CORRECTION DE L'EXERCICE 7 DE LA FICHE À FAIRE POUR LE LUNDI 2 JUIN
Exercice 7 :
Partie A. Durée d’attente pour entrer dans un parking souterrain
Durée d’attente en minute [0 2[ [2 4[ [4 6[ [6 8[
Nombre de voitures 75 19 10 5
1. 72 1 19 3 10 5 5 7
75 19 10 5 2 donc la durée d’attente moyenne d’une voiture à l’entrée du parking est environ 2 minutes.
2. On décide de modéliser cette durée d’attente par une variable aléatoire T suivant une loi exponentielle de paramètre λ (exprimé en minute).
a.
D après la question 1, E (T) 2. Or on sait que E (T) 1
donc 1
2, c'est-à-dire 0,5.
b.
P (T 2)=
0
2
0,5 e
0,5tdt
e
0,5t
0 2
e
11 1 1
e 0,6321
La probabilité qu une voiture mette moins de deux minutes pour franchir la barrière est environ 0,6321.
c.
P
T 1( T 1 1) P( T 1) car T suit une loi de durée de vie sans vieillissement.
P( T 1) 1 P(T 1) 1
0
1
0,5e
0,5tdt 1
e
0,5t0 1
1 ( e
0,51 ) e
0,50,6065 La probabilité que la voiture attende encore plus d une minute est environ 0,6065.
Partie B. Durée et tarifs de stationnement dans ce parking souterrain 1.
a.
La durée moyenne de stationnement est 70 minutes (1h10min)
b.
La courbe de la fonction de densité de D est symétrique par rapport à la droite d équation x 70.
P( D 120) 0,5 P(70 D 120) 0,5 0,4522 donc P( D 120) 0,0478.
La probabilité que sa durée de stationnement dépasse deux heures est environ 0,0478.
c.
On cherche a tel que P( D a) 0,99. D après la calculatrice, a 140.
Le temps maximum de stationnement pour au moins 99% des voitures est 2h 20 minutes.
2. Soit X la variable aléatoire correspondant au prix moyen de stationnement. On cherche t pour que E (X ) 5.
Voici la loi de probabilité de X :
Tarif en euros xi 0 3,5 3,5 t 3,5 2t
P
(
X xi)
P(D 15) P(15 D 60) P(60 D 120) P(120 t 180)P(D 15) 0,5 P(15 D 70) 0,5 0,4666 donc P(D<15) 0,0334 P(15 D 60) 0,3361
P(60 D 120) 0,5828 P(120 t 180) 0,0477
Voici alors la loi de probabilité de X :
Tarif en euros xi 0 3,5 3,5 t 3,5 2t
P
(
X xi)
0,0334 0,3361 0,5828 0,0477E( X) 0,0334 0 0,3361 3,5 0,5828(3,5 t ) 0,0477(3,5 2t) E( X) 3,3831 0,6782t
E( X) 5 3,3831 0,6782t 5 t 2,3841
Le tarif doit être de 2€38 par heure supplémentaire pour que le prix moyen soit de 5€
Partie C. Temps d’attente pour se garer dans un parking de centre-ville
On cherche si P(10 T 50) 0,95. Pour cela, on commence par chercher et .
On sait que 30 et que P( T 37) 0,75.
Soit Z T′−30
σ ′ . Z suit la loi
N(0 1) .
T 37 T 30 7 T 30 7
σ ′ Z 7 σ ′ . On a do nc P
Z
7σ′
