Exercices faits en classe

Exercices d’entrainement pour le chapitre 02 (récurrence et suites)

0.1 Énoncés

Exercice 1. Démontrer l’inégalité 2ⁿ> n pour tout entier natureln.

Exercice 6. On définit, pour tout entier n≥1, len^ièmenombre triangulaire par tn= 1 + 2 +· · ·+n= n(n+ 1)

2

Démontrer que, pour entiern≥1 on a :

n

X

k=1

tk= n(n+ 1)(n+ 2)

6 .

Exercice 8. Démontrer que, pour tout entier n≥2, la fonctionfn, définie surRparfn(x) =xⁿ, est dérivable surR, avec f_n⁰(x) =nxⁿ⁻¹.

Exercice 9. Démontrer que, pour tout entier naturel n, l’entier 3²ⁿ−2ⁿ est un multiple de7.

Exercice 10. On considère la suite (un)définie par u0 = 0 et pour tout n∈N :un+1=

r1 +un

2 . Montrer, par récurrence, que pour tout n≥1on a : 1

√

2 ≤un≤1.

Exercices faits en classe

Exercice 12. On considère la suite (un) définie par un= 2n²+ 1

n²+ 5 Montrer que (un) est une suite strictement croissante surN.

Exercice 13. On considère la suite (un)n∈N^∗ définie par un= 1 + 1

2² + 1

3² +· · ·+ 1 n²

Montrer que (u_n) est strictement croissante surN^∗.

Exercice 14. Étudier le sens de variation de la suite (un) définie pour tout entier naturel n, par : 1. u_n=n²+ 4n+ 3

2. u_n= 2ⁿ n+ 1

3. un= 1−n² n+ 2

4. u₀ = 1 etu_n+1=u_n− 1 n+ 1

Exercice 15. Calculer les limites des suites de terme généralu_n dont on admettra l’existence : 1. un= 2n+ 1

3n−5

2. un= −4n²+ 3n+ 3 n²−n+ 4

3. un= 2n−√

4n²−3n+ 1 4. un= 4ⁿ−3ⁿ

4ⁿ+ 2ⁿ Exercice 16. Soit a∈[−1; +∞[. On définit la suite (un) surNpar :







u0 =a u_n+1=√

1 +u_n À l’aide d’un raisonnement par récurrence, étudier la monotonie de la suite (un).

0.2 Solutions rédigées

Exercice 1. Montrons que : ∀n∈N,2ⁿ> n.

Pour n∈N, notons la propriétéP(n) : 2ⁿ> n

• Initialisation :2⁰ = 1 et1>0donc P(0)est vraie.

• Hérédité : soitn∈N. SupposonsP(n) vraie ie2ⁿ> n.

Montrons que P(n+ 1)est vraie ie 2ⁿ⁺¹ > n+ 1ie 2×2ⁿ> n+ 1.

2ⁿ> n=⇒2ⁿ+ 2ⁿ> n+ 2ⁿ=⇒2×2ⁿ> n+ 1car pour tout entiern:2ⁿ≥1.

• Conclusion :On a montré par récurrence que∀n∈N,2ⁿ> n

Remarque : Pour que la rédaction soit totalement rigoureuse, on aurait du justifier que∀n∈N: 2ⁿ≥1(cela peut se faire par récurrence, ou grâce à la monotonie de la fonctionx7−→2^x= exp(xln(2)) surR+.

Autre rédaction en faisant 2 rangs d’initialisation : Pourn∈N, notons la propriétéP(n) : 2ⁿ> n

• Initialisation :2⁰ = 1 et1>0donc P(0)est vraie.

2¹ = 2 et2>1donc P(1)est vraie.

• Hérédité : soitn∈N^∗. SupposonsP(n) vraie ie2ⁿ> n.

Montrons que P(n+ 1)est vraie ie 2ⁿ⁺¹ > n+ 1ie 2×2ⁿ> n+ 1.

2ⁿ> n=⇒2ⁿ+ 2ⁿ> n+n≥n+ 1 =⇒2×2ⁿ> n+ 1

• Conclusion :On a montré par récurrence que∀n∈N,2ⁿ> n Exercice 6. Montrons que, pour entier n≥1 on a :

n

X

k=1

tk= n(n+ 1)(n+ 2)

6 .

