Intégrateurs géométriques: Application à la Mécanique des Fluides

(1)

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Submitted on 10 Jul 2009

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Chhay Marx

To cite this version:

Chhay Marx. Intégrateurs géométriques: Application à la Mécanique des Fluides. Mathématiques

[math]. Université de La Rochelle, 2008. Français. �tel-00403649�

(2)

THÈSE

présentée pour l'obtention du grade de

DOCTEUR DE L'UNIVERSITÉ DE LA ROCHELLE

Disipline :Méanique

par

NirinaMarx CHHAY

Intégrateurs géométriques :

Appliation à la Méanique des Fluides.

Thèsedirigée par Aziz HAMDOUNI

Thèse o-dirigée par Pierre SAGAUT

soutenue le16 déembre 2008 devant lejury omposé de

G.DE SAXCÉ Professeur àl'Université de Lille Rapporteur

S.GAVRILYUK Professeur àl'Université de Marseille Rapporteur

D. CLAMOND Professeur àl'Université de Nie Président

D. DUTYKH Chargé de Reherhe CNRS auLAMA Examinateur

A. HAMDOUNI Professeur àl'Université de La Rohelle Direteurde thèse

M. KIRANE Professeur àl'Université de La Rohelle Examinateur

P. SAGAUT Professeur àl'Université ParisVI Co-Direteur de thèse

(3)

(4)

Résumé

Uneapprohe réente permettantd'étudier leséquationsissues de laMéanique

des Fluidesonsiste à onsidérer les symétries de es équations. Les suès des dé-

veloppements théoriques, notammenten turbulene, ontjustié lapertinene d'une

telleapprohe. Surleplannumérique,lesméthodesd'intégrationonstruitessurdes

argumentsliés àla struture géométrique des équations s'appellent lesintégrateurs

géométriques.Danslapremièrepartiedelathèse,onprésentelalassed'intégrateurs

géométriques probablement la plus onnue; e sont les intégrateurs sympletiques

pour les systèmes hamiltoniens. Dans une seonde partie, on introduit les intégra-

teurs variationnels, onstruits pour reproduire les loisde onservation des systèmes

lagrangiens. Cependant, la plupart des équations de la Méanique des Fluides ne

dérive pas d'un Lagrangien. On expose alors dans la dernière partie une méthode

de onstrution de shémas numériques respetant les symétries d'une équation.

Cette méthode est baséesur une formulationmodernedes repères mobiles.On pré-

sente une ontribution au développement de ette méthode; elle permet d'obtenir

un shéma invariantpossédantun ordre de préision déterminé. Des exemplesissus

des équations modèles de la Méaniquedes Fluidessont traités.

Mots-lés : Intégrateur géométrique, Sympletique, Multisympletique, Méthodes

variationnelles, Bilagrangien, Méthodes invariantes, Repères mobiles, Équation de

transfert

(5)

Abstrat

AreentapproahtostudytheequationsfromFluidMehanisonsistsinonsi-

deringthesymmetrygroupofequations.Suesoftheoretialdevelopment,speially

in turbulene, has justied the relevane of this approah. On the numerial side,

the integrating methods based on arguments related to the geometrial struture

of equationsare alled geometri integrators. In the rst part of this thesis, a lass

of suh integrators is introdued : sympleti integrators for hamiltonian systems,

whih are probably the most well known geometri integrators. In the seond part,

variationalintegrators are outlined, onstrutedin order toreprodue onservation

laws of lagrangian systems. However most of Fluid Mehanis equations annot be

derived froma Lagrangian.In the lastpart of this thesis, a methodof onstrution

of numerial shemes that preserves equations symmetry is exposed. This method

is basedon amodern formulationof moving frames.A ontributionto the develop-

mentofthismethodisproposed;thisallowstoobtainaninvariantnumerialsheme

that owns an order of auray. Examples from Fluid Mehanis model equations

are detailled.

Key words : Geometri integrator, Sympleti, Multisympleti, Variational me-

thods, Bilagrangian,Invariant methods, Moving frame, Transfer equation

(6)

Remeriements

JetiensàremerierentoutpremierlieuAzizHamdounipour m'avoirenadré et

guidétout aulong de es troisannéesde thèse. Laqualitéde saformationainsi que

lasinéritéde son jugementont partiipéàforger de façon uniqueette expériene.

Ce qu'il m'a transmisva bien au delà d'un enseignementsientique.

Je tiens également à remerier Pierre Sagaut, pour sa disponibilité et le o-

enadrement de mes reherhes.

J'exprime magratitude àMonsieur G.De Saxé etMonsieur S.Gavrilyuk pour

avoir aepté d'évaluer mon travail. Je remerie également Messieurs D. Clamond,

M. Kirane,etD. Dutykh pour avoiraepté de omposer leJury de thèse.

J'adresse mareonnaissane àl'équipedu laboratoire,auxserétaires etauper-

sonnel d'entretien. Je remerie également toutes elles et eux que j'ai roisés, fré-

quentésetappréiésauseindulaboratoireetdel'Université.Àeuxquisontdevenus

des amis.

