risque

Une courte introduction

Denis Bouyssou

CNRS Paris, France

LAMSADE — septembre 2007

(2)

Plan

1

Introduction

2

Crit` eres classiques

3

Th´ eorie de l’utilit´ e esp´ er´ ee

4

Goˆ ut et aversion pour le risque

(3)

Introduction Critères classiques Théorie de l’utilité espérée Goût et aversion pour le risque

Mod´elisation Loteries

D´ ecision

D´ ecision « dans le certain »

A : ensemble d’actions (d´ ecisions possibles) X : ensemble de cons´ equences

c(a) ∈ X : cons´ equence de la mise ` a ex´ ecution de a ∈ A Probl` eme

aider ` a comparer les actions de A sur la base de leurs cons´ equences

Probl` emes classiques

|A| « grand »: probl` emes combinatoires, programmation math´ ematique

x ∈ X tel que x = (x

1

, x

2

, . . . , x

m

) : probl` emes multicrit` eres

(4)

D´ ecision dans le risque/dans l’incertain

Probl` eme

« La d´ ecision ne dispose que pour l’avenir » c(a) n’est pas connu avec certitude

D´ ecision dans le risque

c(a) est une distribution de probabilit´ e sur X D´ ecision dans l’incertain

c(a) est connu par r´ ef´ erence ` a un certain nombre de « sc´ enarios »

(5)

D´ ecision dans le risque : Mod´ elisation

Mod´ elisation

X : ensemble de cons´ equences X fini = {x

1

, x

2

, . . . , x

n

}

X ⊆ R (p. ex. des sommes mon´ etaires) Loterie simple sur X

v.a. (discr` ete) sur X

` = (x

1

, p

1

; x

2

, p

2

; . . . ; x

n

, p

n

)

p

_`

(x

_i

) : probabilit´ e d’obtenir la cons´ equence x

_i

avec la loterie `

(6)

Loterie simple ` sur X

`

x

₁

x

₂

x

_n

p

`

(x

1

)

p

`

(x

2

) p

`

(x

n

)

. . .

(7)

Loteries

Ensemble des loteries loteries simples sur X

loteries compos´ ees du premier ordre sur X : loteries sur les loteries simples

loteries compos´ ees du deuxi` eme ordre sur X : loteries sur les loteries compos´ es du premier ordre

etc.

L(X ) : ensemble de toutes les loteries simples et compos´ ees (` a ordre fini)

L(X ) est toujours infini

(8)

Loteries

Remarque

L(X ) comprend toutes les loteries correspondant ` a la mise ` a ex´ ecution des actions de A ainsi que d’autres loteries

« hypoth´ etiques » Probl` eme

aider ` a comparer les loteries de L(X ) Notations

` ∈ L(X ) : loteries (simples ou compos´ ees) x ∈ X : cons´ equences

p

`

(x) : probabilit´ e d’obtenir la cons´ equence x avec la loterie `

(9)

Critère espérance de gain Critère espérance-variance Pseudo-solution

Crit` ere Classique

Esp´ erance Math´ ematique de Gain (EMG)

` `

⁰

⇔ X

x∈X

xp

`

(x) > X

x∈X

xp

`⁰

(x )

` ∼ `

⁰

⇔ X

x∈X

xp

`

(x) = X

x∈X

xp

`⁰

(x )

: pr´ ef´ erence stricte

∼ : indiff´ erence

(10)

Crit` ere EMG

Avantages simple

bonne utilisation de l’information

« d´ el´ egable » Inconv´ enients

restreint aux cons´ equences num´ eriques pas de justification claire

en contradiction avec le comportement observ´ e de personnes

« rationnelles » (diversification, assurance)

(11)

Exemple

100 −50 1/2

1/2

pr´ ef´ er´ e ` a 1 0

E (`) = 25 E (`

⁰

) = 0 100 000

−50 000 1/2

1/2

non pr´ ef´ er´ e ` a 1 0

E (`) = 25 000 E (`

⁰

) = 0

(12)

Probl` emes

r´ ep´ etition de l’exp´ erience ? loi des grands nombres

le gain moyen va converger vers l’EMG

risque de ruine ?

