Autour de l'entropie des difféomorphismes de variétés non compactes

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Autour de l’entropie des difféomorphismes de variétés non compactes

Felipe Riquelme

To cite this version:

Felipe Riquelme. Autour de l’entropie des difféomorphismes de variétés non compactes. Systèmes

dynamiques [math.DS]. Université Rennes 1, 2016. Français. �NNT : 2016REN1S021�. �tel-01386691�

THÈSE / UNIVERSITÉ DE RENNES 1

sous le sceau de l’Université Bretagne Loire pour le grade de

DOCTEUR DE L’UNIVERSITÉ DE RENNES 1

Mention : Mathématiques

Ecole doctorale Matisse

présentée par

Felipe Riquelme

Préparée à l’unité de recherche UMR CNRS 6625 Institut de Recherche Mathématique de Rennes

U.F.R. Mathématiques

Autour de l’entropie des difféomorphismes de variétés non

compactes

Thèse rapportée par : François LEDRAPPIER

DR CNRS à l’Université Pierre et Marie Curie / rapporteur

Amie WILKINSON

Professeur à l’Université de Chicago / rapporteur

et soutenue à Rennes le 23 juin 2016

devant le jury composé de : Pierre ARNOUX

Professeur à l’Université Aix-Marseille / examinateur

Jérôme BUZZI

DR CNRS à l’Université Paris Sud / examinateur

Christophe DUPONT

Professeur à l’Université de Rennes 1 / examinateur

Sébastien GOUËZEL

DR CNRS à l’Université de Nantes / examinateur

François LEDRAPPIER

DR CNRS à l’Université Pierre et Marie Curie / rapporteur

Barbara SCHAPIRA

Maîtresse de Conférences à l’Université de Rennes

mind is a story. There is an imagined ending, and usually an imagined beginning, and a selection of bits and pieces that might fit in between. In works of literature and science alike, any part can be changed, causing a ripple among the other parts, some of which are discarded and new ones added. The surviving fragments are variously joined and separated, and moved about as the story forms. One scenario emerges, then another.

The scenarios, whether literary or scientific in nature, compete with one another. Some overlap. Words and sentences (or equations or experiments) are tried to make sense of the whole thing. Early on, an end to all the imagining is conceived. It arrives at a wondrous denouement (or scientific breakthrough). But is it the best, is it true ? To bring the end safely home is the goal of the creative mind. Whatever that might be, wherever located, however expressed, it begins as a phantom that rises, gains detail, then at the last moment either fades to be replaced, or, like the mythical giant Antaeus touching Mother Earth, gains strength. Inexpressible thoughts throughout flit along the edges. As the best fragments solidify, they are put in place and moved about, and the story grows until it reaches an inspired end.”

Fragment of “Letters to a Young Scientist”, by Edward O. Wilson.

“... you may not have as much talent as you think you have, but if you have the desire, your talent will find you.”

Al Pacino.

Mes remerciements vont tout d’abord ` a ma directrice de th` ese Barbara Schapira. J’ai eu le plai- sir (et la chance) d’avoir appris de son exp´ erience, de sa sagesse, et surtout de son amour par les math´ ematiques. Je lui suis infiniment reconnaissante de sa patience, du temps d´ edi´ e ` a mon travail, d’ˆ etre toujours disponible ` a r´ epondre des questions, mˆ eme ceux d’aucun int´ erˆ et math´ ematique. Je le remercie aussi d’avoir lu et corrig´ e en d´ etail toutes les d´ emonstrations, les ´ enonc´ es, les para- graphes et les accents de toutes les versions pr´ eliminaires de cette th` ese, d’avoir recommand´ e effacer les phrases vagues et d’am´ eliorer celles qui ´ etaient potentiellement non vagues. Merci beaucoup Barbara d’avoir cru en moi mˆ eme si je ne le faisais pas.

Je remercie chaleureusement Fran¸cois Ledrappier et Amie Wilkinson d’avoir accept´ e de rap- porter ma th` ese. Je tiens ` a remercier vivement Pierre Arnoux, J´ erˆ ome Buzzi, Christophe Dupont et S´ ebastien Gou¨ ezel de m’avoir fait l’honneur de faire partie de mon jury.

Merci beaucoup ` a tous les professeurs qui ont pris le temps de discuter de maths avec moi, particuli` erement Fran¸ coise Dal’bo, Ludovic Marquis, Fran¸ cois Maucourant, Juan Souto et Samuel Tapie.

Un grand merci ` a tout l’´ equipe de th´ eorie ergodique et aux participants du s´ eminaire PAM- PERS pour la bonne disposition pour partager des connaissances. Mes remerciements s’adressent

´ egalement ` a tous les membres de l’IRMAR. Les th´ esards, les professeurs et les membres adminis- tratifs ont ´ et´ e une partie tr` es importante de mon d´ eveloppement professionnel et acad´ emique.

Mon d´ eveloppement math´ ematique en France n’aurait pas ´ et´ e possible sans l’appui initial pour r´ ealiser mon Master 2 ` a Paris de l’Ambassade de France au Chili et la Fondation de Sciences Math´ ematiques de Paris. Merci beaucoup pour cela.

Un merci sp´ ecial ` a Pierre pour l’incroyable amiti´ e de ces trois derni` eres ann´ ees. J’esp` ere te voir au Chili dans un moment futur de nos vies. Je remercie ´ egalement ` a Alexandre, Adrien, Kamel et Olivier d’avoir l’initiative et la disposition de faire un super groupe de travail entre doctorants.

Merci aux joueurs de foot de (presque) tout vendredi.

Una parte fundamental de mi crecimiento como investigador se lo debo a Godofredo Iommi y Anibal Velozo, quienes siendo respectivamente profesor y amigo, se convirtieron en colaboradores y personas indispensables en mi vida matem´ atica.

Quiero agradecer tambi´ en a CONICYT por otorgarme la Beca-Chile, por permitir haber po- dido desarrollarme profesionalmente fuera de mi pa´ıs natal. Gracias al programa de colaboraci´ on cient´ıfica CNRS-CONICYT por financiar un productivo viaje de investigaci´ on a Chile. Much´ısimas gracias tambi´ en a la Pontificia Universidad Cat´ olica de Chile por otorgarme un espacio de trabajo cada vez que estuve de visita en sus dependencias. Gracias a Isabel Ram´ırez por todas las gestiones realizadas durante mi estad´ıa en la Facultad de Matem´ aticas. Gracias a los equipos de Sistemas Din´ amicos en Santiago y Valpara´ıso por invitarme a hablar sobre mis resultados cada vez que estuve en aquellas ciudades.

Muchas gracias a todos aquellos quienes formaron parte de mi vida cotidiana en Francia. Gracias N´ estor, Andr´ es, Jesus David, Maycol y Carolina por las noches de FIFA, por las cervezas y la comida, por todas las conversaciones amenas que tuvimos. Gracias Jos´ e Andr´ es por tu cordialidad, disposici´ on y simpat´ıa al momento de hablar de matem´ aticas. Gracias Mar´ıa por tus excelentes imitaciones de acentos latinos. Gracias tambi´ en a T¨ urk¨ u por sus vibras positivas para mi defensa.

Como olvidar a Carolina Canales, quien se convirti´ o en una gran amiga y confidente. Gracias por

darte el tiempo de conversar incluso cuando ten´ıas mucho trabajo pendiente, por cada

crˆ epe

y

cada caf´ e en la Gare de Rennes. Gracias a ti y a Luco por la incre´ıble hospitalidad en mis viajes a Paris.

Gracias Franco, Gabriel, Camila, Valeska, Erik, Mane, Rodrigo, Dani, Jos´ e, Nico, Sebasti´ an, Catalina y Nicol´ as, y Dealer$ por estar siempre pendientes de mi futuro, por las despedidas y bienvenidas, en fin... por estar. Gracias Fabi´ an y Nelda por la buena disposici´ on y buena onda, espero que nuestros proyectos matem´ aticos lleguen a buen puerto.

I want to thank Neal Morse and Mike Portnoy. Both were a very important part of my research life since I spent almost every moment of my work listening their music.

Fernanda, nuestro amor surgi´ o antes de viajar al otro lado del atl´ antico, pero fue necesaria la distancia para convertirnos en pareja. Es por ti que estoy donde estoy ahora, pudiendo defender luego de tres a˜ nos, pues fuiste la motivaci´ on que necesitaba en los momentos m´ as bajos y deses- peranzadores de mi trabajo. Gran parte de esta tesis fue inspirada inesperadamente por nuestro amor. Te lo agradecer´ e por siempre.

Familia, ustedes mas que nadie saben lo dif´ıcil que fue dejar el hogar, dejar su compa˜ n´ıa, dejar

de estar presentes en los momentos claves de cada uno de nosotros. Pero estar lejos vali´ o la pena,

y estar´ıa ciego si no creyera que estoy donde estoy gracias a ustedes. Ustedes han cre´ıdo siempre

en m´ı... esto es por ustedes.

