III . − Les anneaux de polynômes

(1)

Errata : 1. À la fin de la preuve de la proposition II.10.3

il faut lire « Le morphismeZ → A , 1 7→ wse factorise donc » et non « Le morphismeA → M , 1 7→ wse factorise donc » . 2. La référence B.7 au paragraphe II.11 est en fait C.

III . − Les anneaux de polynômes

Dans tout ce chapitre (III),(A,+A,∗A,0A,1A)est un anneau (commutatif) (cf. I.1.8,) qu’on supposera même assez vite intègre (cf. I.1.14,) et l’on ne finira même par considérer, au paragraphe III.5 que le cas oùAest un corps.

III.1 .−L’anneau des séries formelles à coefficients dansA

On ne construit, dans ce paragraphe (III.1,) l’anneauA[[X]]des séries formelles à coefficients dansAque pour servir de cadre à la construction de l’anneauA[X]des polynômes à une indéterminée et à coefficients dans Aconstruit au paragraphe III.2.

On n’aura malheureusement pas le loisir de sintéresser à l’anneauA[[X]]pour lui-même ce qui pourtant est à la base de nombreux développements.

Définition III.1.1 On rappelle qu’unesuite à valeurs dansAest une application N → A. On note le plus souventαn ∈ Aet on appellen^ièmeterme générall’image d’un entiern ∈ Npar la suiteα.

Notation III.1.2 On rappelle que l’ensemble des suites à valeurs dansAest usuellement notéA^N. On notera ζn

,n∈N∈A^N(resp. υn

,n∈N∈A^N) la suite définie par

∀n∈N, ζn := 0 (resp.υ0 := 1A, ∀n∈N, n≥1, υn := 0.) Pour tout(α, β) ∈ A^N×A^N,on définit l’élémentα+_A^Nβ ∈ A^Npar :

(α+_A^Nβ)n := αn +A βn III.1.2.1

et

(α∗A^Nβ)n :=

n

X

k=0

αk ∗A βn−k. III.1.2.2

Proposition III.1.3 Le triplet(A^N,+_A^N,∗_A^N)est un anneau (commutatif siAl’est) d’élément neutreζpour la loi +_A^N etυpour la loi∗_A^N.

Preuve: Il s’agit, en premier lieu , de montrer que(A,+_A^N)est un groupe abélien, ce qui est fait dans l’exercice III.7.1 et résulte également de la proposition I.6.1.i).

On montre ensuite dans l’exercice III.7.2 que(A,+_A^N,∗_A^N)est un anneau commutatif.

(2)

Définition III.1.4 (Anneau des séries formelles) L’anneau(A,+_A^N,∗_A^N)est appeléanneau des séries formelles à coefficients dansA.

Notation III.1.5 Pour touta ∈ A,on définit l’élémenti(a)deA^Npar :

i(a)0 := aet∀n∈N, n > 0 ⇒ i(a)n = 0. III.1.5.1

Pour toutα ∈ A^N,on définitp(α) ∈ Apar :

p(α) := α0. III.1.5.2

Proposition III.1.6 i)

p ◦ i = IdA. ii) L’applicationiest injective et l’applicationpsurjective.

Preuve: Découle du point précédent.

iii) Les applicationsietpdéfinies ci-dessus sont des morphismes d’anneaux.

Preuve: Le fait queiest un morphisme d’anneaux est démontré dans le III.7.5. La vérification du fait quep est aussi un morphisme est très simple et laissée en exercice.

Notation III.1.7 Pour touta ∈ Aet toutα ∈ A^N,on note a · α := i(a) ∗_A^N α

qu’on finira par notera∗αen confondantAet l’image deiqui sont isomorphes et mêmeaαsi aucune confusion ne devait en résulter.

On remarque, en tout cas que :

∀n∈N, (a·α)n = i(a)∗A^Nα

n = a∗Aαn. Proposition III.1.8 On a alors :

∀a∈A, ∀b∈A, ∀ αn

,n∈N∈A^N, ∀ βn

,n∈N∈A^N, :

Mod1)

a · (α +_A^N β) = a · α +_A^N a · β; Mod2)

(a +A b) · α = a · α +_A^N b · β; Mod3)

(a ∗A b) · α = a · (b · α) ; Mod4)

1A · α = α .

