Observateurs dynamiques généralisés pour les systèmes singuliers linéaires à temps discret

HAL Id: hal-01226794

https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-01226794

Submitted on 10 Nov 2015

HAL

is a multi-disciplinary open access archive for the deposit and dissemination of sci- entific research documents, whether they are pub- lished or not. The documents may come from teaching and research institutions in France or abroad, or from public or private research centers.

L’archive ouverte pluridisciplinaire

destinée au dépôt et à la diffusion de documents scientifiques de niveau recherche, publiés ou non, émanant des établissements d’enseignement et de recherche français ou étrangers, des laboratoires publics ou privés.

Observateurs dynamiques généralisés pour les systèmes singuliers linéaires à temps discret

Gloria Lilia Osorio Gordillo, Mohamed Darouach, Carlos Manuel Astorga Zaragoza, Latifa Boutat-Baddas

To cite this version:

Gloria Lilia Osorio Gordillo, Mohamed Darouach, Carlos Manuel Astorga Zaragoza, Latifa Boutat- Baddas. Observateurs dynamiques généralisés pour les systèmes singuliers linéaires à temps discret.

6e Journées Doctorales / Journées Nationales MACS, JD-JN-MACS 2015, Jun 2015, Bourges, France.

�hal-01226794�

Observateurs dynamiques g´en´eralis´es pour les syst`emes singuliers lin´eaires ` a temps discret

Gloria-Lilia OSORIO-GORDILLO

, Mohamed DAROUACH

, Carlos-Manuel ASTORGA-ZARAGOZA

, Latifa BOUTAT-BADDAS

1CRAN-CNRS (UMR 7039), Universit´e de Lorraine, IUT Longwy,

186, Rue de Lorraine, 54400 Cosnes et Romain, France.

mohamed.darouach@univ-lorraine.fr

2

Tecnol´ ogico Nacional de M´ exico - CENIDET,

Interior Internado Palmira S/N, Col. Palmira, Cuernavaca, Mor. M´ exico.

gloriaosorio@cenidet.edu.mx, astorga@cenidet.edu.mx

R´esum´e— Dans cet article nous consid´erons le probl`eme de synth`ese d’un observateur pour les syst`emes sin- guliers `a temps discret en utilisant un nouveau concept d’observateurs dynamiques g´en´eralis´es (ODG). L’avantage de ce nouveau concept est la structure de cet observa- teur, qui est plus g´en´erale que celle d’observateur propor- tionnel int´egral (OPI) et des observateurs proportionnels (OP). Des conditions n´ecessaires et suffisantes de stabilit´e de l’observateur dynamique g´en´eralis´e propos´e sont donn´ees sous formes d’in´egalit´es matricielles lin´eaires (LMIs).

Mots-cl´es— Observateur dynamique, syst`emes singuliers `a temps discret, LMI.

I. Introduction

Les syst`emes alg´ebro-diff´erentiels ou syst`emes singuliers peuvent ˆetre consid´er´es comme une g´en´eralisation des syst`emes dynamiques. Les syst`emes singuliers ont ´et´e in- troduits par [12]. Ils constituent un puissant outil de mod´elisation dans la mesure o`u ils peuvent d´ecrire des processus r´egis `a la fois par des ´equations diff´erentielles (dynamiques) et des ´equations alg´ebriques (statiques).

Ce formalisme repr´esente les ph´enom`enes physiques dont le mod`ele ne peut pas ˆetre d´ecrit par des ´equations diff´erentielles ordinaires. On les rencontre dans des domaines aussi vari´es que les industries chimiques et min´erales, la robotique et le domaine ´electrique (voir [15], [14], [10], [2], [5], [19], [6], [1]).

Au cours des derni`eres d´ecennies, une partie importante des activit´es de recherche en automatique s’est focalis´ee sur le probl`eme de l’observation de l’´etat des syst`emes dy- namiques. Ceci est motiv´e par le fait que l’estimation de l’´etat est une ´etape importante voire indispensable pour la synth`ese de lois de commande, pour le diagnostic ou la supervision des syst`emes industriels. Les premi`eres ap- proches utilis´ees pour l’estimation de l’´etat des syst`emes dynamiques standards sont bas´ees sur des techniques de Luenberger avec ou sans gain proportionnel. En pr´esence de perturbations, ce type d’observateur ne donne pas une bonne estimation d’´etat. Afin d’am´eliorer le rejet des perturbations, un observateur avec un gain proportion- nel int´egral peut alors ˆetre utilis´e. De mani`ere simi- laire, le probl`eme de la synth`ese d’observateurs pour les syst`emes singuliers lin´eaires a ´et´e trait´e par de nombreux chercheurs. Les approches propos´ees consid`erent des ob-