Table de mati` eres I

0 Introduction III

1 Entropies 1

1.1 Concepts basiques . . . . 1

1.2 Entropie mesur´ ee et entropie topologique . . . . 2

1.2.1 Entropie mesur´ ee . . . . 2

1.2.2 Entropie topologique . . . . 4

1.3 Entropies de Katok . . . . 4

1.4 Entropies locales . . . . 8

1.5 Entropie riemannienne . . . . 16

2 In´ egalit´ e de Ruelle 19 2.1 Cadre g´ en´ eral . . . . 19

2.2 Contre-exemples ` a l’in´ egalit´ e de Ruelle . . . . 20

2.2.1 Pr´ eliminaires : flots de suspension et transformations d’´ echange d’intervalles d´ enombrable . . . . 21

2.2.2 Constructions . . . . 24

2.2.3 Preuve du th´ eor` eme 2.5 . . . . 30

2.3 In´ egalit´ e de Ruelle pour diff´ eomorphismes lin´ earisables . . . . 34

2.3.1 Limites asymptotiques . . . . 34

2.3.2 Une condition suffisante . . . . 39

3 In´ egalit´ e de Ruelle pour le flot g´ eod´ esique 41 3.1 L’in´ egalit´ e de Ruelle . . . . 41

3.2 La formule de Pesin . . . . 43

3.3 Cons´ equences . . . . 57

4 Perte de masse 59 4.1 Perte de masse : dynamique symbolique . . . . 59

4.1.1 D´ ecalages de Markov . . . . 59

4.1.2 Flots de suspension . . . . 61

4.1.3 Perte de masse . . . . 62

4.2 Perte de masse : dynamique du flot g´ eod´ esique . . . . 65

4.2.1 Pr´ eliminaires en g´ eom´ etrie et dynamique . . . . 65

4.2.2 Codage du flot g´ eod´ esique . . . . 69

4.2.3 Un outil symbolique . . . . 75

4.2.4 Perte de masse . . . . 77

TABLE DES MATI ` ERES

4.3 Cons´ equences . . . . 80

Annexe A G´ eom´ etrie en courbure n´ egative 81

Concepts basiques . . . . 81 Isom´ etries . . . . 83

R´ ef´ erences 84

Introduction

L’objet principal de cette th` ese est l’´ etude de l’entropie des syst` emes dynamiques diff´ erentiables d´ efinis sur des vari´ et´ es riemanniennes non compactes. Nous abordons cette ´ etude de plusieurs points de vue. D’abord, nous ´ eclaircissons les liens entre diff´ erentes d´ efinitions possibles d’entropie dans ce cadre non compact. Ensuite, nous utilisons ces premiers r´ esultats pour y ´ etudier la validit´ e de l’in´ egalit´ e de Ruelle. Rappelons ici que cette in´ egalit´ e, pour des diff´ eomorphismes de vari´ et´ es riemanniennes compactes, nous dit que l’entropie est major´ ee par la somme des exposants de Lyapounov positifs. Pour finir, nous montrons que dans certains cas l’entropie permet de contrˆ oler le d´ efaut de compacit´ e. Plus pr´ ecis´ ement, nous montrons que l’entropie permet de contrˆ oler la masse d’une limite de mesures de probabilit´ e invariantes.

Rentrons un peu dans les d´ etails. Soient f : M Ñ M un diff´ eomorphisme de classe C ¹ d’une vari´ et´ e riemannienne et µ une mesure de probabilit´ e f -invariante sur M . L’entropie de f me- sure

grosso modo

le taux de croissance exponentielle de la complexit´ e de f . Introduite par Kolmogorov-Sina¨ı, l’entropie mesur´ ee h µ p f q est d´ efinie par

h _µ p f q sup

P

n lim Ñ8 1 n

»

log µ p P ⁿ p x qq dµ p x q ,

o` u le supremum est pris parmi toutes les partitions mesurables finies P de M et P ⁿ p x q est l’ensemble mesurable d´ efini par

P ⁿ p x q t y P M : f ⁱ p x q et f ⁱ p y q sont dans le mˆ eme atome de P pour tout 0 ¤ i ¤ n 1 u . Pour tout r´ eel r ¡ 0 et tout entier n ¥ 1, la p n, r q -boule dynamique autour de x P M est l’ensemble B n p x, r q “ n 1

i 0 f ⁱ B p f ⁱ x, r q , o` u B p y, r q est une boule centr´ ee en y P M de rayon r pour la distance riemannienne sur M . Un p n, r q -recouvrement d’un ensemble A € M est un recouvrement de A par des p n, r q -boules dynamiques.

Si M est une vari´ et´ e riemannienne compacte, alors il existe plusieurs d´ efinitions d’entropie d’une mesure ergodique qui co¨ıncident.

pq Katok [Kat80] a montr´ e que pour tout 0   δ   1, l’entropie mesur´ ee co¨ıncide avec le taux de croissance exponentielle du cardinal minimal N µ p n, r, δ q d’un p n, r q -recouvrement d’un ensemble de µ-mesure plus grande que 1 δ, c’est-` a-dire

h ^δ _µ p f q : lim

r Ñ 0 lim inf

n Ñ8

1

n log N µ p n, r, δ q h µ p f q .

pq Brin et Katok [BK83] ont montr´ e que l’entropie mesur´ ee co¨ıncide aussi µ-presque partout avec le taux de d´ ecroissance exponentielle de la µ-mesure d’une boule dynamique, c’est-` a-dire

h ^loc _µ p f q : lim

r Ñ 0 lim inf

n Ñ8 1

n log µ p B n p x, r qq h µ p f q .

Une partie de ce travail concerne l’´ etude des relations entre h µ p f q , h ^δ _µ p f q et h ^loc _µ p f q . Nous donne- rons en particulier des conditions sur f pour que l’´ egalit´ e entre ces trois entropies soit toujours valable lorsque la vari´ et´ e n’est plus compacte.

Le point de d´ epart de notre travail a ´ et´ e d’essayer de comprendre dans quelle mesure l’in´ egalit´ e de Ruelle reste vraie dans le cas non compact. Rappelons que si µ satisfait log } df ¹ } P L ¹ p µ q , alors le th´ eor` eme de Oseledets [Ose68] nous assure que pour µ-presque tout x P M il existe une d´ ecomposition finie de T x M en T x M À l p x q

i 1 E i p x q , et des nombres t λ i p x qu ^l i ^{p x} 1 ^q (appel´ es exposants de Lyapounov), tels que pour tout vecteur v P E i p x qzt 0 u , on a

n lim Ñ8

1

n log } d x f ⁿ p v q} λ i p x q .

Ainsi, la dynamique de df : T M Ñ T M se d´ ecompose µ-presque partout en directions exponentiel- lement dilatantes ou contractantes. Observons en particulier que si } df ¹ } est born´ ee, alors toute mesure de probabilit´ e invariante admet une telle d´ ecomposition. ´ Etant donn´ e un diff´ eomorphisme C ¹ d’une vari´ et´ e compacte, Ruelle [Rue78] a montr´ e que l’entropie mesur´ ee du diff´ eomorphisme est major´ ee par le taux de croissance exponentielle sa diff´ erentielle. Plus pr´ ecis´ ement, pour toute me- sure de probabilit´ e f -invariante µ, l’entropie mesur´ ee de f est major´ ee par la somme des exposants de Lyapounov positifs, c’est-` a-dire

h µ p f q ¤

» ¸

λ

p x q¡ 0

λ j p x q dim p E j p x qq dµ p x q .

Si M est une vari´ et´ e non compacte et f : M Ñ M est un diff´ eomorphisme pour lequel toutes ces quantit´ es sont bien d´ efinies, la question de la validit´ e de cette in´ egalit´ e se pose donc naturellement.

A notre connaissance, cette approche n’a ´ ` et´ e consid´ er´ ee que dans le cadre d’un diff´ eomorphisme g : N Ñ N de classe C <sup>2</sup> d’une vari´ et´ e riemannienne compacte qui admet des singularit´ es. Plus pr´ ecis´ ement, si M € N est une sous-vari´ et´ e ouverte dense et S N z M est l’ensemble de singu- larit´ es de g, alors l’application f g | M est un C <sup>2</sup> -diff´ eomorphisme d’une vari´ et´ e riemannienne (pas forc´ ement compacte) sur son image. Dans [KSLP] les auteurs montrent que sous certaines hypoth` eses techniques ¹ , l’in´ egalit´ e de Ruelle par rapport ` a f est satisfaite.

Nous d´ emontrons trois r´ esultats principaux. Le premier est l’existence de contre-exemples ` a l’in´ egalit´ e de Ruelle. Le deuxi` eme ´ etablit que l’entropie v´ erifie cette in´ egalit´ e dans le cas particu- lier du flot g´ eod´ esique sur le fibr´ e unitaire tangent d’une vari´ et´ e riemannienne ` a courbure n´ egative pinc´ ee. Le dernier r´ esultat donne des conditions sur un diff´ eomorphisme abstrait pour que l’in´ egalit´ e de Ruelle soit satisfaite.

La derni` ere partie de cette th` ese est consacr´ ee au probl` eme de perte de masse d’une suite de mesures de probabilit´ e, c’est-` a-dire ` a l’´ etude de la masse d’une limite vague d’une telle suite.