(3)

Preuve: Ce n’est qu’un jeu d’écriture sur le fait queiest un morphisme d’anneaux.

Remarque III.1.9 Si A était un corps les propriétés III.1.8.Mod1) à III.1.8.Mod4) assureraient queA^N est unA-espace vectoriel. Cependant dans le cas où Aest simplement un anneau on parle de A-module (cf.

A.1.1.) Le morphismei : A → A^Nfait même deA^NuneA-algèbre (cf. A.1.6e)t sa structure deA-module n’est autre que celle induite par sa structure deA-algèbre (cf. A.1.8.b).)

Notation III.1.10 Pour toutj ∈ N,on noteεj ∈ A^Nl’élément deA^Ndéfini par : (εj)j := 1 et∀n∈N, n 6= j ⇒ (εj)n = 0. Notons qu’on a immédiatementε0 = υ.

Lemme III.1.11 Pour toutj ∈ N,

εj+1 = ε1 ∗_A^N εj

et par conséquent

∀(j, k)∈N×N, εj ∗A^N εk = εj+k.

Preuve: C’est un exercice.

Notation III.1.12 Il est d’usage de noterX := ε1,le lemme ci-dessus assurant queX^j = εj.L’anneau (A^N,+_A^N,∗_A^N)est usuellement nottéA[[X]]et appeléanneau des séries formelles à coefficients dansA.Un élément αn

,n∈N ∈ A^Nest noté

α =

+∞

X

n=0

αnXⁿ

cette notation ne devant cependant pas laisser croire qu’on ait pu écrireαcomme combinaison linéaire et par conséquent trouver une base.

La notationA[[X]]ne recouvre pas seulementA^Nen tant qu’ensemble mais bel et bien l’anneau (A^N,+_A^N,∗_A^N, ζ, υ)

si bien que lorsqu’on écritA[[X]]il n’est nul besoin de spécifier quelle est la structure d’anneau. Les éléments ζ(resp.υ)sont, bien entendu, notés0 (resp.1.)

Proposition III.1.13 i) Pour tout αn

,n∈N ∈ A^N, α 6= ζ,il existe un entier naturelval(α)tel que αval(α) 6= 0 et∀n∈N, n < val(α) ⇒ αn = 0.

Preuve: Voir l’exercice III.7.4.question 2).

ii)

∀(α, β)∈(A^N\ {ζ}) × (A^N\ {ζ}), val(α∗_A^Nβ) ≥ val(α) + val(β) avec égalité dans le cas oùAest un anneau intègre.

(4)

iii)

∀(α, β)∈(A^N\ {ζ}) × (A^N\ {ζ}), val(α+A^Nβ) ≥ min val(α), val(β) avec égalité dans le cas oùval(α) 6= val(β).

Définition III.1.14 (Valuation) Pour toutα ∈ A^N\ {ζ},on appelleravaluationX-adiqueou simplement de α,l’entierval(α).

Remarque III.1.15 a) On peut interpréter la valueation d’un élémentαdeA^N \ {ζ},comme la plus grande puissance deXdivisantα.La définition de valuation donnée en III.1.14 est alors à rapprocher de la notion de valuationp-adique donnée en I.13.5.5, et on aurait affaire ici à la « valuationX-adique » en quelque sorte.

b) On peut prolonger l’application valuation deA^N\ {ζ}àA^Nen posant : val(ζ) = (+∞).

Sit on noteN := N ∪ {(−∞),(+∞)}val(·)est une application deA^Nà valeurs dansN.

On peut prolonger partiellement l’addition+deNàNen posant :

∀n∈N, n+ (+∞) = (+∞) +n = (+∞) n+ (−∞) = (−∞) +n = (−∞) (+∞) + (+∞) = (+∞)

(−∞) + (−∞) = (−∞). On peut aussi prolonger la relation d’ordre surN,en posant

∀n∈N, (−∞) < n < (+∞).

Avec ces définitions, les énoncés III.1.13.ii) et III.1.13.iii) sont vérifiés pour tout(α, β) ∈ A^N × A^N. Proposition III.1.16 SiAest un anneau commutatif intègre il en est de même deA^N.