servateurs singuliers ou standards en utilisant le concept de la d´ecomposition en valeurs singuli`eres et de la ma- trice inverse g´en´eralis´ee. La synth`ese d’observateurs pour les syst`emes singuliers `a temps discret a ´et´e pr´esent´ee par [18] en utilisant l’approche des observateurs proportionnels int´egrals (OPI). Dans [7] et [17] une conception des observa- teurs proportionnels (OP) pour les syst`emes singuliers non lin´eaires `a temps discret a ´et´e trait´ee en utilisant l’in´egalit´e matricielle lin´eaire (LMI). Dans [9] une conception d’OP pour les syst`emes singuliers rectangulaires `a temps discret avec un retard variant dans le temps a ´et´e pr´esent´ee. Dans [11], les auteurs pr´esentent une conception d’OP pour les syst`emes singuliers non lin´eaires `a temps discret avec entr´ee inconnue, o`u l’estimation des ´etats et d’entr´ee inconnue est faite simultan´ement par l’augmentation du vecteur d’´etat par le vecteur d’entr´ee inconnue.

Cet article traite la conception d’observateurs dynamiques g´en´eralis´es (ODG) pour les syst`emes singuliers `a temps discret. Une nouvelle structure des observateurs, connus comme observateurs dynamiques, a ´et´e d´evelopp´ee par [8]

et par [13]. Cette structure pr´esente une estimation d’´etat alternative qui peut ˆetre consid´er´ee comme plus g´en´erale que les OP et des OPI, qui peuvent ˆetre consid´er´es comme des cas particuliers de cette structure. L’id´ee d’inclure une dynamique suppl´ementaire `a l’observateur a ´et´e pr´esent´ee par [8]. La principale contribution de notre travail est que cette nouvelle structure d’observateurs est plus g´en´erale que celles pr´esent´ees dans [7] et [8].

Cet article est organis´e de la fa¸con suivante: dans la sec- tion II, nous donnerons quelques r´esultats utiles pour notre

´

etude et par la suite nous pr´esenterons le probl`eme. Dans la section III, la proc´edure de synth`ese d’observateurs sera pr´esent´ee, en commen¸cant par la r´esolution des ´equations de Sylvester et par la suite, les conditions d’existence de notre observateur sont donn´ees sous forme d’in´egalit´es matricielles lin´eaires (LMI). Dans la section IV, nous pr´esenterons l’OPI et l’OP pour mettre en ´evidence leurs diff´erences avec l’ODG. Dans la section VI, l’observateur propos´e sera appliqu´e sur un exemple num´erique pour il- lustrer sa performace. La section V conclura notre travail.

II. Pr´eliminaires et formulation du probl`eme Dans cette section, nous rappelons quelques r´esultats n´ecessaires pour la suite de notre travail. Ensuite nous d´efinirons le type de syst`eme auxquel nous nous int´eressons ainsi que l’observateur consid´er´e.

Ici, nous pr´esontons le lemme du compl´ement de Schur qui est n´ecessaire pour que la formulation des LMIs soit faisa- ble.

Lemme 1 : Soit une matrice sym´etriqueS=

S₁₁ S₁₂ S₁₂^T S22

, les propositions suivantes sont ´equivalentes:

(1) S <0,

(2) S11<0, S22−S₁₂^TS₁₁⁻¹S12<0, (3) S22<0, S11−S12S₂₂⁻¹S₁₂^T <0.

Dans la sous-section III-B, nous utiliserons le th´eor`eme suivant pour r´esoudre LMIs.

Th´eor`eme 1 : [16] Soient les matricesB, C,D=D^T, les propositions suivantes sont ´equivalentes:

1. Il existe une matriceX satisfaisant BX C+ (BX C)^T+D<0.

2. Les deux conditions suivantes sont satisfaites B^⊥DB^⊥T <0 orBB^T >0 C^T⊥DC^T⊥T <0 orC^TC>0.

Nous supposons que la proposition 2 est satisfaite. Soient rbetrcrespectivement les rangs deBetC. S’il existe deux matrices Bl et Br de rang plein rb telle que B=BlBr, et deux matricesCl etCr de rang pleinr_c telle queC=ClCr, alors la matrice X peut ˆetre exprim´ee comme suit

X =B⁺_rKC⁺_l +Z − B⁺_rBrZClC_l⁺ o`uZ est une matrice arbitraire et

K=− R⁻¹B^T_l ϑC_r^T(CrϑC^T_r)⁻¹+S^1/2L(CrϑC_r^T)^−1/2 S=R⁻¹− R⁻¹B_l^T

ϑ−ϑC_r^T(CrϑC_r^T)⁻¹Crϑ BlR⁻¹ avec L une matrice arbitraire telle que kLk <1 et Rest une matrice arbitraire d´efinie positive telle que

ϑ= (BrR⁻¹B_l^T − D)⁻¹>0.