Ce probl` eme a d´ ej` a ´ et´ e ´ etudi´ e r´ ecemment par Einsiedler, Lindenstrauss, Michel et Venkatesh [ELMV12] dans le cadre du flot g´ eod´ esique sur le fibr´ e unitaire tangent de la surface modulaire (nous renvoyons ` a [EK12],[Kad12] et [EKP15] pour d’autres r´ esultats li´ es ` a la perte de masse). Ils montrent

grosso modo

qu’une suite de mesures de grande entropie ne peut pas perdre trop de masse. De plus, la perte de masse se quantifie pr´ ecis´ ement en termes de la g´ eom´ etrie de la partie non compacte de la surface modulaire.

Dans le mˆ eme esprit, nous ´ etudions le probl` eme de perte de masse dans le cadre du flot g´ eod´ esique sur le fibr´ e unitaire tangent d’une vari´ et´ e de Schottky g´ en´ eralis´ ee (au sens de Dal’bo- Peign´ e [DP98]). Nous retrouvons le ph´ enom` ene qui apparaˆıt dans la surface modulaire ; la perte de masse est li´ ee pr´ ecis´ ement ` a la g´ eom´ etrie de la partie non compacte de la vari´ et´ e.

Enonc´ ´ e des r´ esultats. Nous donnons ici les ´ enonc´ es pr´ ecis de nos principaux r´ esultats dans un

1. Toutes ces hypoth` eses sont v´ erifi´ ees dans le cas o` u S est un ensemble vide. Dans ce cas la vari´ et´ e M est

compacte.

En ce qui concerne les diff´ erentes notions d’entropie, nous g´ en´ eralisons les r´ esultats de Katok [Kat80] et Brin-Katok [BK83] dans le cadre des diff´ eomorphismes d´ efinis sur de vari´ et´ es non com- pactes (voir aussi th´ eor` emes 1.32 et 1.42).

Th´ eor` eme A. Soit f : M Ñ M un diff´ eomorphisme C <sup>1</sup> d’une vari´ et´ e riemannienne compl` ete tel que } df } est born´ ee. Soit µ une mesure bor´ elienne de probabilit´ e f -invariante ergodique sur M . Alors pour tout 0   δ   1, on a

h µ p T q h ^δ _µ p T q h ^loc _µ p T q . Id´ ee de la preuve.

(i) Les in´ egalit´ es h _µ p T q ¤ h ^δ _µ p T q et h _µ p T q ¤ h ^loc _µ p T q d´ ecoulent respectivement de [Kat80] et [BK83].

(ii) L’in´ egalit´ e h µ p T q ¥ h ^loc _µ p T q s’obtient en suivant la m´ ethode de [Led13].

(iii) L’in´ egalit´ e h µ p T q ¥ h ^δ _µ p T q s’obtient en montrant l’in´ egalit´ e suivante (voir th´ eor` eme 1.41) h ^δ _µ p T q ¤ ess sup

x P K

r lim Ñ 0 lim sup

T

x P K

1

n log µ p B n p x, r qq ,

o` u K € M est un compact de mesure strictement positive et 1 µ p K q ²   δ   1, plus le fait que le terme de droite est major´ e par h µ p T q .

Nous proposons encore une autre d´ efinition d’entropie qui nous sera tr` es utile plus tard (voir d´ efinition 1.37 et th´ eor` eme 1.40). Notons

vol

le volume riemannien sur M . L’entropie rieman- nienne h ^vol _µ p f q est d´ efinie par

h ^vol _µ p f q sup

K

ess sup

x P K

r lim Ñ 0 lim sup

f

x P K

1

n log vol p B n p x, r qq ,

o` u le supremum est pris sur tous les sous-ensembles compacts de M de µ-mesure strictement po- sitive. Observons que l’unique endroit dont la mesure µ apparaˆıt dans la d´ efinition de h ^vol _µ p f q est dans le supremum essentiel.

Th´ eor` eme B. Soient f : M Ñ M un diff´ eomorphisme C <sup>1</sup> d’une vari´ et´ e riemannienne compl` ete et µ une mesure bor´ elienne de probabilit´ e f -invariante ergodique. Alors

h _µ p f q ¤ h ^vol _µ p f q .

Id´ ee de la preuve. L’in´ egalit´ e d´ esir´ ee d´ ecoule du th´ eor` eme A et d’une estimation astucieuse, ` a partir des volumes des boules dynamiques, du cardinal minimal N _µ p n, r, δ q d’un p n, r q -recouvrement d’un ensemble de mesure plus grande que 1 δ.

La non-compacit´ e d’une vari´ et´ e riemannienne se traduit par l’existence de syst` emes dynamiques lisses qui ne satisfont pas l’in´ egalit´ e de Ruelle (voir aussi th´ eor` eme 2.5).

Th´ eor` eme C. Soit h Ps 0, 8s . Alors il existe une vari´ et´ e riemannienne non compacte p M, g q , un diff´ eomorphisme f : M Ñ M de classe C ⁸ et une mesure bor´ elienne µ de probabilit´ e f-invariante, tels que :

2. Certains r´ esultats sont ´ enonc´ es de mani` ere plus simple pour ´ eviter les d´ etails techniques dans cette introduc-

tion.

(1) l’entropie mesur´ ee h µ p f q satisfait h µ p f q h,

(2) les applications x ÞÑ log } d x f } et x ÞÑ log } d x f ¹ } sont µ-int´ egrables, et (3) les exposants de Lyapounov sont tous µ-presque partout nuls.

En particulier, on a 0

» ¸

λ

p x q¡ 0

λ _j p x q dim p E _j p x qq dµ p x q   h _µ p f q ¤ 8 .

Id´ ee de la preuve.

(i) D’apr` es [AOW85, Theorem 2] il existe une transformation d’´ echange d’intervalles d´ enombrable T : I Ñ I d’entropie mesur´ ee h m p T q h, o` u I r 0, 1 r et m est la mesure de Lebesgue sur I.

(ii) On construit un espace topologique M ` a partir d’un flot de suspension au-dessus de p I, T q . La mesure de probabilit´ e invariante consid´ er´ ee sur M est la mesure de Lebesgue normalis´ ee restreinte ` a M .

(iii) La fonction plafond de la suspension τ : I Ñ r 1, 8s est lisse par morceaux, infinie aux discontinuit´ es de T , avec singularit´ es logarithmiques. Elle satisfait

1 n log

_{n 1}

¸

i 0

| τ ¹ p T ⁱ x q|

Ñ 0

m-presque partout lorsque n Ñ 8 . Cela signifie que la croissance de la distorsion du flot de suspension est sous-exponentielle.

(iv) L’espace topologique M admet une structure de vari´ et´ e lisse et une

bonne

3 m´ etrique riemannienne.

(v) Le temps 1 du flot de suspension satisfait l’hypoth` ese du th´ eor` eme d’Oseledets pour la m´ etrique construite. De plus, la propri´ et´ e du plafond ci-dessus permet de montrer que les exposants de Lyapounov associ´ es ` a cette m´ etrique sont tous nuls presque partout.

(vi) D’apr` es la formule d’Abramov il existe un temps du flot de suspension d’entropie mesur´ ee

´

egale ` a h alors que les exposants de Lyapounov de cette application sont presque partout nuls.

Nous d´ efinissons des boules dynamiques pour la dynamique de df : T M Ñ T M de mani` ere analogue aux boules dynamiques pour la dynamique de f . Pour tout r´ eel r ¡ 0 suffisamment petit et tout entier n ¥ 1, la p n, r q -boule dynamique lin´ earis´ ee centr´ ee en x P M est l’ensemble C n p x, r q d´ efini par

C _n p x, r q exp _{x n 1}

£

i 0

p d _x f ⁱ q ¹ p B _f

x p 0, r qq

,

o` u B x p 0, r q € T x M est une boule centr´ ee en 0 P T x M de rayon r par rapport ` a la m´ etrique riemannienne. Le th´ eor` eme A dit que l’entropie mesur´ ee peut ˆ etre interpr´ et´ ee comme le taux de d´ ecroissance exponentielle de la mesure d’une boule dynamique g´ en´ erique. Par ailleurs, le th´ eor` eme D ci-dessous permet de retrouver la somme des exposants de Lyapounov positifs comme le taux de d´ ecroissance exponentielle des volumes des boules dynamiques lin´ earis´ ees. Autrement dit, la somme des exposants de Lyapounov positifs peut ˆ etre interpr´ et´ ee comme une notion d’entropie pour la dynamique de df (voir th´ eor` eme 2.31).

3. L’adjectif

bonne

vient du fait que la m´ etrique riemannienne construite est localement comparable avec

une m´ etrique euclidienne. Ainsi, la norme de la diff´ erentielle du temps unit´ e du flot de suspension est plus simple ` a

estimer. En effet, elle est comparable avec la distorsion | r

| du plafond (voir proposition 2.18).

P lim

r Ñ 0 lim inf

n Ñ8 1

n log vol p C n p x, r qq lim

r Ñ 0 lim sup

n Ñ8 1

n log vol p C n p x, r qq ¸

λ

p x q¡ 0

λ _j p x q dim p E _j p x qq .