III.2 .−Anneau des polynômes à une indéterminée

On reprend les notations du paragraphe III.1.

Notation III.2.1 On noteraA^N^,0 ⊂ A^Nl’ensemble des éléments deA^Nqui sont des «suites presque nulles» c’est-à-dire queA^N^,0est l’ensemble des éléments αn

,n∈N ∈ A^Ntel qu’il existep ∈ N,tel que

∀n∈N, n≥p ⇒ αn = 0. Il est immédiat de constater que

ζ ∈ A^N^,0, υ ∈ A^N^,0et∀n∈N, εn ∈ A^N^,0. Proposition III.2.2 i) Pour tout αn

,n∈N ∈ A^N^,0, α 6= ζ,il existe un unique entier natureldeg(α)tel que αdeg(α) 6= 0 et∀n∈N, n > deg(α) ⇒ αn = 0.

(5)

ii)

∀(α, β)∈(A^N^,0\ {ζ}) × (A^N^,0\ {ζ}), deg(α∗A^Nβ) ≤ deg(α) + deg(β) avec égalité dans le cas oùAest un anneau intègre.

iii)

∀(α, β)∈(A^N^,0\ {ζ}) × (A^N^,0\ {ζ}), deg(α+_A^Nβ) ≤ max deg(α), deg(β) avec égalité dans le cas oùdeg(α) 6= deg(β).

iv) (Divisibilité)

SiAest un anneau intègre,

∀α∈A^N^,0,∀β∈A^N^,0, α|βetβ 6= 0 ⇒ deg(α) ≤ deg(β).

Définition III.2.3 (Degré) Pour toutα ∈ A^N^,0 \ {ζ},l’entierdeg(α)sera appelédegrédeα.

Remarque III.2.4 De même que pour la valuation, on peut prolonger le degré àA^N^,0en posant deg(ζ) := (−∞)

(cf. III.1.15.b).) Les assertions III.2.2.ii) et III.2.2.iii) sont alors vérifiées pour tout(α, β) ∈ A^N^,0 × A^N^,0. Proposition III.2.5 i) Le triplet(A^N^,0,+_A^N,∗_A^N)est un anneau (commutatif siAl’est), (intègre si Aest intègre.)

ii) Le morphismei : A → A^Nétant celui défini en III.1.5.1, l’image deiest incluse dansA^N^,0et l’on a Imi = {α ∈ A^N^,0; deg(α) = 0}.

Il s’ensuit quei : A → A^N^,0est un morphisme injectif d’anneaux.

iii) L’ensembleA^N^,0^× des éléments inversibles de A^N^,0 s’identifie (c’est-à-dire est isomorphe en tant que groupe abélien) àA^×.

(6)

iv) La loi externe·définie en III.1.7 se restreint àA^N^,0et vérifie encore les axiomes III.1.8.Mod1) à III.1.8.Mod4).

Preuve: Est une conséquence presque immédiate du point ii).

v) La familleXⁿ,n∈Nest unebasedeA^N^,0c’est-à-dire que : a) (elle estgénératrice)

pour toutα ∈ A^N^,0il existed∈Net und-upletai,1≤i≤d ∈ Atels que α =

d

X

j=0

aj·X^j;

b) (elle estlibre)

pour toutn ∈ N,toutn-upletai,1≤i≤n ∈ A,

n

X

j=0

aj·X^j = ζ ⇒ ∀1≤j≤n, aj = 0.

Preuve:

a) C’est presqu’uniquement un jeu d’écriture. On peut cependant donner un argument un peu plus formel par récurrence. On remarque en effet que sideg(α) = 0,

α = i(a) = i(a)∗A^Nυ = a·X⁰. Pourd ∈ N,sideg(α) = d+ 1,on écrit

α = αd·X^d + β

et l’on constate quedeg(β) ≤ d.Si on fait donc l’hypothèse de récurrence qu’on peut écrire β =

d

X

j=0

βj·X^j

on peut décomposerαde manière analogue ce qui prouve le résultat par récurrence sur le degré.

b) Exercice.