Je n'oublie pas eux qui ont ensoleillé mon quotidien rohelais : Laurene D.,

Karine Z., Sylvain C., Erwann P. & Audrey L. et tout Surdo'Rei, eux qui l'ont

rendumerveilleux :CamilleL.,Marion D.,PierreP.,etellesquiy ontapportéune

touhe de féerie :Céile L., Laura M..

Une pensée également à eux qui ont toujours été présents depuis le début :

BenoîtU., JérémieJ., Marine M..

Enn,auxpersonnes àquijedois tout:mafamille,quis'agranditave bonheur.

JulietteB.S.,PhilippeB.S.,pourtoutequevousêtesetreprésenterezpourtoujours

dans mon ÷ur.

(7)

(8)

(9)

(10)

Table des matières

Liste des gures xvi

Introdution 1

1 Intégrateurs sympletiques 7

1.1 Introdution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2 Systèmes hamiltoniens. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.2.1 Dénitionset propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.2.2 Notationdiérentielle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.3 Intégrateurs lassiques des systèmes hamiltoniens. . . . . . . . . . . . 12

1.3.1 Dénitionset exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.3.2 Exemples numériques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.3.2.1 L'osillateur harmonique. . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.3.2.2 Leproblème de Kepler . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.4 Les shémas sympletiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.4.1 Dénitionset propriétés. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.4.2 Quelquesintégrateurs sympletiques . . . . . . . . . . . . . . 22

1.4.2.1 Euler sympletique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.4.2.2 Méthode du pointmilieu. . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.4.2.3 Méthode de type Runge-Kutta. . . . . . . . . . . . . 24

1.4.3 Exemples numériques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

1.4.3.1 L'osillateur harmonique . . . . . . . . . . . . . . . . 26

1.4.3.2 Leproblème de Kepler . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

1.5 Appliation àl'hydrodynamique bidimensionnelle . . . . . . . . . . . 32

1.5.1 Lemodèle des vortex pontuels . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

1.5.2 Dynamique qualitatived'un système de 4vortex pontuels . . 34

1.5.2.1 Problématique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

1.5.2.2 Étude numérique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

1.5.3 Dynamique quantitativedes systèmes de vortex . . . . . . . . 37

1.5.3.1 Problématique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

1.5.3.2 Étude numérique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

1.6 Commentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

(11)

2.1 Introdution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

2.2 Systèmes lagrangiens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

2.2.1 Les équationsd'Euler-Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

2.2.2 Équations variationnelles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

2.2.2.1 Lois de onservation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

2.2.2.2 Sympletiité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

2.3 Intégrateurs variationnels pour les EDO . . . . . . . . . . . . . . . . 50

2.3.1 Intégrateurs variationnels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

2.3.2 Propriétés et loisde onservation . . . . . . . . . . . . . . . . 53

2.3.3 Formulationhamiltonienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

2.3.4 L'osillateur harmonique.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

2.3.4.1 Intégrateur variationnel . . . . . . . . . . . . . . . . 57

2.3.4.2 Résultat numérique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

2.4 EDP lagrangiennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

2.4.1 Équations variationnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

2.4.1.1 Lois de onservation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

2.4.1.2 Multisympletiité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

2.5 Intégrateurs variationnels multisympletiques. . . . . . . . . . . . . . 64

2.5.1 Intégrateurs variationnels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

2.5.2 L'équation des ondes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

2.5.2.1 Intégrateur variationnel . . . . . . . . . . . . . . . . 71

2.6 EDP d'évolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

2.6.1 Bilagrangien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

2.6.1.1 Bilagrangienspour l'équationde lahaleur. . . . . . 74

2.6.1.2 Bilagrangienspour l'équationBurgers. . . . . . . . . 74

2.6.2 Équations bi-variationnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

2.6.2.1 Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

2.7 Intégrateurs bi-variationnels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

2.7.1 Intégrateurs bi-variationnels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

2.7.2 L'équation de la haleur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

2.7.2.1 Intégrateur bi-variationnel . . . . . . . . . . . . . . . 80

2.8 Commentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

3 Méthodes invariantes 83 3.1 Introdution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

3.2 Cadre mathématique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

3.3 Shémas invariantsutilisantles repères mobiles . . . . . . . . . . . . 92

3.3.1 Prinipede onstrution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

3.3.2 L'équation de onvetion-diusion1D . . . . . . . . . . . . . . 96

3.3.2.1 Invariantisationdu shéma FTCS . . . . . . . . . . . 97

3.3.2.2 Résultats numériques. . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

(12)

3.3.2.4 Résultatsnumériques. . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

3.4 Constrution des shémas invariants. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

3.4.1 Prinipe de onstrution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

3.4.2 L'équationde Burgers 1D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

3.4.2.1 Transformation du maillage. . . . . . . . . . . . . . . 105

3.4.2.2 Invariantisation du shéma FTCS. . . . . . . . . . . 107

3.4.3 L'équationde Burgers 2D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

3.4.3.1 Transformation du maillage . . . . . . . . . . . . . . 115

3.4.3.2 Invariantisation du shéma FTCS . . . . . . . . . . . 119

3.5 Consistane en symétriedes shémas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

3.5.1 Dénitionde laonsistane en symétrie. . . . . . . . . . . . . 131

3.5.2 Consistaneen symétrie pour des shémas lassiques . . . . . 132

3.6 Commentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

Conlusion générale et Perspetives 137 Annexes 139 A Intégrateurs multisympletiques 141 A.1 Introdution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

