Deuxième semestre 2014–2015 Algèbre commutative
Université de Franche-Comté M1 Mathématiques et applications
Feuille d’exercices n◦2
Spectre d’un anneau
Tous les anneaux sont supposés unitaires et commutatifs.
Nilradical, radical
Exercice 1. Donner des exemples d’anneaux réduits non intègres.
Exercice 2. Calculer le nilradical de Z/pnZoù p est premier etn≥1.
Exercice 3. Si I est un idéal de A, on noter(I) son radical.
(i) Calculerr(5Z) ;r(4Z) ;r(mZ) oùm∈N. (ii) Montrer queI ⊂r(I) et r(r(I)) =r(I).
(iii) Montrer que r(IJ) =r(I∩J) =r(I)∩r(J) où I, J sont des idéaux deA.
(iv) Montrer quer(I) =Asi et seulement siI =A.
(v) Montrer que siI est premier, on a r(In) =I pour tout entiern >0.
Exercice 4. SoitI un idéal deA. Comment sont reliés le radicalr(I) et le nilradicalN(A/I) ? En déduire le nilradical de Z/mZpour m≥1.
Spectre d’un anneau
Exercice 5. Calculer V(2,3) dansZ etV(X8−2X4+ 1) dans R[X].
Exercice 6. Déterminer les spectres des anneaux : C[X] ; R[X] ;Z/nZ oùn≥2.
Exercice 7. (i) Soit p ∈ SpecA. Montrer que l’adhérence {p} du pointp est l’ensemble V(p) des idéaux premiers de Aqui contiennent p. En déduire que le pointp est fermé si et seulement si l’idéalp est maximal.
(ii) SiA est principal, montrer que tout point de SpecAest fermé ou dense dans SpecA.
Exercice 8. Pour tout f dans l’anneauA, on poseXf ={p∈SpecA|f /∈p}. Montrer que : (i) Xf est un ouvert de SpecA;
(ii) pour tousf, g de A,Xf∩Xg =Xf g; (iii) Xf =∅ ⇐⇒ f nilpotent ;
(iv) (Xf)f∈A est une base d’ouverts1 de SpecA;
(v) SpecA est quasi-compact2. Indication : considérer un recouvrement par (Xfi)i∈I et montrer que l’idéal engendré par (fi)i∈I est A.
Exercice 9. Un espace topologique X est ditirréductible si X ne s’écrit pas sous la forme F1∪F2 oùF1 et F2 sont des fermés propres deX (c’est-à-dire distincts de X).
(i) Montrer que :
(a) X est irréductible si et seulement si tout ouvert non vide deX est dense dans X; (b) siX est irréductible alors X est connexe.
1. C’est-à-dire que tout ouvert de SpecApeut s’écrire comme réunion de tels ouvertsXf.
2. C’est-à-dire que tout recouvrement ouvert de SpecApossède un sous-recouvrement fini (propriété de Borel-Lebesgue).
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(ii) Montrer que :
(a) si l’anneauAest intègre, alors SpecAest irréductible ; (b) si SpecA est irréductible etA est réduit, alorsA est intègre ;
(c) pour tout idéala,V(a) est irréductible (pour la topologie induite) si et seulement sir(a) est premier.
Exercice 10. Soient A un anneau et Ared = A/N(A). Soit ϕ : A → Ared la projection canonique. Montrer que l’application associéeϕ∗: SpecAred→SpecAest un homéomorphisme.