Dans cet article, nous consid´erons un syst`eme singulier

`

a temps discret de la forme suivante Ex(k+ 1) =Ax(k) +Bu(k)

y(k) =Cx(k) (1)

o`ux(k)∈R<sup>n</sup>est le semi-vecteur d’´etat,u(k)∈R<sup>m</sup>l’entr´ee du syst`eme, ety(k)∈R^p la sortie mesur´ee du syst`eme. La matriceE∈R<sup>n1×n</sup> est singuli`ere. Les matrices

A∈R^n1×n,B ∈R^n1×met C∈R^p×n sont connues.

Remarque 1 : Soitrank(E) =r < netE^⊥ ∈R^r1×n1une matrice de rang plein ligne tel que E^⊥E = 0, dans ce cas r1=n1−r.

Hypoth`ese 1 :

rank



 E E^⊥A

C



=n

Remarque 2 : L’hypoth`ese 1 est ´equivalente `a l’observabi- lit´e impulsionelle [3], [4]. C’est-`a-dire

rank



 E A

0 C

0 E



=rank(E) +n.

Pour le syst`eme (1), nous consid´erons l’observateur dy- namique g´en´eralis´e suivant:

ζ(k+ 1) =N ζ(k) +Hv(k) +F

−E^⊥Bu(k) y(k)

+J u(k) (2) v(k+ 1) =Sζ(k) +Lv(k) +M

−E^⊥Bu(k) y(k)

(3) ˆ

x(k) =P ζ(k) +Q

−E^⊥Bu(k) y(k)

(4) o`u ζ(k)∈R^q repr´esente le vecteur d’´etat de l’observateur, v(k) ∈ R^v est un vecteur auxiliaire, et ˆx(k) ∈ Rⁿ est l’estimation dex(k).

A travers les remarques suivantes, nous mettons en

´

evidence la forme g´en´erale de notre observateur ((2)-(4)).

Remarque 3 : a

• L’observateur ((2)-(4)) a une forme g´enerale et il g´en´eralise les observateurs existants; en effet:

– Si H = 0, S = 0, M = 0, F = 0 Fa

, Q= 0 Qa etL= 0, alors, nous obtenons l’observateur suivant:

ζ(k+ 1) =N ζ(k) +Fay(k) +J u(k) ˆ

x(k) =P ζ(k) +Qay(k)

qui est sous la forme d’un OP pour les syst`emes singuliers [7].

– SiL= 0,S =−C et M =−CQ+ 0 I

, alors, nous obtenons l’observateur suivant:

ζ(k+ 1) =N ζ(k) +Hv(k) +F

−E^⊥Bu(k) y(t)

+J u(k) v(k+ 1) =y(k)−Cx(k)ˆ

ˆ

x(k) =P ζ(k) +Q

−E^⊥Bu(k) y(t)

qui est sous la forme d’un OPI pour les syst`emes singuliers

`

a entr´ee inconnue.

• L’ordre de l’observateur ((2)-(4)) est q ≤ n. Alors, si q=n−p, nous obtenons un observateur d’ordre r´eduit, et siq=n,nous obtenons un observateur d’ordre plein.

Dans ce qui suit, la proc´edure de synth`ese d’observateurs sera pr´esent´ee, en commen¸cant par la m´ethode de r´esolution des ´equations de Sylvester et, par la suite, l’´etude de stabilit´e.

III. Principaux r´esultats

Dans cette section, nous pr´esentons une nouvelle m´ethode pour la synth`ese de l’observateur ((2)-(4)) du syst`eme (1) qui garantie que l’erreur d’estimation e(k) = ˆ

x(k)−x(k) converge asymptotiquement vers z´ero quand k→ ∞.

Le lemme suivant donne les conditions d’existence de l’observateur ((2)-(4)).

