Utilisation d'une technique de résonance magnétique nucléaire pour valider la détermination des vitesses et de leurs fluctuations en écoulements monophasiques et diphasiques

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nucléaire pour valider la détermination des vitesses et de

leurs fluctuations en écoulements monophasiques et

diphasiques

Pierre Jullien

To cite this version:

Pierre Jullien. Utilisation d’une technique de résonance magnétique nucléaire pour valider la détermi-nation des vitesses et de leurs fluctuations en écoulements monophasiques et diphasiques. Mécanique des fluides [physics.class-ph]. Université de Grenoble, 2013. Français. �NNT : 2013GRENI106�. �tel-03129293�

TH

`ESE

Pour
obtenir
le
grade
de

DOCTEUR

DE
L’UNIVERSITE´
DE
GRENOBLE

Sp ´ecialit ´e
:
M´ecanique
des
fluides,
Proc´ed´es,
Energ´etique

Pr ´esent ´ee
par

Pierre

JULLIEN

Th `ese
dirig´ee
par
Herv´e
LEMONNIER

pr ´epar ´ee
au
sein
du
Laboratoire
d’Instrumentation
et

d’Exp ´erimentation
en
m´ecanique
des
Fluides
et
en

Thermohy-draulique
du
CEA
Grenoble

17,
rue
des
Martyrs

38084
CEDEX
9
Grenoble

et
de
l’I-MEP2

Utilisation

d’une
technique
de

R ´esonance

Magn´etique
Nucl´eaire

pour

valider
la
d´etermination
des

vitesses

et
de
leurs
fluctuations

en

´ecoulements
monophasiques

et

diphasiques

Professeur
`a
l’Universite´
Claude
Bernard,
Lyon,
Rapporteur

M.,
Nicolas
Goreaud

Ing ´enieur,
responsable
de
division
Areva-NP,
Examinateur

M.,
Jacques
Leblond

Ancien
professeur
a`
l’ESPCI,
Paris,
Examinateur

Mme,
Hana
Lahrech

Charg ´ee
de
recherche
`a
l’Universit´e
de
Grenoble,
Examinatrice

M.
,
Herv´e
Lemonnier

LEURS FLUCTUATIONS EN ´ECOULEMENTS MONOPHASIQUES ET DIPHA-SIQUES.

Ce travail de th`ese porte sur l’utilisation de la RMN pour d´eterminer les vitesses et leurs fluctuations en ´ecoulements monophasiques et diphasiques. Des s´equences PGSE et d’imagerie en vitesse ont ´et´e mises au point pour d´eterminer les distributions des vitesses dans des ´ecoulements turbulents en conduite verticaux. Les signaux RMN sont ´etudi´es en d´etail et les principaux artefacts sur les donn´ees sont identifi´es, caract´eris´es et supprim´es. La mesure de vitesse est valid´ee, en monophasique, par comparaison `a des donn´ees de r´ef´erence. Une premi`ere comparaison avec des fils chauds en eau, de notre conception, est ´egalement pr´esent´ee et montre des r´esultats encourageants en monopha-sique. Des mesures RMN pr´eliminaires en ´ecoulements diphasique montrent l’int´erˆet d’utiliser cette technique de mesure pour le d´eveloppement de l’instrumentation en di-phasique. Des axes de recherche ont ´et´e identifi´es qui structureront la poursuite de l’´etude.

Mots cl´es : RMN, distributions de vitesses, turbulence, an´emom´etrie thermique.

ON THE USE OF NUCLEAR MAGNETIC RESONANCE TO MEASURE VE-LOCITY AND ITS FLUCTUATIONS IN SINGLE-PHASE AND TWO-PHASE FLOWS. This work deals with the use of NMR to measure velocity and its fluctuations in single-phase and two-phase flows. PGSE and imaging sequences have been used to determine the velocity distributions in upward turbulent pipe flows. NMR signals have been analysed in detail and the main artifacts have been characterized and suppressed. The measuring technique has been validated by comparison with a reference published data. A first comparison to ”homemade” hot-wire results in single-phase flow of water is presented and is very promising. Preliminary NMR results in two-phase flows emphasize the interest of NMR to benchmark velocity measurements in two-phase flows. Prospects of research have been identified, which will pave the way for the sequel of this research.

Keywords : NMR, velocity distributions, turbulence, hot wire anemometry.

Table des mati`

eres

1 Introduction et motivations de l’´etude 5

1.1 La probl´ematique de la crise d’´ebullition en r´eacteur nucl´eaire . . . 5

1.2 Vers une mod´elisation en ad´equation avec les moyens de mesures disponibles 6 1.3 L’an´emom´etrie thermique en ´ecoulements diphasiques . . . 7

1.4 Pourquoi utiliser une technique de RMN ? Strat´egie de l’´etude. . . 8

2 La mesure de vitesse par ´echo de spin `a gradients de champ puls´es 10 2.1 La physique de la RMN . . . 10

2.1.1 Aimantation et pr´ecession libre de Larmor. . . 10

2.1.2 L’´echo de spin . . . 12

2.1.3 Le marquage en phase . . . 13

2.2 La s´equence d’´echo de spin `a gradient de champ puls´es . . . 14

2.2.1 Expression du signal dans un cas id´eal . . . 14

2.2.2 Interpr´etation plus compl`ete de Π(u). . . 17

2.2.3 L’analyse aux petits gradients. . . 20

2.3 Le d´efaut d’´echo . . . 22

2.3.1 Mise en ´evidence du d´efaut d’´echo et de ses effets sur les distributions 22 2.3.2 Caract´erisation et mod´elisation du signal dans le cas d’une bobine r´eelle. . . 23

2.3.3 M´ethodes de suppression du d´efaut d’´echo . . . 27

3 L’imagerie en vitesse 31 3.1 La s´equence d’imagerie en vitesse . . . 31

3.2 Expression id´eale du signal d’imagerie . . . 31

3.3 L’analyse axisym´etrique . . . 33

3.4 Analyse des signaux r´eels . . . 34

3.4.1 La proc´edure de correction en phase des signaux . . . 35

3.4.2 Le probl`eme de la ligne de base . . . 35

3.4.3 D´ecentrage du signal en temps . . . 37

4 Qualification de la mesure d’imagerie en vitesse en ´ecoulements mono-phasiques 39 4.1 Le dispositif exp´erimental SPINFLOW . . . 39

4.1.1 Le circuit hydraulique . . . 41

4.1.2 Le spectrom`etre et les s´equences RMN . . . 41

4.2 Analyse de sensibilit´e aux param`etres de la s´equence . . . 42

4.2.1 Convergence statistique des donn´ees . . . 42

4.2.2 Etude param´etrique sur δ et ∆´ . . . 45

4.2.3 Influence du nombre de valeurs de gradient q . . . 46

4.2.4 Sensibilit´e au temps de renouvellement. . . 46 3

4.2.5 Coh´erence entre PGSE et analyse des signaux `a k = 0 . . . 47

4.3 Comparaison entre la mesure RMN et la simulation num´erique directe . . . 48

4.3.1 Etalonnage des gradients . . . 48

4.3.2 Effet du profil d’aimantation en entr´ee . . . 48

4.3.3 Comparaison des mesures d’imagerie aux donn´ees DNS de r´ef´erence 52 4.3.4 Origine du flou en proche paroi . . . 57

4.3.5 Viscosit´es turbulentes et longueurs de m´elange . . . 61

5 D´eveloppements en an´emom´etrie thermique et r´esultats pr´eliminaires en ´ecoulements diphasiques 63 5.1 Principe physique de la thermo-an´emom´etrie fil chaud . . . 63

5.1.1 Principe de mesure . . . 63

5.1.2 Choix du type de sonde et du mode d’alimentation . . . 64

5.2 D´eveloppement du dispositif de thermo-an´emom´etrie . . . 66

5.2.1 Mod´elisation des performances de la sonde . . . 66

5.2.2 Validation du mod`ele de dimensionnement . . . 68

5.2.3 Comparaison des performances des sondes Dantec `a celles des sondes d´evelopp´ees au laboratoire. . . 70

5.3 Analyse des donn´ees fil chaud `a Re = 5 300 . . . 72

5.3.1 Coh´erence de l’´etalonnage des sondes. . . 72

5.3.2 Comparaison avec les donn´ees d’Eggels & Unger (1994) . . . 74

5.3.3 Analyse des PDF et comparaison avec la RMN . . . 76

5.4 R´esultats RMN pr´eliminaires en diphasique . . . 77

6 Conclusion g´en´erale et perspectives d’´etudes 82 Bibliographie 87 A Calcul complet de la correction d’´echo 88 A.1 La th´eorie de l’echo . . . 88

A.1.1 Mod´elisation du signal dans une bobine r´eelle . . . 88

A.1.2 Construction et composition du signal . . . 88

A.1.3 Int´egration du signal en temps et en espace . . . 90

A.2 V´erification du bien fond´e de l’EXORCYCLE . . . 91

B Calcul du signal d’imagerie dans le cas d’un marquage en phase en X 94 C Calcul de la viscosit´e tourbillonnaire en ´ecoulement diphasique 96 D Calcul analytique du champ magn´etique dans la bobine RF 99 D.1 Champ engendr´e par un arc de cercle. . . 100

D.2 Calcul du champ engendr´e par un segment de droite . . . 101

D.3 Validation de la proc´edure de calcul de champ. . . 101

E R´egularisation des distributions de vitesses et calcul des premiers mo-ments 105 F D´etail des diff´erentes m´ethodes de d´etermination du taux de vide 107 F.1 Mesure du taux de liquide par RMN . . . 107

Chapitre 1

Introduction et motivations de

l’´

etude

1.1

La probl´

ematique de la crise d’´

ebullition en r´

eacteur

nucl´

eaire

Dans les r´eacteurs nucl´eaires exploit´es en France, le fluide caloporteur dit primaire entraˆıne l’´energie produite dans les barres de combustible, par la r´eaction nucl´eaire de fission, `a l’ext´erieur du coeur, vers des ´echangeurs de chaleur o`u celle-ci est c´ed´ee `a un fluide secondaire. En fonctionnement normal, les r´eacteurs `a eau pressuris´ee sont con¸cus pour op´erer en r´egime de convection forc´ee monophasique, le coeur du r´eacteur nucl´eaire ´etant alors compl`etement mouill´e. En situation accidentelle en revanche, notamment lors d’une d´epressurisation du circuit primaire, il est possible d’observer de l’´ebullition `a l’int´erieur du coeur du r´eacteur. Si le flux de chaleur `a la paroi devient trop important et atteint la limite commun´ement appel´ee le flux critique, on observe une importante d´egradation du transfert de chaleur entre les barres de combustibles et le fluide calopor-teur. Ce ph´enom`ene, connu sous le nom de crise d’´ebullition ou sous l’acronyme anglais DNB (departure from nucleate boiling), se traduit par une augmentation brutale de la temp´erature de paroi pouvant, dans le cas le plus d´efavorable, nuire `a l’int´egrit´e de la gaine du combustible.