Id´ ee de la preuve. Le volume d’une boule dynamique lin´ earis´ ee est estim´ e ` a partir du volume des parall´ el´ epip` edes dans T x M et du fait qu’il existe des directions dilatantes et contractantes pour la dynamique de df (voir lemme 2.33).

Le th´ eor` eme D donne envie de comparer les limites asymptotiques avec l’entropie riemannienne puisque elles sont similaires ` a h ^vol _µ pour df au lieu de f . En fait, lorsque les boules dynamiques

!

classiques

sont uniform´ ement comparables avec les boules dynamiques lin´ earis´ ees, on obtient l’in´ egalit´ e de Ruelle (voir aussi th´ eor` eme 2.37) :

Th´ eor` eme E. Soit f : M Ñ M un diff´ eomorphisme C <sup>1</sup> d’une vari´ et´ e riemannienne compl` ete tel que } df } est born´ ee. Soit µ une mesure bor´ elienne de probabilit´ e f -invariante sur M . S’il existe une constante 0   ρ   1 tel que C n p x, ρr q € B n p x, r q pour tout x P M , alors

h _µ p f q ¤

» ¸

λ

p x q¡ 0

λ _j p x q dim p E _j p x qq dµ p x q .

Id´ ee de la preuve. La conclusion d´ ecoule des th´ eor` emes B et D.

La condition C n p x, ρr q € B _n p x, r q dans l’´ enonc´ e du th´ eor` eme E est tr` es difficile ` a v´ erifier, mˆ eme pour un diff´ eomorphisme Anosov d’une vari´ et´ e riemannienne compacte. Dans un cadre plus parti- culier, celui du flot g´ eod´ esique sur le fibr´ e unitaire tangent d’une vari´ et´ e riemannienne ` a courbure n´ egative pinc´ ee, nous avons obtenu l’in´ egalit´ e de Ruelle par une autre m´ ethode (voir aussi th´ eor` eme 3.4).

Th´ eor` eme F. Soit X une vari´ et´ e riemannienne compl` ete de dimension au moins 2 et ` a courbures sectionnelles pinc´ ees b ² ¤ K ¤ 1, avec b ¡ 1. Supposons les d´ eriv´ ees partielles des courbures sectionnelles uniform´ ement born´ ees. Alors pour toute mesure de probabilit´ e p g t q -invariante µ sur T ¹ X , on a

h µ p g q ¤

» ¸

λ

p v q¡ 0

λ j p v q dim p E j p v qq dµ p v q . Id´ ee de la preuve.

(i) D’abord, nous utilisons le th´ eor` eme A pour majorer l’entropie mesur´ ee ` a travers le volume de boules dynamiques µ-typiques.

(ii) Ensuite, la propri´ et´ e de Gibbs de la mesure de Liouville permet d’estimer le volume d’une boule dynamique en termes des moyennes ergodiques du jacobien du flot g´ eod´ esique dans les directions instables (voir proposition 3.3).

(iii) Finalement, les moyennes ergodiques du jacobien convergent vers la somme des exposants de Lyapounov positifs (voir proposition 3.2).

Une fois que l’in´ egalit´ e de Ruelle est obtenue, il est int´ eressant d’´ etudier le cas d’´ egalit´ e. Dans le cas d’un diff´ eomorphisme f : M Ñ M de classe C ^{1 α} d’une vari´ et´ e riemannienne compacte, qui laisse invariante une mesure de probabilit´ e µ, nous rappelons les r´ esultats suivants.

pq Y. Pesin [Pes77] a montr´ e que lorsque µ est une mesure absolument continue par rapport ` a

la mesure riemannienne sur M , alors l’entropie de µ co¨ıncide avec la somme des exposants

de Lyapounov positifs. Cette formule est connue comme

formule de Pesin

.

pq F. Ledrappier et J.-M. Strelcyn [LS82] ont g´ en´ eralis´ e le cas d’´ egalit´ e aux mesures absolument continues sur les vari´ et´ es instables.

pq F. Ledrappier [Led84a] a montr´ e qu’une mesure de probabilit´ e f -invariante hyperbolique µ v´ erifie la formule de Pesin si et seulement si elle a des mesures absolument continues sur les vari´ et´ es instables.

pq F. Ledrappier et L.-S. Young [LY85a] ont ´ etendu l’´ equivalence pr´ ec´ edente ` a n’importe quelle mesure de probabilit´ e f -invariante.

Nous prenons inspiration des d´ emonstrations des r´ esultats ci-dessus pour obtenir un r´ esultat analogue pour le flot g´ eod´ esique (voir aussi th´ eor` eme 3.10).

Th´ eor` eme G. Soit X une vari´ et´ e riemannienne compl` ete de dimension au moins 2 et ` a courbures sectionnelles pinc´ ees b ² ¤ K ¤ 1, avec b ¡ 1. Supposons les d´ eriv´ ees partielles des courbures sectionnelles uniform´ ement born´ ees. Soit µ une mesure bor´ elienne de probabilit´ e p g _t q -invariante sur T ¹ X. Alors µ a des mesures conditionnelles absolument continues sur les vari´ et´ es instables, si et seulement si, on a

h µ p g q

» ¸

λ

p v q¡ 0

λ j p v q dim p E j p v qq dµ p v q .

Id´ ee de la preuve. Nous utilisons les m´ ethodes de Ledrappier-Strelcyn [LS82], Ledrappier [Led84a]

et Ledrappier-Young [LY85a] adapt´ ees au cadre du flot g´ eod´ esique en suivant les id´ ees de Otal- Peign´ e [OP04] et Paulin-Pollicott-Schapira [PPS12].

Avant de d´ ecrire nos derniers r´ esultats, rappelons en quoi consiste le probl` eme de perte de masse. Soit X un espace topologique s´ epar´ e localement compact. Une suite de mesures p ν n q sur X converge vaguement vers une mesure ν, not´ e ν n á ν, si pour toute fonction continue ` a support compact f P C _c ⁰ p X q , on a

n lim Ñ8

»

f dν _n Ñ

» f dν.

Observons que si X est compact, alors la topologie de la convergence vague co¨ıncide avec celle de la convergence ´ etroite ⁴ . En particulier, toute limite vague d’une suite de mesures de probabilit´ e sur X est une mesure de probabilit´ e (donc la masse de toute limite vague est ´ egale ` a 1). En revanche, si X n’est plus compact, alors la masse d’une telle limite vague est dans l’intervalle r 0, 1 s .

Nous parlons du probl` eme de perte de masse lorsque nous essayons d’estimer ou calculer la masse d’une limite vague d’une suite de mesures de probabilit´ e. La derni` ere partie de notre travail consiste pr´ ecis´ ement ` a estimer la masse d’une limite vague d’une suite de mesures de probabilit´ e invariantes par le flot g´ eod´ esique sur le fibr´ e unitaire tangent d’une vari´ et´ e riemannienne ` a courbure n´ egative pinc´ ee.

Consid´ erons d’abord le flot g´ eod´ esique sur T ¹ S P SL p 2, Zqz P SL p 2, Rq , o` u S est la surface modulaire. D’apr` es [ELMV12, Theorem 5.1], si p ν n q est une suite de mesures de probabilit´ e p g t q - invariantes sur T ¹ S telle que h ν

p g q ¥ c ¡ 1 { 2, alors toute limite vague ν de p ν n q satisfait ν p T ¹ S q ¥ 2c 1. En particulier, le nombre 1 { 2 est une sorte de valeur critique du point de vue de la non-perte de masse. Nous montrons ce mˆ eme type de ph´ enom` ene dans le cadre de vari´ et´ es riemanniennes dites de type pq -Schottky (voir d´ efinition 4.37). Tout d’abord, introduisons quelques notations.

Soient X r une vari´ et´ e riemannienne compl` ete simplement connexe ` a courbures sectionnelles n´ egatives pinc´ ees et Γ   Isom p r X q un sous-groupe Kleinien d’isom´ etries de X r . Notons X r X { Γ la vari´ et´ e riemannienne quotient. D’apr` es Otal-Peign´ e [OP04], lorsque les d´ eriv´ ees partielles des courbures sectionnelles sont uniform´ ement born´ ees, l’entropie topologique du flot g´ eod´ esique sur T <sup>1</sup> X co¨ıncide avec l’exposant critique δ <sub>Γ</sub> de Γ, c’est-` a-dire

h _top p g q δ _Γ : lim sup

R Ñ8

1

R log # t γ P Γ : d p o, γo q ¤ R u , o` u o P r X est n’importe quel point de X r .

4. La topologie de la convergence ´ etroite consiste ` a consid´ erer les fonctions continues born´ ees au lieu des fonctions

continues ` a support compact.

centr´ ee en un point fixe parabolic, par l’action d’un sous-groupe parabolique fixant ce point.

Notons δ _P,max le plus grand exposant critique parmi les sous-groupes paraboliques de Γ, c’est-

` a-dire

δ _P ,max max t δ _P : P sous-groupe parabolique de Γ u .

