DEVOIR EN CLASSE N°2

Nom/Prénom : ... Vendredi 10 novembre 2017 Classe : TS

DEVOIR EN CLASSE N°2

L'usage de la calculatrice en mode examen est autorisée.

Vous êtes invité à faire figurer sur votre copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse que vous aurez développé. Il sera tenu compte de la qualité de la présentation et de la rédaction.

Durée : 2 h.

Exercice 1 : (4,5 points)

Les questions de cet exercice sont indépendantes.

1) On donne les nombres complexes z₁=3+i et z₂=−2+i . Ecrire sous forme algébrique z₁z₂ et z₁

z₂ .

2) Résoudre dans ℂ les équations suivantes : a) 8z+5 i=4−z+i

b) 2z−4=5 i+4z Exercice 2 : (5 points)

Les questions de cet exercice sont indépendantes.

1) Soit f la fonction définie sur ]–∞ ; 2[ par f (x)= x+2 2−cosx . Etudier la limite de f en ^−∞.

2) Soit g la fonction définie par g(x)= x+3 2x−8.

Déterminer l'ensemble de définition D de g puis les limites de g aux bornes de D. (4 limites) Exercice 3 : (2 points)

Voici la courbe représentative d'une fonction f définie sur ℝ/{-2}.

1) Lire sur le graphique les limites de la fonction f en –∞, +∞, en −2^- et en −2⁺.

2) g est la fonction définie pour x différent de -2 et 0 par g(x)= 1

f (x).

Déterminer la limite de la fonction g en –∞.

3) h est la fonction définie sur ]−∞;−2[ ∪[0 ;+∞[

par h(x)=√^f(x).

Déterminer la limite de la fonction h en −2^-. Exercice 4 : (3,5 points) Vrai ou Faux

Pour chaque affirmation, dire si elle est vraie ou fausse en justifiant.

1) Soit z un nombre complexe. z−z

z+z est un nombre réel.

2) Soit C la courbe représentative d'une fonction f dans un repère.

a) Si f x=x²x−1

x−2² alors C admet pour asymptote la droite d'équation x=2 . b) Si f (x)= x²+3

2x−1 alors C admet pour asymptote la droite d'équation y=1 2 .

Tournez la page !!!!!!

Exercice 5 : (7 points)

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct (O, ⃗u, ⃗v ).

On considère l'application f , qui à tout point M d'affixe z associe le point M' d'affixe z '=z²−4z.

1)On pose z=xi y avec x et y réels.

a) Calculer la partie réelle et imaginaire de z ' en fonction de x et y. b) En déduire l'ensemble des points M tels que z ' soit un réel.

2)Soit A et B les points d'affixe z_A=3i^{3 et z}B=1−i^{3 .}

a) Calculer les affixes des points A' et B', images par f des points A et B.

b) Soit G le point d'affixe 2 et M1 et M2 les points d'affixe z₁ et z₂.

Montrer que si G est le milieu de [M₁M₂], alors z₂=4−z₁ et f (M₂)=f(M₁). Expliquer alors le résultat de la question 2) a).

3)Soit I le point d'affixe -3.

a) Montrer que OMIM' est un parallélogramme si et seulement si z²−3z+3=0 . b) Résoudre dans ℂ cette équation.

Exercice 6 : (2 points)

Déterminer une fonction f quotient de deux fonctions trinômes telle que : lim

x→+∞

f(x)=−3 et _x^lim_→−1- f(x)=+∞ et ^lim

x→2⁺

f (x)=−∞.

Classe : TS

CORRECTION DEVOIR EN CLASSE N°2

Exercice 1 :

1) z₁z₂=3i–2–i=–6–3 i–2 i–i²=–61–5 i=–5–5 i z₁

z₂=z₁z₂

z₂z₂= –5–5 i

–2²1²=–5–5 i

5 =–1–i

2) a) 8z+5 i=4−z+i ; 8zz=4i–5i ; 9z=4–4 i ; z=4–4 i

9 ; La solution est 4–4 i

9 .

b) 2z−4=5 i+4z. Posons z=aib avec a et b réels.