La gaine du combustible ´etant la premi`ere barri`ere de protection dans le concept de d´efense en profondeur, il est n´ecessaire pour le constructeur, de garantir aupr`es de l’autorit´e de sˆuret´e que ce crit`ere de flux critique ne sera jamais franchi. Malheureusement, les m´ecanismes physiques conduisant `a la crise d’´ebullition sont encore tr`es mal compris ce qui lui donne un caract`ere actuellement impr´evisible a priori.

La prise en compte de ce ph´enom`ene lors de la conception de nouveaux r´eacteurs s’effectue grˆace `a une approche principalement empirique. Des cartes de flux critique sont ´etablies `a partir de donn´ees exp´erimentales obtenues lors d’essais r´ealis´es dans des g´eom´etries `a ´echelle 1. Ces cartes de flux critiques sont ensuite associ´ees `a des calculs num´eriques obtenus `a l’aide de codes syst`eme et coeur comme CATHARE et FLICA et c’est cette association qui permet au constructeur de justifier le niveau de sˆuret´e d’un r´eacteur. Le principal inconv´enient de cette m´ethode est qu’elle demande de nouvelles donn´ees exp´erimentales pour chaque nouvelle g´eom´etrie de coeur ou de grille de m´elange, exp´eriences qui sont tr`es on´ereuses. D’un point de vue plus scientifique, un autre inconv´enient de cette d´emarche est qu’elle ne permet pas d’am´eliorer notre compr´ehension

des ph´enom`enes sous-jacents `a la crise d’´ebullition et d’appr´ecier au mieux les marges r´esultant de l’application de cette proc´edure.

Dans le but de pouvoir pr´edire l’apparition de la crise d’´ebullition, EDF R&D a initi´e dans les ann´ees 2000, une nouvelle d´emarche, l’Approche Pr´edictive Locale. Cette approche consiste `a utiliser des codes de calculs CFD pour tenter de corr´eler l’apparition de la crise d’´ebullition `a des crit`eres sur diff´erents param`etres locaux de l’´ecoulement. Le code de calcul choisi par EDF pour ˆetre utilis´e dans cette approche est le code NEPTUNE CFD qui s’inscrit dans le projet NEPTUNE. Le projet NEPTUNE constitue la partie thermohydraulique d’un programme `a long terme plus complet de d´eveloppement commun d’outils de simulation pour la prochaine g´en´eration de r´eacteurs nucl´eaires. Ce projet a ´et´e initi´e en 2001 et regroupe le CEA et ses partenaires industriels AREVA, EDF et IRSN.

1.2

Vers une mod´

elisation en ad´

equation avec les moyens

de mesures disponibles

Le code de calcul NEPTUNE CFD est un code de calcul CFD r´esolvant trois ´equations locales de bilan moyenn´ees en temps (masse, quantit´e de mouvement et ´energie) pour chacune des phases ainsi qu’une ´equation de transport d’aire interfaciale. L’´echelle de r´esolution de ce code ´etant tr`es fine, de nombreuses relations de fermeture sont n´ecessaires, et de nombreux coefficients sont mod´elis´es sur des bases plus ou moins physiques. Les diffusions de quantit´e de mouvement et d’´energie thermique par la turbulence sont mod´elis´ees grˆace aux concepts respectifs de viscosit´e turbulente νT et de diffusivit´e

thermique turbulente ǫT. Ces grandeurs, au coeur du probl`eme de fermeture, ont une

grande influence sur les r´esultats de calcul num´erique. Il y a donc une n´ecessit´e de valider toutes les ´etapes de la mod´elisation afin d’obtenir des r´esultats de calculs qui seront le plus proche possible d’une r´ealit´e physique.

La validation des mod`eles physiques mis en oeuvre dans les codes de calculs CFD ne peut s’effectuer que par la comparaison des r´esultats de calcul num´erique avec des banques de donn´ees exp´erimentales de qualit´e. Le d´eveloppement fulgurant, au cours de ces vingt derni`eres ann´ees de la puissance de calcul des ordinateurs et des techniques de r´esolution num´erique a permis de d´evelopper des codes de calculs toujours plus rapides et permettant d’acc´eder `a un niveau de mod´elisation toujours plus fin. Malheureusement le d´eveloppement technologique en instrumentation fine n’a pas ´et´e aussi rapide et freine actuellement la validation des mod`eles physiques pr´esents dans ces codes de calculs complexes.

C’est pour faire face `a cette impasse et am´eliorer la mod´elisation des ´ecoulements bouillants qu’une petite ´equipe de chercheurs du CEA tente de d´evelopper un programme de simulation beaucoup plus simple bas´e sur la r´esolution des ´equations de bilan du m´elange moyenn´ees en temps. Le nombre de grandeurs `a mod´eliser ´etant beaucoup plus faible, la connaissance du profil de temp´erature du liquide, du profil de taux de vide et du flux de chaleur `a travers le liquide `a la paroi devrait d´ej`a permettre de tester un bon nombre de mod`eles physiques pour les lois de fermeture.

L’an´emom´etrie thermique permet d’ores et d´ej`a d’obtenir ces derni`eres grandeurs en ´ecoulement monophasique (Fougairolle, 2009). Cette technique est aussi employ´ee en ´ecoulements diphasiques isothermes (Liu, 1989, Wang, 1986), par cons´equent elle se

P. Jullien 7/108

pr´esente comme la meilleure candidate pour produire une banque de donn´ees de valida-tion en ´ecoulement bouillant

1.3

L’an´

emom´

etrie thermique en ´

ecoulements diphasiques

En ´ecoulements diphasiques, obtenir des donn´ees thermo-an´emom´etriques de qualit´e n’est pas chose facile. Cette technique bien que robuste et ´eprouv´ee en ´ecoulements monophasiques d’air s’av`ere ˆetre beaucoup plus compliqu´ee `a mettre en oeuvre en ´ecoulements diphasiques eau/air et eau/vapeur.

Traditionnellement, les sondes du commerce fonctionnent en mode CTA (Constant Temperature Anemometer) o`u un asservissement, grˆace `a un pont de Wheatstone, permet de garder une temp´erature constante de l’´el´ement chauffant. Au passage d’une interface, la temp´erature de la sonde va fortement augmenter `a cause de la grande diff´erence entre le coefficient d’´echange de la phase liquide et de la phase gaz. Par cons´equent, l’´electronique doit ˆetre capable de g´erer des transitoires de courant importants dans des temps tr`es courts pour pouvoir garder l’´el´ement sensible `a temp´erature constante et ne pas introduire d’artefact sur les signaux. Le peu d’´etudes publi´ees sur ce sujet laisse `a penser que d’autres modes de fonctionnement comme le mode CCA (Constant Current Anemometer) ou CVA (Constant Voltage Anemometer) pourraient s’av´erer mieux adapt´es `a un usage en diphasique.

Les sondes du commerce (DANTEC, TSI) sont des sondes dites `a film chaud. Un d´epˆot m´etallique sur un substrat en silice constitue la partie sensible du capteur. Une couche ´electriquement isolante de quartz de quelques microns recouvre le tout et permet une utilisation en eau (fluide conducteur). L’´el´ement chauffant va naturellement ´echanger de la chaleur avec le substrat par conduction ce qui va avoir pour effet de limiter la r´eponse en fr´equence du capteur. Ces effets, combin´es `a l’effet de filtrage spatial dˆu `a la longueur de l’´el´ement sensible de l’ordre du millim`etre vont fortement influer sur la qualit´e des donn´ees brutes et la r´esolution de la mesure.

Une fois l’acquisition des donn´ees brutes effectu´ee, se pose le probl`eme de la discrimi-nation des phases. La proc´edure de discrimidiscrimi-nation des phases est le probl`eme majeur de l’an´emom´etrie thermique en ´ecoulements diphasiques. Il est ais´e de comprendre qu’une faible erreur sur la discrimination des phases se r´epercutera sur l’analyse en taux de vide mais aussi en vitesse du signal. C’est pourquoi il convient de d´eterminer des crit`eres fiables pour discriminer la phase liquide de la phase gaz. Dans sa th`ese, Liu (1989) nous montre qu’il existe une grande vari´et´e de proc´edures de discrimination des phases utilis´ees dans la litt´erature. Certains auteurs utilisent un simple seuil sur le niveau de signal alors que d’autres utilisent des crit`eres plus complexes portant sur la d´eriv´ee en temps du signal (Grossetete, 1995), du carr´e du signal ou encore une combinaison des deux. Toutes ces m´ethodes ont une grande influence sur l’interpr´etation des donn´ees thermo-an´emom´etriques et plus particuli`erement pour les fluctuations des vitesses.