Lemme 2 : Pour le syst`eme (1), l’observateur ((2)-(4)) existe si et seulement si, la matrice

N H S L

est Hurwitz, et s’il existe une matriceTde dimensions appropri´ees telles que les conditions suivantes soient satisfaites:

(a) N T E+F E^⊥A

C

−T A= 0 (b) J =T B

(c) M E^⊥A

C

+ST E= 0 (d)

P Q



 T E E^⊥A

C



=In

Preuve 1 : SoitT ∈R^q×n1,en posant ε(t) =ζ(t)−T Ex(t)

l’´ecart entre ζ(t) et T Ex(t). Alors sa dynamique est donn´ee par

ε(k+ 1) =N ε(k) +

N T E−T A+F E^⊥A

C

x(k) + (J−T B)u(k) +Hv(k)

(5)

en utilisant la d´efinition de ε(k), les ´equations (3) et (4) peuvent ˆetre ´ecrites comme suit:

v(k+ 1) =Sε(k) +

M E^⊥A

C

+ST E

x(k) +Lv(k)

(6) ˆ

x(k) =P ε(k) + P Q



 T E E^⊥A

C



x(k) (7) Maintenant, si les conditions (a)-(d) du Lemme 2 sont sa- tisfaites (c-`a-dε(k+ 1) etv(k+ 1) sont ind´eependantes de l’´etat et de l’entr´ee) alors,ε(k+ 1) etv(k+ 1) peuvent ˆetre

´

ecrites comme suit:

ε(k+ 1) v(k+ 1)

| {z }

ϕ(k+1)

=

N H S L

| {z }

A

ε(k) v(k)

| {z }

ϕ(k)

(8)

et l’erreur d’estimation e(k) = ˆx(k)−x(k) devient:

e(k) =P ε(k) Dans ce cas, siAest Hurwitz, donc lim

k→∞e(k) = 0.

Les conditions (a)-(d) du Lemme 2 ont la forme d’un syst`eme d’´equations de Sylvester.

Maintenant, la synth`ese de l’observateur ((2)-(4)) revient

`

a d´eterminer les matrices N,F, J, H, L,M,S, P, Q, et T tel que le Lemme 2 soit satisfait.

A. Param´etrisation de l’observateur dynamique

Dans cette sous-section, nous allons pr´esenter la param´etrisation des matrices N, F, J, H, L, M, S, P, Q, etT de l’observateur dynamique (2)-(4) en r´esolvant les

´

equations de Sylvester (a)-(d) du Lemme 2.

Afin de simplifier les notations et de r´e´ecrire les diff´erentes

matricesN,F,J,H,L,M,S,P,Q, etT , d´efinissons les matrices suivantes:

Ω =



 E E^⊥A

C



,P₁= Σ⁺ Iq

0

,Q₁= Σ⁺ K

Ir₁+p

, N1=T1AΣ⁺

I_q 0

, N2=T2AΣ⁺ I_q

0

,T1=RΩ⁺ I_n1

0

, N3= (In₁+r₁+p−ΣΣ⁺)

Iq

0

,T2= (In₁+r₁+p−ΩΩ⁺) In₁

0

, K₁=RΩ⁺

0 Ir₁+p

,K₂= (I_n1+r1+p−ΩΩ⁺) 0

Ir₁+p

, K˜1=T1AΣ⁺

0 I_r1+p

, ˜K2=T2AΣ⁺ 0

I_r1+p

, K˜3= (Iq+r₁+p−ΣΣ⁺)

0 Ir₁+p

,F1=T1AΣ⁺ K

Ir₁+p

, F₂ = T₂AΣ⁺

K Ir₁+p

, F₃ = (I_q+r1+p −ΣΣ⁺) K

Ir₁+p

, et soitR∈R^q×nune matrice de rang plein ligne et la matrice Σ =



 R E^⊥A

C



tel querank(Σ) =n.

Le lemme suivant donne la forme g´en´erale des matricesT, S,M,P,Q,N etF.

Lemme 3 : Sous l’hypoth`ese 1, la forme g´en´erale respec- tive des matricesT,S,M,P,Q,N etF est

T =T₁−Z₁T₂ (9)

S=−Y1N3 (10)

M =−Y1F3 (11)

P =P₁ (12)

Q=Q1 (13)

N =N1−Z1N2−Y3N3 (14) F =F1−Z1F2−Y3F3 (15) o`uZ₁,Y₁, etY₃sont des matrices arbitraires de dimensions appropri´ees.