Notation III.2.6 Il est donc usuel de noter les élémentsα ∈ A^N^,0 : α =

deg(α)

X

j=0

αjX^j

et l’anneau(A^N^,0,+_A^N, ∗_A^N)A[X].

De même que pour l’anneau des séries formelles (cf. III.1.12,) la notationA[X]recouvre toute la structure d’anneau deA^N^,0si bien qu’il n’est n’ul besoin de spécifier que l’addition est donée par +_A^N et la multiplica- tion par ∗_A^N.L’élément neutreζsera bien entendu noté0et l’élément unitéυ1.

(7)

Définition III.2.7 L’anneauA[X]est appeléanneau des polynômes àune indéterminée à coefficients dansA.

Un élément deAest appelépolynôme.

Exemple III.2.8 Dans l’anneauA := Z/p²Z,pourpun nombre premier, les éléments α := (1, p,0, . . . ,0, . . . etβ := (1,−p,0, . . . ,0, . . . deA^N^,0.On constate qu’alors

α∗_A^Nβ = (1,0,−p²,0, . . . ,0, . . . = (1,0, . . . ,0, . . . = υ alors qu’on adeg(α) = deg(β) = 1.

Proposition III.2.9 (Propriété universelle de l’anneau des polynômes) Soient f : A → Bun morphisme d’anneaux etb ∈ B . Il existe un unique morphisme d’anneaux

φb : A[X] → Btel queφb(X) = betf = φb ◦ i (oùi : A → A[X]est le morphisme défini en III.1.5.1.)

Ceci entraîne en particulier que :

∀α∈A[X], α =

deg(α)

X

k=0

αkX^k ⇒ φb(α) =

deg(α)

X

k=0

f(αk)∗Bb^k. III.2.9.1

Preuve: i) (Unicité)

Un élémentb ∈ Bétant fixé, s’il existe un morphismeφb : A[X] → Btel queφb(X) =b,nécessaire- ment∀n∈N^∗, φb(Xⁿ) = bⁿ.Puisqueφbest un morphisme d’anneaux,

φb(1A[X] = 1B ⇒ φb(υ) = 1B ⇒ φb(X⁰) = 1B

d’où il résulte finalement :

∀n∈N, φb(Xⁿ) = bⁿ. 1 Par ailleurs si on note·la loi externe définie en III.1.7,φb◦i = f entraîne :

∀α∈A[X],∀β∈A[X],

∀a∈A, ∀b∈A, φb(a·α+_A^Nb·β) = φb(i(a)∗_A^Nα+_A^Ni(b)∗_A^Nβ)

= φb(i(a))∗Bφb(α) +Bφb(i(b))∗Bφb(β)

= f(a)∗Bφb(α) +Bf(b)∗Bφb(β).

L’applicationφbest donc «A-linéaire » et l’image de la base{Xⁿ}n∈Nétant déterminée d’après 1,φb est nécessairement unique.

(8)

ii) (Existence)

Il existe une unique application «A-linéaire »φb : A[X] → Btelle que∀n∈N, φb(Xⁿ) = bⁿ.Puisque φbest linéaire, en particulier∀α∈A[X],∀β ∈A[X], φb(α+A^Nβ) = φb(α) +Bφb(β)si bien que l’axiome I.2.4.Ann5) est satisfait.

Par ailleurs :

∀α∈A[X], α =

deg(α)

X

k=0

αkX^k

∀β ∈A[X], β =

deg(β)

X

k=0

βkX^k φb(α∗A^Nβ) =

deg(α)+deg(β)

X

k=0

X

ℓ+m=k

αℓβm

·X^k

=

deg(α)+deg(β)

X

k=0

f X

ℓ+m=k

αℓβm

∗Bb^k

=

deg(α)

X

k=0

f(αk)∗Bb^k

∗B deg(β)

X

k=0

f(βk)∗Bb^k

= φb(α)∗Bφb(β) ce qui prouve queφbvérifie l’axiome I.2.4.Ann6).

Il est enfin clair que l’axiome I.2.4.Ann7) est satisfait.

Notation III.2.10 Avec les hypothèses et notations de la proposition III.2.9 ci-dessus, on noteraA[b]l’image deA[X]dansBpar le morphismeφb.