Afin de justifier pleinement la proc´edure de traitement du signal en ´ecoulement diphasique, il faut ˆetre capable d’identifier, de s´eparer et de quantifier les diff´erents m´ecanismes contrˆolant la transition du signal comme l’effet de filtrage spatial ou le retour `

a l’´equilibre du pont de Wheatstone.

laboratoire travaillant sur le d´eveloppement de sondes `a fils chauds de confronter la mesure thermo-an´emom´etrique `a une autre m´ethode de mesure, l’an´emom´etrie par R´esonance Magn´etique Nucl´eaire (RMN).

1.4

Pourquoi utiliser une technique de RMN ? Strat´

egie de

l’´

etude.

Historiquement, grˆace `a la volont´e commune de Jacques Leblond professeur `a l’ESPCI et d’Herv´e Lemonnier directeur de recherche au CEA, le laboratoire dispose depuis 2006 d’un spectrom`etre RMN con¸cu pour l’´etude des ´ecoulements diphasiques. Un programme de recherche a donc ´et´e initi´e afin de d´evelopper cette m´ethode de mesure sur la base des travaux deLeblond et al. (1994).

La r´esonance magn´etique nucl´eaire est un outil de diagnostic bien connu dans les domaines de la chimie et de la physique du solide. Son d´eveloppement, fortement acc´el´er´e par son application `a l’imagerie m´edicale, a permis d’´elargir le champ d’application de cette technique de mesure aux ´ecoulements industriels. Elkins & Alley (2007) font une synth`ese tr`es compl`ete des diff´erentes ´etudes d´edi´ees `a l’application de la RMN aux ´ecoulements fluides.

Les travaux de Jacques Leblond (Leblond et al. , 1994) ont montr´e qu’il ´etait possible d’obtenir, grˆace `a l’utilisation d’une s´equence de RMN particuli`ere, une mesure de la distribution de vitesse dans la section droite de la conduite. Ces auteurs ont ´egalement montr´e que cette s´equence permet de caract´eriser aussi bien les ´ecoulements monophasiques que diphasiques.

L’objectif de d´epart, sur la base de ces travaux, ´etait de faire un test de coh´erence global avec l’an´emom´etrie thermique qui elle, fournit une grandeur locale. La strat´egie adopt´ee consistait dans un premier temps `a bien comprendre la nature des grandeurs mesur´ees par RMN. La seconde ´etape de ce travail de recherche a consist´e `a identifier, ca-ract´eriser et supprimer les principaux artefacts observ´es sur les signaux, et autres sources d’erreurs dans la d´etermination des vitesses. A notre connaissance, ces diff´erents aspects de la mesure n’avaient pas ´et´e ´etudi´es en d´etail par Leblond et ses collaborateurs. La derni`ere ´etape de ce travail aurait consist´e `a comparer la m´ethode RMN et l’an´emom´etrie `

a fil chaud en ´ecoulement monophasique, afin de valider la mesure RMN, puis `a prendre la RMN comme r´ef´erence en ´ecoulement diphasique et essayer d’am´eliorer la mesure fil chaud en confrontant ces deux m´ethodes.

Cependant, au cours de ce travail, nous avons r´ealis´e qu’il ´etait possible d’obtenir des mesures locales permettant ainsi une comparaison directe avec les donn´ees thermo-an´emom´etriques. En d´eveloppant une nouvelle s´equence, nous avons qualifi´e la mesure RMN en monophasique, en la comparant avec des r´esultats issus de la simulation num´erique directe et d’autres m´ethodes de mesures. Une fois ce travail de validation effectu´e en monophasique, nous avons essay´e de produire des premiers r´esultats en ´ecoulement diphasique isotherme. L’objectif final ´etait naturellement d’effectuer une comparaison avec l’an´emom´etrie thermique. L’analyse a montr´e que le d´eveloppement des sondes n’´etait pas suffisamment avanc´e pour que cette comparaison soit pertinente.

P. Jullien 9/108

nucl´eaire. Nous y pr´esentons la s´equence PGSE qui permet de d´eterminer la distribution de vitesse moyenne dans la section. Bien que de nature int´egrale, nous montrons que cette mesure RMN est riche d’informations locales. Au cours de ce chapitre, on met clairement en ´evidence l’existence d’un artefact particulier pour cette s´equence. Nous avons identifi´e son origine puis propos´e plusieurs proc´edures permettant de le corriger.

Dans le chapitre 3, nous montrons comment, en modifiant la s´equence PGSE, il est possible de d´eterminer la distribution de probabilit´es de vitesses locale. Nous pr´esentons une proc´edure d’analyse des donn´ees adapt´ee `a des g´eom´etries axisym´etriques et diff´erant de l’analyse classique par double transform´ee de Fourier inverse. Au prix d’hypoth`eses peu restrictives, l’analyse est simplifi´ee. Nous mettons ensuite en ´evidence les diff´erents artefacts produits par ces hypoth`eses.

Le chapitre 4 pr´esente la qualification des mesures RMN locales en ´ecoulement monophasique. Apr`es avoir pr´esent´e une ´etude de sensibilit´e aux diff´erents param`etres de la s´equence RMN, nous comparons la mesure RMN avec des donn´ees de r´ef´erence (Eggels & Unger, 1994, Wu & Moin, 2008). Nous montrons que malgr´e quelques ´ecarts encore inexpliqu´es sur les profils de fluctuations de vitesses notamment au centre et en proche paroi, la mesure de vitesse moyenne par RMN est ailleurs tr`es pr´ecise et permet de reconstruire les profils de viscosit´e turbulente et de longueur de m´elange.

Le chapitre 5 traite des d´eveloppements que nous avons effectu´es en an´emom´etrie ther-mique `a fil, en eau. Nous pr´esentons les difficult´es rencontr´ees et l’int´erˆet de d´evelopper des sondes plus performantes que les sondes `a film disponibles dans le commerce. Dans cette partie, nous pr´esentons ´egalement la comparaison entre les mesures RMN et les mesures par an´emom´etrie thermique et nous mettons en ´evidence le bon accord entre les distributions de vitesses obtenues par ces deux m´ethodes de mesures. Bien qu’il soit pr´ematur´e d’effectuer cette comparaison en ´ecoulement diphasique, nous pr´esentons toutefois quelques mesures pr´eliminaires en diphasique.

En conclusion, au regard de r´ecents r´esultats nous pr´esentons, les perspectives d’am´elioration possibles de traitement du signal RMN. On tente ensuite de d´egager les priorit´es relatives `a la poursuite de l’´etude.

Dans ce manuscrit nous avons volontairement ´elud´e de nombreux r´esultats relatifs `a l’analyse des s´equences PGSE. Ces aspects, auxquels nous nous r´ef´erons dans ce document, sont pr´esent´es dans des articles publi´es et fournis en annexe.

La mesure de vitesse par ´

echo de

spin `

a gradients de champ puls´

es

2.1

La physique de la RMN

Dans cette partie nous pr´esentons les bases th´eoriques de RMN n´ecessaires `a la compr´ehension de cette ´etude. Une mesure RMN consiste `a aimanter de la mati`ere et `a suivre l’´evolution temporelle de cette aimantation. Bien que l’aimantation soit d’origine quantique, nous allons nous restreindre `a sa repr´esentation classique qui suffit `

a comprendre notre ´etude. Nous conseillons au lecteur d´esireux d’en savoir plus sur les fondements de cette physique et sur les liens entre les repr´esentations quantique et classique de consulter la th`ese de Javelot(1994) ou des ouvrages de r´ef´erence sur le sujet (Cohen-Tannoudji et al. ,1997).

L’aimantation est un scalaire passif marqueur de la mati`ere. Par cons´equent, la me-sure RMN est une meme-sure fondamentalement lagrangienne. Une meme-sure RMN est com-mun´ement appel´ee une s´equence. Elle consiste en l’application de champs magn´etiques `

a des instants bien pr´ecis. La d´etection d’un signal RMN s’effectue grˆace `a une bobine r´eceptrice. La mesure RMN est par cons´equent une mesure int´egrale.

2.1.1 Aimantation et pr´ecession libre de Larmor

Lorsqu’un fluide compos´e de protons(1) _{est soumis `a un champ magn´etique statique, il}

s’aimante parall`element au champ. Cette aimantation n’est pas ´eternelle et d´ecroˆıt selon plusieurs m´ecanismes de relaxation. Pour l’eau, ces temps caract´eristiques de relaxation sont de l’ordre d’une ou deux secondes. Les s´equences RMN que nous utilisons durent quelques dizaines de millisecondes et par cons´equent la d´ecroissance de l’aimantation pen-dant la mesure peut ˆetre n´eglig´ee. Une fois le fluide aimant´e par le champ statique de 0,12 T fourni par l’´electro-aimant, l’´evolution de l’aimantation est alors d´ecrite par les ´equations de Bloch(1946). dM dt = γM ∧ B − R × [M − M0] (2.1) R =    1 T2 0 0 0 _T1 2 0 0 0 _T1 1   

(1). Le fluor contenu dans certains fr´eons peut aussi avoir le mˆeme rˆole. 10

P. Jullien 11/108

o`u B repr´esente le champ magn´etique, M est l’aimantation `a t, M0 est l’aimantation

initiale, γ est le rapport gyromagn´etique des protons (γ = 2, 67519 108 rad s−1 T−1) et R est la matrice de relaxation de l’aimantation contenant deux constantes de temps de relaxation T1et T2. Cette ´equation est une cons´equence du th´eor`eme du moment cin´etique

en consid´erant un couple appliqu´e proportionnel au produit vectoriel de l’aimantation et du champ magn´etique.