Th´ eor` eme H. Soit X r X { Γ une vari´ et´ e riemannienne de type ( )-Schottky. Alors pour tout h ¡ δ _P,max il existe une constante m m p h q ¡ 0 avec la propri´ et´ e suivante : Si p ν _n q est une suite de mesures de probabilit´ e p g _t q -invariantes ergodiques sur T ¹ X satisfaisant h _ν

p g q ¥ h, alors pour toute limite vague ν de p ν _n q , on a

ν p T ¹ X q ¥ m.

De plus, la valeur δ _P,max est optimale dans le sens suivant : il existe une suite p ν n q de mesures de probabilit´ e p g t q -invariantes sur T ¹ X telle que

n lim Ñ8 h ν

p g q δ _P,max et ν n á 0.

Id´ ee de la preuve.

(i) Nous montrons un r´ esultat sur la non-perte de masse pour le cas d’un flot de suspension au-dessus d’un d´ ecalage de Markov d´ enombrable.

(ii) Le flot g´ eod´ esique est cod´ e comme un flot de suspension au-dessus d’un d´ ecalage de Markov d’apr` es Dal’bo-Peign´ e [DP98].

(iii) La non-perte de masse pour le flot g´ eod´ esique est une cons´ equence des deux points pr´ ec´ edents.

(iv) L’optimalit´ e de δ _P,max suit de la construction g´ eom´ etrique d’une suite de groupes Kleiniens dont les exposants critiques convergent vers δ _{P ,max} . Les mesures d’entropie maximal du flot g´ eod´ esique associ´ ees projet´ ees sur T ¹ X conservent l’entropie alors que elles convergent vaguement vers la mesure 0.

Le th´ eor` eme H (voir aussi th´ eor` eme 4.40) est donc analogue au cas de la surface modulaire au sens que l’exposant critique parabolique maximal repr´ esent aussi la valeur critique de la non-perte de masse.

Plan de la th` ese. Le corps de cette th` ese se d´ ecompose en 4 chapitres.

( ) Dans le chapitre 1 nous d´ ecrivons les principales notions d’entropie et ses respectives relations.

Nous d´ emontrons les th´ eor` emes A et B.

( ) Dans le chapitre 2 nous nous consacrons ` a l’in´ egalit´ e de Ruelle pour un diff´ eomorphisme C <sup>1</sup> abstrait d’une vari´ et´ e non compacte. Nous d´ emontrons les th´ eor` emes C, D et E.

( ) Dans le chapitre 3 nous ´ etudions le cas du flot g´ eod´ esique et la validit´ e de l’in´ egalit´ e de Ruelle et la formule de Pesin pour ce syst` eme dynamique. Nous d´ emontrons les th´ eor` emes F et G.

( ) Dans le chapitre 4 nous travaillons sur le probl` eme de la perte de masse dans le cadre d’un flot de suspension au-dessus d’un d´ ecalage de Markov d´ enombrable et du flot g´ eod´ esique sur le fibr´ e unitaire tangent d’une vari´ et´ e de type ( )-Schottky. Nous d´ emontrons le th´ eor` eme H.

Finalement, ` a la fin du texte nous mettons une annexe qui contient une br` eve introduction sur

quelques concepts basiques de la g´ eom´ etrie en courbure n´ egative.

Remarques. La plupart des r´ esultats de cette th` ese sont r´ edig´ es dans 3 articles soumis par publi- cation [Riq15], [Riq16] et [IRV15].

Le th´ eor` eme C est d´ emontr´ e dans [Riq15]. Les th´ eor` emes A, B, D, E, F et G sont d´ emontr´ es dans

[Riq16]. Finalement, le chapitre 4 (donc le th´ eor` eme H) se trouve dans [IRV15], en collaboration

avec Godofredo Iommi et Anibal Velozo .

Chapitre 1

Entropies

Dans ce chapitre nous nous int´ eressons ` a la complexit´ e des syst` emes dynamiques. Du point de vue de la mesure, nous ´ etudierons l’entropie au sens de Kolmogorov-Sina¨ı, aussi appel´ ee entropie mesur´ ee. Du point de vue topologique, nous ´ etudierons la complexit´ e d’une transformation continue au sens de Bowen sur un espace topologique m´ etrisable. En nous inspirant par des r´ esultats de Katok et Brin-Katok, nous verrons que ces notions sont ´ etroitement li´ ees les unes aux autres.

1.1 Concepts basiques

Commen¸ cons par rappeler plusieurs concepts basiques en th´ eorie ergodique. Un syst` eme dyna- mique mesur´ e est un 4-uplet p X, B, µ, T q , o` u p X, B, µ q est un espace de Lebesgue et T : X Ñ X est une transformation mesurable qui pr´ eserve la mesure µ. Pour ´ etudier la dynamique de T , il est toujours int´ eresant de travailler sur le concept d’ergodicit´ e.

D´ efinition 1.1. Un syst` eme dynamique mesur´ e p X, B, µ, T q est dit ergodique si tout ensemble T -invariant A P B satisfait µ p A q P t 0, 1 u .

L’avantage des syst` emes dynamiques ergodiques est le fait que tout syst` eme dynamique mesur´ e se d´ ecompose en syst` emes dynamiques ergodiques grˆ ace au th´ eor` eme de d´ ecomposition ergodique (voir par exemple [EW11, Theorem 6.2]).

Th´ eor` eme 1.2 (Th´ eor` eme de d´ ecomposition ergodique). Soit p X, B, µ, T q un syst` eme dynamique mesur´ e. Alors il existe une famille t µ x u x P X de mesures de probabilit´ e T-invariantes ergodiques sur X, telle que

µ

»

µ _x dµ p x q .

Le long de cette th` ese nous utiliserons plusieurs propri´ et´ es ´ equivalentes ` a l’ergodicit´ e. Nous renvoyons ` a [Wal82, Section 1.5] pour des d´ emonstrations.

Proposition 1.3 (Ergodicit´ e). Soit p X, B, µ, T q un syst` eme dynamique mesur´ e. Alors les affirma- tions suivantes sont ´ equivalentes

(1) Le syst` eme dynamique p X, B, µ, T q est ergodique.

(2) Toute fonction f P L ^p p µ q , avec p ¥ 1, qui est T-invariante, est constante µ-presque partout.

(3) Pour tout A, B P B, on a

n lim Ñ8

1 n

n ¸ 1 i 0

µ p A X T ⁱ p B qq µ p A q µ p B q . (4) Pour tout f, g P L ² p µ q , on a

n lim Ñ8

1 n

n ¸ 1 i 0

»

f p g T ⁱ q dµ

» f dµ

» gdµ

.

L’une des pierre fondamentales dans la th´ eorie ergodique est le th´ eor` eme ergodique de Birkhoff (voir [Wal82, Theorem 1.14]). Ses cons´ equences seront d´ esormais largement utilis´ ees.

Th´ eor` eme 1.4 (Th´ eor` eme ergodique de Birkhoff). Soient p X, B, µ, T q un syst` eme dynamique mesur´ e et f P L ¹ p µ q . Alors

1 n

n ¸ 1 i 0

f p T ⁱ x q a.e.

ÝÑ f , avec f P L ¹ p µ q . De plus, la fonction f est T -invariante et

»

f dµ

» f dµ.

En particulier, le th´ eor` eme ergodique de Birkhoff nous dit que si µ est une mesure ergodique, alors les moyennes ergodiques _n ¹ ° n 1

i 0 f p T ⁱ x q convergent vers une constante µ-presque partout.

Cette constante est ´ egale ` a ³

f dµ d’apr` es la derni` ere conclusion du th´ eor` eme.

1.2 Entropie mesur´ ee et entropie topologique

Dans cette section nous rappelons rapidement les notions d’entropie mesur´ ee et d’entropie topologique. La premi` ere est l’objet par excellence ` a consid´ erer pour quantifier la complexit´ e d’un syst` eme dynamique mesur´ e. Toutes les autres notions d’entropie au sens de la mesure, qui seront plus tard d´ efinies, lui seront compar´ ees. La deuxi` eme est ind´ ependante de la premi` ere (ne d´ epend que de la topologie) et on ne l’utilisera que dans le Chapitre 4. Par contre, on va tirer parti de sa d´ efinition pour introduire les autres notions d’entropie en mesure, particuli` erement les δ-entropies de Katok (voir Section 1.3).

1.2.1 Entropie mesur´ ee

Soit p X, B, µ q un espace de Lebesgue. Une collection finie ou d´ enombrable P d’ensembles mesu- rables est une partition measurable si les ´ el´ ements de P sont deux ` a deux disjoints et leur r´ eunion est un ensemble de µ-mesure pleine. On note P p x q l’´ el´ ement de P contenant un point x P X . D´ efinition 1.5. Soit P une partition mesurable finie ou d´ enombrable de X . L’entropie de P , not´ ee H µ p P q , est d´ efinie par

H _µ p P q ¸

P P P

µ p P q log µ p P q .

De mani` ere analogue, on peut d´ efinir l’entropie d’une partition relativement ` a une autre par- tition. Soit Q une partition measurable de X . Si x P X satisfait µ p Q p x qq ¡ 0, on note µ _{Q p x q} la mesure conditionnelle de µ sur l’atome Q p x q , d´ efinie par

µ _{Q p} x q 1

µ p Q p x qq µ | Q p x q .