(13)

Paradoxe de Saint Petersbourg (D. Bernoulli)

Jeu

un « banquier » joue avec un « joueur ». Le joueur paye un droit d’entr´ ee au banquier

le banquier jette ensuite une pi` ece autant de fois qu’il faut pour que « face » apparaisse

le jeu s’arrˆ ete ensuite

si « face » est apparue au n

^e

coup, le banquier verse 2

ⁿ

e au joueur

combien un joueur rationnel devrait ˆ etre prˆ et ` a payer pour participer ` a ce jeu ?

EMG = 2 × 1

2 + 2

²

× 1

2

²

+ · · ·

(une chance sur deux de ne gagner que 2 e !)

(14)

Remarque

si enjeux « petits » (peu ou pas de risque de ruine) et si les d´ ecisions sont « r´ ep´ etitives »

alors le crit` ere EMG peut constituer une approximation satisfaisante

(15)

Autre Crit` ere Classique

Esp´ erance Math´ ematique de Gain (EMG) + Variance

ajouter une mesure de « risque » (dispersion) ` a la mesure de tendance centrale

Probl` emes

plus compliqu´ e

comment traiter les deux crit` eres ? (sous-ensemble efficace ou crit` ere de synth` ese ?)

la variance est-elle une bonne mesure du risque ? (´ ecart

inter-quartile, semi-variance, etc.)

(16)

Exemple

2 000

−8 000 0, 9

0, 1

0 10 000 0, 9

0, 1 E (`) = 0, 9 × 2 000 + 0, 1 × −8 000 = 1 000

= 0, 9 × 0 + 0, 1 × 10 000

Var(`) = 0, 9 × (2 000 − 1 000)

²

+ 0, 1 × (−8 000 − 1 000)

²

= 0, 9 × 1 000

²

+ 0, 1 × 9 000

²

= 0, 9 × (0 − 1 000)

²

+ 0, 1 × (10 000 − 1 000)

²

Ces deux loteries sont n´ ecessairement indiff´ erentes

(17)

Limites des crit` eres classiques

Probl` eme central

ces crit` eres ne prennent pas en compte la psychologie d’un individu vis-` a-vis du risque

quel est le patrimoine de l’individu ? quels sont ses revenus ?

quel est son attitude vis-` a-vis du risque ?

etc.

(18)

Pseudo-Solution

interroger directement un individu sur ses pr´ ef´ erences Probl` emes

coh´ erence ? non d´ el´ egable !

effort cognitif important !

(19)

Exemple : choix entre 2 000

0 1/2

1/2

et 1 500

Exemple : choix entre

N (878, 32; 72, 45) et

Bi (1200; 0, 75)

(20)

Th´ eorie de l’utilit´ e esp´ er´ ee

J. von Neumann et O. Morgenstern (1945)

Id´ ee

interroger un individu sur des choix simples

mod´ eliser son comportement dans un mod` ele math´ ematique utiliser le mod` ele pour des cas plus compliqu´ es

Questions

quel mod` ele ?

est-ce justifi´ e ?

comment interroger ?

(21)

Introduction Axiomes R´esultats Utilisation pratique Difficult´es

Mod` ele math´ ematique

Id´ ee

remplacer l’EMG par une « esp´ erance d’utilit´ e »

l’utilit´ e prend en compte la psychologie d’un individu vis-` a-vis du risque

` `

⁰

⇔ X

x∈X

u(x)p

_`

(x ) > X

x∈X

u(x )p

_`⁰

(x )

` ∼ `

⁰

⇔ X

x∈X

u(x)p

`

(x ) = X

x∈X

u(x )p

`⁰

(x )

(22)

Fonction d’utilit´ e u : X → R

u (x ) est l’« utilit´ e » de la cons´ equence x ∈ X la fonction u est propre ` a un individu Avantages

simple d´ el´ egable

prend en compte les caract´ eristiques individuelles

pas restreint aux cons´ equences mon´ etaires

justification claire (axiomes)

(23)

Analyse Th´ eorique

Comment justifier un tel mod` ele ? analyse axiomatique

Interpr´ etation des axiomes ? descriptive

normative

prescriptive

(24)

Axiome (A1 Rangement)