Comme le terme de relaxation peut ˆetre n´eglig´e, l’´equation 2.1 peut s’interpr´eter g´eom´etriquement de mani`ere simple. On rappelle qu’un vecteur V en rotation uniforme satisfait l’´equation,

dV

dt = Ω ∧ V (2.2)

G´eom´etriquement, l’´equation (2.1) montre alors que l’application d’un champ magn´etique sur un vecteur aimantation peut s’interpr´eter comme une rotation de cette aimantation. Dans le cas o`u l’aimantation est soumise au simple champ statique B0, l’aimantation va

entrer en rotation autour de la direction du champ statique `a une pulsation ω = γB0

appel´ee pulsation de Larmor. Sur le dispositif exp´erimental SPINFLOW, un sol´eno¨ıde de 2 m de long et de 0,3 m de diam`etre interne assure un champ statique, uniforme B0

parall`ele `a l’axe du tube et `a la direction de l’´ecoulement de telle mani`ere qu’en l’absence d’autres influences l’aimantation tourne autour de l’axe de la conduite `a une fr´equence de Larmor de 5 MHz. Ce mouvement est connu sous le nom de mouvement de pr´ecession libre de Larmor. De la mˆeme mani`ere, toutes les autres applications de champ magn´etique (impulsions RF, impulsions de gradient) peuvent s’interpr´eter comme des rotations du vecteur aimantation.

Sous ce r´egime de pr´ecession libre, la composante de l’aimantation dans la direction du champ reste invariante et seules les composantes de l’aimantation perpendiculaires au champ B sont pertinentes. Lorsqu’un unique champ statique B0 est appliqu´e dans

la conduite (selon l’axe Oz), la composante transverse de l’aimantation tourne `a une fr´equence de 5MHz et dans le rep`ere tournant associ´e, l’aimantation est donc fixe. Il est alors commode d’introduire la repr´esentation complexe de l’aimantation, m = MX+ iMY

o`u X et Y sont les directions perpendiculaires `a Oz, impos´ees par les vecteurs de base du rep`ere tournant. L’´equation r´egissant l’´evolution de m n’´etant rien d’autre que l’´equation (2.1) ´ecrite dans le rep`ere tournant, on a,

dm

dt = −iγm(B − B0), (2.3)

o`<sub>u B − B</sub>0 est l’exc`es de champ par rapport au champ statique.

La d´etection de l’aimantation s’effectue grˆace `a une bobine radio-fr´equence (bobine RF) de g´eom´etrie dite en ”selle de cheval”. Le signal est obtenu par induction (loi de Lenz) et

Hoult & Richards(1976) ont montr´e qu’il ne d´ependait que de l’aimantation et du champ cr´e´e dans la bobine RF par un courant unit´e B1. Dans le r´ef´erentiel du laboratoire, le

champ B1 est fixe. Dans le rep`ere tournant associ´e `a l’aimantation, ce mˆeme champ n’est

alors plus fixe. En introduisant la repr´esentation complexe de ce champ b1= B1X− iB1Y,

le signal engendr´e par un volume ´el´ementaire de l’´echantillon s’´ecrit

ds = −ib1mdV , (2.4)

o`u s est complexe et dV est un volume ´el´ementaire de fluide. La d´etection est une d´etection synchrone effectu´ee en phase et en quadrature `a 5 MHz. Apr`es ajustement

de la r´ef´erence de phase, les parties r´eelle et imaginaire du signal local, respectivement en phase et en quadrature, sont proportionnelles aux deux composantes transverses de l’aimantation MX et MY.

L’aimantation de l’´echantillon est au d´epart colin´eaire au champ statique B0 et par

cons´equent ne peut ˆetre d´etect´ee. La premi`ere ´etape d’une s´equence RMN va donc consis-ter `a basculer l’aimantation dans le plan transverse (qui correspond au plan horizontal dans notre configuration) par application d’une impulsion de champ (impulsion π₂), `a la fr´equence de Larmor, perpendiculairement au champ statique. L’angle de basculement est proportionnel au temps pendant lequel est appliqu´e l’impulsion et `a l’intensit´e du champ B1.

2.1.2 L’´echo de spin

La non uniformit´e de B0 produit une d´ecroissance beaucoup plus rapide de

l’aimanta-tion que celle r´esultant des ph´enom`enes de relaxal’aimanta-tion seuls. Pour illustrer ce ph´enom`ene consid´erons deux particules tr`es proches. Du fait des inhomog´en´eit´es de B0, chacune est

soumise `a un champ magn´etique local un peu diff´erent. La particule soumise `a un d´efaut d’induction positif aura un mouvement de pr´ecession `a une pulsation ω1 > ω0 = γB0 qui

tendra `a l’´ecarter de sa position initiale (2.1b). L’autre particule, en revanche, ressentira un d´efaut d’induction n´egatif et tournera `a la pulsation ω2 < ω0. On observera donc `a

une ´echelle macroscopique une d´efocalisation de l’aimantation. Ce ph´enom`ene rend d´elicat l’interpr´etation des signaux car l’amplitude du signal obtenu par lecture de l’aimantation aura tendance `a s’att´enuer tr`es rapidement avec le temps. Fort heureusementHahn(1950) a montr´e que ce ph´enom`ene ´etait r´eversible dans un ´echantillon statique et a propos´e une s´equence permettant la refocalisation du signal (voir figure 2.1). L’id´ee est de retourner l’aimantation au bout d’un temps τ apr`es l’impulsion RF (2.1c). Les inhomog´en´eit´es de champ restant les mˆemes, la particule qui se trouvait en avance de phase va maintenant ˆetre soumise `a un d´efaut d’induction et inversement. L’amplitude du signal global va donc croˆıtre de nouveau (2.1d) et au bout d’un temps 2τ il se produira une parfaite refocali-sation du signal (2.1e). C’est `a cet instant pr´ecis, appel´e ´echo de spin ou ´echo de Hahn, qu’est effectu´ee l’acquisition du signal.

P. Jullien 13/108

Figure 2.2: Forme des impulsions de gradient et fonction de pond´eration des vitesses

2.1.3 Le marquage en phase

Une s´equence RMN consiste en l’application de champs magn´etiques et `a la lecture du signal en des instants bien pr´ecis. Il y a deux mani`eres plus ou moins ´equivalentes de mesurer des d´eplacements dans un fluide en mouvement par RMN. Ces deux m´ethodes sont bas´ees sur un mˆeme principe : le codage en phase de l’aimantation. Cette ´etape consiste `a lier la phase de l’aimantation d’une particule fluide `a son d´eplacement.

Le codage de la phase de l’aimantation s’effectue en appliquant, en plus du champ statique B0, un autre champ magn´etique dirig´e selon la direction de l’´ecoulement, et

dont l’amplitude varie lin´eairement en fonction d’une direction de l’espace. Ces champs magn´etiques suppl´ementaires, de l’ordre de quelques G/cm(2), sont cr´e´es grˆace `a des bobines dites de gradient qui sont activ´ees pendant un temps δ de l’ordre de quelques millisecondes.

Il est alors possible, en utilisant deux impulsions de gradient s´epar´ees d’un temps ∆ de relier l’aimantation au d´eplacement moyen durant ce temps ∆ et donc `a la vitesse moyenne. Une fois l’aimantation bascul´ee dans le plan transverse `a la direction du champ statique, l’aimantation dans le volume de mesure est uniforme et vaut m0. L’application

des gradients de champs modifie cette aimantation et l’´equation 2.3 permet le calcul de l’aimantation en r´esolvant le syst`eme d’´equations,

dm

dt = −iγgf (t)z (t)m, dz

dt = v , m(0) = m0, (2.5) o`u f repr´esente l’enveloppe temporelle des impulsions de gradient, g repr´esente leur ampli-tude, et z et v sont respectivement la position et la composante de la vitesse lagrangienne de la particule fluide dans la direction du gradient de champ magn´etique. En int´egrant l’´equation pr´ec´edente on obtient pour l’aimantation,

m = m0exp(−iγgΦ(t)), Φ(t) =

Z t 0

f (t)z (t)dt. (2.6) En utilisant des impulsions de gradient carr´ees (voir figure2.2), et en notant Φ = Φ(δ + ∆)

Figure 2.3: Description de la s´equence PGSE

la phase totale apr`es application des deux gradients, on a(3)_,

Φ = −δ[¯zδ(∆) − ¯zδ(0)] = − Z δ+∆

0 F (t)v (t)dt = −δ∆˜v,

(2.7) o`u ¯zδ(t) repr´esente la valeur moyenne de z sur l’intervalle [t, t +δ], ˜v la vitesse lagrangienne moyenne d’une particule fluide sur le temps ∆ et F la fonction de pond´eration de la vitesse (voir figure 2.2). Dans le cas d’impulsions courtes, δ/∆ << 1, la phase restante apr`es l’application des deux impulsions de gradients s’av`ere donc ˆetre proportionnelle au d´eplacement au temps ∆, ou bien encore, proportionnelle `a la vitesse moyenne lagrangienne au temps ∆, Φ = −δz∆= −δ∆˜v.