Corollaire III.2.11 (Fonctorialité de l’anneau des polynômes) En particulier, étant donné un morphisme d’anneauxf : A → B,il existe un unique morphisme d’anneaux

f[X] : A[X] → B[X]caractérisé par : f[X](X) = X etf[X] ◦ iA = iB ◦ f ce qui entraîne en particulier que :

∀α∈A[X], α :=

deg(α)

X

k=0

αkX^k ⇒ f[X](α) =

deg(α)

X

k=0

f(αk)X^k. III.2.11.1

Preuve: Il suffit d’appliquer la proposition III.2.9 au morphisme d’anneauxiB◦f : A → B[X]et à l’élé- mentX ∈B[X].

Exemple III.2.12 Le corollaire III.2.11 justifie un certain nombre d’opérations :

a) Sif : R → Cest l’inclusion naturelle du corpsRdes réels dans le corpsCdes complexes, le morphisme f[X] : R[X] → C[X]

consiste simplement à considérer les coefficients d’un polynôme à coefficients réels comme des nombres complexes.

b) En considérant l’inclusionZ ⊂ Q, on obtient également une inclusionZ[X] ⊂ Q[X] et comme dans l’exemple a) elle consiste juste à considérer les coefficients entiers comme des nombres rationnels.

(9)

c) Soitσ : C → Cla conjugaison complexe. L’applicationσest bien un morphisme d’anneaux deCdans lui-même si bien qu’on peut lui appliquer le corrollaire III.2.11 pour en déduire un morphisme

σ[X] : C[X] → C[X]qui vérifie, en vertu de III.2.11.1

σ[X]

d

X

k=0

αkX^k

=

d

X

k=0

σ(αk)X^k

qu’on écrira de manière plus usuelle :

d

X

k=0

αkX^k =

d

X

k=0

αkX^k.

d) Dans le cas où l’on considère la surjection canoniqueπn : Z → Z/nZle morphismeπn[X]associe, à un polynômeP :=

d

X

i=0

akX^kà coefficients entiers, le polynômeP =

d

X

i=0

akmodnX^kdont les coefficients sont des entiers modulon.En particulier sinest un nombre premier on obtient un polynôme à coefficients dans un corps et l’on peut appliquer tous les résultats du paragraphe III.5

Corollaire III.2.13 (Polynômes à plusieurs indéterminées) SoitAun anneau commutatif etA[X]l’anneau des polynômes à une indéterminée et à coefficients dansA.PuisqueA[X]est un anneau, on peut construire (A[X])[Y]l’anneau des polynômes à une indéterminée et à coefficients dansA[X]qu’on va simplement noter A[X][Y].C’est également une notation temporaire, qu’on va pouvoir encore simplifier au vu de ce qui suit.

En effet, la suite d’inclusions

A−−−−→ⁱ^A A[X]−−−−→ⁱ^A^[^X^] A[X][Y]

permet de considérerAcomme un sous-anneau deA[X][Y].Il existe donc, grâce à la proposition III.2.9, un unique morphisme d’anneaux

A[X] → A[X][Y], X 7→ Y

respectant les inclusions ci-dessus. Ce dernier morphisme, permet, toujours grâce à la proposition III.2.9, de construire un morphisme

A[X][y] → A[X][Y], (X, Y) 7→ (Y, X).

On laisse le soin au lecteur de montrer que ce dernier morphisme est un isomorphisme d’anneaux. Cela justifie la notationA[X, Y] := A[X][Y].

On peut dès lors définir par récurrrence

A[X1, . . . Xn+1] := A[X1, . . . , Xn][Xn+1].

Pour ne nécessiter que des arguments plutôt formels pour être définis, les anneaux de polynômes à plusieurs indéterminées nécessitent cependant des outils un peu plus élaborés pour être étudiés que les anneaux à une indéterminée et en particulier quandAest un corps.

III.3 .−Évaluation et fonctions polynômes

Dans cette section (III.3)Aest un anneau.

(10)

Proposition III.3.1 (Évaluation) Pour touta ∈ A,il existe un unique morphisme d’anneaux eva : A[X] → A|eva(X) = aet eva ◦ i = IdA

et en particulier :

∀α∈A[X], α =

deg(α)

X

k=0

αkX^k ⇒ eva(α) =

deg(α)

X

k=0

αk∗a^k. III.3.1.1

Preuve: Il suffit d’appliquer la proposition III.2.9 à l’identité deAet à l’élémentadeA.