Pour tout `, `

⁰

∈ L(X ) l’une au moins des deux propositions suivantes est vraie :

` est pr´ ef´ er´ ee ou indiff´ erente ` a ` (` % `

⁰

)

`

⁰

est pr´ ef´ er´ ee ou indiff´ erente ` a ` (`

⁰

% `) De plus, % est transitive :

` % `

⁰

et `

⁰

% `

⁰⁰

⇒ ` % `

⁰⁰

∀`, `

⁰

, `

⁰⁰

∈ L(X )

(25)

Remarque

` `

⁰

⇔ [` % `

⁰

et Non[`

⁰

% `]]

pr´ ef´ erence stricte

` ∼ `

⁰

⇔ [` % `

⁰

et `

⁰

% `]

indiff´ erence

A1 implique que ∼ et sont transitives

(26)

Analyse descriptive

Difficult´ es

pr´ ef´ erence incompl` etes indiff´ erence non transitive pr´ ef´ erence stricte non transitive Pr´ ef´ erences compl` etes ?

la raison d’ˆ etre de la th´ eorie est d’aider ` a structurer des

pr´ ef´ erences !

(27)

Luce (1956)

Comparaison de tasses de caf´ e

0 1 2

. . .

1000 0 ∼ 1, 1 ∼ 2, . . . , 999 ∼ 1 000 ⇒ 0 ∼ 1 000

pouvoir discriminant imparfait ⇒ indiff´ erence non transitive

(28)

Dominance avec seuils

Exemple

x y ⇔

x au moins aussi bon que y sur tous les crit` eres x meilleure que y sur au moins un crit` ere

g

₁

g

₂

g

₃

a 10 10 10

b 11 11 8

c 12 9 9

seuil de discrimination = 1, 1 (en dessous de ce seuil, on ne fait pas de distinction)

a b , b c , c a

aller plus vite

(29)

Paradoxe de Condorcet

Donn´ ees

Votant 1 : a b c Votant 2 : c a b Votant 3 : b c a

majorit´ e : a b; b c, c a

(30)

Effets de seuils

Exemple

1 Voiture 15 000 e

2 Voiture + AR 15 500 e

3 Voiture + AR + TO 16 000 e 4 Voiture + AR + TO + JL 16 500 e .. .

n Voiture + . . . 18 000 e

Pr´ ef´ erence d’un consommateur « na¨ıf »

2 1, 3 2, 4 3, n (n − 1) mais 1 n

(31)

Analyse

Approche prescriptive efficacit´ e

il est simple d’aider ` a faire un choix sur la base de pr´ ef´ erences compl` etes et transitives

Approche normative

« pompe ` a argent »

´

echanges ` a partir de c

a c

b

−

a c

b

∼

−

0

(32)

Axiomes

Axiome (A2 R´ eduction)

`

j

: loteries compos´ ees du premier ordre

`

1

`

2

`

k

r

1

r

₂

r

_k

. . .

x

1

x

2

x

n

q

₁

q

₂

q

n

. . .

avec q

_i

= P

k

j=1

r

_j

p

_`_j

(x

_i

)

⇒ Indiff´ erence Interpr´ etation

« on ne s’amuse pas au jeu »

(33)

Axiomes

Axiome (A3 Monotonie) Si (x, 1) (y , 1) alors

x

y p

1 − p

x

y q

1 − q si et seulement si p > q (∀x , y ∈ X )

Interpr´ etation

« on est ˆ apre au gain »

« on ne ruse pas avec les probabilit´ es » (superstition)

(34)

Axiomes

Axiome (A4 Ind´ ependance (Substituabilit´ e))

L

1

`

1

`

2

`

k

. . . r

1

r

₂

r

k

L

2

`

⁰₁

`

2

`

k

r

1

r

₂

r

k

. . .