2.2

La s´

equence d’´

echo de spin `

a gradient de champ puls´

es

La s´equence PGSE utilis´ee pour la mesure de vitesse est la mˆeme que celle utilis´ee par

Javelot(1994). Elle combine la s´equence d’´echo de Hahn avec deux impulsions de gradient n´ecessaires au codage en vitesse de l’aimantation. Cette s´equence, repr´esent´ee figure 2.3, se d´ecompose en plusieurs ´etapes. Chronologiquement, on a,

– 1re _{impulsion RF `a 5MHz permettant le basculement de l’aimantation dans le plan}

transverse

– Acquisition des donn´ees afin d’avoir acc`es `a l’aimantation initiale, – 1re_{impulsion de gradient d’intensit´e g pendant un temps δ,}

– 2e

impulsion RF `a t = τ pour changer le signe de la phase de l’aimantation, – 2e <sub>impulsion de gradient identique `a la pr´ec´edente,</sub>

– Acquisition des donn´ees `a l’´echo de spin (`a t = 2τ ).

Alors que classiquement, les spectrom`etres utilis´es en imagerie m´edicale poss`edent trois bobines de gradient de champ magn´etique permettant de mesurer les trois composantes de la vitesse, le dispositif SPINFLOW n’en poss`ede que deux. Il nous est donc possible de mesurer simplement deux des trois composantes de la vitesse, `a savoir la composante axiale selon l’axe z , et une composante normale selon un axe not´e x .

2.2.1 Expression du signal dans un cas id´eal

Afin de comprendre la nature des grandeurs mesur´ees grˆace `a cette s´equence PGSE, nous allons maintenant chercher `a ´etablir l’expression du signal RMN dans un cas id´eal. (3). La notation peut ˆetre surprenante mais δ et ∆ d´esignent des temps. Cette notation est d’usage tr`es r´epandu en RMN

P. Jullien 15/108 •50 0 50 100 150 200 250 300 •40 •20 0 20 40 Magnetization density p er scan (mm •1 )

Abscissa along gradient (mm)

Run: 1446.tnt G_z : 3.51 G/cm TNTread03•V007 Imag. part Real part Magnitude

Figure 2.4:Profil d’aimantation en Z, obtenue par une s´equence d’image en densit´e monodimensionnelle.

On consid`ere ici le cas o`u tous les champs magn´etiques consid´er´es sont homog`enes. Ceci revient principalement `a n´egliger les effets de bords des bobines r´eelles. La figure 2.4

montre qu’en r´ealit´e, l’aimantation contribue au signal sur un volume de mesure d’une de hauteur de 80 mm. La partie centrale d’une hauteur d’environ 40 mm est plutˆot uniforme et contribue majoritairement au signal. L’hypoth`ese de bobine parfaite faite dans cette analyse est donc raisonnable.

Soit un ´ecoulement diphasique eau/air o`u seuls les protons contenus dans l’eau contri-buent au signal. Dans un tel cas, il est possible de montrer que le signal ´el´ementaire obtenu `

a l’issu d’une s´equence PGSE s’´ecrit,

dS (g) = m0χLeiγgδ∆vdV (2.8)

o`u g est l’intensit´e du gradient appliqu´e pendant le temps δ, m0 est l’aimantation initiale

locale suppos´ee uniforme, χL est la fonction indicatrice de la phase liquide et v = ˜v est

la vitesse lagrangienne moyenne pendant le temps ∆, dans la direction du gradient. En introduisant les grandeurs sans dimension,

u = v vmax , vmax , 1 γδ∆gmax , q = g gmax (2.9) gmax ´etant l’intensit´e maximum du gradient, on peut r´e´ecrire l’´equation2.8sous sa forme

adimensionnelle,

dS (q) = m0χLeiqudV . (2.10)

L’int´egration statistique de l’´equation 2.10 fait apparaˆıtre la densit´e locale de proba-bilit´e de vitesses liquide pL(u) (Tennekes & Lumley,1972, Section 6.2),

dS (q) = m0αLdV

Z ∞ −∞

o`u αL est le taux de pr´esence local de la phase liquide. Le signal RMN est moyenn´e sur

le volume d´elimit´e par la bobine r´eceptrice. Dans le cas d’un ´ecoulement ´etabli, apr`es int´egration en espace de l’´equation2.11sur le volume de mesure, il est possible d’´ecrire le signal sous la forme,

S (q) S (0) = Z ∞ −∞ <| αLpL(u)>|₂ <| αL>|₂ exp(iqu)du (2.12)

o`_{u <| >|2} est l’op´erateur de moyenne spatiale dans la section. Cette ´equation se simplifie dans le cas d’un ´ecoulement monophasique et devient,

S (q) S (0) = Z ∞ −∞ Π(u) exp(iqu)du (2.13) Π(u) = <| p(u)>|2. (2.14)

Π(u) repr´esente la distribution de probabilit´e des vitesses dans la section de mesure. La mesure PGSE permet ainsi d’acc´eder `a Π(u) par transform´ee de Fourier inverse du signal moyenn´e statistiquement.

Π(u) = 1 2π Z ∞ −∞ S (q) S (0)exp(−iqu)dq (2.15) En calculant les deux premiers moments de cette distribution,Lemonnier & Jullien(2011) montrent que, E (Π) , Z ∞ −∞uΠ(u)du = <| Z ∞ −∞up(u)du>|2 = <| ¯u>|2 (2.16)

o`<sub>u <| ¯u>|2</sub> est la vitesse moyenne (en temps) moyenn´ee sur la section de mesure. La variance centr´ee de Π est donn´ee de mani`ere analogue par la relation,

V (Π) , Z ∞

−∞(u − <| ¯u>|2

)2Π(u)du

= <| u′2>|2+ <| (¯u − <| ¯u>|2)2>|2 (2.17)

L’´equation 2.17 montre que la variance des distributions mesur´ees est la somme de deux contributions. La premi`ere r´esulte du caract`ere turbulent des vitesses locales tandis que la seconde r´esulte de la distribution des vitesses moyennes dans la section. Ce r´esultat est en fait un r´esultat assez g´en´eral pr´esent d`es qu’on a un volume de mesure si petit soit-il. La variance d’une observable sera alors toujours la somme d’un terme li´e `a des fluctuations temporelles de cette observable et d’un terme dˆu `a un effet de profil `a l’int´erieur du volume de mesure. Ce r´esultat est un cas particulier du r´esultat plus g´en´eral obtenu en ´ecoulement diphasique (Lemonnier & Jullien,2011).

La figure2.5(a)repr´esente la trace temporelle du signal PGSE pour diff´erentes valeurs du gradient dans le cas d’un ´ecoulement monophasique. Les traces sont plates et confirment que les ph´enom`enes de relaxation peuvent bien ˆetre n´eglig´es. La barre verticale `a t = 106 µs mat´erialise l’´echo de spin. La figure2.5(b)repr´esente le signal `a l’´echo pour les diff´erentes valeurs du gradient. L’amplitude des ´echos d´ecroˆıt avec l’augmentation de l’amplitude du gradient de champ magn´etique. Si l’on consid`ere une distribution de vitesse gaussienne de la forme, P (v ) = 1 v′√_2π exp  −1 2 (v − vm) v′2  (2.18)

P. Jullien 17/108 •15000 •10000 •5000 0 5000 10000 15000 20000 0 50 100 150 200 Echo : 105.8(106) Signal p er scan Sampling time 10 µs 0DVel01•V009 Imag Real First in the series (R) First in the series (I)

Run: 0951.tnt G : 3.545 G/cm θ : 90.00 deg

(a) Trace du signal

•15000 •10000 •5000 0 5000 10000 15000 •0.8 •0.6 •0.4 •0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 10 20 30 40 50 60 Echo am p litude p er scan ND Gradient Run: 0951.tnt G : 3.545 G/cm TNTread05•V007 θ : 90.00 deg

Echo imag part Echo real part Echo amplitude b(1•ax2) fi(x)*clip(x) fr(x)*clip(x) v(i)=30.93 cm/s v(r)=30.77 cm/s v’_exp=6.588 cm/s

(b) Signal RMN `a l’´echo pour diff´erentes valeurs de gradient. •100 0 100 200 300 400 500 600 700 800 •80 •60 •40 •20 0 20 40 60 80 100 •80 •60 •40 •20 0 20 40 60 80 Am p litude distri b ution ( p er scan) u=v/vmax Velocity (cm/s) Run: 0951.tnt G : 3.545 G/cm TNTread05•V007 θ : 90.00 deg Imag Real Modulus b exp(•(u•c)2/2a2) c=32.76 cm/s a=4.711 cm/s v3=30.4 cm/s v’=6.98 cm/s

(c) Distribution de vitesse Π(u) associ´ee.

Figure 2.5: Cas monophasique. QL = 33, 9 l/min, JL = 30, 3 cm/s, δ = 1, 5 ms, ∆ = 8, 363 ms,

gmax = 3, 545 G/cm, 16 moyennes par gradient pour 64 valeurs de gradient

o`u vm est la vitesse moyenne et v′ l’´ecart-type des vitesses, le calcul du signal montre que,

S (q) S (0) = exp  −1₂q2u′2  exp(iqu), u = vm vmax , u′ = v ′ vmax . (2.19)

Ce r´esultat montre que le signal poss`ede une amplitude et est modul´e en phase ce qui correspond bien aux observations de la figure 2.5(b). La d´ecroissance de l’amplitude du signal est li´ee `a l’´ecart-type des vitesses tandis que la phase du signal ne d´epend que de la vitesse moyenne. La figure2.5(c)repr´esente la distribution de vitesse, Π(u) calcul´ee selon l’´equation 2.15. Cette distribution pr´esente un maximum proche de la vitesse moyenne. Elle s’´etend sur des valeurs de vitesses sup´erieures `a la vitesse d´ebitante car il est bien connu que le rapport entre la vitesse d´ebitante et la vitesse au centre varie entre 1,2 et 1,3 selon le nombre de Reynolds. Il est clair que cette distribution n’est pas gaussienne. Elle se distingue par la pr´esence d’un plateau `a basse vitesse et par une d´ecroissance tr`es rapide `a haute vitesse.