D´ efinition 1.6. Soient P et Q deux partitions mesurables. L’entropie de P relativement ` a Q, not´ ee H _µ p P | Q q , est d´ efinie par

H _µ p P | Q q ¸

Q P Q

µ p Q q H _µ

p P q ¸

P P P

¸

Q P Q

µ p P X Q q log µ p P X Q q µ p Q q .

Sur l’ensemble de partitions on peut mettre un ordre partiel. On dit que P est plus fine que

Q, not´ ee Q ¨ P, si pour µ-presque tout x P X , on a P p x q € Q p x q . ` A partir de deux partitions

mesurables arbitraires on peut toujours trouver une partition plus fine. Soit P _ Q la partition

mesurable de X d´ efinie comme ´ etant la partition dont les ´ el´ ements sont toutes les intersections

1.2. ENTROPIE MESUR ´ EE ET ENTROPIE TOPOLOGIQUE

possibles entre les ´ el´ ements de P et Q. Par construction, on a bien que P , Q ¨ P _ Q. Si l’on a une collection finie de partitions de X, disons t P 1 , ..., P n u , alors on note š n

i 1 P i la partition ª n

i 1

P i P 1 _ P 2 _ ... _ P n .

Soit T : X Ñ X une transformation mesurable. Si P est une partition mesurable finie ou d´ enombrable, alors la partition T ⁱ P t T ⁱ P : P P P u l’est aussi. Pour simplifier, on note P ⁿ la partition P ⁿ š n 1

i 0 T ⁱ P .

Proposition 1.7. Soit p X, B, µ, T q un syst` eme dynamique mesur´ e. Alors pour toute partition mesurable P d’entropie finie, la limite

n lim Ñ8

1

n H µ p P ⁿ q existe.

La proposition ci-dessus permet de d´ efinir l’entropie d’une transformation relativement ` a une par- tition (voir [Wal82, Corollary 4.9.1]).

D´ efinition 1.8. Soit p X, B, µ, T q un syst` eme dynamique mesur´ e. Alors pour toute partition me- surable P d’entropie finie, on d´ efinit l’entropie de T relativement ` a P , not´ ee h _µ p T, P q , par

h µ p T, P q lim

n Ñ8

1

n H µ p P ⁿ q .

Parfois il est pr´ ef´ erable de manipuler l’entropie en l’interpr´ etant comme la limite d’entropies conditionnelles (voir [Wal82, Theorem 4.14]).

Proposition 1.9. Soit p X, B, µ, T q un syst` eme dynamique mesur´ e. Alors pour toute partition mesurable P d’entropie finie, on a

h µ p T, P q lim

n Ñ8 H µ

P

ª ⁿ

i 1

T ⁱ P

.

Pour les syst` emes dynamiques ergodiques il est plus facile de voir l’entropie comme une valeur qui permet de mesurer la complexit´ e d’un syst` eme dynamique. L’intuition nous dit que les atomes d’une partition P ⁿ sont

tr` es petits

en mesure s’il y a plus de chaos. Cette intuition est confirm´ ee par le th´ eor` eme de Shannon-McMillan-Breiman.

Th´ eor` eme 1.10 (Shannon-McMillan-Breiman). Soient p X, B, µ, T q un syst` eme dynamique mesur´ e ergodique et P une partition mesurable de X d’entropie finie. Alors, pour µ-presque tout x P X , on a

h µ p T, P q lim

n Ñ8 1

n log µ p P ⁿ p x qq .

Maintenant qu’on comprend mieux d’o` u vient la notion d’entropie d’une transformation rela- tivement ` a une partition, on peut d´ efinir l’entropie d’une transformation.

D´ efinition 1.11. Soit p X, B, µ, T q un syst` eme dynamique mesur´ e. L’entropie mesur´ ee de T , not´ ee h _µ p T q , est d´ efinie par

h _µ p T q sup t h _µ p T, P q : P partition finie u .

Calculer l’entropie ` a partir de la d´ efinition est en g´ en´ eral assez compliqu´ e. Le r´ esultat suivant nous sera tr` es utile dans la suite. Nous renvoyons ` a [Wal82, Th´ eor` eme 4.22] pour une d´ emonstration.

Notons σ p P q la σ-alg` ebre engrendr´ ee par la partition P.

Th´ eor` eme 1.12. Soient p X, B, µ, T q un syst` eme dynamique mesur´ e et t P _n u n ¥ 1 une suite de par- titions finies telle que P 1 ¤ P 2 ¤ ... ¤ P n ¤ ... et σ p ”

n P n q B p mod 0 q . Alors h µ p T q lim

n Ñ8 h µ p T, P n q .

Nous finissons cette section par un r´ esultat de Jacobs [Wal82, Th´ eor` eme 8.4]. Il nous dit que pour mesurer la complexit´ e d’une syst` eme dynamique, il suffit de travailler sur les composantes ergodiques. Plus pr´ ecis´ ement, on a

Th´ eor` eme 1.13 (Jacobs). Soit p X, B, µ, T q un syst` eme dynamique mesur´ e. Si µ ³

µ _x dµ p x q est la d´ ecomposition ergodique de µ, alors

h µ p T q

»

h µ

dµ p x q .

1.2.2 Entropie topologique

Consid´ erons maintenant un espace topologique m´ etrisable ¹ X et T : X Ñ X une transforma- tion continue. Soit d une distance sur X qui induit la topologie de X. On va ´ etudier la dynamique de T relativement ` a d en ´ etudiant la

taille

des ensembles de points qui restent proche le long du temps. Pour tout n ¥ 0 on note d n la distance dynamique de Bowen d´ efinie par

d n p x, y q : max

0 ¤ i ¤ n 1 d p T ⁱ x, T ⁱ y q ,

pour tous x, y P X. Pour tout x P X on notera B n p x, r q la boule de rayon r centr´ ee en x pour la distance d n . Une telle boule s’appelle p n, r q -boule dynamique (ou p n, r q -boule de Bowen).

Soit A € X un ensemble mesurable. Un p n, r q -recouvrement de A est un recouvrement de A par des p n, r q -boules dynamiques. Soit K € X un ensemble compact. On note N p n, r, K q le plus petit cardinal d’un p n, r q -recouvrement de K. La continuit´ e de T implique que les boules dynamiques sont des ensembles ouverts. En particulier, puisque K est compact, le cardinal N p n, r, K q est fini.

D´ efinition 1.14. Soit T : X Ñ X une transformation continue d’un espace topologique. Pour toute distance d qui induit la topologie de X , on d´ efinit l’ entropie de T relativement ` a la distance d, not´ ee h ^d p T q , par

h ^d p T q sup

K

r lim Ñ 0 lim sup

n Ñ8

1

n log N p n, r, K q ,

o` u le supremum est pris sur tous les sous-ensembles compacts de X. L’ entropie topologique de T , not´ ee h top p T q , est d´ efinie par

h top p T q inf

d h ^d p T q ,

o` u l’infimum est pris sur toutes les distances d qui induisent la topologie de X .

Si T : X Ñ X est une transformation continue d’un espace compact, alors la valeur h ^d p T q est ind´ ependante de la distance et le supremum dans la d´ efinition est atteint pour le compact K X.

Si X n’est plus compact, alors le supremum des entropies h ^d p T q est en g´ en´ eral infini, ce qui motive consid´ erer tout simplement l’infimum (voir [HK95]).

Th´ eor` eme 1.15 (Principe variationnel). Soit T : X Ñ X une transformation continue d’un espace topologique localement compact. Alors

h _top p T q sup

µ

h _µ p T q ,

o` u le supremum est pris parmi toutes les mesures de probabilit´ e T -invariantes sur X .

1.3 Entropies de Katok

Le principe variationnel nous dit que l’entropie mesur´ ee est inf´ erieure ou ´ egale ` a l’entropie to- pologique. Dans cette section on se base sur la d´ efinition d’entropie topologique pour d´ efinir une nouvelle notion d’entropie, qui d´ epend de la mesure et la distance, et qui est aussi un majorant de l’entropie mesur´ ee. Nous remarquons que cette nouvelle entropie a ´ et´ e d´ efinie par Katok dans

1. Dans ce manuscrit nous supposons toujours que cet espace est polonais.

1.3. ENTROPIES DE KATOK

[Kat80] dans le cas o` u X est un espace m´ etrique compact.

Soient X un espace topologique m´ etrisable, d une distance qui d´ efinit la topologie sur X, T : X Ñ X une application continue et µ une mesure bor´ elienne de probabilit´ e T -invariante sur X.

D´ efinition 1.16. Si K est un sous-ensemble compact de X, on note

(i) N p n, r, K q le cardinal minimal d’un recouvrement de K par des p n, r q -boules dynamiques centr´ ees en K, et

(ii) S p n, r, K q le cardinal maximal d’un ensemble p n, r q -s´ epar´ e dans K, c’est-` a-dire un sous- ensemble de K dont deux ´ el´ ements distincts quelconques sont ` a d _n -distance plus grande que r.

Lemme 1.17. Pour tout K € X compact, on a

N p n, r, K q ¤ S p n, r, K q ¤ N p n, r { 2, K q .