Notation III.3.2 Étant donné un ensembleX,notons

F(X, A) := {f : X → A}

l’ensemble des fonctionsf : X → AdeXà valeurs dansA.

Lemme III.3.3 i) Pour tout ensembleX,on peut munir l’ensembleA^X des applications deX dansAd’une structure d’anneau (commutatif) par :

∀f ∈A^X, ∀g∈A^X, ∀x∈A, (f +g)(x) := f(a) +A g(a) et (f∗g)(x) := f(x)∗Ag(x) 1 lélément neutre pour+(resp.∗,) étant la fonction constante de valeurs0A(resp.1A.)

Preuve: Voir la proposition I.6.1.ii) ii) La loi externe·définie surA×A^Xpar :

∀a∈A, ∀f ∈A^X, ∀x∈X, (a · f)(x) := a · f(x) 1 vérifie les axiomes III.1.8.Mod1) à III.1.8.Mod4).

iii) L’application :

jA : A → A^X, a 7→ a·1_AX 1

est un morphisme d’anneaux.

Proposition III.3.4 Considérons l’ensembleA^Ades applications deAdans lui-même muni de la structure+,∗ définie en III.3.2 et III.3.3.

i) Il existe un unique morphisme d’anneaux :

φ : A[X] → A^A, X 7→ IdA|φ ◦ iA = jA 1 et l’on a alors :

∀α∈A[X], α =

deg(α)

X

k=0

αkX^k, φ(α) = x 7→

deg(α)

X

k=0

αkx^k. 2

Preuve: Il suffit d’appliquer la proposition III.2.9 au morphismejAet àIdA∈A^A.

(11)

ii) Si·désigne la loi externe définie en III.1.7 (resp. la loi externe définie en III.3.3.ii).1), selon le contexte :

∀a∈A, ∀α∈A[X], φ(a·α) = a·φ(α). 1

Preuve: Vérification sans difficulté.

iii)

∀a∈A, ∀α∈A[X],eva(α) = φ(α)(a) =

deg(α)

X

k=0

αka^k 1

qu’on notera bien évidemmentα(a).

Preuve: Idem.

Définition III.3.5 (Racine) Pour tout polynômeα∈A[X]on appelleracine deαdansAun élémenta ∈ A tel que :α(a) = 0A.

Définition III.3.6 (Fonctions polynômes) On appelleensemble des fonctions polynômesl’image du morphis- meφdéfini en III.3.4.i).1, dansA^Aetfonction polynômeun élément de cette image.

Remarque III.3.7 On pourrait se demander pourquoi on a bien pris soin de distinguer les polynômes éléments deA[X]des fonctions polynômes leurs image dansA^A.En effet :

a) SiAest le corpsRle corpsC,et plus généralement un corps infini le morphismeφdéfini en III.3.4.i).1 est injectif c’est-à-dire que si deux polynômes définisssent la même fonction polynôme ils sont égaux.

b) En revanche siκest un corps fini, typiquement le corpsF_p := (Z/pZ,+,∗)pourpun nombre premier, on peut considérer le polynômeX^p−X ∈F_p[X].La fonction polynôme qu’il définit surF_p est la fonction x7→x^p−xqui est la fonction nulle. OrX^p−Xn’est pas le polynôme nul à savoir l’élémentζ∈A[X]défini en III.2.1.

III.4 .−Le théorème de la division euclidienne

Dans ce paragraphe (III.4,) Kest un corps et l’on s’intéresse à l’anneau K[X]des polynômes à une indéterminée et à coefficients dansK.

Proposition III.4.1

∀P ∈K[X], ∀Q∈K[X], P|QetQ6= 0 ⇒ deg(P)≤deg(Q) .

Preuve: Résulte de III.2.2.ii).

(12)

Théorème III.4.2 (de la division euclidienne) Pour tout couple(A, B)d’éléments deK[X], B 6= 0,il existe un unique couple(Q, R)d’éléments deK[X]tel que

A = B ∗ Q + Ret deg(R)<deg(B).