2.2.2 Interpr´etation plus compl`ete de Π(u)

Les ´ecoulements laminaires en conduite sont caract´eris´es par un profil de vitesse para-bolique. De mˆeme, les ´ecoulements turbulents en conduite ont un profil de vitesse moyenne bien d´efini pouvant ˆetre repr´esent´e par une loi puissance (Schlichting,1979). Si le profil de vitesse moyenne ¯u(r ) est monotone, la distribution spatiale des vitesses moyennes P (¯u)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 •0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 P(u) u’/u C

Mean velocity u/u_c P(u)

u’(u)/u_C Π(u), eq. 2.16 Π(u), eq. 2.10

Figure 2.6: Donn´ees deLaufer (1954) `a Re=50 000. Fluctuations de vitesses en fonction de la vitesse moyenne, distribution spatiale des vitesses moyennes P (u) et distribution Π(u) correspondante calcul´ee selon2.22et2.14

s’obtient directement `a partir du profil de vitesse moyenne, P (¯u)d¯<sub>u , −</sub>2πr dr πR2 , P (¯u) = − 2r R2 d¯u dr (2.20) o`u R d´esigne le rayon de la conduite et r la coordonn´ee radiale. En int´egrant l’´equation2.20

il est alors possible, connaissant P (¯u), de reconstruire le profil de vitesse moyenne sous sa forme implicite r (¯u),

1 − r 2 R2 = Z u¯ 0 P (u)du. (2.21)

Nous avons montr´e pr´ec´edemment que le moment d’ordre 2 de la distribution Π(u) contenait `a la fois une information sur la fluctuation de vitesse moyenne et sur la distribu-tion spatiale des vitesses moyennes. En utilisant la d´ecomposidistribu-tion de Reynolds u = ¯u + u′

o`u ¯u d´esigne la vitesse moyenne et u′ la fluctuation de vitesse, il est possible (Lemonnier & Jullien,2011) d’´ecrire la distribution de vitesse Π(u) sous la forme,

Π(u) = Z ∞

−∞

P (¯u)p′_{(u − ¯u, ¯u)d¯u} (2.22) o`u P (¯u) est la distribution spatiale des vitesses moyennes et p′ est la distribution de probabilit´es des fluctuations de vitesses.

Si l’on n´eglige l’effet de la turbulence dans l’´equation 2.22, c’est `<sub>a dire si Π(u) ≈ P(u),</sub> l’´equation 2.21 prouve qu’il est possible de reconstruire le profil de vitesse moyenne `a partir du signal RMN. Cette hypoth`ese n’est, bien entendu, pas v´erifi´ee sur l’ensemble du profil. La figure 2.6 met en ´evidence les diff´erences entre P (¯u) et Π(u) pour les donn´ees deLaufer(1954). Il est int´eressant de remarquer que les deux distributions co¨ıncident aux petites valeurs de u c’est `a dire en proche paroi. En cons´equence, l’utilisation de Π(u) dans l’´equation2.20doit permettre de reconstruire un profil de vitesse moyenne approch´e

P. Jullien 19/108 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 5 10 15 20 25 30 1 10 100 1000

Mean velocity u/u

c

u/u

*

y=1-r/R y+

u(y)/uC from Π(u)

u(y)/uC Laufer

u(y+)/u_* from Π(u) u(y+)/u_* Laufer

Figure 2.7: Donn´ees de Laufer(1954) `a Re = 50 000. Profil de vitesse moyenne compar´e `a celui obtenu `

a partir de l’´equation2.21en utilisant Π `a la place de P.

qui doit ˆetre assez juste en proche paroi. Ce r´esultat est bien confirm´e par la figure 2.7. Le profil de vitesse obtenu `a partir de Π est plutˆot bien r´esolu dans la sous-couche visqueuse jusqu’`a y+ = 5. La mesure PGSE permet donc, en monophasique, de recons-truire un profil de vitesse approch´e sur la majeure partie de la section qui est d’autant plus juste que la turbulence est faible ce qui est particuli`erement le cas de la zone pari´etale. Il est alors possible d’extraire le gradient de vitesse en paroi et donc d’en d´eduire la vitesse de frottement. En effet, on sait que dans la sous-couche visqueuse, le profil de vitesse moyenne exprim´e en unit´e de paroi s’´ecrit,

v+= v¯ v∗ ≈ y + ₌ yv∗ ν (2.23) o`u v∗ , p

τw/ρL est la vitesse frottement, τw est la contrainte pari´etale et ρL la masse

volumique du liquide. Le gradient de vitesse en paroi, donne alors la vitesse de frottement selon,

v_∗2= ν lim

y→0

dv

dy. (2.24)

En d´eveloppant l’´equation 2.20`a la paroi, on peut montrer que, P (0) = lim u→0 −2r R2 d¯u dr = 2νvmax Rv2 ∗ (2.25) o`u ν est la viscosit´e cin´ematique du liquide. L’´equation 2.25 montre que le plateau des distributions Π, mesur´ees avec la s´equence PGSE, peut ˆetre interpr´et´e en terme de vitesse de frottement. La distribution de vitesse ´etant discontinue en u = 0, la valeur `a l’origine obtenue par transform´ee de Fourier n’est pas fiable. Nous avons donc choisi d’approcher P (0) par le premier point de Π pour lequel la vitesse u est strictement positive. La figure2.9

montre un bon accord entre la d´etermination de la vitesse de frottement d´eduite du niveau du plateau des distributions de vitesses et celle obtenue en utilisant la corr´elation de

•100 0 100 200 300 400 500 600 700 800 •80 •60 •40 •20 0 20 40 60 80 100 •80 •60 •40 •20 0 20 40 60 80 Am p litude distri b ution ( p er scan) u=v/vmax Velocity (cm/s) Run: 0951.tnt G : 3.545 G/cm TNTread05•V007 θ : 90.00 deg Imag Real Modulus b exp(•(u•c)2_/2a2₎ c=32.76 cm/s a=4.711 cm/s v3=30.4 cm/s v’=6.98 cm/s (a) Π(u) •5 0 5 10 15 20 25 30 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1 10 100 1000 v/U+ v/J L r/R y+ Run: 0951.tnt G : 3.545 G/cm TNTread05•V007 θ : 90.00 deg v(r/R) vp(x)/JL u/U+(y+) vu(x) w τW: 0.33 Pa U+: 1.82 cm/s tau2: 1.8 cm/s (b) profil de vitesse

Figure 2.8: Distribution de vitesse et profil de vitesse reconstruit en ´ecoulement monophasique `a JL =

30, 3cm/s 0.006 0.007 0.008 0.009 0.01 0.011 0.012 10 20 30 40 50 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 5000 10000 15000 20000 25000 f u* (cm/s) J_L (cm/s) Re f, from Blasius u*=JL(f/2) 1/2 0865•0874

Figure 2.9: Comparaison de la vitesse de frottement d´eduite de Π(u) avec celle calcul´ee en utilisant la relation de Blasius.

Blasius pour le frottement pari´etal. Ce bon accord n’a ´et´e possible qu’apr`es la correction d’un artefact observ´e sur les signaux. Nous reviendrons sur l’importance de la correction de cet artefact un peu plus loin.

2.2.3 L’analyse aux petits gradients

Nous avons montr´e jusqu’`a pr´esent que la mesure PGSE ´etait tr`es riche en informations. Elle permet d’obtenir, en plus d’une information sur la vitesse moyenne, des informations sur la diffusivit´e turbulente (Lemonnier & Jullien,2011, Section 7). N´eanmoins, la plupart des mod`eles statistiques de turbulence ne n´ecessitent pas la connaissance de toute la distribution de vitesse mais simplement des deux premiers moments. En repartant de

P. Jullien 21/108 •2 •1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55

Mean velocity residual (%)

JL (cm/s) E (2.16) EI E_R (a) Esperance 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0 10 20 30 40 50 60 V/J L 2 JL (cm/s) Re•0.5 V (2.17) V (b) Variance

Figure 2.10: Comparaison entre les moments de Π d´etermin´es `a partir de la distribution compl`ete et ceux d´etermin´es aux faibles valeurs de q

l’´equation 2.13 et en changeant la variable d’int´egration on peut ´ecrire, S (q)

S (0) = e

iq<| ¯u>| 2

Z ∞ −∞

Π(u′_{+ <| ¯u>|2})eiqu′du′ (2.26)

o`u u′ _{= u − <| ¯u>|}

2 est l’´ecart `a la vitesse moyenne dans la section. En effectuant un

d´eveloppement limit´e de l’´equation 2.26 _{aux petites valeurs de gradient |q| ≪ 1, il est}

possible de montrer que, S (q) S (0) = exp(iqE (Π))  1 −q 2 2V (Π)  + O(q2) (2.27)

Cette ´equation 2.27montre que, pour les faibles valeurs du gradient q, la vitesse moyenne peut ˆetre d´etermin´ee `a partir de la phase du signal alors que la variance centr´ee peut ˆetre obtenue `a partir de l’att´enuation. Il est donc possible d’obtenir deux estimations de la vitesse moyenne directement `a partir des ´echos en ajustant un sinus sur la partie imaginaire ou un cosinus sur la partie r´eelle. L’´ecart-type est quant `a lui obtenu par ajustement d’un polynˆome du deuxi`eme degr´e sur le module des ´echos. La figure 2.10(a)

repr´esente la comparaison entre les trois d´eterminations possibles de la vitesse moyenne. EI et ER sont respectivement l’esp´erance de Π obtenu par l’analyse aux petits gradients

de la partie imaginaire et de la partie r´eelle du signal. La d´etermination de l’esp´erance de Π par l’analyse aux faibles valeurs de q semble surestimer syst´ematiquement la vitesse moyenne de 1% `a 2%. Ces ´ecarts sont du mˆeme ordre de grandeur que la dispersion des donn´ees. La figure 2.10(b) montre le bon accord entre la variance calcul´ee selon l’´equation 2.17 et celle d´eduite de l’analyse aux petits gradients.

