Les tensions thermiques dans le milieu cristallin

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Les tensions thermiques dans le milieu cristallin

Par J. Laval

To cite this version:

Par J. Laval. Les tensions thermiques dans le milieu cristallin. J. Phys. Radium, 1959, 20 (6), pp.577-588. �10.1051/jphysrad:01959002006057700�. �jpa-00236104�

LE JOURNAL DE PHYSIQUE

ET

LE ^RADIUM

Tome 20 N° 6 JUIN 1959

LES TENSIONS THERMIQUES DANS LE MILIEU CRISTALLIN Par J. LAVAL,

Collège de France, ^Paris.

Résumé. 2014 Les forces de rappel développées ^par l’agitation thermique n’obéissent pas à la loi de Hooke. En conséquence, ^les atomes, ^en oscillant, ^{exercent les uns sur} les autres des forces

répulsives sensiblement constantes au cours du temps. Les tensions thermiques ^{que deux} parties

d’un cristal exercent l’une sur l’autre sont égales ^aux résultantes, rapportées ^{à l’aire} unitaire, ^des

forces répulsives ^{exercées par} les atomes d’une partie ^{sur les atomes} de l’autre partie. ^{Par cette} définition, ^on parvient à évaluer les tensions thermiques ^en fonction de la température ^{et des} propriétés fondamentales du milieu cristallin : son énergie potentielle ^{et ses} translations élémen- taires. On trouve, qu’aux températures ^{basses et} moyennes, les tensions thermiques ^sont propor- tionnelles aux carrés ^des amplitudes quadratiques moyennes des oscillations thermiques ^fonda-

mentales.

Abstract. ²⁰¹⁴ Interatomic forces ^{developed by thermal} agitation ^{do not} obey Hooke’s law.

Consequehtly, by oscillating, ^the atoms exert on one another repulsive forces which are sensibly

constant over a period ^{of time. Therm} alstrains which two parts ^{of a} crystal ^{exert on each other}

are equal ^{to the} résultants, ^{referred to unit} area, of the repulsive forces exerted by ^{the atoms}

of one part upon the ^atoms of the other part. By ^this definition, ^{it is} possible ^to estimate the ther- mal tensions as a function of the temperature ^{and of} the fundamental properties of the crys- talline medium : its potential energy and its elementary translations. We find that, ^{at low and} intermediate temperatures, thermal tensions are proportional ^to the squares ^of the average qua- dratic amplitudes ^{of the} fundamental thermal oscillations.

Je ferai usage ^du repère orthonormé, ^{des sym-}

boles et des relations définis dans le mémoire inti- tulé ^« L’agitation thermique ^{des atomes dans le}

milieu cristallin » [1], ^et je rappellerai les formules inscrites dans ^ce mémoire par leur numéro d’ordre

suivi du chiffre ^{romain I. °}

Les tensions thermiques ^et les forces qui ^{les cons-}

tituent sont analysables ^en composantes ^définies

par. des polynômes ^{homogènes par rapport aux} amplitudes ^{moyennes Asr} (24-1) ^des oscillations fondamentales. Je classerai ces composantes ^selon

l’ordre de leur degré croissant par rapport ^aux

mêmes amplitudes. Et, ^sauf indication contraire,

le degré ^{de toute} grandeur prise ^en compte : force, tension,..., ^{sera celui} qui ^{’concerne les} ampli-

tudes AS4f..En outre, ^{il sera entendu} que le milieu cristallin est ^en équilibre thermique, c’est-à-dire à,

température ^{constante et uniforme.}

I. Les forces thermiques sensiblement cons-

tantes au cours du temps. ^{- Une} force, 1% ^{(0152 =1,}

2,3), développée par l’agitation thermique ^s’exerce

sur chaque ^{atome. Elle peut être résolue en compo-}

santes, cp i, ^{n0153 de degrés n croissant par rapport aux}

amplitudes As, ; n =1, 2, ^{3 ... Et} chaque

force (p mj , ^de degré pair (n ⁼ 1,2,3 ...), comprend

elle-même une composante Jg 2n sensiblement

2n oe

constante au cours du temps. ^{De la} sorte, ^{dans un}

cristal maintenu à la même température, ^une force, / 7, sensiblement constante, ^{s’exerce sur} chaque ^{atome :}