2aib–4=5 i4a – ib; 2a2ib –4=5 i4a –4ib ; –2a –46ib –5 i=0

Un nombre complexe est nul si et seulement si sa partie réelle et sa partie imaginaire est nulle.

D’où : {^{–62b –a –5=4=00 ;} {^a=b=–4562 . La solution est –25 6i. Exercice 2 :

1) Soit x un réel tel que x–2.

–1cosx1 ; 1–cosx–1 ; –122–cosx12 cad 12−cosx3 La fonction inverse est strictement décroissante sur [1;+∞[ donc ¹₁^_2–cos¹ _x^1₃ .

x<–2 alors x20 d'où x2f xx2 3 . On a lim

x −∞

x2

3 =−∞ et f xx2

3 , donc d’après un théorème de comparaison on en déduit que lim_{x −∞} fx=−∞.

2) 2x –8=0 ⇔ x=4. g est définie sur ^{D=]–∞;4[ ∪]4 ;∞[.}

* limites en l'infinie: g est une fonction rationnelle donc lim_{x ∞}gx= lim

x ∞

x 2x=1

2 et

x −∞lim gx= lim

x −∞

x 2x=1

2 .

* limites en 4 : lim

x4 x3=7 et lim_x42x−8=0 . On a besoin du signe de 2x –8 pour conclure.

x –∞ 4 +∞

2x–8 – 0 +

* lim_x4 x3=7 et lim

x→4^-

2x−8=0^- donc par limite de quotient ^lim

x→4^-

g(x)=−∞.

* lim_x4 x3=7 et ^lim

x→4⁺

2x−8=0⁺ donc par limite de quotient lim

x→4⁺

g(x)=+∞.

Exercice 3 :

1) Par lecture graphique, lim_{x ∞} fx=1 , lim_{x −∞} fx=1 , ^lim_x→2- f (x)=+∞ et ^lim

x→−2⁺

f (x)=−∞.

2) Pour x réel différent de 0 et -2, posons X=f x. lim

x −∞ fx=1 et lim

X1

1

X=1 donc lim_x−∞gx=1 .

3) Pour x ∈ ]−∞;−2[∪[0 ;+∞[, posons X=f x. lim

x→2^-

f (x)=+∞ et lim

X∞^X=∞ _{donc lim}

x→2^-

h(x)=+∞.

Exercice 4 :

1) Soit z un nombre complexe. D’après le cours, z – z=2i I m(z) et zz=2R ez donc z−z

z+z=i I m(z)

R e(z) . C'est donc un nombre imaginaire pur. L'affirmation est fausse.

2) a) x –2²=0 pour x=2 . f n'est pas définie en 2.

limx2 x²x−1=5 et lim_x2x−2²=0⁺ donc par limite de quotient lim_x2 f x=∞ donc C admet la droite d'équation x=2 comme asymptote verticale. L'affirmation est vraie.

b) f est une fonction rationnelle donc lim_{x ∞} fx= lim

x∞

x²

2x = lim

x ∞

x

2 =+∞ et lim_{x −∞} fx= lim

x−∞

x²

2x = lim

x −∞

x 2 =-∞.

Ainsi, C n'admet pas d'asymptote horizontale. L'affirmation est fausse.

Exercice 5 :

1)On pose z=x+iy avec x et y réels.

a) z '=xiy²–4xiy=x²2ixyi²y²–4x –4iy=x²–4x – y²i2xy –4y La partie réelle de z ' est x²–4x – y et sa partie imaginaire 2xy –4y.

b) z ' est un réel ⇔2xy –4y=0 ⇔ y2x –4=0 ⇔ y=0 ou 2x –4=0 ⇔ y=0 ou x=2 . L'ensemble recherché est la réunion de l'axe des abscisses et de la droite d'équation x=2.