Preuve 2 : les conditions (c) et (d) peuvent ˆetre r´e´ecrites de la fa¸con suivante:

S M P Q



 T E E^⊥A

C



= 0

I_n

(16)

la condition n´ecessaire et suffisante pour que l’equation (16) ait une solution est

rank



 T E E^⊥A

C



=rank











 T E E^⊥A

C 0 I_n













=n (17)

En supposant que le rank Ω

Σ

= rank(Ω), alors, il existe toujours des matrices T ∈ R^q×n, et K ∈ R^q×(r1+p) telle que

T E+K E^⊥A

C

=R (18)

o`u R est une matrice arbitraire telle que rank(Σ) = n.

L’´equation (18) peut ´egalement ˆetre r´e´ecrite de la fa¸con

suivante:

T K

Ω =R (19)

Commerank Ω

R

=rank(Ω), la solution g´en´erale de (19) est donn´ee par

T K

=RΩ⁺−Z1(In₁+r₁+p−ΩΩ⁺)

O`u Ω⁺est une inverse g´en´eralis´ee de Ω v´erifiant ΩΩ⁺Ω = Ω.

Ce qui donne

T =T₁−Z₁T₂ (20) K=K1−Z1K2 (21) o`uZ1 est une matrice arbitraire de dimension appropri´ee.

En consid´erant (18), nous pouvons obtenir



 T E E^⊥A

C



=

Iq −K 0 Ip

Σ (22)

En rempla¸cant (22) dans (16), nous obtenons S M

P Q

I_q −K 0 Ip

Σ =

0 In

(23) et comme Σ est de rang plein colonne, la solution g´en´erale de (23) est donn´ee par

S M P Q

Iq −K 0 Ip

= 0

In

Σ⁺−

Y1

Y2

In₁+r₁+p−ΣΣ⁺ (24) O`u Σ⁺est une inverse g´en´eralis´ee de Σ v´erifiant ΣΣ⁺Σ = Σ.

Ce qui donne

S =−Y1N3 (25) M =−Y1F3 (26)

P =P₁ (27)

Q=Q₁ (28)

o`u Y2 = 0 et Y1 est une matrice arbitraire de dimensions appropri´ees.

En rempla¸cantT Ede (18) dans la condition (a) on obtient N

R−K

E^⊥A C

+F

E^⊥A C

=T A N R+ ˜K

E^⊥A C

=T A (29)

o`u ˜K=F−N K, l’´equation (29) peut ˆetre r´e´ecrite comme suit

N K˜

Σ =T A (30)

et la solution g´en´erale de (30) est donn´ee par

N =N₁−Z₁N₂−Y₃N₃ (31) K˜ = ˜K₁−Z₁K˜₂−Y₃K˜₃ (32) o`u Z₁ et Y₃ sont des matrices arbitraires de dimensions appropri´ees.

Comme N, T, K, et ˜K sont des matrices connues, nous pouvons d´eduire la forme de F:

F =F1−Z1F2−Y3F3 (33)

B. Synth`ese de l’observateur dynamique g´en´eralis´e Dans cette sous-section, les conditions nec´essaires pour la synth`ese de notre observateur dynamique g´en´eralis´e donn´ee par ((2)-(4)). Cette synth`ese est obtenue de telle sorte que la matriceAdonn´ee dans (8) soit stable.

En utilisant (10) et (14); la dynamique d’erreur d’observateur donn´ee dans (8) peut ˆetre r´e´ecrite comme

ϕ(k+ 1) = (A1−YA2)ϕ(k) (34) o`u A1=

N1−Z1N2 0

0 0

,Y=

Y3 H Y1 L

, et A2=

N3 0 0 −Iv

.

Le th´eor`eme suivant donne les conditions d’existence et de stabilit´e de l’observateur ((2)-(4)) sous forme d’in´egalit´e matricielle lin´eaire.

Th´eor`eme 2 : Sous l’hypoth`ese 1; il existe deux matrices YetZ₁tel que le syst`eme (34) est asymptotiquement stable s’il existe des matrices sym´etriques positives d´efiniesX1et X2 et une matriceW1telles que les LMIs suivantes soient satisfaites

X2−X1>0 (35)





−N₃^T⊥X1N₃^T⊥T (∗) (∗) X1N1N₃^T⊥T −W1N2N₃^T⊥T −X1 (∗) X1N1N₃^T⊥T −W1N2N₃^T⊥T −X1 −X2



<0 (36) avec

Z1=X₁⁻¹W1 et (37)