On définit, pour tout entier n≥1, le n^ième nombre triangulaire par tn= 1 + 2 +· · ·+n= n(n+ 1)

2

Le n^ièmenombre triangulaire correspond à un nombre entier positif égal au nombre de rectangle dans un triangle de hauteurn construit à la manière de la figure ci-dessous (icin= 6) :

Remarque : On peut justifier que1 + 2 +· · ·+n= n(n+ 1)

2 à partir de la formule sur la somme des npremiers termes de la suite arithmétique de raison 1 et de premier terme égal à 1, ou bien par récurrence (qui est d’ailleurs une méthode pour démontrer la propriété sur la somme des termes d’une suite arithmétique), ce qui peut se faire en exercice.

Pour n∈N^∗, notons la propriétéP(n) :

n

X

k=1

t_k= n(n+ 1)(n+ 2) 6

• Initialisation :t₁ = 1et 1×(1 + 1)×(1 + 2)

6 = 6

6 = 1 donc P(1)est vraie.

• Hérédité : soitn∈N^∗. SupposonsP(n) vraie ie

n

X

k=1

t_k= n(n+ 1)(n+ 2)

6 .

Montrons que P(n+ 1)est vraie ie

n+1

X

k=1

t_k= (n+ 1)(n+ 2)(n+ 3)

6 .

n+1

X

k=1

t_k=

n

X

k=1

t_k

!

+t_n+1 = n(n+ 1)(n+ 2)

6 +(n+ 1)(n+ 2)

2 = n(n+ 1)(n+ 2) + 3(n+ 1)(n+ 2)

6 =

(n+ 1)(n+ 2) (n+ 3) 6

• Conclusion :On a montré par récurrence que∀n∈N^∗,

n

X

k=1

t_k = n(n+ 1)(n+ 2)

6

Exercice 8. Démontrons que, pour tout entier n≥1, la fonction fn, définie sur Rpar fn(x) = xⁿ, est dérivable sur R, avecf_n⁰(x) =nxⁿ⁻¹.

Pour n∈N^∗, notons la propriétéP(n) :fn est dérivable sur Ravec f_n⁰(x) =nxⁿ⁻¹

• Initialisation:f₁(x) =x. Pourx∈Reth6= 0, on a : f₁(x+h)−f₁(x)

h = (x+h)−x

h = h

h = 1 qui tend vers 1 lorsque h tend vers 0, ainsi f1 est dérivable en x et f₁⁰(x) = 1, comme ceci est vrai pour tout x∈Rpar conséquentP(1)est vraie.

Remarque : f₂(x) =x².

Pour x∈R eth6= 0, on a : f2(x+h)−f2(x)

h = (x+h)²−x²

h = x²+ 2xh+h²−x²

h = 2x+h

qui tend vers2xlorsqueh tend vers0, ainsi,f₂ est dérivable enx etf₂⁰(x) = 2x, comme ceci est vrai pour tout x∈Rpar conséquentP(2)est vraie.

• Hérédité: soit n∈N^∗. SupposonsP(n)vraie ie f_n est dérivable sur Ravec f_n⁰(x) =nxⁿ⁻¹. Montrons que P(n+ 1)est vraie ie fn+1 est dérivable sur Ravec f_n+1⁰ (x) = (n+ 1)xⁿ.

∀x∈R,f_n+1(x) =xⁿ⁺¹=xⁿ×x=f_n(x)×f₁(x); donc f_n+1=f_n×f₁.

Or le produit de 2 fonctions dérivables est une fonction dérivable, par conséquent fn+1 est déri- vable surRet sa dérivée vaut :

f_n+1⁰ (x) =f_n⁰(x)f1(x) +fn(x)f₁⁰(x) =nxⁿ⁻¹x+xⁿ×1 =nxⁿ+xⁿ= (n+ 1)xⁿ. Remarque : Ici pour montrer l’hérédité, on a eu besoin de l’initialisation.

• Conclusion :On a montré par récurrence que∀n∈N^∗,f_nest dérivable surRavecf_n⁰(x) =nxⁿ⁻¹ CQFD

Exercice 9. Montrons que, pour tout entier naturel n, l’entier3²ⁿ−2ⁿest un multiple de 7.