D´ emonstration. Soit E un ensemble p n, r q -s´ epar´ e maximal dans K et F un recouvrement minimal de K par des p n, r { 2 q -boules centr´ ees dans K. Remarquons d’abord que t B n p x, r q , x P E u est un recouvrement de K, ce qui entraˆıne la premi` ere in´ egalit´ e. En effet, s’il existe y P K tel que d n p x, y q ¥ r pour tout x P E, alors l’ensemble E Y t y u est un ensemble p n, r q -s´ epar´ e dans K, ce qui contredit la maximalit´ e de E. La deuxi` eme in´ egalit´ e d´ ecoule du fait que tout ´ el´ ement dans E appartient au plus ` a une seule boule de F . Autrement dit, on a #E ¤ #F.

Pour δ ¡ 0 on note N _µ p n, r, δ q le nombre minimal de p n, r q -boules qui recouvrent un ensemble de µ-mesure plus grande que 1 δ. Remarquons que ce nombre est fini puisque pour tout compact K tel que µ p K q ¡ 1 δ, le cardinal minimal N p n, r, K q d’un p n, r q -recouvrement fini de K est un majorant de N p n, r, δ q .

D´ efinition 1.18. Soit δ ¡ 0. Les δ-entropies inf´ erieure et sup´ erieure de Katok, not´ ees respective- ment h ^δ _µ p T q et h ^δ _µ p T q , sont d´ efinies par

h ^δ _µ p T q lim

r Ñ 0 lim inf

n Ñ8

1

n log N _µ p n, r, δ q et

h ^δ _µ p T q lim

r Ñ 0 lim sup

n Ñ8

1

n log N µ p n, r, δ q .

Nous d´ ecrivons bri` evement les relations entre les δ-entropies de Katok pour diff´ erentes valeurs de δ Ps 0, 1 r .

Proposition 1.19. Soient 0   δ 2 ¤ δ 1   1. Alors

h ^δ _µ

p T q ¤ h ^δ _µ

p T q et h ^δ _µ

p T q ¤ h ^δ _µ

p T q .

D´ emonstration. Posons B i t B P B : µ p B q ¡ 1 δ i u , pour i 1, 2. D’apr` es la d´ efinition de B i , on a B 2 € B 1 . En particulier,

h ^δ _µ

p T q lim

r Ñ 0 lim inf

n Ñ8

1

n log min t N p n, r, B q : B P B 1 u

¤ lim

r Ñ 0 lim inf

n Ñ8

1

n log min t N p n, r, B q : B P B 2 u h ^δ _µ

p T q

L’autre in´ egalit´ e est d´ emontr´ ee de mani` ere analogue.

Dans [Kat80] A. Katok montrait que, lorsque X est un espace topologique compact, les δ- entropies co¨ıncident avec l’entropie mesur´ ee. L’unique endroit de la preuve qui n´ ecessite la compa- cit´ e de X est la preuve de l’in´ egalit´ e h ^δ _µ p T q ¤ h µ p T q . Ce fait a ´ et´ e aussi remarqu´ e par B. Gurevich et S. Katok dans [GK01] pour le calcul de l’entropie topologique du flot g´ eod´ esique sur le fibr´ e unitaire tangent de la surface modulaire.

Th´ eor` eme 1.20 (Katok). Soient T : X Ñ X une transformation continue d’un espace m´ etrique complet et µ une mesure bor´ elienne de probabilit´ e T -invariante ergodique. Alors, pour tout 0   δ   1, on a

h _µ p T q ¤ h ^δ _µ p T q .

Remarque 1.21. Une preuve combinatoire analogue est faite dans [HK95] pour montrer l’in´ egalit´ e h _µ p T q ¤ h ^d p T q sur un espace m´ etrique complet.

Avant de donner la preuve de Katok du th´ eor` eme 1.20 nous avons besoin de quelques r´ esultats techniques. Soit A un alphabet ` a N symboles. Pour n ¥ 1 consid´ erons l’ensemble de mots de longueur n dans l’alphabet A d´ efini par

Ω N,n t ω p ω 0 , ..., ω n 1 q : ω i P A, i 0, ..., n 1 u La m´ etrique de Hamming ρ ^H _N,n sur l’espace Ω N,n est d´ efinie par

ρ ^H _N,n p ω, ω q 1 n

n ¸ 1 i 0

p 1 δ _ω

_,ω

q o` u δ k,l est le symbole de Kronecker δ k,l ,

δ _k,l

#

0, si k l 1, si k l.

Pour ω P Ω _N,n et r ¡ 0, on note B ^H p ω, r q la r-boule ferm´ ee centr´ ee en ω pour la m´ etrique ρ ^H _N,n . Un argument combinatoire montre que le nombre B p r, N, n q de points dans B ^H p ω, r q ne d´ epend que de r, N, n, et sa valeur est ´ egale ` a

B p r, N, n q ^r

nr s

¸

j 0

p N 1 q ^j n

j

si 0   r   ^N _N ¹ . De plus, il satisfait

Proposition 1.22. Si 0   r   min t ^N _N ¹ , ¹ ₂ u , alors

n lim Ñ8

ln B p r, N, n q

n r ln p N 1 q r ln r p 1 r q ln p 1 r q .

Soit P une partition de X . Le bord B P de P est la r´ eunion des bords des ´ el´ ements de P, c’est-` a-dire

B P ¤

P PP

B P.

L’une des propri´ et´ es cl´ es dans la preuve du th´ eor` eme 1.20 est l’approximation de l’entropie mesur´ ee ` a partir de partitions finies dont les bords sont de mesure nulle.

Proposition 1.23. Soient T : X Ñ X une transformation continue d’un espace m´ etrique et µ une mesure bor´ elienne de probabilit´ e T -invariante. Alors, pour tout ε ¡ 0 il existe une partition P ε telle que µ pB P ε q 0 et

h µ p T q   h µ p T, P ε q ε.

1.3. ENTROPIES DE KATOK

D´ emonstration. Tout d’abord, puisque la mesure µ est finie on peut trouver une suite croissante d’ensembles compacts t K _n u n ¥ 1 telle que ”

n K _n X et µ pB K _n q 0, pour tout n ¥ 1. De plus, pour tout x P X il existe une boule centr´ ee en x, de rayon arbitrairement petit, dont le bord a µ-mesure nulle. Pour chaque n ¥ 1 on choisit un recouvrement fini de K _n par des boules t B _i ⁿ u , de rayons compris entre 1 { n et 1 {p n 1 q , dont le bord a µ-mesure nulle. Ensuite, on d´ efinit la partition P _n dont les atomes sont d’une part les intersections des ´ el´ ements de la forme B ⁿ _i X K _n et d’autre part le compl´ ementaire K _n ^c du compact K n . Cette partition est par construction finie et satisfait µ pB P n q 0. Finalement, on d´ efinit la partition P _n ¹ comme ´ etant la partition P _n ¹ š n

i 1 P i . La suite t P _n ¹ u n ¥ 1 est une suite croissante de partitions qui engendre la tribu bor´ elienne. En effet, cela est une cons´ equence du fait que pour tout x P X, le diam` etre diam p P <sub>n</sub> <sup>1</sup> qp x q tend vers 0 lorsque n tend vers l’infini. En utilisant le th´ eor` eme 1.12, pour tout ε ¡ 0 il existe N ¥ 1 tel que h µ p T q   h µ p T, P _N ¹ q ε. On pose finalement P ε P _N ¹ .

Maintenant nous sommes prˆ ets ` a montrer le th´ eor` eme 1.20. Nous remarquons que cette preuve est la mˆ eme que celle de Katok, mais nous pr´ ef´ erons v´ erifier que tout marche bien sans hypoth` ese de compacit´ e.

D´ emonstration du th´ eor` eme 1.20. Supposons sans perte de g´ en´ eralit´ e que la mesure de tout ouvert non-vide de X est positive. Dans le cas g´ en´ eral il suffit de remplacer X par le support de la mesure.

Soit P une partition finie de X et N #P. On construit l’espace Ω N,n en consid´ erant comme alphabet les ´ el´ ements de la partition P . D´ efinissons l’application φ ⁿ _P : X Ñ Ω N,n en posant

φ ⁿ _P p x q W _P ⁿ p x q p P p x q , P p T x q , ..., P p T ^{n 1} x qq .

Le tir´ e en arri` ere par φ <sup>n</sup> <sub>P</sub> de la distance de Hamming sur Ω <sub>N,n</sub> d´ efinit une pseudo-distance sur X, not´ ee d <sup>P</sup> <sub>n</sub> . En effet, pour x, y P X , on a d <sup>P</sup> <sub>n</sub> p x, y q 0 si et seulement si y P P <sup>n</sup> p x q . La sym´ etrie et l’in´ egalit´ e triangulaire d´ ecoulent de celles de la distance de Hamming. Fixons une fois pour toutes une partition P dont le bord B P a µ-mesure nulle. D´ efinissons U r p P q comme ´ etant le r-voisinage du bord de P, c’est-` a-dire U r p P q t x P P : B p x, r q ‚ P p x qu . Soit ε ¡ 0. Puisque µ est une mesure bor´ elienne et la mesure du bord de P est nulle, il existe r Ps 0, ε r tel que

µ p U r p P qq   ε ² 4 . Posons B _n,ε t x P X : ° n 1

i 0 1 U

p P q p T ⁱ x q   ^nε ₂ u . Comme T est une transformation qui pr´ eserve la mesure µ, et ³

1 U

p P q dµ   ε ² { 4, on a nε ²

4 ¥

» n ¸ 1 i 0

1 U

p P q p T ⁱ x q dµ p x q

¥

»

X z B

n ¸ 1 i 0

1 U

p P q p T ⁱ x q dµ p x q

¥ nε

2 µ p X z B n,ε q . Il s’ensuit donc que µ p X z B _n,ε q   ε { 2.