Cette proc´edure de d´epouillement des donn´ees est particuli`erement int´eressante car elle permet de r´eduire significativement le temps d’acquisition puisque le signal n’est mesur´e que pour 3 `a 5 valeurs de gradients contre 64 `a 128 pour obtenir Π(u). De plus, elle permet de travailler directement sur les donn´ees brutes et ainsi de s’affranchir d’un ´eventuel biais introduit par le traitement num´erique du signal. De mˆeme que pour la d´etermination de la vitesse de frottement, cette m´ethode d’analyse aux petits gradients n’est possible que si les signaux sont ”propres” `a faible q.

•10000 •8000 •6000 •4000 •2000 0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 •0.8 •0.6 •0.4 •0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 10 20 30 40 50 60 Echo am p litude ND Gradient Run: 0925.tnt G : .220 G/cm TNTread05•V007 θ : 90.00 deg

Echo imag part Echo real part Echo amplitude b(1•ax2) fi(x)*clip(x) fr(x)*clip(x) v(i)=51.2 cm/s v(r)=51.58 cm/s v’_exp=11.41 cm/s

(a) Artefact sur la partie imaginaire

•10000 •8000 •6000 •4000 •2000 0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 •0.8 •0.6 •0.4 •0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 10 20 30 40 50 60 Echo am p litude ND Gradient Run: 0927.tnt G : .220 G/cm TNTread05•V007 θ : 90.00 deg

Echo imag part Echo real part Echo amplitude b(1•ax2) fi(x)*clip(x) fr(x)*clip(x) v(i)=52.17 cm/s v(r)=51.4 cm/s v’_exp=8.798 cm/s

(b) Artefact sur la partie r´eelle

Figure 2.11: Echos obtenus en ´ecoulement monophasique pour les mˆemes conditions exp´erimentales. JL = 50 cm/s, ∆ = 5 ms, δ = 1, 5 ms, 8 moyennes pour 64 valeurs de gradients entre −6, 25%gmax et

6, 25%gmax

2.3

Le d´

efaut d’´

echo

L’analyse simplifi´ee du signal effectu´ee pr´ec´edemment n’est malheureusement pas pos-sible avec la s´equence utilis´ee parJavelot(1994). Les signaux produits sont entach´es d’arte-facts, sources d’erreurs sur les distributions de vitesses reconstitu´ees. A notre connaissance, ce probl`eme avait ´et´e identifi´e par J. Leblond et son ´equipe. En revanche, nous n’avons pas d´etermin´e comment ces auteurs avaient contourn´e ce probl`eme. C’est pourquoi, dans cette partie, nous avons cherch´e `a identifier, comprendre et supprimer ces artefacts.

2.3.1 Mise en ´evidence du d´efaut d’´echo et de ses effets sur les

distri-butions

La grande reproductibilit´e des donn´ees a permis de constater la pr´esence d’un artefact d’origine inconnue sur le signal. Si l’on regarde les signaux2.11(a)et2.11(b)obtenus dans des conditions exp´erimentales similaires, on constate que les ´echos aux faibles valeurs de gradient ne sont pas reproductibles. Les traits pleins repr´esentent le signal esp´er´e d’apr`es l’analyse aux petits gradients. En analysant de plus pr`es ces signaux, on constate que ce ”d´efaut d’´echo” se manifeste par une fluctuation positive ou n´egative de l’´echo au centre par rapport `a ce que l’on attend et par une modulation pouvant affecter soit la partie ima-ginaire, voir la figure2.11(a), soit la partie r´eelle du signal, voir la figure2.11(b). L’artefact ´etant localis´e au centre, il se traduit par un biais sur la ligne de base des distributions de vitesses (obtenues par transform´ee de Fourier inverse des ´echos). C’est ce que montre la figure 2.12. Cet artefact n’a donc pas beaucoup d’influence sur la d´etermination de la vi-tesse moyenne <| ¯u>|2 car la distribution pr´esente un pic tr`es marqu´e. En revanche, l’´ecart

type est davantage affect´e ainsi que le niveau du plateau `a basse vitesse. La d´etermination pr´ecise de la vitesse de frottement `a partir de l’´equation2.25est alors impossible. Ce d´efaut ´etant localis´e aux faibles valeurs du gradient, il empˆeche bien entendu la d´etermination pr´ecise de la moyenne et de la variance de Π avec un nombre limit´e de petites valeurs de gradients 2.27. La compr´ehension et la suppression de cet artefact sont donc un enjeu important pour am´eliorer la qualit´e des donn´ees et r´eduire la dur´ee des s´equences.

P. Jullien 23/108

2.3.2 Caract´erisation et mod´elisation du signal dans le cas d’une bobine

r´eelle

On observe que le d´efaut d’´echo au centre est corr´el´e `a l’accord en fr´equence entre la d´etection synchrone et la fr´equence de pr´ecession de l’aimantation directement li´ee au champ statique. L’observation montre que le champ statique poss`ede une fluctuation r´esiduelle faible et non contrˆol´ee. Pour mieux comprendre la relation entre le d´efaut d’´echo et le champ statique, on a tent´e de caract´eriser l’effet d’un glissement en fr´equence impos´e. En faisant varier le champ statique B autour de B0 on impose le glissement

en fr´equence ∆f = γ(B − B0). Ce glissement en fr´equence introduit un d´ephasage

suppl´ementaire g0 = 2π∆f τ o`u 2τ est la dur´ee de la s´equence. La figure2.13 montre que

la valeur de l’´echo au centre est une fonction p´eriodique du glissement en phase. Elle n’est pas sym´etrique autour de z´ero qui repr´esente un fonctionnement nominal. Si la phase li´ee au glissement en fr´equence est n´egative, la partie r´eelle du signal diminue fortement alors qu’elle reste pratiquement constante pour des d´ephasages positifs. La technique d’´echo de spin a ´et´e con¸cue pour immuniser le signal contre ces variations de fr´equence. En cons´equence, le glissement en fr´equence, `a lui seul, ne peut pas expliquer les observations. Pour comprendre ce paradoxe, nous avons choisi de recourir `a la simulation num´erique. La bobine RF de SPINFLOW poss`ede une g´eom´etrie dite ”en selle de cheval”. Elle est compos´ee de deux selles d’ouverture 90˚et 150˚et de hauteur 50 mm. Connaissant la g´eom´etrie de la bobine, le champ RF a ´et´e calcul´e `a partir de la loi de Biot et Savart, voir l’annexe D.

La relaxation de l’aimantation ´etant n´egligeable pendant la dur´ee de la s´equence, l’in-terpr´etation g´eom´etrique des ´equations de Bloch 2.1 permet de mod´eliser la s´equence PGSE comme une succession de quatre rotations. On se place dans le rep`ere OXYz tour-nant `a la fr´equence de Larmor. Soit une aimantation initiale m0 unitaire, align´ee avec le

champ statique (dirig´e selon Oz).

•100 0 100 200 300 400 500 600 700 •80 •60 •40 •20 0 20 40 60 80 100 •100 •50 0 50 100 Am p litude distri b ution ( p er scan) u=v/vmax Velocity (cm/s) TNTread05•V008 Imag Real Modulus b exp(•(u•c)2/2a2) Run: 1125.tnt G : 3.545 G/cm c=46.74 cm/s a=7.472 cm/s v3=46.58 cm/s v’=11.22 cm/s θ : 90.00 deg

•20000 •10000 0 10000 20000 30000 40000 50000 60000 •100 •50 0 50 100 150 200 250 300 •2 0 2 4 6 Echo ∆f (Hz) g0=2π∆fτ Imag Real

Figure 2.13: Echo `a q = 0 obtenu pour diff´erents d´ecalages en fr´equence ∆f = γ(B − B0)

– Une impulsion RF dite impulsion π₂ est utilis´ee pour basculer l’aimantation dans le plan tranverse. Du fait des inhomog´en´eit´es de l’amplitude du champ B1 le

bascu-lement de l’aimantation n’est pas partout ´egal `a π<sub>2</sub>. Si l’on repr´esente ce d´efaut de basculement par le param`etre ǫ, alors l’impulsion π₂ peut ˆetre repr´esent´ee comme une rotation d’un angle θπ

2 = −( π

2 − ǫ) par rapport `a l’axe OZ . Le signe moins traduit

simplement le caract`ere r´etrograde de la rotation. ǫ est positif si le basculement est inf´erieur `a π₂.

– La premi`ere impulsion de gradient ainsi que le d´esaccord en fr´equence provoquent ensuite une rotation de l’aimantation d’un angle Ψ1 autour de Oz (´equation2.32).

– L’impulsion π est quant `a elle repr´esent´ee par une rotation d’angle θπ = 2θπ₂ par

rapport `a l’axe Oz.

– Enfin, la deuxi`eme impulsion de gradient provoque, une rotation de l’aimantation d’un angle Ψ2 autour de l’axe Oz.