Y=X⁻¹(B_r⁺KC⁺_l +Z − B⁺_rB_rZC_lC_l⁺) (38) o`u Z est une matrice arbitraire et

K=− R⁻¹B^T_lϑC_r^T(CrϑC_r^T)⁻¹+S^1/2L(CrϑC_r^T)^−1/2 (39) ϑ=(B_rR⁻¹B^T_l − D)⁻¹>0 (40) S=R⁻¹− R⁻¹B_l^T

ϑ−ϑC_r^T(CrϑC_r^T)⁻¹Crϑ

BlR⁻¹ (41)

avec D =









−X1 (∗) (∗) (∗)

−X1 −X2 0 0 X₁N₁−W₁N₂ 0 −X₁ (∗) X1N1−W1N2 0 −X1 −X2







 ,B = 0

Iq+v

, C=

N3 0 0 −Iv

0

,Lune matrice arbitraire telle que kLk < 1 et R est une matrice d´efinie positive choisie de telle queϑsoit d´efinie positive.

Les matrices Cl, Cr, Bl, et Br sont de rang plein telles queC=ClCret B=BlBr.

Preuve 3 : Soit la fonction de Lyapunov suivante V(ϕ(k)) =ϕ(k)^TXϕ(k) (42) avecX =

X1 X1

X₁ X₂

>0 etX1=X₁^T >0. En utilisant le lemme du compl´ement de Schur 1, on obtientX2−X1>0.

Maintenant, la diff´erence de temps deV(ϕ(k)) le long de la solution de (2)-(4) est donn´ee par

∆V(ϕ(k)) =V(ϕ(k+ 1))−V(ϕ(k)) (43)

=ϕ(k+ 1)^TXϕ(k+ 1)−ϕ(k)^TXϕ(k) (44)

=ϕ(k)^T(A1−YA2)^TX(A1−YA2)ϕ(k)

−ϕ(k)^TXϕ(k) (45)

L’in´egalit´e ∆V(ϕ(k)) <0 est valable pour tout ϕ(k)6= 0 si et seulement si

(A1−YA2)^TX(A1−YA2)−X <0. (46) SoitX >0,en utilisant le compl´ement de Schur pour (46), nous obtenons:

−X (A1−YA2)^TX X(A1−YA2) −X

<0 (47) qui peut ˆetre r´e´ecrite comme

BX C+ (BX C)^T+D<0 (48) o`uX =XY,B=

0

−Iq+v

,C=

A2 0 , et D=

−X A^T1X XA1 −X

.

Selon le Th´eor`eme 1, l’in´egalit´e (48) est ´equivalente `a B^⊥DB^⊥T <0 (49) C^T⊥DC^T⊥T <0 (50) avecB^⊥ =

I_q+v 0

,C^T⊥ =

N₃^T⊥ 0 0

0 Iq+v

et W1 = X1Z1. En substituant les matrices B^⊥, et D dans l’in´egalit´e (49), nous obtenons (35), et en substituant les matricesC^T⊥,DetW1dans l’in´egalit´e (50), nous obtenons (36).

IV. Cas particuliers

Dans cette section, nous traitons les cas particuliers soulign´es dans la Remarque 3.

A. Observateur proportionel Consid´erons l’OP suivant:

ζ(k+ 1) =N ζ(k) +Fay(k) +J u(k) (51) ˆ

x(k) =P ζ(k) +Qay(k) (52) la dynamique d’erreur d’observateur (34) devient

ε(k+ 1) = (A1−YA2)ε(k) (53) o`uA1=N1−Z1N2, A2=N3 etY=Y3. Par cons´equent, les matricesD,Bet Cdu th´eor`eme 2 deviennent

D=

−X (∗) X(N₁−Z₁N₂) −X

, B= 0

I_q

etC= N₃ 0

.

B. Observateur proportionnel int´egral Consid´erons l’OPI suivant:

ζ(k+ 1) =N ζ(k) +Hv(k) +F

−E^⊥Bu(k) y(k)

+J u(k) (54)

v(k+ 1) =y(k)−Cx(k)ˆ (55)

ˆ

x(k) =P ζ(k) +Q

−E^⊥Bu(k) y(k)

(56) la dynamique d’erreur d’observateur (34) devient

ϕ(k+ 1) = (A1−YA2)ϕ(k) (57) o`u A1=

N1−Z1N2 0

−CP1 0

,A2=

N3 0 0 −Iv

et Y=

I 0

Y₃ H

. Par cons´equent, les matrices D,B et C du th´eor`eme 2 deviennent

D=









−X1 (∗) (∗) (∗)

−X1 X2 0 0

X₁(N₁−Z₁N₂)−X₁CP₁ 0 −X1 (∗) X₁(N₁−Z₁N₂)−X₁CP₁ 0 −X₁ −X₂







 ,

B= 0

Iq+v

et C=

N3 0 0 −Iv

0

.