Par ailleurs, d’apr` es la d´ efinition de B n,ε , si x P B n,ε et d n p x, y q   r, alors d ^P _n p x, y q   ε { 2. Au- trement dit, l’intersection de toute p n, r q -boule avec B n,ε est contenue dans une certaine ε { 2-boule pour la pseudo-distance d ^P _n .

Soit U un recouvrement d’un compact K par des p n, r q -boules, dont #U N µ p n, r, δ q avec la mesure de K qui satisfait µ p K q ¡ 1 δ. Alors la mesure de K X B n,ε satisfait

µ p K X B n,ε q ¡ 1 δ ε { 2.

Si ε   ¹ ₂ ^δ alors µ p K X B _n,ε q ¡ ¹ ₂ ^δ . Comme l’intersection de toute boule dans U avec B _n,ε est

contenue dans une certaine ε { 2-boule pour la distance d ^P _n , il existe un recouvrement de K X B _n,ε

de cardinal N _µ p n, r, δ q constitu´ e par des ε { 2-boules pour la distance d ^P _n .

Maintenant on va minorer N µ p n, r, δ q en utilisant des arguments combinatoires. Rappelons qu’un point dans l’espace Ω _N,n est un mot dans l’alphabet dont les lettres sont les atomes de la partition P . Comme on a r´ eduit le probl` eme de comptage de boules dynamiques au comptage de boules pour la distance d ^P _n , il suffit de majorer la mesure des atomes de P ⁿ . Soit X _m,ε l’ensemble d´ efini par

X _m,ε t x P X : @ n ¥ m, µ p P ⁿ p x qq ¤ exp p n p h _µ p T, P q ε qqu . (1.1) Grˆ ace au th´ eor` eme de Shannon-McMillan-Breiman, il existe m 0 P N tel que µ p X m

,ε q ¥ ³ ₄ ^δ . Pour tout n ¥ m 0 on d´ efinit l’ensemble A n,ε comme A n,ε K X B n,ε X X m

,ε . Ainsi µ p A n,ε q ¡ ¹ ₄ ^δ . De plus, la partition P ⁿ induit une partition P n,ε de A n,ε en posant P n,ε t P ⁿ p x q X A n,ε , x P A n,ε u . Vue l’estimation dans (1.1), on a

µ p A n,ε q ¤ ¸

P P P

µ p P q

¤ exp p n p h _µ p T, P q ε qq #P n,ε , et donc

#P n,ε ¥ 1 δ

4 exp p n p h µ p T, P q ε qq .

Une p n, r q -boule qui intersect B n,ε est contenue par construction dans une ε { 2-boule pour la distance d ^P _n . Par ailleurs, les ε { 2-boules pour la distance d ^P _n sont par d´ efinition une r´ eunion finie d’´ el´ ements de la partition P ⁿ . Le cardinal de cette r´ eunion ne d´ epasse pas le cardinal B p ε { 2, N, n q , o` u B p ε { 2, N, n q est le nombre de points dans une ε { 2-boule dans l’espace m´ etrique p Ω N,n , ρ ^H _N,n q . Il s’ensuit ainsi que

N µ p n, r, δ q B p ε { 2, N, n q ¥ #P n,ε

¥ 1 δ

4 exp p n p h µ p T, P q ε qq . Cela se r´ e´ ecrit comme

N µ p n, r, δ q ¥ 1 δ 4

exp p n p h µ p T, P q ε qq B p ε { 2, N, n q . Finalement, grˆ ace ` a la proposition 1.22, on d´ eduit

lim inf

n Ñ8

1

n log N µ p n, r, δ q ¥ h µ p T, P q ε p 1 log p N 1 qq ε log ε p 1 ε q log p 1 ε q . En particulier

h ^δ _µ p T q ¥ h µ p T, P q ε p 1 log p N 1 qq ε log ε p 1 ε q log p 1 ε q .

Comme ε ¡ 0 est arbitraire, on conclut que h ^δ _µ p T q ¥ h _µ p T, P q . Puisque la partition P a ´ et´ e choisie de fa¸ con arbitraire, la proposition 1.23 permet de finir la preuve du th´ eor` eme 1.20.

1.4 Entropies locales

L’objet d’´ etude dans cette section est la notion d’entropie au sens de Brin-Katok (voir [BK83]).

On s’int´ eresse notamment au taux de d´ ecroissance exponentielle des mesures des boules dynamiques et sa relation avec l’entropie mesur´ ee.

D´ efinition 1.24. Soient T : X Ñ X une transformation continue d’un espace m´ etrique et µ une mesure de probabilit´ e T-invariante. Les entropies locales inf´ erieure et sup´ erieure de T en x, not´ ees respectivement h ^loc _µ p T, x q et h ^loc _µ p T, x q , sont d´ efinies par

h ^loc _µ p T, x q lim

r Ñ 0 lim inf

n Ñ8 1

n log µ p B n p x, r qq et

h ^loc _µ p T, x q lim

r Ñ 0 lim sup

n Ñ8 1

n log µ p B n p x, r qq .

1.4. ENTROPIES LOCALES

D´ efinition 1.25. Soient T : X Ñ X une transformation continue d’un espace m´ etrique et µ une mesure de probabilit´ e T -invariante. Les entropies locales inf´ erieure et sup´ erieure de T , not´ ees h ^loc _µ p T q et h ^loc _µ p T q respectivement, sont d´ efinies par

h ^loc _µ p T q ess inf

µ inf

n ¥ 0 h ^loc _µ p T, T ⁿ x q et

h ^loc _µ p T q ess sup

µ

sup

n ¥ 0

h ^loc _µ p T, T ⁿ x q .

Les entropies locales permettent d’estimer le taux de d´ ecroissance exponentielle de la mesure d’une boule dynamique en tout point de l’espace. La proposition ci-dessous nous donne la r´ egularit´ e des entropies de Brin-Katok vues comme des applications qui d´ ependent en x P X.

Lemme 1.26. Les applications x ÞÑ h ^loc _µ p T, x q et x ÞÑ h ^loc _µ p T, x q sont µ-mesurables et d´ ecroissantes le long des orbites.

D´ emonstration. Les applications x ÞÑ µ p B _n p x, r qq sont µ-mesurables, donc x ÞÑ h ^loc _µ p T, x q et x ÞÑ h ^loc _µ p T, x q le sont aussi. De plus, on a T p B _n p x, r qq € B _{n 1} p T x, r q , donc la T-invariance de µ entraˆıne la monotonie.

Une mani` ere plus naturelle de penser ` a l’entropie locale est de consid´ erer la moyenne des taux de d´ ecroissance des mesures des boules dynamiques.

Lemme 1.27. Soient T : X Ñ X une transformation continue d’un espace m´ etrique et µ une mesure bor´ elienne de probabilit´ e T -invariante ergodique. Alors

h ^loc _µ p T q

»

h ^loc _µ p T, x q dµ p x q et

h ^loc _µ p T q

»

h ^loc _µ p T, x q dµ p x q .

D´ emonstration. Les deux ´ egalit´ es sont des cons´ equences directes de la monotonie des entropies locales ponctuelles et le th´ eor` eme ergodique de Birkhoff.

Brin et Katok ont montr´ e que lorsque X est un espace topologique compact et µ une mesure de probabilit´ e ergodique, les entropies locales co¨ıncident avec l’entropie mesur´ ee (voir [BK83]).

Comme dans le cas des δ-entropies, seule la preuve d’une in´ egalit´ e utilise la compacit´ e de X, et l’autre reste vraie. C’est le th´ eor` eme suivant.

Th´ eor` eme 1.28. Soient T : X Ñ X une transformation continue d’un espace m´ etrique complet et µ une mesure bor´ elienne de probabilit´ e T-invariante ergodique. Alors

h µ p T q ¤ h ^loc _µ p T q .

Comme pour le th´ eor` eme 1.20, nous reprenons la preuve de Brin-Katok pour v´ erifier qu’elle n’utilise pas la compacit´ e. Cette preuve est bas´ ee d’une part sur la proposition 1.23 et d’autre part sur la proposition 1.29 ci-dessous.

Proposition 1.29. Soient T : X Ñ X une transformation continue d’un espace m´ etrique et µ une mesure bor´ elienne de probabilit´ e T -invariante ergodique. Alors pour toute partition finie P de X telle que µ pB P q 0, on a

h _µ p T, P q ¤ h ^loc _µ p T, x q

pour µ-presque tout x P X .