Si `

1

∼ `

⁰₁

alors L

1

∼ L

2

Interpr´ etation

« l’indiff´ erence est de l’indiff´ erence »

(35)

Axiomes

Axiome (A5 Continuit´ e)

Si (x, 1) (y , 1) (z , 1) alors il existe une probabilit´ e p ∈ ]0; 1[ telle que :

1 y

∼

x z p 1 − p Remarque

l’axiome de monotonie implique que cette probabilit´ e est unique Interpr´ etation

« on n’est pas na¨ıf avec les probabilit´ es » (pas de discontinuit´ e :

certain / risque)

(36)

Axiomes

Exemple

x : gagner 2 bonbons y : gagner 1 bonbon

z : ˆ etre pendu demain ` a l’aube

(x , 1) (y , 1) (z , 1) Probl` eme

existe-t-il une probabilit´ e p ∈ ]0; 1[ telle que :

y ∼ (x, p; z , (1 − p))

p = 1 − 10

⁻¹⁰⁰

?

(37)

Cons´ equences des axiomes

Th´ eor` eme (Repr´ esentation)

Soit une relation de pr´ ef´ erence % sur L(X ).

Cette relation v´ erifie les axiomes A1-A5 si et seulement si

il existe une fonction u : X → R telle que :

` % `

⁰

⇔ X

x∈X

u(x )p

`

(x) ≥ X

x∈X

u(x )p

`⁰

(x ) (vNM)

Remarque

n´ ecessit´ e ´ evidente

u est li´ ee ` a % et donc ` a l’individu

sauter la preuve

(38)

D´ emonstration

5 ´ etapes

constructive !

Cas fini : X = {x

₁

, x

₂

, . . . , x

_n

} Consid´ erons une loterie ` ∈ L(X ) 1)

En utilisant un nombre fini de fois A1 (rangement), A2 (r´ eduction) et A4 (substitution), on peut toujours trouver une loterie simple telle que : ` ∼ (x

1

, p

`

(x

1

); x

2

, p

`

(x

2

); . . . ; x

n

, p

`

(x

1

))

On suppose, s.p.d.g., que :

(x

_n

, 1) (x

_n−1

, 1) · · · (x

₁

, 1)

(39)

2)

A5 (continuit´ e) : puisque

(x

n

, 1) (x

_n−1

, 1) · · · (x

1

, 1) il existe u

i

∈ ]0; 1[ telle que

(x

i

, 1) ∼ [x

n

, u

i

; x

1

; (1 − u

i

)]

On pose :

u

n

= 1, u

1

= 0

(40)

3)

En utilisant un nombre fini de fois A4 (substitution), A1 (rangement) et A2 (r´ eduction), on sait que :

` ∼ (x

₁

, p

_`

(x

₁

); x

₂

, p

_`

(x

₂

); . . . ; x

_n−1

, p

_`

(x

_n−1

); x

_n

, p

_`

(x

_n

))

` ∼ [x

1

, (1 − K

`

); x

2

, 0; . . . ; x

_n−1

, 0; x

n

, K

`

] avec

K

`

=

n

X

i=1

p

`

(x

i

)u

i

(41)

4)

Utilisons les ´ etapes 1) ` a 3) pour transformer une loterie

`

⁰

∼ (x

1

, p

`⁰

(x

1

); x

2

, p

`⁰

(x

2

); . . . ; x

_n−1

, p

`⁰

(x

_n−1

); x

n

, p

`⁰

(x

n

)) On a :

`

⁰

∼ [x

1

, (1 − K

`⁰

); x

2

, 0; . . . ; x

n−1

, 0; x

n

, K

`⁰

] avec

K

`⁰

=

n

X

i=1

p

`⁰

(x

i

)u

i

(42)

5)

En utilisant A1 (Rangement) et A3 (Monotonie) on sait que :

` `

⁰

⇔

(x

1

, p

`

(x

1

); x

2

, p

`

(x

2

); . . . ; x

n

, p

`

(x

n

)) (x

1

, p

`⁰

(x

1

); x

2

, p

`⁰

(x

2

); . . . ; x

n

, p

`⁰

(x

n

)) ⇔

[x

₁

, (1 − K

_`

); x

₂

, 0; . . . ; x

_n

, K

_`

] [x

₁

, (1 − K

_`⁰

); x

₂

, 0; . . . ; x

_n

, K

_`⁰

]

⇔ K

_`

> K

_`⁰

⇔

n

X

i=1

p

_`

(x

_i

)u

_i

>

n

X

i=1

p

_`⁰

(x

_i

)u

_i

et l’on d´ efinit u en posant :

u(x

i

) = u

i

(43)