V. Exemple num´erique

Afin d’illustrer nos r´esultats, nous consid´erons le syst`eme singulier d´ecrit par (1) avec les matrices suivantes:

E=

"1 0 0

0 1 0

0 0 0

# , A=

"0.7 1 0

0 0.5 0

0 1 0.3

# , B=

"1

−1 1

#

etC= [0 0 1]

L’observateur d’ordre r´eduit est obtenu pour q = 2, soit

R=

1 0 0

0 1 0

tel querank(Σ) = 3. Les matricesR,LetZ ont ´et´e choisies commeR=I4, L=







0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1





 et

Z=







8 2 9 7 3 9 2

9 3 7 5 9 7 3

9 2 8 5 8 6 1

9 3 8 5 1 5 1





.

En utilisant le LMI toolbox de MATLAB, nous avons r´esolu les in´egalit´es (35) et (36). Les gains d’observateur sont obtenus en utilisant le Th´eor`eme 2.

N=

0.7 −0.19

0 0

, H=

0.18 −0.06

−0.03 −0.05

, S=

0 0.04

0 0

,

F=

0.36 0.57 −0.11 0.27 −0.1 −0.08

, J= 1

−0.34

, L=

−0.08 0

0 0

, M=

0.01 −0.03 0

−0.15 0.15 0.04

,

P=

"1 0 0 0.34 0 −0.09

#

et Q=

" 0 0 0 0.42 0.46 −0.13 0.16 −0.13 0.95

# .

A partir de la Section IV-A, et en choisissant

R=

8 3 7

6 2 5

,R=I₂×0.01,L= 0.1

0.1

etZ=

8 2 9 7

9 3 7 5

, on trouve les matrices d’OP suivantes:

N=

0.42 0.37 0.31 0.29

, Fa=

57.61 15.54 43.15 11.66

, J= 48.6

36.57

,

P=

"−0.05 0.24 0.11 −0.15 0.11 −0.15

#

et Q=

"−1.37 0 0.98 0

−0.02 1

# .

A partir de la Section IV-B, et en choisissant

R =

8 3 7

6 2 5

, R = I₄×0.0001, L =







0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1





 et

Z =







8 2 9 7 3 9 9

9 3 7 5 9 2 3

9 2 8 5 3 6 1

9 3 8 0 1 5 1





, on trouve les matrices d’OPI suivantes:

N=

0.8 −0.14 0.33 0.26

, H=

0.31 −0.73 0.27 −0.26

, J= 98.31

73.8

,

F=

66.88 62.79 18.79 50.03 47.22 14.13

, P=

"−0.01 0.19 0.04 −0.06 0.09 −0.12

#

et

Q=

"−2.44 −2.45 0.73 0.48 0.52 −0.14 0.14 −0.15 0.96

# .

Afin d’´evaluer la performance de notre observateur, une variation param´etrique ∆A a ´et´e rajout´ee dans la ma- trice du syst`emeA, donc la matrice devient (A+ ∆A) o`u

∆A=δ(t)×

_{0.3 0 0.2}

0 0.1 0.3 0.2 0.2 0

. Les r´esultats de la simulation sont repr´esent´es dans les figures 1-5. L’entr´ee consid´er´ee est repr´esent´ee sur la figure 1. La figure 2 montre le com- portement de variation param´etrique δ(k). Les figures 3-5 montrent les ´etats du syst`eme et de leurs estimations par le ODG, OPI et OP.

0 20 40 60 80 100

−0.5 0 0.5

Samples

u(k)

Fig. 1. Entr´ee.

0 20 40 60 80 100

−0.5 0 0.5

Samples

δ(k)

Fig. 2. Variation param´etriqueδ(k).

0 20 40 60 80 100

−1 0 1

Samples

x₁ ˆ x₁

ODG

ˆ x₁

OP I

ˆ x₁

OP

Fig. 3. Estimation dex1(k).

0 20 40 60 80 100

−1 0 1

Samples

x₂ ˆ x₂

ODG

ˆ x₂

OP I

ˆ x_2OP

Fig. 4. Estimation dex2(k).