et

La force f m ^{(40-1) est} développée par l’oscil-

620153 .S-r

lation fondamentale Sr, ^{la force} f - 640153. ’f ^{si, par}

deux oscillations fondamentales 81’ et S’T’, ^la

Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphysrad:01959002006057700

force /041% 64 0153 .S’t-:J:.S’-r’ ^{... par la} composante, ^du,

deuxième degré, ^de- l’oscillation secondaire S,r +- ^S’,r’ [1]. ^En général, ^{toute force} t ^{2n 1%? est la}

résultante de forces 2t&,% Sr... développées ^indivi-

duellement par 1, 2, ..., n oscillations fonda-

mentales, par ^une seule composante, ^celle qui ^{a le} degré 2n, ^{d’une seule} oscillation secondaire, par

plusieurs composantes d’oscillations secondaires différentes : si 2n,, 2n2, .... sont ^les degrés ^{de ces} composantes

a, b, ^{..., étant des nombres} entiers. Et chaque

force f ? ^{se répète sur tous les atomes en}

même position dans la maille :

Enfin, compte ^{tenu des relations} (9-1), ^toute

force f 62n j 0153 ,S’t... ^{, ... appliquée sur un atome, mj,}

peut être résolue en forces élémentaires : f 62n 11 0153 ^.S’t...

exercées par ^un seul atome pk, t 62n jlJc 0153 exer-

cées par deux ^atomes distincts pk ^et ql, ^{... :}

Parmi ces forces élémentaires, ^celles qui ^{sont de} beaucoup ^les plus importantes, ^sont les forces

et

Les coefficients Cif3, ^{..., ,} ClY, ^{et les} phases 27t q/f3,

..., 27ryly ^se rapportent ^à l’oscillation princi- pale ^S’T.

Développons, ^en série, ^les énergies potentielles biatomiques wr;-1, triatomiques, w§l.j§.$, ^... (2-1),

d’abord par rapport ^aux déplacements ^{absolus des}

atomes ui0153, uk«, ulqa, ^..., puis par rapport ^{à leurs} déplacements ^relatifs Ujma ^- uka, ei’x - uf", ^....

Nous obtenons deux séries où les déplacements

absolus Win, ukp, ^{..., leurs} produits ujma ukp, ^...,

comportent ^des coefficients égaux. ^{Cela donne :}

et

Les expressions ^{des forces} élémentaires

s’obtiennent de même.

Cela posé, nous avons :

et

Au cours du temps les oscillations fondamentales

, échangent ^de l’énergie, par quantums hvsr, ^leurs amplitudes ^{moyennes As,} (24-1) varient, ^{et les} forces élémentaires 6,2n ; 0153 k ,S’t... 92.n ^(X.

fluctuent. Mais à température constante l’énergie

de l’agitation thermique reste constante. Les quan- tums d’énergie perdus par des oscillations fonda- mentales sont repris par d’autres oscillations fonda- mentales. ^En conséquence, ^{les forces} globales f e â k f 61Ji, . ^{,.. (12) ne fluctuent pas} sensiblement au cours du temps ; ^{elles ont} sensiblement _pour

expression :

où ,, sont les intensités

. quadratiques moyennes des forces élémentaires.