Preuve: (cf. III.7.7.)

Remarque III.4.3 a) On peut faire ici la même observation que dans le cas des entiers relatifs à savoir qu’on a unicité du couple(quotient, rest)dans l’énoncé du théorème de la division euclidienne. Ce résultat d’unicité se déduit de la propriétédeg(P+Q) ≤ max(deg(P),deg(Q))(cf. III.2.2.iii).) On a déjà mentionné et on rappelle encore que cet énoncé d’unicité n’est pas nécessaire pour établir que l’anneauK[X]est principal . et qu’elle n’est pas vérifiée, par exemple, par le stathme euclidien de l’anneau des entiers de GAUSS qui n’en jouit pas moin de toute les propriétés des anneaux principaux.

b) Les termes dedividende,diviseur,quotientetresteintroduits en I.13.6.1 sont bien entendu, utilisés dans le cas de l’anneauK[X]et l’on peut même, en vertu de a), parler du reste et du quotient.

Théorème III.4.4 (Structure des idéaux deK[X]) Une partie^I ⊂ K[X]est un idéal (cf. I.3.5,) deK[X]si et seulement si :

∃P ∈ K[X], I = PK[X] = {P∗Q; Q∈K[X]} III.4.4.1 c’est-à-dire que l’anneauK[X]est unanneau principal(cf. I.12.2.)

Preuve:

i) Si^I = PK[X] :

∀P1∈I, ∃Q1 ∈ K[X], P1=P∗Q1

∀P2∈I, ∃Q2 ∈ K[X], P2=P∗Q2

⇒ ∀A1∈K[X], ∀A2∈K[X],

A1∗P1+A2∗P2 = A1∗P ∗Q1+A2∗P∗Q2

= P∗(A1∗Q1+A2∗Q2)

∈ I

ce qui prouvve que^Iest un idéal.

ii) Réciproquement si^Iest un idéal non nul, soitA := {deg(P) ; P ∈I\ {0}}.L’ensembleAest une partie non vide deN,et possède donc un plus petit élémentd. SoitP ∈Iavecdeg(P) = d.Puisque^Iest un idéal,

∀Q∈K[X], P Q∈Isi bien que si on note^J := PK[X]l’idéal^Jest inclus dans^I. Pour toutS∈I,il existe un couple(Q, R)∈K[X]×K[X]tel que

S = P Q + Ret deg(R) < d . Or

S∈I ∧ P Q∈J⊂I ⇒ R = S−P Q∈I ⇒ deg(R)≥douR = 0 ce qui et entraîneR = 0et par conséquentS = P Q ∈ Jet finalement^I = J.

(13)

Remarque III.4.5 Dans la proposition précédente, et partant dans le théorème III.4.2 on ne peut pas omettre l’hypothèse queKest un corps. Prenons en effetA := K[X]alorsA[Y]est l’anneauK[X, Y]dans lequel l’idéal engendré parXetY n’est pas de la forme III.4.4.1.

III.5 .−Propriétés arithmétiques de l’anneauK[X]

Dans tout ce paragraphe (III.5,)Kest un corps et l’anneau K[X]est l’anneau des polynômes à une indéterminée à coefficients dansKintroduit au paragraphe III.2. Son élément neutre que nous avons jusqi’ci notéζ(resp. son élément unitéυ) seront dorénavant noté0(resp.1.)

Il faut bien prendre garde que peu de résultats de ce paragraphe subsistent si l’on ne suppose pas que l’anneau des coefficients est un corps et en particulier celui qui est à l’origine des autres à savoir le théorème III.4.2 et son corollaire le théorème III.4.4.

On aurait pu, pour ce paragraphe (III.5,) se contenter d’établir l’existence d’unedivision euclidiennepour l’anneauK[X](cf. III.4.2,) la proposition I.13.6.4 assurant alors que l’anneauK[X]est un anneau principal.

Dès lors, tous les résultats dévelopés au paragraphe I.13 et relatifs à l’arithmétique des anneaux principaux s’appliquent àK[X].