0 20 40 60 80 100

−2 0 2

Samples

x₃ ˆ x₃

ODG

ˆ x_{3OP I} ˆ x_3OP

Fig. 5. Estimation dex3(k).

A partir de ces r´esultats de simulation, on peut voir que notre observateur est robuste aux incertitudes

param´etriques et il a une meilleure estimation de l’´etat non mesur´ee.

VI. Conclusion

Dans cet article nous avons propos´e une nou- velle m´ethode de synth`ese d’un observateur dynamique g´en´eralis´e (ODG) pour les syst`emes singuliers lin´eaires

`

a temps discret. L’observateur propos´e a une forme qui g´en´eralise l’OP et l’OPI et unifie la synth`ese d’observateurs d’ordre r´eduit, d’ordre plein et d’ordre min- imal. L’approche propos´ee repose sur la param´etrisation des solutions des ´equations de Sylvester pour ´eliminer le bi- ais entre l’erreur d’observation et la paire (entr´ee/ ´etat). La stabilit´e de l’observateur a ´et´e d´emontr´ee par la m´ethode de Lyapunov et la solution finale est obtenue sous une for- mulation LMI. Un exemple a ´et´e donn´e pour montrer les performances et la robustesse de notre approche.

R´ef´erences

[1] J. M. Araujo, P. R. Barros, and C. E. T. Dorea. Design of ob- servers with error limitation in discrete-time descriptor systems:

A case study of a hydraulic tank system.IEEE Transactions on Control Systems Technology, pages 1041–1047, 2012.

[2] B. Boulkroune, M. Darouach, M. Zasadzinski, S. Gill´e, and D. Fiorelli. A nonlinear observer design for an activated sludge wastewater treatment process.Journal of Process Control, pages 1558–1565, 2009.

[3] L. Dai. Observers for discrete singular systems. IEEE Transac- tions on Automatic Control, pages 187–191, 1988.

[4] L. Dai. Singular control systems. InLecture Notes in Control and Information Sciences. Springer, 1989.

[5] M. Darouach.H∞unbiased filtering for linear descriptor systems via LMI.IEEE Transactions on Automatic Control, pages 1966–

1972, 2009.

[6] M. Darouach. On the functional observer for linear descriptor systems. Systems & Control Letters, pages 427–434, 2012.

[7] M. Darouach, L. Boutat-Baddas, and M. Zerrougui. H∞ ob- servers design for a class of discrete time nonlinear singular sys- tems. In18th Mediterranean Conference on Control & Automa- tion, 2010.

[8] G. C. Goodwin and R. H. Middleton. The class of all stable unbiased state estimators. Systems & Control Letters, pages 161–163, 1989.

[9] Y. Lin. Observer design for rectangular discrete-time singular systems with time-varying delay. International Journal of the Physical Sciences, pages 423–431, 2012.

[10] P. Liu, E. Zhang, X. Yang, and L. Yang. Passivity and optimal control of descriptor bilogical complex systems. IEEE Transac- tions on Automatic Control, pages 122–125, 2008.

[11] S. Liying and C. Zhaolin. Observer design for discrete-time de- scriptor systems with unknown inputs and inputs estimation. In 5th Asian Control Conference, 2004.

[12] D. G. Luenberger. Dynamic equations in descriptor form.IEEE Transactions on Automatic Control, pages 312–321, 1977.

[13] H. J. Marquez. A frequency domain approach to state estima- tion. Journal of the Franklin Institute, pages 147–157, 2003.

[14] P. C. M¨uller. Modelling and control of mechatronic systems by the descriptor approach. Journal of Theorical and Applied Mechanics, pages 593–607, 2005.

[15] P. C. M¨uller and M. Hou. On the observer design for descriptor systems.IEEE Transactions on Automatic Control, pages 1666–

1671, 1993.

[16] R. E. Skelton, T. Iwasaki, and K. Grigoriadis.A unified algebraic approach to linear control design. Taylor & Francis, 1998.

[17] Z. Wang, Y. Shein, X. Zhang, and Q. Wang. Observer design for discrete-time descriptor systems: An lmi approach. Systems /& Control Letters, 61:683–687, 2012.

[18] A. G. Wu, G. R. Duan, J. Dong, and Y. M. Fu. Design of proportional-integral observers for discrete-time descriptor linear systems. IET Control Theory and Applications, pages 79–87, 2009.

[19] L. Zhou and G. Lu. Detection and stabilization for discrete- time descriptor systems via a limited capacity communication channel.Automatica, pages 2272–2277, 2009.