Pour n∈N, notons la propriétéP(n) : 7| 3²ⁿ−2ⁿ Pour aetbdeux entiers relatifs, a|b signifieadivise b.

• Initialisation :3^2×0−2⁰= 1−1 = 0 = 0×7 doncP(0)est vraie.

• Hérédité :soit n∈N. Supposons P(n)vraie ie7| 3²ⁿ−2ⁿ

ie∃k∈Ztel que3²ⁿ−2ⁿ= 7×k.

Montrons que P(n+ 1)est vraie ie ∃l∈Ztel que 3²⁽ⁿ⁺¹⁾−2ⁿ⁺¹= 7×l.

3²⁽ⁿ⁺¹⁾−2ⁿ⁺¹= 3²ⁿ⁺²−2ⁿ⁺¹= 3²ⁿ×3²−2ⁿ×2 = 3²ⁿ×(7+2)−2ⁿ×2 = 3²ⁿ×7+3²ⁿ×2−2ⁿ×2 = 3²ⁿ×7 + 2× 3²ⁿ−2ⁿ

= 3²ⁿ×7 + 2×7×k= 7× 3²ⁿ+ 2k

= 7×lavec l= 3²ⁿ+ 2k∈Z

• Conclusion :On a montré par récurrence que∀n∈N, l’entier 3²ⁿ−2ⁿ est un multiple de7

Exercice 10. On considère la suite (un)définie par u0 = 0 et pour tout n∈N :un+1=

r1 +un

2 . Montrer, par récurrence, que pour tout n≥1on a : 1

√

2 ≤un≤1.

Pour n∈N^∗, notons la propriétéP(n) : 1

√2 ≤u_n≤1

• Initialisation :u1 = r1

2 = 1

√

2 donc P(1)est vraie.

• Hérédité : soitn∈N^∗. SupposonsP(n) vraie ie 1

√

2 ≤un≤1.

Montrons que P(n+ 1)est vraie ie 1

√2 ≤un+1≤1.

√1

2 ≤un≤1 =⇒1 + 1

√

2 ≤1 +un≤2

=⇒1 2 + 1

2√

2 ≤ 1 +un

2 ≤ 2 2

=⇒(0≤) 1 2 ≤ 1

2 + 1 2√

2 ≤ 1 +u_n 2 ≤1

=⇒ r1

2 ≤

r1 +u_n

2 ≤√

1 car la fonction « racine carrée » est croissante surR+

=⇒ 1

√2 ≤u_n+1≤1

• Conclusion :On a montré par récurrence que∀n∈N^∗, 1

√2 ≤u_n≤1

Exercices faits en classe

Exercice 12. On considère la suite (un) définie par un= 2n²+ 1

n²+ 5 Montrons que (un) est une suite strictement croissante surN. Soitf la fonction définie surR parf(x) = 2x²+ 1

x²+ 5 . f est dérivable sur Ret, ∀x∈R,

f⁰(x) = 4x(x²+ 5)−2x(2x²+ 1)

(2x+ 5)² = 4x²+ 20x−4x²−2x

(2x+ 5)² = 18x (2x+ 5)² Pour x >0,f⁰(x)>0, ainsif est strictement croissante sur R^∗+. Or,∀n∈N,u_n=f(n).

Donc(un) est strictement croissante sur N^∗. De plus, commeu₀= 1

5 = 6

30 etu₁= 3 6 = 15

30, ainsiu₀< u₁. Conclusion :(un) est strictement croissante sur N.

Exercice 13. On considère la suite (un)n∈N^∗ définie par un= 1 + 1

2² + 1

3² +· · ·+ 1 n²

Montrons que (un) est strictement croissante sur N^∗. Soitn∈N^∗ :

un+1 = 1 + 1 2² + 1

3² +· · ·+ 1

n² + 1 (n+ 1)² un= 1 + 1

2² + 1

3² +· · ·+ 1 n²

un+1−un= 0 + 0 + 0 +· · ·+ 0 + 1 (n+ 1)² un+1−un= 1

(n+ 1)² >0 donc u_n+1 > u_n.

Conclusion :(u_n) est strictement croissante sur N^∗.