II. Les tensions thermiques [2]. ^- Envisageons

le cristal divisé par ^un plan ^{P en deux} parties A

et B (fig. 3). ^{La tension} thermique T6.AB’ dirigéé

--> ^.

suivant ^{l’axe de} coordonnées Oxa, exercée, ^{dans le}

-->

plan ^P normal ^{à l’axe} Oxy, par le demi-cristal A

sur le demi-cristal B, ^est égale ^{à la} résultante, rapportée ^{à l’aire} unitaire, ^{des forces} / ’71, f n1, ^{..., (12)} exercées par les ^atomes pk, ql, ^{... ;}

situés dans la partie A, ^{sur les atomes} mj, ^situés

dans la partie B ; ^{et, l’indice AB omis :}

T 01,S-r ^{est la} tension exercée par les forces élémen-

taires f6 n , t 111 ,... ^-62 0153 ,S-r 62 ^M .S-r ^{elle est donc déve-}

lpppée par l’oscillation fondamentale ST ; Ts2â,s,s’’

est la tension exercée par les forces f M ,

f 64 ’rIcî ex .8’t.S’’t’ ^{, ..., elle est donc} développée par les deux oscillations fondamentales ST _et S’T’ ; ^etc...

Au cours du temps, ^les tensions élémentaires

Toi§,s, T62.8’t.S’’t’, ..., ^{fluctuent comme les forces}

élémentaires (3, 4, 5) qui ^les produisent. Mais, ^à température constante, l’agitation thermique ^con-

serve la même énergie, ^et les tensions globales Teâ peuvent ^{être tenues} pour constantes. Les éga-

lités (13) ^{entre les forces} entraînent des égahtés

semblables entre les tensions :

T62,S’t’ T 1% ^{..., étant} les tensions quadra- tiques moyennes. Ainsi, ^{les tensions} thermiques

se rapportent ^aux amplitudes quadratiques

moyennes Asr des oscillations fondamentales. Les tensions partielles T61I, Te2«a ..., ^sont respecti-

vement du premier, ^{du second} degré ... par rap-

port ^aux carrés (AS-r)2 ^{de ces} amplitudes.

Les tensions thermiques dilatent le milieu cris- tallin. Les forces thermiques

(3, 4, 5) ^{sont donc en} majorité répulsives..

III. Les tensions thermiques ^{et les dimensions}

des trains d’ondes élastiques. ^{- J’ai} supposé ^que

les oscillations Ul jrJ..s,,: (23-1) accomplies ^{par les}

différents atomes d’un cristal ont toutes la même

phase temporelle ^{21t 6s-r} (26-1), ^donc qu’elles

forment un seul train d’ondes emplissant ^{le cristal}

entier. En fait, ^les échanges d’énergie ^{entre les}

oscillations fondamentales ont pour effet de frac- tionner les trains d’ondes élastiques, Et, ^selon

Peierls et A. Herpin, ^la longueur ^{de ces trains}

serait égale ^au libre parcours ^des phonons [3]. ^De

la sorte, ^{même si le} cristal ^est minuscule, ^toute

oscillation fondamentale, 8-r, ^forme plusieurs ^trains

d’ondes. Chacun transporte des oscillations ul a,sE qui ^{ont la même} phase temporelle 21t6s-.. ^{Mais cette} phase change d’un train d’ondes à ^un autre, ^{et aux}

frontières des trains d’ondes, les oscillations Ul jrJ.,s’t

sont perturbées.

Les trains d’ondes, Sr, formés par ^une même oscillation fondamentale ST conservent, ^{à toute} température, ^des dimensions très grandes par

rapport ^{à la} longueur ^d’onde élémentaire, A, ^celle qui ^se rapporte ^{au vecteur} d’onde fonda- mental S ; ^A = 1/1S1 [1]. ^Ces dimensions excèdent le rayon d’action sensible R des forces de

rappel f 1 ik Ot ,S’t ^{conformes à la loi de Hooke :}

Sinon, la matrice de Fourier serait indéterminée,

les oscillations fondamentales ne formeraient plus

de trairi d’ondes (1).

D’autre part, quand ^{les distances}

grandissent, ^les dérivées troisièmes Dnj’kv "t qua- trièmes ikis, ^{apya (1,7-I) de l’énergie poten-}

tielle (2-1) ^tombent rapidement ^{à zéro. Les forces} thermiques répulsives 62n i 0153 . k B-r ... , 62n i 0153 . k l S’t... ,...