2)a) z_A'=z²_A−4z_A=9–4×3–3i2×3×3–43=–62i3 . zB'=zB2

−4zB=1–4−3i−2343=–62i3 b) Si G est le milieu de ^[M₁M₂] alors z_G=z₁z₂

2 .

Or ^zG=2, d'où 2=z₁z₂

2 puis ^z1z₂=4 ou encore ^z2=4– z₁.

D'autre part, z₂'=z₂²–4z₂=4– z₁²–44– z₁=16–8z₁z₁²–164z₁=z₁²–4z₁=z '₁ donc ^{f M}2=M₁.

On a bien montré que si G est le milieu de [M₁M₂], alors z₂=4−z₁ et f (M₂)=f(M₁). Soit F le milieu de [AB] alors z_F=z_Az_B

2 =3i31– i3

2 =2=z_G. F et G sont confondus, autrement dit, G est le milieu de [AB]. En appliquant la propriété précédente, on en déduit que

f B=A, ce qu'on avait constaté par le calcul.

3)a) OMIM' est un parallélogramme ⇔ OM=M ' I ⇔^zM– z_O=z_I– z_M' ⇔z=−3– z²4z ⇔ z²–3z3=0

b)  = –3²–4×1×3=–3 donc 2 solutions complexes z₁=3−i³

2 et z₁=3i³

2 .

Exercice 6 :

Au brouillon ( solution rédigée) :

Je cherche une fonction f de la forme f x= ax²bxc a ' x²b' xc ' .

• f est une fonction rationnelle donc lim_x→+∞ f (x)= lim

x→+∞

a x² a ' x²= a

a ' . Par hypothèse lim_{x ∞} fx=−3 donc a

a '=–3 .

• lim

x→−1^-

f(x)=+∞ et ^lim

x→2⁺

f (x)=−∞, ce qui signifie que -1 et 2 sont les valeurs interdites. Cela signifie aussi que le trinôme au dénominateur se factorise sous la forme a 'x –2x1. On a donc f x= ax²bxc

a 'x –2x1.

• a

a '=–3 , j'essaye donc avec a '=1 et a=–3 .

Si cela ne débouche pas, j'essayerais avec d'autres valeurs. On me demande d'en trouver une, je peux donc prendre les valeurs de mon choix, tant que f répond aux 3 conditions.

On a donc f x=–3x²bxc

x –2x1 .

• Il reste donc à déterminer b et c. Je choisis 2 valeurs pour b et c par exemple b=1 et c=2 . f x= –3x²x2

x –2x1

x –∞ –1 2 +∞

(x+1)(x–2) + 0 - 0 + lim

x→−1^-

−3x²+x+2=−2 et lim

x→−1^-

x²−x−2=0⁺ donc ^lim

x→−1^-

f(x)=−∞. Ces deux valeurs ne

« marchent » donc pas. Il faut prendre des valeurs pour que la limite du numérateur soit un nombre positif.

Essayons avec b=–3 . ^lim

x→−1^-

−3x²−3x+2=2 donc cela convient.

Vérifions l'autre limite : lim

x→2⁺

−3x²−3x+2=−16 et lim

x→2⁺

x²−x−2=0⁺ donc on a bien ^lim

x→2⁺

f (x)=−∞. Sur ma copie :

La fonction f définie sur ℝ/{-1;2} par f (x)=−3x²−3x+2

x²−x−2 convient.

En effet,

• f est une fonction rationnelle donc lim_{x ∞} fx= lim

x→+∞

−3x² x² =−3 .

x –∞ –1 2 +∞

(x+1)(x–2) + 0 - 0 +

• lim

x→−1^-

−3x²−3x+2=2 et lim

x→−1^-

x²−x−2=0⁺ donc par limite de quotient _x→−1^lim-

f(x)=+∞.

• lim

x→2⁺

−3x²−3x+2=−16 et ^lim

x→2⁺

x²−x−2=0⁺ donc par limite de quotient lim_x→2+

f (x)=−∞.