L’aimantation m, `a la fin de la s´equence PGSE peut alors se mettre sous la forme,

m =

cos(ǫ) sin(Ψ1) cos(2ǫ) sin(Ψ2) + sin(ǫ) sin(2ǫ) sin(Ψ2) + cos(ǫ) cos(Ψ1) cos(Ψ2)

cos(ǫ) sin(Ψ1) cos(2ǫ) sin(Ψ2) + sin(ǫ) sin(2ǫ) cos(Ψ2) + cos(ǫ) cos(Ψ1) sin(Ψ2)

cos(ǫ) sin(Ψ1) sin(2ǫ) − sin(ǫ) cos(2ǫ)

(2.28) On rappelle que la contribution au signal d’un volume ´el´ementaire s’´ecrit,

ds = −ib1mdV (2.29)

o`u b1 est le champ dans la bobine RF. Puisque la phase du signal peut ˆetre fix´ee

arbi-trairement par le logiciel d’acquisition, le facteur -i n’a plus de signification physique et le signal complexe, s = sX + isY, peut donc s’´ecrire,

dsX

dV = 1

2b1cos ǫ(1 + cos 2ǫ) cos(ψ1− ψ2) (2.30) +b1sin ǫ sin 2ǫ sin ψ2

+1

P. Jullien 25/108 Signal p er scan time (ms) Module 0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 14000 16000 18000 0 5 10 15 20 25 30 •200 •150 •100 •50 0 50 100 150 Phase

(a) ´Evolution du signal de pr´ecession libre

0 50 100 150 200 250 300 •10 •5 0 5 10 Frequency dφ/dt (°/ms) RMS : 1.59 Mean : •0.0108 pdf(x) (b) Distribution de probabilit´e de d_dtφ Figure 2.14:Caract´erisation du glissement en fr´equence

dsY

dV = − 1

2b1cos ǫ(1 + cos 2ǫ) sin(ψ1− ψ2) (2.31) −b1sin ǫ sin 2ǫ cos ψ2

+1

2b1cos ǫ(1 − cos 2ǫ) sin(ψ1+ ψ2).

o`u on rappelle que b1 est complexe et variable en espace. Les angles ψk r´esultent `a la fois

du d´efaut d’accord en fr´equence ψ et du marquage de la phase en position, ψk = ψ + γgδzk =

d φ

dtτ + qωk (2.32)

o`u ω = z /zmax et dφ_dtτ est le d´ephasage induit par le glissement en fr´equence.

Nous avons caract´eris´e le glissement en fr´equence en ´etudiant l’´evolution du signal de pr´ecession libre. La figure 2.14(a) repr´esente le module et la phase de 200 signaux de pr´ecession libre successifs. On observe que la phase du signal ´evolue lin´eairement avec le temps avec des taux de variation ne d´epassant pas ±5˚/ms. Un glissement en phase de 5˚/ms correspond `a un ´ecart de champ d’environ 3 mG. Cette valeur compar´ee au champ statique de 1170 G repr´esente une fluctuation de 2,5 ppm.

Javelot (1994) a montr´e que les fluctuations de champ pouvaient r´esulter de pertur-bations magn´etiques ext´erieures que l’on peut corriger par des techniques de shim actif. L’alimentation stabilis´ee de l’´electroaimant est garantie `_{a ±1 ppm ce qui correspond} bien aux observations. En cons´equence les variations observ´ees ne sont pas d’origine ext´erieures et sont donc irr´eductibles. La figure 2.14(b) montre que la distribution de probabilit´e de ces fluctuations de phase est gaussienne centr´ee.

La figure 2.15(a) montre l’´evolution de l’aimantation ´el´ementaire, `a la fin de la s´equence, pour q = 0, en fonction du d´ephasage ψ, pour diff´erentes valeurs de l’angle de basculement. Pour une bobine produisant un champ b1 parfaitement homog`ene, le

d´efaut de basculement ǫ est identiquement nul. La figure 2.15(a) montre que tout les ´el´ements de volumes contribuent uniform´ement au signal. Il n’y a donc pas de d´ependance en Ψ du signal : c’est l’´echo de Hahn parfait. La bobine RF s’´ecarte naturellement de cette situation id´eale et produit une distribution spatiale de ǫ. La figure montre qu’alors chaque ´el´ement de volume engendre une contribution au signal d´ependante du

glisse-•1 •0.5 0 0.5 1 •150 •100 •50 0 50 100 150 contri b ution au signal Ψ dsx,0° dsy, 0° dsx, 10° dsy, 10° ds_x, 20° dsy, 20°

(a) Contribution ´el´ementaire du signal, pour plu-sieurs valeurs de d´efaut de basculement ǫ

•1000 •500 0 500 1000 1500 2000 •2 0 2 4 6 8 Signal Ψ ReS ImS

(b) Signal PGSE `a q = 0 pour diff´erentes valeurs du d´ephasage induit par le d´esaccord en fr´equence Figure 2.15: Simulations num´eriques de la s´equence PGSE

ment en fr´equence Ψ. En cons´equence, par int´egration volumique, le signal en d´epend aussi. Pour revenir au calcul pratique d´etaill´e en annexe A, on peut mettre le signal complexe sous la forme,

ds

dV = A exp(i (ψ2− ψ1)) + B exp(i (ψ2+ ψ1)) − iC exp(iψ2). (2.33) avec,

A = b1cos3ǫ (2.34)

B = b1cos ǫ sin2ǫ (2.35)

C = 2b1cos ǫ sin2ǫ = 2B . (2.36)

Une fois int´egr´e en temps et en espace, on obtient,

S = S0+ Sz + Sv (2.37)

o`u S0 est la partie pertinente du signal, Sz est le d´efaut statique et Sv est la partie du

d´efaut fonction de la vitesse. S0 = R Z +∞ −∞ <| A>|2 dz′ Z +∞ −∞ <| p(u)>|2 eiqudu (2.38) Sz = ei2ψR Z +∞ −∞ <| B>|2 ei2qωdz′_{− ie}iψR Z +∞ −∞ <| C >|2 eiqωdz′ (2.39) Sv = ei2ψR Z +∞ −∞ <| B>|2 ei2qωdz′ Z +∞ −∞ <| p(u)>|2 (eiqu _{− 1)du.} (2.40) La figure 2.15(b)repr´esente les r´esultats de calcul num´erique de l’´echo (´equation2.37) `

a q = 0 pour diff´erents d´ecalages en fr´equences. La simulation num´erique donne un r´esultat dont la ressemblance avec les observations de la figure2.13 est frappante.

Ainsi, l’analyse que nous venons d’effectuer d´emontre que le d´efaut d’´echo r´esulte d’un glissement en fr´equence dans une bobine non homog`ene. Les ´equations 2.39 et2.40

donnent une expression du d´efaut d’´echo. Par cons´equent, il est possible de calculer ces contributions pour une g´eom´etrie de bobine donn´ee et de corriger le signal.

P. Jullien 27/108 •30000 •20000 •10000 0 10000 20000 30000 40000 50000 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 Signal µ s t_P90= 116.35 µs Run: 1682.tnt Real Imag

(a) R´eglage de l’impulsion π2

•0.4 •0.3 •0.2 •0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0 2 4 6 8 10 12 14 16 S tilt angle ReS ImS

(b) Simulation num´erique du signal en fonction de l’angle de basculement au centre

Figure 2.16: D´etermination de la dur´ee des impulsions RF et de l’angle de basculement au centre de la conduite.

2.3.3 M´ethodes de suppression du d´efaut d’´echo

Le d´efaut d’´echo ayant ´et´e caract´eris´e et mod´elis´e, plusieurs solutions ont ´et´e envisag´ees pour supprimer ce d´efaut. La premi`ere consiste `a calculer num´eriquement les contributions Sz et Sv et les soustraire au signal mesur´e. Historiquement, nous avons

commenc´e par utiliser cette m´ethode. En pratique, comme Sv est n´egligeable devant Sz,

seule la partie statique du d´efaut est prise en compte dans le programme de correction des donn´ees. Le calcul num´erique de Sz n´ecessite de connaˆıtre deux param`etres ; l’angle

r´eel de basculement au centre provoqu´e par l’impulsion RF et le d´ephasage induit par le glissement en fr´equence.

Le r´eglage de la dur´ee de l’impulsion RF dite π₂ s’effectue en observant l’´evolution de l’amplitude du signal en fonction de la dur´ee de l’impulsion RF. Dans le cas d’une bobine parfaitement homog`ene, le signal est une fonction p´eriodique de la dur´ee de l’impulsion RF. La figure 2.16(a) montre une d´ecroissance s´eculaire de l’amplitude. Elle r´esulte de la non uniformit´e du champ. La simulation num´erique confirme parfaitement les observations, voir la figure2.16(b). Le param`etre de simulation est pr´ecis´ement l’angle de basculement au centre. En faisant correspondre la premi`ere extinction des deux figures, on obtient directement la relation entre la dur´ee de l’impulsion et l’angle de basculement au centre. L’extinction du signal est obtenue pour un angle de basculement au centre d’environ 3, 28 rad soit une valeur l´eg`erement sup´erieure `a π.

Le deuxi`eme param`etre caract´erise le d´efaut de champ. Il est obtenu en observant les variations de phase au voisinage de l’´echo comme `a la figure 2.14(a). Typiquement, on a des d´ephasages de l’ordre de 1˚/ms.

La figure 2.17 montrent la comparaison entre les donn´ees exp´erimentales et les r´esultats de la simulation num´erique(4)_{. Le d´efaut d’´echo observ´e figure 2.11(b) semble}

ˆetre bien reproduit par la simulation num´erique, figure 2.17(b). La comparaison des (4). La simulation est bas´ee sur l’int´egration volumique de l’aimantation locale `a la fin de la s´equence. Pour chaque ´el´ement de la s´equence, on prend on compte les diff´erentes rotations de l’aimantation. Entre chaque rotation, on d´eplace le fluide selon un profil de vitesse moyenne en loi puissance d’exposant 1/7. On a recherch´e, par cette proc´edure, le maximum de r´ealisme pour ne pas utiliser les expressions simplifi´ees