ENSEIRB-MATMECA
Option second semestre, 2011/2012
Information Quantique
Examen- 17 Septembre 2012
Dur´ee : 2H
Documents autoris´es: tous documents autoris´es.
Indications: les deux exercices sont ind´ependants.
Notation: le bar`eme est indicatif ; la note finale est min(20,note-ex1+note-ex2).
Exercice 1 (/15 pts) Algorithme de Simon.
L’ exercice consiste `a ´etudier l’algorithme de Simon, quicalcule la p´eriode d’une application de{0,1}n dans lui-mˆeme.
Soitf :{0,1}n→ {0,1}n ayant la propri´et´e (de “p´eriodicit´e”) suivante :
∃s∈ {0,1}n tel que pour x6=y f(x) =f(y)⇔y=x⊕s Q1-Montrer que, pour toutx∈ {0,1}n
H⊗n|xi= 1
√2n X
z∈{0,1}n
(−1)x·z|zi o`ux·z=x0z0+x1z1+· · ·+xn−1zn−1 (mod 2)
Q2-On dispose d’une boite noire Uf qui r´ealise |xi |bi U→ |f xi |b⊕f(x)i o`u x∈ {0,1}n etf(x)∈ {0,1}n. On r´ealise le circuit sch´ematis´e surr la figure 1.
(a) Montrer qu’avant la mesure l’´etat du syst`eme est
√1 2n
X
x∈{0,1}n
|xi |f(x)i
(b) Le r´esultat de la mesure du second registre estw. Soitx0 ∈ {0,1}n un vecteur tel que :f(x0) =w. Exprimer l’´etat du premier registre apr`es la mesure du second.
Fig.1 – Le circuit.
Quel est l’´etat du premier registre apr`es la (deuxi`eme) transformation de Hadamard ?
En conclure que les seuls ´etats de base qui contribuent `a l’´etat final |ψi sont orthogonaux `as.
Q3-On r´ealise alors une mesure du premier registre et on note le r´esultatz1; On r´einitialise le syst`eme et on reparcourt tout le circuit, puis on effectue une mesure du premier registre et on note le r´esultat z2; on r´ep`ete cette op´erationn−1 fois pour obtenir un ensemble de mesures{z1, z2, ...zn−1}. La probabilit´e que cesn−1 ´el´ements de{0,1}nsoient lin´eairement ind´ependants est sup´erieure `a 1/4. On supposera donc qu’ils le sont (sinon on recommence tout le processus). Tous ces ´el´ements sont tels que
zi·s= 0 i= 1,2, ..., n−1 En d´eduires. Combien d’´evaluations de f a-t-il fallu ?
Q4-Exemple avecn= 4 ; on a trouv´ez1 = (0111), z2 = (1011), z3= (1101).
Trouvers.
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Exercice 2(/15 pts) Jeu de Zeilinger
Une ´equipe de trois joueurs Anne (A), Benoit (B) et Charles (C), est op- pos´ee `a un arbitre R. Chaque partie se d´eroule comme suit :
Phase 0- A ,B ,C communiquent librement : ils se mettent d’accord sur une strat´egie et ´eventuellement un vecteur~λqu’il peuvent utiliser dans leur strat´egie.
Phase 1- R choisit un triplet de questions (r, s, t)∈ {(0,0,0),(0,1,1),(1,0,1),(1,1,0)} R envoie la question r `a Anne, la question s `a Benoit et la question t `a
Charles (Chaque joueur ne connait que la question qu’il re¸coit de R).
Phase 2- Anne r´epond par un bool´een a∈ {0,1}, Benoit par b ∈ {0,1} et Charles parc∈ {0,1}.
Phase 3- L’´equipe ABC re¸coit un gain de 1 dans les cas suivants r s t a⊕b⊕c gain
0 0 0 0 1
0 1 1 1 1
1 0 1 1 1
1 1 0 1 1
et perd i.e. gagne−1, dans tout autre cas. Dans tous les sc´enarios examin´es ci-dessous, A,B,C ne sont pas autoris´es `a communiquer entre eux au cours des phases 1,2,3 du jeu ;
Q1- Montrer que ABC n’ont pas de strat´egie d´eterministe qui gagne sur toute question de R.
Q2- On suppose que R tire ses questions de fa¸con al´eatoire, uniforme. Quelle est l’esp´erance de gain maximale de ABC, avec une strat´egie d´eterministe ? Q3- Supposons maintenant que ABC partagent trois qbits intriqu´es, dans l’´etat
|ψi:= 1
2|000i −1
2|011i −1
2|101i −1 2|110i. Ils choisissent la strat´egie (quantique) suivante :
- sur la questionq = 1 (q= 0), le joueur applique H (resp. Id) `a son qbit.
- chaque joueur “mesure son qbit dans la base standard” et renvoie `a R le r´esultat de cette mesure.
Q3.1 Quel est le gain de ABC sur la question 000 ? Q3.2 Quel est le gain de ABC sur la question 011 ?
Aide : On pourra calculer le vecteur d’´etat |ψ′i obtenu par ABC en appli- quant chacun sa transformation unitaire sur son qbit, puis en d´eduire les
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r´eponses possibles de ABC.
Q3.3 Quel est le gain moyen de ABC (avec cette strat´egie) ?
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