(3, 4, 5) ^{admettent aussi un} rayon d’action ^sen-

sible r. Envisageons ^{dans un} cristal infiniment

grand ^{deux lames ,a et} b, d’épaisseur r, séparées

par ^un plan ^P (fig. 1), lequel ^divise le cristal en

, deux parties A ^{et B. Les forces} répulsives (3, 4, 5),

(1) Toutes les expériences qui ^{mettent en 0153uvre les oscil-}

lations thermiques du milieu cristallin : absorption ^et

réflexions sélectives des radiations infra-rouge, ^effet Raman, diffusion des rayons X ^et des neutrons, etc..., révèlent des trains d’ondes élastiques.

exercées sur les atomes situés dans une lame _a, par les ^atomes situés dans l’autre lame b, produisent

dans le plan ^{P des tensions} thermiques qui ^se

confondent sensiblement avec les tensions ther-

miques véritables, ^celles qui ^sont produites par les forces thermiques répulsives ^{exercées sur tous les}

atomes en nombre infiniment grand, ^{contenus dans}

la partie ^{A du} cristal, par ^tous les atomes, ^en nombre aussi infiniment grand, ^{contenus dans}

l’autre partie ^{B. ,}

Lorsque ^les distances lm + j -- p -- kl,

m ^{+ j - q -} 11, ^..., augmentent, ^{en restant en}

gros dans les mêmes rapports, les dérivées . troi- sièrnes Dink"71, _apy quatrièmes Eliill, _oefiyô décroissent ^t (en

valeur absolue) plus ^vite que les dérivées secondes Cnj--Pk ^{(6-1). Le} rayon d’action sensible des

a

forces thermiques répulsives ^{est donc inférieur à}

celui des forces de rappel (17) proportionnelles ^aux élongations ; ^{de ce} fait, les trains d’ondes formés par les oscillations fondamentales conservent tou-

jours des dimensions très grandes par rapport ^au

rayon d’action sensible des forces thermiques.

Pendant tout le temps que deux ^atomes mj ^et pk

se trouvent à l’intérieur d’un même train d’ondes 8-r, ^{la force} f 62 ’"i1 0153 ^{ST reste conforme à}

l’expression (4). Quand la frontière qui sépare ^deux

trains d’ondes _{Si passe} sur l’un ou sur l’autre des deux atomes mi ^et pk, ^et quand ^{elle se} déplace

entre eux, la force f 62 n 0153 ^,sT fluctue. Mais seules sont effectives les forces la 2 ik 0153 ^{,8-r qui s’exercent}

entre deux atomes séparés ^{par une distance} 1 m ^{+ j - p -} ksi inférieure au rayon ^r de leur action sensible ; ^et les dimensions des trains d’ondes étant très grandes par rapport ^{à ce} rayon, les forces f a2 ’"i1 0153 ,8’t effectives qui ^{fluctuent forment à} chaque instant une proportion minime des forces

f 62 11 0153 ^,S-r effectives qui ^sont présentes (S = 1, 2 ^...

N ; "t" ⁼ 1, ^{2 ...} 3g) (2). ^En outre’, ^cette propor- tion (3) ^{décroît avec} la distance lm ^{+ j} 2013p 2013 kl,

elle est d’autant plus ^faible que les forces 1 jf

sont plus ^intenses.

Lorsque ^{deux atomes} mi ^et pk ^{se trouvent dans}

deux trains d’ondes distincts, ^ils effectuent des oscillations UljrJ..S’t ^et ulk«,ST ^{dont les} phases ^tem-

(2) ^{N est} le nombre des motifs cristallins qui constituent le cristal.