Exercice 14. Étudions le sens de variation de la suite(u_n) définie pour tout entier naturel n, par : 1. u_n=n²+ 4n+ 3

Calculons les premiers termes pour se faire une idée : u0 = 3 etu1 = 8:u0< u1. Montrons que ∀n∈N,u_n< u_n+1.

Soitn∈N.

u_n+1 = (n+ 1)²+ 4(n+ 1) + 3 =n²+ 2n+ 1 + 4n+ 4 + 3 =n²+ 4n+ 3 + 2n+ 5 =u_n+ 2n+ 5 Or2n+ 5>0 donc un+1> un.

Conclusion :(u_n) est strictement croissante sur N. 2. u_n= 2ⁿ

n+ 1

Calculons les premiers termes pour se faire une idée :u₀ = 1etu₁ = 1etu₂ = 4

3 :u₀≤u₁ < u₂. Montrons que ∀n∈N,un≤un+1.

Soitn∈N. un+1−u_n= 2ⁿ⁺¹

n+ 2− 2ⁿ

n+ 1 = 2ⁿ×2(n+ 1)−2ⁿ(n+ 2)

(n+ 2)(n+ 1) = 2ⁿ(2n+ 2−n−2)

(n+ 2)(n+ 1) = 2ⁿ×n (n+ 2)(n+ 1) ≥ 0 doncu_n+1≥u_n.

Conclusion :(un) est croissante sur N. 3. un= 1−n²

n+ 2

Soitf la fonction définie surR\ {−2}parf(x) = 1−x² x+ 2.

f est dérivable sur R\ {−2}, et ∀x,f⁰(x) = −2x(x+ 2)−1(1−x²)

(x+ 2)² = −2x²−4x−1 +x² (x+ 2)² =

−x²−4x−1 (x+ 2)²

Pourx≥0,f⁰(x)<0donc f est strictement décroissante sur [0; +∞[.

Or,∀n∈N,un=f(n), donc(un)est strictement décroissante surN. 4. u0 = 1 etun+1=un− 1

n+ 1

Pour tout entiern,un+1−un=− 1

n+ 1 <0 ainsiun+1< un. Donc(u_n) est strictement décroissante surN.

Exercice 15. Calculer les limites des suites de terme généralun dont on admettra l’existence : 1. u_n= 2n+ 1

3n−5

Pourn6= 0 :un= 2n+ 1 3n−5 =

2n

1 + 1 2n

3n

1− 5 3n

= 2

1 + 1

2n

3

1− 5 3n

Or lim

n→+∞

1

2n = 0 = lim

n→+∞

5 3n. Donc lim

n→+∞u_n= 2 3. 2. un= −4n²+ 3n+ 3

n²−n+ 4

Pourn6= 0 :u_n= −4n²+ 3n+ 3 n²−n+ 4 =

−4n²

1 + 3n

−4n² + 3

−4n²

n²

1− n n² + 4

n²

=

−4

1− 3 4n − 3

4n²

1− 1 n+ 4

n² Or lim

n→+∞

3

4n = 0 = lim

n→+∞

3

4n² = lim

n→+∞

1

n = lim

n→+∞

1 4n². Donc lim

n→+∞un= 4.

3. un= 2n−√

4n²−3n+ 1 Pour tout n6= 0 :

un= 2n−√

4n²−3n+ 1

=

2n−√

4n²−3n+ 1 2n+√

4n²−3n+ 1 2n+√

4n²−3n+ 1

= 4n²−(4n²−3n+ 1) 2n+√

4n²−3n+ 1

= 3n−1

2n+ s

4n²

1− 3n 4n² + 1

4n²

= 3n−1

2n+ 2n r

1− 3n 4n² + 1

4n²

=

3n

1− 1 3n

2n 1 + r

1− 3n 4n² + 1

4n²

!

=

3

1− 1 3n

2 1 + r

1− 3 4n + 1

4n²

!