Nous allons cependant passé de nouveau en revue ces résultats en donnant le cas échéant des arguments de preuve particuliers à l’anneauK[X] :

l’existence de PGCD et de PPCM (cf. I.13.1 III.5.1 ;) le théorème de Bézout (cf. I.13.2.1 III.5.2.1 ;) le lemme de GAUSS (cf. I.13.2.3 III.5.2.3 ;) le lemme d’Euclide (cf. I.13.2.6 III.5.2.4 ;)

les applications à l’arithmétique modulaire (cf. I.13.2.8 III.5.3.1 ;) le théorème chinois des restes (cf. I.13.4.4 III.5.4.1 ;)

le théorème fondamental de l’arithmétique (cf. I.13.5.3 III.5.5.1.) III.5.0 .−Quelques remarques préliminaires

Certaines notions introduites dans le cadre général des anneaux principaux au paragraphe I.13, revêtent un aspect particulier dans le cas de l’anneauK[X],elle peuvent en fait être précisées et explicitées :

Remarque III.5.0.1 (Éléments inversibles) L’ensembleK[X]^×des éléments inversibles de l’anneau(K[X],+,∗)s’identifie au groupeK^×des inversibles deKlui-même (cf. III.2.5.iii).)

Remarque III.5.0.2 (Éléments associés) Par conséquent, deux élémentsP etQdeK[X]sontassociés(cf.

I.11.2,) si et seulement s’il existeu ∈ K^×tel queP = u∗Q.

III.5.1 .−PGCD et PPCM dansK[X]

Proposition III.5.1.1 Pour tout entiern ∈ N^∗,et toute partie A := {P1, . . . , Pn} ⊂ K[X]

finie ànéléments : i) (PGCD)

Apossède un PGCD (cf. I.10.13.)

(14)

ii) (Identité de BÉZOUT)

SiDest un PGCD deAil existe unn-uplet(U1, . . . , Un)∈K[X]ⁿtel que : D =

n

X

i=1

UiPi. 1

(voir la proposition I.13.1.3 .)

Définition III.5.1.2 (Identité de BÉZOUT) La formule III.5.1.1.ii).1 est appeléeidentité de B^ÉZOUT et les polynômesUi,1≤i≤ncoefficients deB^ÉZOUT.

Remarque III.5.1.3 L’hypothèse queAest fini dans la proposition III.5.1.1 n’est pas indispensable et l’on peut tout à fait s’en passer comme le montre la preuve de la proposition I.13.1.3

Proposition III.5.1.4 Toute famille de polynômes admet un PPCM. (voir la proposition I.13.1.6 .) III.5.2 .−Théorème de B^ÉZOUT,

lemme de GAUSS, lemme d’Euclide dans l’anneauK[X]

Théorème III.5.2.1 (de BÉZOUT) Pour tout entier naturelnet toute partieA := {P1, . . . , Pn} ⊂ K[X], les assertions suivantes sont équivalentes :

a) D(A) = K^×c’est-à-dire que les éléments deAsont premiers entre eux dans leur ensemble (cf. I.10.11.) b) ^VA = 1.

c) Il existe unn-uplet de polynômesUi,1≤i≤ntel que

n

X

i=1

PiUi = 1. (voir le théorème I.13.2.1 .)

Remarque III.5.2.2 Le théorème de B^ÉZOUTIII.5.2.1 est le plus souvent appliqué pour deux éléments puisque dans un certain nombre d’applications la condition utilisée est qu’une famille d’éléments soit constituée d’élé- ments deux à deux premiers entre eux et non premiers entre eux dans leur ensemble. C’est notamment le cas pour le théorème III.5.4.1 chinois des restes. C’est de toute façon la situation à laquelle on peut avoir accès de manière calculatoire à travers l’algorithme d’Euclide(cf. III.5.6.1.)

Théorème III.5.2.3 (lemme de GAUSS) Étant donnés trois polynômesP, Q, R,siP etQsont premiers entre eux, etP|QRalorsP|R.

(voir le théorème I.13.2.3 .)

Théorème III.5.2.4 (lemme d’Euclide) Dans l’anneau de polynômesK[X]tous les éléments irréductibles (cf.

I.10.6,) sont premiers (cf. I.10.5.) (voir le théorème I.13.2.6 .)