Cons´ equences des axiomes

Th´ eor` eme (Unicit´ e)

S’il existe deux fonctions u et v v´ erifiant (vNM) alors il existe α, β ∈ R avec α > 0 tels que :

v (x) = αu(x) + β

∀x ∈ X Interpr´ etation

« les pr´ ef´ erences se mesurent comme la temp´ erature » D´ emonstration

´ evidente car si u et v ne sont pas li´ ees par une transformation affine,

on peut toujours trouver une paire de loteries dont les esp´ erances

d’utilit´ e se compareront de fa¸ con diff´ erente avec u et v

(44)

Encodage d’une fonction d’utilit´ e

Hypoth` eses

X = R (sommes d’argent) on pose u(0) = 0 et u(10 000) = 1 Encodage

1 x

∼

10 000

0 1/2

1/2

1 × u(x ) = u(x) = 1/2 × u(10 000) + 1/2 × u(0) = 1/2

(45)

Encodage d’une fonction d’utilit´ e

Encodage

1 y

∼

x

0 1/2

1/2

u(y ) = 1/2 × u (x ) + 1/2 × u(0) = 1/4

(46)

Encodage d’une fonction d’utilit´ e

Encodage

1 z

∼

10 000

x

1/2

u(z ) = 1/2 × u(10000) + 1/2 × u(x ) = 3/4

(47)

Encodage d’une fonction d’utilit´ e

Contrˆ ole

on doit avoir:

1 x

∼

y

z 1/2

1/2

sinon : revenir en arri` ere

(48)

Encodage d’une fonction d’utilit´ e

Cas g´ en´ eral

1 x

∼

z

w p

1 − p u(x ) = pu(z) + (1 − p)u (w )

4 inconnues

en fixer 3 et trouver l’indiff´ erence sur la 4

^e

aller plus vite

(49)

Encodage d’une fonction d’utilit´ e

Interpolation basse

1 0

∼

10 000

a

1/2

1 × u(0) = 1/2 × u(10 000) + 1/2 × u(a) ⇒ u (a) = −1

(50)

Encodage d’une fonction d’utilit´ e

Interpolation haute

10 000

1 ∼

b

0 1/2

1/2

1 × u(10 000) = 1/2 × u (b) + 1/2 × u(0) ⇒ u (b) = 2

(51)

Encodage d’une fonction d’utilit´ e

Remarques

utilisation de probabilit´ es « simples »: 1/2, 1/3, 1/4 interrogation par encadrements successifs

v´ erifications indispensables

(52)

Difficult´ es

Exp´ eriences

effet du contexte effet de r´ ef´ erence paradoxe d’Allais G´ en´ eralisations possibles

Mod` eles Non EU (EURDP, Local EU, Regret, etc.)

non abord´ es ici

(53)

Effet du contexte

Exp´ erience

L

1

: vous courrez le risque de perdre 1 000 $ avec p = 1/100 L

2

: vous pouvez vous assurez pour 10 $ contre ce risque

L

₃

: vous perdez 10 $ avec certitude mais vous ne supportez plus de risque

R´ esultats

80% : L

₂

L

₁

56% : L

3

L

1

Interpr´ etation

importance du contexte des questions

g´ en´ eralement clair dans un contexte d´ ecisionnel

(54)

Effet du r´ ef´ erence

Fonction d’utilit´ e sur le patrimoine ou sur les revenus ?

Patrimoine

Revenus

sauter l’exemple

(55)

Exemple : choix ´ epid´ emiologique

Pr´ esentation 1 : diminution du nombre de morts Niveau actuel de mortalit´ e = 500 morts / an

Choix A : diminuer ce nombre de 500 (1/2) ou de 0 (1/2)

Choix B : diminuer ce nombre de 400 (1/2) ou de 100 (1/2)

majorit´ e des m´ edecins : B A

(56)

Pr´ esentation 2 : nombre de morts

A

500 0 1/2

1/2

B

400 100 1/2

1/2

majorit´ e des m´ edecins A B

(57)

Paradoxe d’Allais (10 ⁶ e )