(3) ^{Soient L} la dimension moyenne des trains d’ondes

(moyenne ^{en tous} sens), ^et f 62 i¿,8 les forces répulsives qui s’exercent entre deux atomes séparés par ^une dis- tance lm + j ^- p - hl sensiblement constante. A chaque instant, ^la proportion des forces f 921) AçT ^{qui fluctent est}

de l’ordre de :

581

porelles 2 ’7rOi.,s, ^et 2n6,k.s, ^sont différentes. Le fac- teur (Dm--Pgy ^{(8) devient (les indices 8 et r} omis)

Au cours du temps, ^la différence de phase 21t(emi - opk) ^{varie et} prend, ^sans doute, ^unifor-

mément toutes les grandeurs ^{entre 0 et} 2x ; ^le

facteur p’jay oscille autour de la moyenne

laquelle ^est sensiblement la moyenne des fac- teurs (Dl--15»’.Sr, prise ^{sur toutes} les transla- tions m -- p du réseau cristallin ( j, k constants).

De ce fait, ^les différences entre les phases tempo- relles des oscillations ulm".s, (23-1) transportées

par- deux trains drondes distincts n’entraînent

qu’une ^{variation minime} des forces f ’it .^{82 a .S’t}

Les fluctuations des forces f i aki. ^{sr sont plus}

fréquentes ^et plus amples ; ^{car les 3 atomes} m j, pk et ql peuvent ^{se trouver au même} instant dans trois trains d’ondes ^ST distincts. Mais entre les atomes séparés par des distances sensiblement

égales :

les forces te2 it1 0153 ,S’t ^{sont toujours} extrêmement

faibles _par rapport ^{aux forces} fo i :^{92 a , S-r}

Ce ^{sont les forces} i 02 i a k ^qui produisent ^la majeure partie des tensions thermiques.

Ainsi, ^{les tensions} thermiques ^sont perturbées

par l’incohérence des oscillations Ul i0153:s,,: ^trans- portées ^{par des trains d’ondes} différents. Les forces f 62 ik 0153 ,S-r ^et f 02 i a kt .Sr n’ont ^pas exactement,

dans le temps, les intensités moyennes données _par les expressions (4 ^et 5) (4). ^{Mais entre les forces}

(4) L’écart croît avec le degré n des forces thermiques répulsives ; ^{car les} trains d’ondes formés _par une oscil- lation secondaire ^sont de volume d’autant plus petit ^que

le degré n de l’oscillation est plus ^{élevé. Mais, sauf aux} températures proches ^du point ^de fusion, les tensions secondaires Tel0153, Talet., ^... (14) ^{sommées donnent un total .} qui ^{est minime} par rapport à la tension principale T6Ía:..

02 i k kt s,, véritables, et les forces définies par les expressions (4 ^et 5), ^{l’écart reste} léger.

Il diminue quand les trains d’ondes élastiques ^Sr grandissent, ^donc quand ^la longueur ^{d’onde élémen-}

taire A s’accroît. Et les forces f n , ^{02 0153 ,S-r les plus}

intenses, ^celles qui ^sont développées par les ^oscil-

lations acoustiques ^{de basse} fréquence, ^{ne sont} pas

sensiblement affectées _par l’incohérence des oscil- lations transportées par des trains d’ondes distincts.

Recherchant les propriétés essentielles des ten-

sions thermiques, je continuerai à faire état de forces thermiques répulsives produites par des oscillations fondamentales qui ^{forment un seul}

train d’ondes dans tout le volume du cristal.

IV. Les conditions d’équilibre du milieu, cris- tallin. ^- L’équilibre du milieu cristallin exige

deux conditions [4] : ^.

10 Les deux forces, constantes dans le temps, ’ appliquées ^sur chaque atome, ^l’une f ® â ^{01% (1), déve-}

loppée par l’agitation thermique, ^l’autre

- Bjma ^(11-1) par la dilatation thermique, ^{se com-} pensent :

20 Les tensions Tdâ AB (15 ; 16-1) produites par ^la dilatation thermique, ^sont égales ^et opposées ^aux

tensions thermiques T6.AB (14)

Supposons ^la position moyenne de chaque ^atome sur un centre de symétrie. ^A tout atome pk ^corres- pond ^{un atome} p’k, ^{à tout} atome ql correspond ^un

atome q’l, ^... tels que ^’

D’autre part, les oscillations fondamentales se

propagent ^{avec une vitesse uniforme et sont recti-} lignes :

