1LesDifférencesFiniespourl’équationdelachaleur Travailindividueletpersonnel Groupe12èmepartie:EDPinstationnaire Travauxpratiques-E.D.P.

Energétique I Méthodes Numériques II

Sup’Galilée Année 2019-2020

Travaux pratiques - E.D.P.

Groupe 1

2ème partie : EDP instationnaire

Travail individuel et personnel

1 Les Différences Finies pour l’équation de la chaleur

On souhaite résoudre numériquement l’E.D.P. suivante Bu

Btpt, xq ´νB²u

Bx²pt, xq `cpxqupt, xq “ fpt, xq, @pt, xq Pst0;t0`Tsˆsa;br, (1.1) upt0, xq “ u0pxq, @xP ra;bs, (1.2) upt, aq “ u_aptq, @tP rt₀;t₀`Ts, (1.3) upt, bq “ ubptq, @tP rt0;t0`Ts. (1.4) avecν un réel strictement positif,t0PR, T ą0,pa, bq PR², aăbet cune fonction positive.

On notetⁿ, nP v0, Ntwetxi, iP v0, Nxwles discrétisations régulières des intervallesrt0;t0`Tsetra;bsavec Ntpas de discrétisation en temps etNx pas de discrétisation en espace.

On souhaite implémenter deux schémas de résolution de cette E.D.P. : u^n`1_i ´uⁿ_i

∆t ´νu<sup>n`1</sup><sub>i`1</sub> ´2u<sup>n`1</sup><sub>i</sub> `u^n`1_i´1

∆x² `ciu<sup>n`1</sup>_i “f_i^n`1. (1.5)

et

u^n`1_i ´uⁿ_i

∆t ´νuⁿ<sub>i`1</sub>´2u<sup>n</sup><sub>i</sub> `uⁿ_i´1

∆x² `ciuⁿ_i “f_iⁿ. (1.6)

où∆t“T{N_t,∆x“ pb´aq{N_x, f_iⁿ“fptⁿ, x_iq, c_i“cpx_iqet uⁿ_i «uptⁿ, x_iq.

On rappelle que le premier schéma est le schéma d’Euler implicite et le second le schéma d’Euler explicite. Le schéma d’Euler implicite est inconditionnelement stable et le schéma d’Euler explicite est stable sous la condition de C.F.L.

ν ∆t

∆x² ď1 2.

On note,@nP v0, Ntw, UUUⁿ les vecteurs de dimensionNx`1,de composantesUUU<sup>n</sup><sub>i</sub> “u<sup>n</sup><sub>i´1</sub>,@iP v1, Nx`1w.

On étudie cette E.D.P. avec les donnéest0“0, T “2, a“ ´¹₂π, b“π, ν“3, k“4 cpxq “ 2x²`1,

fpt, xq “ `

2x²`1˘

cosp4tqsinpxq `3 cosp4tqsinpxq ´4 sinp4tqsinpxq, u₀pxq “ sinpxq,

uaptq “ ´cosp4tq, ubptq “ 0.

Dans ce cas, la solution exacte est donnée paruexpt, xq “cosp4tqsinpxq.

1

Q. 1 Pour résoudre l’E.D.P. par un schéma d’Euler implicite, le programme mainChaleurImplicite.m (script Matlab) est fourni, ainsi que les fonctions CalculF.m, NormInf.m et PlotSol.m dans l’archive dépo- sée avec ce sujet sur le serveur Discord ou CodesEDPchaleur.tar.gz

Il manque le fichierEulerImplicite.mcorrespondant à la fonction :

[t,x,u]=E u l e r I m p l i c i t e(E D P,N t,N x)

résolvant l’E.D.P. par un schéma d’Euler implicite avec

‚ EDP: structure, définie dansmainChaleurImplicite.m, contenant l’ensemble des données de l’E.D.P. à résoudre.

‚ Nt: nombre de pas de discrétisation en temps,

‚ Nx: nombre de pas de discrétisation en espace,

‚ t: discrétisation en temps (dimensionNt+1),

‚ x: discrétisation en espace (dimensionNx+1),

‚ u: u(i,n) solution approchée au temps t(n) et point x(i) (dimension (Nx+1,Nt+1)),

Ecrire la fonctionEulerImplicite. ‚

Q. 2 1. Pour résoudre l’E.D.P. par un schéma d’Euler explicite, le programmemainChaleurExplicite (script Matlab) est fourni, ainsi que les fonctionsCalculF.m, NormInf.metPlotSol.m (voir lien de la question précédente).

Il manque le fichierEulerExplicite.mcorrespondant à la fonction :

[t,x,u]=E u l e r E x p l i c i t e(E D P,N t,N x)

résolvant l’E.D.P. par un schéma d’Euler explicite. Les paramètres sont identiques à ceux de la fonction EulerImplicite.

Ecrire la fonctionEulerImplicite.

2. Dans le programme mainChaleurExplicite, changer le paramètreNtde2900 à2800.Que se passe-t’il

lors de la résolution ? ‚

Comme première application, résoudre numériquement par le schéma implicite d’Euler le problème de conduction thermique dans une barre de longueurL“6:

Bu

Btpt, xq ´νB²u

Bx²pt, xq “0, @pt, xq Ps0;Tsˆs0;Lr, (1.7)

upt0, xq “u0pxq, @xP r0;Ls, (1.8)

upt,0q “ugptq, @tP r0;Ts, (1.9)

upt, Lq “u_dptq, @tP r0;Ts. (1.10)

avecT“10, u0pxq “100,@xP r0, Ls

ugptq “

"

100´90t, @tP r0,1s 10, @tą1

udptq “

"

100´80t, @tP r0,1s 20, @tą1

Q. 3 1. Ecrire le programme Q3main.mpermettant de résoudre ce problème par le schéma d’Euler im- plicite.

2. Executer ce programme pour différentes valeurs deν (par exemple ν“0.1, ν“1etν “10. Qu’observe-

t’on ? ‚

Pour la seconde application, la seule modification par rapport à l’application précédente est que la conduc- tivité thermique est une fonction constante par morceaux en espace :

νpxq “

$

&

%

1, @xP r0,^L₃s 0.1 @xPs^L₃,^2L₃ s 1 @xPs^2L₃ , Ls.

2

Q. 4 Ecrire le programme Q4main.mpermettant de résoudre ce problème par leschéma d’Euler implicite.‚

˛ Créer une archive compressée nommées <NOM>-TP2-part2-Q1 à Q4 contenant l’ensemble des fi- chiers nécessaires à l’execution des programmes demandés en Q1 à Q4. Ici <NOM> correspond évidemment à votre nom.

˛ M’envoyer cette archive par mail avec poursujet"<NOM> TP2 part2 Q1a4".

A faire en 3h00 (temps indicatif )

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