Exp´ erience

A

1 1

B

1 5 0 0,1 0,89

0,01

C

1

0 0,11

0,89

D

5

0 0,1

0,9

R´ esultats

A B et D C Interpr´ etation

A B ⇒

u(1) > 0, 89u(1) + 0, 1u (5) + 0, 01u (0)

⇒ u (1) > 10/11 D C ⇒

0, 1u (5) + 0, 9u (0) >

0, 11u (1) + 0, 89u (0)

⇒ u (1) < 10/11

(58)

Paradoxe d’Allais

Reformulation

A

1

1 0,11

0,89

B

1 0,11

0,89

5 0 10/11

1/11

C

1

0 0,11

0,89

D

0 0,11

0,89

5 0 10/11

1/11

sauter les exemples

(59)

Paradoxe d’Allais

Reformulation

urne contenant 89 boules R et 11 boules N

R N

X Q 1

Y Q 5 avec 10/11 0 avec 1/11 Le choix entre X et Y doit-il d´ ependre de Q ?

Q = 0 : X = C et Y = D

Q = 1 : X = A et Y = B

(60)

Effet de certitude (Kahneman et Tversky)

Exp´ erience

A 1 3 000

B

4 000

0 0, 8 0, 2

C

3 000

0 0, 25 0, 75

D

4 000

0 0, 2

0, 8

95% des sujets disent : A B et D C

(61)

Mais . . .

C

A

0 0, 25

0, 75

D

B

0 0, 25

0, 75

(62)

Violation de l’ind´ ependance

Analyse normative

(x ; 1) (y; 1) et (y , p; z , (1 − p)) (x, p; z , (1 − p)) (x ; 1) (y; 1) ⇒ (x − ε; 1) (y; 1)

(y , p; z , (1 − p)) (x, p; z , (1 − p)) ⇒ (y , p; z − ε, (1 − p)) (x , p; z , (1 − p)) Echanges ` ´ a partir de (x , p; z , (1 − p))

(x , p; z , (1 − p)) ´ echang´ e pour (y , p; z − ε, (1 − p)) si E n’arrive pas gain = (z − ε)

si E arrive gain = y et y ´ echang´ e contre (x − ε)

on avait (x , p; z , (1 − p)) on a x − ε, p; z − ε, (1 − p) !

(63)

Violation « rationnelle » de l’ind´ ependance

A l’´ ` ecole de sa maman

une m` ere a deux enfants A et B

elle a un seul cadeau ` a donner ` a A ou ` a B Pr´ ef´ erences de maman

(A, 1) ∼ (B, 1)

(B, 1/2; A, 1/2) (A, 1/2; A, 1/2)

⇒ violation « rationnelle » de l’ind´ ependance

(64)

Goˆ ut et Aversion pour le risque

Contexte

posons X = R

consid´ erons un d´ ecideur « v´ erifiant » A1-A5

il est peu restrictif de supposer que u est strictement croissante ! P : patrimoine du d´ ecideur

Equivalent certain d’un loterie ´ ` : ˆ x(`)

somme d’argent certaine que le d´ ecideur trouve ´ equivalente au fait de poss´ eder la loterie ` (prix minimal de vente de la loterie `)

E (u(P + ˆ x(`))) = u(P + ˆ x (`)) = E (u(P + `))

⇒ ˆ

x (`) = u

⁻¹

[E (u (P + `))] − P

(65)

D´efinition R´esultats Applications

Prime de risque π(`) associ´ ee ` a une loterie `

Prime de risque

π(`) = E (`) − x ˆ (`) Goˆ ut et aversion

On dira qu’un d´ ecideur

pr´ esente de l’aversion pour le risque si ˆ x (`) < E (`)

pr´ esente du goˆ ut pour le risque si ˆ x(`) > E (`)

est neutre vis ` a vis du risque si ˆ x(`) = E (`) (EMG)

pour toute loterie ` ∈ L(X )

(66)

Goˆ ut et aversion pour le risque

Th´ eor` eme (Aversion pour le risque : Arrow-Pratt)

Un d´ ecideur pr´ esente de l’aversion pour le risque si et seulement si sa fonction d’utilit´ e est concave

D´ emonstration

Aversion pour le risque (ˆ x (`) < E (`))