(pi(X.S,r ⁼ tpi .S-r = - Sj

Ipia.s,r ⁼ IPI.SR = - sj donc

Et, compte ^{tenu des} égalités (20) ^{les facteurs}

(Dm---PPY ^et %D--,,--py (8-9) satisfont les rela- tions :

D’autre part, nous avons :

En conséquence, ^les iorces j e2 m « k s , f e2 i « ^S-r

_(4, 5) ^{exercées sur un même atome} mi, ^{sont deux}

à deux égales ^et opposées

Ces forces sont donc une résultante nulle (5) :

Les dérivées de l’énergie potentielle ^{de rang} impair ^{(les dérivées} troisièmes, cinquièmes, ... )

sont des fonctions impaires des translations

m + j- p - k, m + j - q - 1, ... du milieu

cristallin; donc les forces f62n iJ.s’t...’ t62n iJ .S-r...’ ¹

appliquées ^{sur un même atome, se font aussi équi-}

libre (2)

Et, compte ^{tenu de} (1), nous avons :

J’ai fait état de trains d’ondes élastiques ^illi-

mités. Ils sont de dimensions bornées. De ce fait,

les forces f 02n ik 0153 . S’t... , f 62n i a ki ^{.ST... fluctuent quand}

la frontière entre deux trains d’onde passe entre les atomes mi ^et pk, ^{entre les atomes} mj ^et ql, ^....

Mais, ^{dans le milieu} cristallin en équilibre ^ther- mique, ^ces fluctuations se compensent ^à chaque

instant, La force f i reste _dl. donc nulle. Ainsi, lorsque chaque ^{atome se trouve sur un centre de} symétrie

les conditions d’équilibre (18) ^se traduisent par des identités.

Dans la plupart ^des espèces cristallines les atomes

ne sont pas situés ^ou seulement situés en partie

sur des centres de symétrie. ^{Et les} égalités (21 ^et

21 bis) ^{ne sont} plus imposées par la symétrie ^du

milieu cristallin (6). Mais, ^{si les forces} thermiques

(5) Rappelons que la stabilité du milieu cristallin soumis

m aux tensions thermiques implique que la force ^- B â ^(11-1)

soit nulle.

(1) ^Notons que les conditions d’équilibre (18) ^et (19)

sont des conditions de stabilité nécessaires mais non suffi- santes. Compte ^{tenu de} l’agitation thermique, la stabilité est seulement atteinte si l’énergie ^{libre du} milieu cristallin

m m

est minimun. Par exemple,les forces ^(11-1) et/ i ^(1,2)

répulsives appliquées ^sur chaque ^{atome n’avaient}

pas ^une résultante nulle, ^les conditions d’équi-

libre (18) ^ne seraient pas remplies. ^Les égalités (22)

restent donc satisfaites quelles que s.oient la struc- ture atomique ^{et la} symétrie du milieu cristallin.

V. Grandeurs relatives des tensions T61’ T62I,...

- Dans de larges intervalles de température ^la

variation de -la dilatation thermique ^{reste sensi-}

blement proportionnelle ^{à celle} des tensions ther-

miques. ^D’autre part, ^aux températures moyennes, dès que toutes les oscillations fondamentales ont une énergie ^{voisine de kO} (7), les tensions To,y

croissent approximativement ^{comme la} tempé-

rature absolue 0, les tensions Te2« ^comme 02, ^les

tensions To3y ^comme 03, ... ; et l’expérience

révèle _{que les} coefficients de dilatation thermique

demeurent sensiblement constants, donc que la dilatation thermique varie suivant la même _{loi que} les tensions Tel«. Cet accord prouve qu’aux tempé-

ratures moyennes les tensions secondaires T62X, T03y, ^{... sont encore} minimes par rapport ^aux

tensions principales To,y. ^{Sinon à ces} températures,

les coefficients de dilatation linéaire ne resteraient pas sensiblement constants : par exemple, ^{si les}

tensions Te2« atteignaient seulement le dixième des tensions 2Tel«, ^les coefficients de dilatation seraient des fonctions linéaires de la température ;

ils augmenteraient ^ou diminueraient (8) ^nettement quand ^la température s’élèverait seulement de

quelques degrés centésimaux.