Or lim

n→+∞

1

3n = 0 = lim

n→+∞

3

4n = lim

n→+∞

1 4n². Donc lim

n→+∞un= 3 4. 4. un= 4ⁿ−3ⁿ

4ⁿ+ 2ⁿ

Pour tout n:u_n= 4ⁿ−3ⁿ 4ⁿ+ 2ⁿ =

4ⁿ

1−3ⁿ 4ⁿ

4ⁿ

1 +2ⁿ 4ⁿ

= 1−

3 4

n

1 + 2

4

n

Or 3

4 n

n∈N

est une suite géométrique de raison 3

4 <1donc lim

n→+∞

3 4

n

= 0.

De même 2

4 n

n∈N

est une suite géométrique de raison 2

4 <1donc lim

n→+∞

2 4

n

= 0.

Donc lim

n→+∞u_n= 1.

Exercice 16. Soit a∈[−1; +∞[. On définit la suite (u_n) surNpar :







u₀ =a un+1=√

1 +un

À l’aide d’un raisonnement par récurrence, étudions la monotonie de la suite (u_n) suivant les valeurs de a.

Pour montrer la monotonie de la suite par récurrence, il faut d’abord conjecturer si la suite est croissante ou décroissante.

Pour cela, on va comparer les premiers termes, en particulier on va compareru₀ etu₁. u0 =aetu1=√

1 +a

On a un premier problème c’est queu₀ etu₁ dépendent de aque l’on ne connait pas, on sait juste que a∈[−1; +∞[.

On va regarder ce qu’il se passe pour certaines valeurs de a:

• sia=−1alorsu₀ =−1 etu₁ =√

0 = 0ainsiu₀< u₁;

• sia= 0alorsu0= 0 etu1=√

1 = 1 ainsiu0 < u1;

• sia= 3alorsu0= 3 etu1=√

4 = 2 ainsiu0 > u1;

• sia= 8alorsu₀= 8 etu₁=√

9 = 3 ainsiu₀ > u₁. On remarque que l’ordre de u₀ etu₁ dépend de la valeur de a.

On va donc chercher les conditions sur apour queu₀> u₁ ie a >√ 1 +a.

Résolvons dans [−1; +∞[l’inéquation :a >√ 1 +a.

a >√

1 +a(≥0)⇐⇒







a²>1 +a a≥0

⇐⇒







a²−a−1>0 a≥0

(la première équivalence vient de la stricte croissance des fonctions « carré » et « racine carrée » sur [0; +∞[)

On va donc étudier le polynôme du second degréa²−a−1, et en particulier étudier son signe.

∆ = (−1)²−4×1×(−1) = 1 + 4 = 5 = √ 52

>0 : Ainsia1= 1−√

5

2 <0 et−1< 1−√ 5 2 car :2 =√

4<√ 5<√

9 = 3 =⇒ −2>−√

5>−3 =⇒1−2>1−√

5>1−3 =⇒ −1

2 > 1−√ 5 2 > −2

2

!

eta2= 1 +√ 5 2 >0 car :2 =√

4<√ 5<√

9 = 3 =⇒1 + 2<1 +√

5<1 + 3 =⇒ 3

2 < 1 +√ 5 2 < 4

2

!

On obtient le tableau de signes suivant :

a −∞ ⁽⁻¹⁾ 1−√

5 2

(0) 1 +√

5

2 +∞

a²−a−1 + 0 − 0 +

Ou bien, si on veut détailler le tableau de signes, on a : a²−a−1 = a−1−√ 5 2

!

a−1 +√ 5 2

!

d’où le tableau de signes suivant :

a −∞ ⁽⁻¹⁾ 1−√

5 2

(0) 1 +√

5 2

+∞

a− 1−√ 5

2 − 0 + +

a− 1 +√ 5

2 − − 0 +

a²−a−1 + 0 − 0 +

On obtient alors : a >√

1 +a(≥0)⇐⇒







a² >1 +a a≥0

⇐⇒







a²−a−1>0 a≥0

⇐⇒a > 1 +√ 5 2 Ainsi si a > 1 +√

5

2 alorsu0 > u1.

On va maintenant chercher les conditions sur apour queu0=u1 ie a=√ 1 +a.

Résolvons dans [−1; +∞[l’inéquation :a=√ 1 +a.

En utilisant le travail précédant sur le polynôme du second degré a²−a−1 : a=√

1 +a(≥0)⇐⇒







a²= 1 +a a≥0

⇐⇒







a²−a−1 = 0 a≥0

⇐⇒a= 1 +√ 5 2 Ainsi si a= 1 +√

5

2 alorsu₀=u₁.