E[u(P + E (`))] = u(P + E (`)) > E(u(P + `)) = u(P + ˆ x (`)) u(P + [αx + (1 − α)y ]) = u(α(x + P ) + (1 − α)(y + P )) >

E(u(P + `)) = αu(x + P ) + (1 − α)u(y + P ) z = x + P , w = y + P

u(αz + (1 − α)w ) > αu(z ) + (1 − α)u(w )

(67)

x u(x)

z 1/2z+ 1/2w w

u(z) u(w)

1/2u(z) + 1/2u(w) u(1/2z+ 1/2w)

ˆ x(`)

Prime de risque

(68)

Exemple

assurance tous risques et loto (lotto ?) forme de u ?

sauter la mesure d’aversion

(69)

Mesure d’aversion pour le risque

D´ efinition

P = patrimoine du d´ ecideur ˆ

x (`) = ´ equivalent certain de ` (on suppose E (`) = 0, s.p.d.g.) u (P + ˆ x (`)) = E [u(P + `)]

u (P + ˆ x (`)) = u(P − π(`)) (car E (`) = 0 et π(`) = E (`) − x ˆ (`))

⇒ u(P − π(`)) = E [u(P + `)]

(70)

u(P − π(`)) = E [u(P + `)]

d´ eveloppements limit´ es

u (P )− π(`)u

⁰

(P) + o(π

²

) = E [u(P) + `u

⁰

(P ) + 1/2`

²

u

⁰⁰

(P ) +o(`

³

)]

−π(`)u

⁰

(P ) ≈ E (`)u

⁰

(P ) + 1/2E(`

²

)u

⁰⁰

(P) = 1/2Var (`)u

⁰⁰

(P ) R´ esultat

π(`) ≈ 1/2Var (`) −u

⁰⁰

(P) u

⁰

(P ) Mesure locale de l’aversion absolue pour le risque

r (P) = −u

⁰⁰

(P )

u

⁰

(P)

(71)

Cas Particulier Important (CARA)

Th´ eor` eme (Arrow-Pratt)

Si le d´ ecideur respecte l’axiome (A6) ∀x , y, z , δ ∈ R et ∀p ∈ [0; 1]:

1

x

y

z p

1−p

∼ ⇒ 1 x+δ

y+δ

z+δ p

1−p

∼

Alors sa fonction d’utilit´ e est n´ ecessairement du type : soit u(x ) = −e

^−τx

si τ > 0 (aversion pour le risque) soit u(x ) = x (neutralit´ e vis-` a-vis du risque)

soit u(x ) = e

^−τx

si τ > 0 (goˆ ut pour le risque)

aller aux applications

(72)

Fonctions d’utilit´ e CARA

Int´ erˆ et

simplification de l’encodage si A6 est admis

prix d’achat maximum de toute loterie est identique ` a son prix de vente minimal

pour une loterie se pr´ esentant sous la forme d’une loi normale on a exactement : ˆ x(`) = µ − 1/2τ σ

²

politique de gestion des risques dans une entreprise

(73)

Application ` a la Finance

Choix de portefeuille

actif sans risque (rendement nul) actif risqu´ e (rendement al´ eatoire) Diversification mono-p´ eriodique

P : richesse initiale

a : montant investi dans l’actif risqu´ e

x e : rendement de l’actif risqu´ e,

Y e : richesse finale

(74)

Analyse

Y e : richesse al´ eatoire en fin de p´ eriode Y e = (P − a) + (1 + x e )a = P + a x e Probl` eme

max

a∈[0;P]

W (a) = E [u( Y e )] = E [u(P + a e x)]

W

⁰

(a) = E[ e x u

⁰

(P + a e x )]

W

⁰⁰

(a) = E [ e x

²

u

⁰⁰

(P + a e x )]

Aversion au risque : u

⁰

> 0 et u

⁰⁰

< 0

W

⁰⁰

(a) est n´ egative (W

⁰

d´ ecroissante)

(75)

a W

optimum en a = 0 ⇔ W

⁰

(0) < 0 W

⁰

(a) = E[ e x u

⁰

(P + a e x )]

W

⁰

(0) = E ( e x )u

⁰