A.2 Struture multisympletique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

A.2.1 Dénitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

A.2.2 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

A.3 Shémas multisympletiques.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

A.3.1 Shémas multisympletiquesen boîte . . . . . . . . . . . . . . 148

A.3.1.1 Euler multisympletique . . . . . . . . . . . . . . . . 148

A.3.1.2 Shéma de la boîte de Preissman. . . . . . . . . . . . 149

A.3.1.3 Méthode du pointmilieu expliite. . . . . . . . . . . 151

A.3.2 Runge-Kuttamultisympletique. . . . . . . . . . . . . . . . . 152

A.4 Exemples numériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

A.4.1 L'équationde Sine-Gordon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

A.4.1.1 Lesméthodes numériques . . . . . . . . . . . . . . . 153

A.4.1.2 Tests numériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

B Méthodes utilisant l'invariane par symétrie 159 B.1 Introdution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

B.2 Shémas semi-invariantspar approximation diérentielle . . . . . . . 160

B.2.1 Approximation diérentielle d'ordre

s

^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ¹⁶⁰

B.2.2 Shéma semi-invariantpour l'équationde Burgers . . . . . . . 161

B.3 Invariane d'éhelle etmaillageadaptatif . . . . . . . . . . . . . . . . 164

(13)

B.3.2 L'équation de la haleur non linéaire . . . . . . . . . . . . . . 167

B.4 Méthodes utilisantlesinvariantsen diérenes nies. . . . . . . . . . 168

B.4.1 Shémas invariants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

B.4.2 Equation de la haleur non linéaire . . . . . . . . . . . . . . . 169

Bibliographie 171

(14)

Liste des gures

1 Familles d'équations aux dérivées partielles (EDP) et leurs intégra-

teurs géométriquesassoiés. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.1 Osillateur harmonique 1D. Conservation de l'aire dans l'espae des

phases pourl'osillateur harmonique. L'aire initiale

A

⁰ ^(en "")est elle du disque

{ (p + 1)

²

+ q

²

¹₂

≤ 0.2 }

^. ^Le^système ^est ^représenté ^à

haque pas de temps

∆t = π/6

^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ¹⁵

1.2 Osillateur harmonique 1D. Évolution de l'erreur relative en l'éner-

gie, en fontion du temps, pour les shémas d'Euler expliite (E) et

implite (I).Le pas de temps

∆t

^varie ^de

2.10

⁻² ^à

10

⁻¹^. ^T^emps ^d'in-

tégration

T = 5

^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ¹⁷

1.3 Problème de Kepler plan. Évolution par une méthode de type Runge-

Kutta d'ordre

2

^de ^grandeurs ^onservées ^: ^l'énergie^disrète

H

ⁿ ^et ^le

moment angulaire disret

L

ⁿ^. ^Le ^pas ^de ^temps

∆t

^varie ^de

1.10

² ^à

5.10

²^. ^Le^temps d'intégration est de

T = 10

³^.^Ehelle ^log-log. ^. ^. ^. ^. ¹⁹

1.4 Problème de Kepler plan. Évolution par une méthode de type Runge-

Kutta d'ordre

4

^de ^grandeurs ^onservées ^: ^l'énergie^disrète

H

ⁿ ^et ^le

moment angulaire disret

L

ⁿ^. ^Le ^pas ^de ^temps

∆t

^varie ^de

1.10

² ^à

5.10

²^. ^Le^temps d'intégration est de

T = 10

³^.^Ehelle ^log-log. ^. ^. ^. ^. ²⁰

1.5 Osillateur harmonique 1D. Conservation de l'aire dans l'espae des

phases par des méthodes sympletiques : (a) méthode d'Euler sym-

pletique, (b) : méthode du pointmilieu.L'aire initiale

A

0 ^(en "") est eluidudisque

{ (p+ 1)

²

+q

²

¹₂

≤ 0.2 }

^.^Le^système^est^représenté

à haque pas de temps

∆t = π/6

^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ²⁸

1.6 Osillateurharmonique1D.Conservationdel'énergiepardesméthodes

sympletiques d'ordrefaible. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

1.7 ProblèmedeKepler.Erreurrelativededeuxinvariants:(a):leHamiltonien

disret

H

ⁿ^,^(b)^:^le^moment^angulaire^disret

L

ⁿ^.^Le^pas^de ^temps^va-

rie

∆t = 1.10

⁻²^,

2.10

⁻²^,

4.10

⁻²^et

5.10

⁻²^.^Le^tempsd'intégrationvaut

T = 10

³^. ^Ehelle ^log-log. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ³¹

1.8 Modèle de vortex pontuels bidimensionnel. En (a) : onguration ini-

tiale de référene. En (b) : la trajetoire d'un vortex assoié à une