On va enfin chercher les conditions surapour que u₀< u₁ ie a <√ 1 +a.

Résolvons dans [−1; +∞[l’inéquation :a <√ 1 +a.

Comme dans [−1; +∞[:







a >√

1 +a⇐⇒a > 1 +√ 5 2 a=√

1 +a⇐⇒a= 1 +√ 5 2 on obtient donc, dans [−1; +∞[:a <√

1 +a⇐⇒a < 1 +√ 5 2

Autre rédaction en utilisant le travail précédant sur le polynôme du second degré a²−a−1 :

• sia <0alorsa <0≤√

1 +a, d’oùa <√

1 +a⇐⇒a∈[−1; 0[

• sia≥0:







a <√ 1 +a a≥0

⇐⇒







a² <1 +a a≥0

⇐⇒







a²−a−1<0 a≥0

⇐⇒a∈

"

0;1 +√ 5 2

"

D’où a <√

1 +a⇐⇒a∈

"

−1;1 +√ 5 2

"

Ainsi si (−1≤)a < 1 +√ 5

2 alorsu₀ < u₁.

Il reste en définitive à montrer par récurrence les 3 conjectures suivantes : Conjecture 1. si(−1≤)a < 1 +√

5

2 alors(u_n) est strictement croissante sur N; Conjecture 2. sia= 1 +√

5

2 alors(un)est constante sur N; Conjecture 3. sia > 1 +√

5

2 alors(un)est strictement décroissante sur N.

On note, avant tout, que pour tout n∈N :−1≤un(récurrence à partir de la définition de(un)).

Preuve 1. Soit atel que (−1≤)a < 1 +√ 5 2 .

Montrons que (un) est strictement croissante sur N. Pour n∈N, notons la propriété P(n) :u_n< u_n+1

• Initialisation :d’après le travail précédentu0< u1 donc P(0)est vraie.

• Hérédité :soit n∈N. SupposonsP(n) vraie ieun< un+1. Montrons queP(n+ 1)est vraie ie u_n+1< u_n+2 ie√

1 +u_n<√

1 +u_n+1. (−1 ≤)un < un+1 =⇒ (0 ≤) 1 +un < 1 +un+1 =⇒ √

1 +un < √

1 +un+1 (car la fonction « racine carrée » est strictement croissante sur[0; +∞[)

• Conclusion :On a montré par récurrence que∀n∈N,u_n< u_n+1, ainsi(un) est strictement croissante sur N.

Preuve 2. Soit a= 1 +√ 5 2 .

Montrons que (un) est constante surN.

Pour n∈N, notons la propriété P(n) :u_n=u_n+1

• Initialisation :d’après le travail précédentu0=u1 donc P(0)est vraie.

• Hérédité :soit n∈N. SupposonsP(n) vraie ieun=un+1. Montrons queP(n+ 1)est vraie ie u_n+1=u_n+2 ie√

1 +u_n=√

1 +u_n+1. (−1≤)un=un+1=⇒(0≤) 1 +un= 1 +un+1 =⇒√

1 +un=√

1 +un+1

• Conclusion :On a montré par récurrence que∀n∈N,un=un+1, ainsi(u_n) est constante surN.

Preuve 3. Soit atel que a > 1 +√ 5 2 .

Montrons que (u_n) est strictement décroissante surN. Pour n∈N, notons la propriété P(n) :un> un+1

• Initialisation :d’après le travail précédentu₀> u₁ donc P(0)est vraie.

• Hérédité :soit n∈N. SupposonsP(n) vraie ieu_n> u_n+1. Montrons queP(n+ 1)est vraie ie un+1> un+2 ie√

1 +un>√

1 +un+1. u_n > u_n+1(≥ −1) =⇒ 1 +u_n > 1 +u_n+1(≥ 0) =⇒ √

1 +u_n > √

1 +u_n+1 (car la fonction « racine carrée » est strictement croissante sur[0; +∞[)

• Conclusion :On a montré par récurrence que∀n∈N,un> un+1, ainsi(u ) est strictement décroissante surN.