Donc, ^aux températures ^{basses et même aux} températures moyennes, les tensions thermiques ^se

réduisent sensiblement aux tensions princi- pales To,y ; ^{et les} amplitudes As, ^se confondent,

à des écarts minimes près, ^{avec les} amplitudes qua-

dratiques moyennes d’oscillations harmoniques

indépendantes : ^.

M étant la masse du cristal.

VI. Calcul des tensions thermiques qui ^{ont lieu}

dans un cristal à basse ou à moyenne température.

- J’évaluerai les tensions thermiques qui ^{ont lieu}

dans un cristal cubique centré, le motif mono-

atomique, ^{tel un} cristal de fer a. Cette structure et les tensions Td ^et Tjr qui ^ont lieu dans les cristaux de fer satisfont constamment les égalités (18) ^et (19) ^{en raison}

de la symétrie ^du milieu cristallin. Néanmoins les cristaux de fer subissent deux transformations allotropiques.

(1) ^{k est la constante de} Boltzmann ; ^{k =} 1,38 ^{X 10-16} erg/degré.

(8) Les coefficients de dilatation linéaire augmenteraient

ou diminueraient selon _que la tension secondaire To21 ^a le

sens de la tension principale Toil ^ou le ^sens opposés

étant simple, ^{le calcul est} allégé ^{et ne} comporte

nulle restriction essentielle. La méthode que je ^vais

suivre s’applique ^à l’évaluation des forces ther-

miques qui s’exercent dans n’importe quel ^cristal.

Je me référerai à la maille cubique, ^{les 2 atomes} qu’elle ^renferme placés ^{sur une} diagonale ^à égales

distances du centre ( fig. 2), ^et je prendrai ^{les trans-}

lations fondamentales du réseau cristallin égales

aux arêtes 1,,, (oc = 1, 2, 3) ^{de cette maille :}

Ainsi, ^{les 2} atomes contenus dans la maille

cubique ^sont situés, ^{l’un à} l’extrémité du vecteur

mené depuis ^le centre, ^{l’autre à} l’extrémité du vecteur ^- j. ^{L’indice 1 sera affecté aux atomes en} position - j, ^{l’indice 2 aux atomes en} position j.

En outre, je ^ferai état ^du motif cristallin _{formé par}

ces deux atomes de masses égales,

Le motif cristallin véritable étant monoatomique

toutes les oscillations fondamentales sont recti-

lignes ^{et se} propagent ^{avec une} vitesse uniforme :

Chaque ^{vecteur d’onde} fondamental pilote ^seu-

lement 3 oscillations qui ^sont orthogonales :

T =1, 2, 3 ;

et, compte ^{tenu de} (24-1)

En conséquence, ^{les facteurs} M-Pgy (8) ^et

(D---,*-115Y , ^{(9) ont pour} expression (les ^{indices S}

et rt omis) :

Prenons les axes de coordonnées dirigés ^suivant

les axes de symétrie quaternaires, l’origine ^dans

un plan ^P (100) qui ^divise le cristal en deux

parties ^{A et B} (fig. 3) ; et, ^{au lieu des strates 100} véritables, d’épaisseur l _2, envisageons ^des

strates 100 : Sl, S2, SS, ^... Sp d’épaisseur 1 égale

à la hauteur de la maille cubique. ^{Nous nous} pro- posons d’évaluer la tension thermique, Tels,, ^déve- loppée par l’oscillation fondamentale Sr, ^exercée

dans le plan ^P (100) ^suivant l’axe des ^coor-

-->

. données OXX, par le demi-cristal A ^sur le demi- cristal B.

Fic. 3.

Les forces thermiques répulsives qui ^{sont déve-} loppées ^{par une} oscillation fondamentale Sr