Signal 1 Propagation d’un signal
Lycée Vauvenargues - Physique-Chimie - PTSI 2 - 2021-2022
Contenu du programme officiel :
Notions et contenus Capacités exigibles
Exemples de signaux.
Signal sinusoïdal.
Identifier les grandeurs physiques correspondant à des signaux acoustiques, électriques, électromagnétiques.
Propagation d’un signal dans un milieu illimité, non dispersif et transparent
Onde progressive dans le cas d’une propagation unidi- mensionnelle non dispersive. Célérité, retard temporel.
Écrire les signaux sous la formef(x−ct) oug(x+ct). Écrire les signaux sous la formef(t−x/c) oug(t+x/c).
Prévoir, dans le cas d’une onde progressive, l’évolution temporelle à posi- tion fixée et l’évolution spatiale à différents instants.
Modèle de l’onde progressive sinusoïdale unidimension- nelle. Vitesse de phase, déphasage, double périodicité spatiale et temporelle.
Citer quelques ordres de grandeur de fréquences dans les domaines acous- tique, mécanique et électromagnétique.
Établir la relation entre la fréquence, la longueur d’onde et la vitesse de phase.
Relier le déphasage entre les signaux perçus en deux points distincts au retard dû à la propagation.
Mesurer la vitesse de phase, la longueur d’onde et le déphasage dû à la propagation d’un phénomène ondulatoire.
Milieux dispersifs ou non dispersifs. Définir un milieu dispersif.
Citer des exemples de situations de propagation dispersive et non disper- sive.
En gras les points devant faire l’objet d’une approche expérimentale.
Table des matières
1 Ondes et signal 1
1.1 Les ondes . . . 1
1.2 Le signal . . . 2
2 Description d’une onde progressive dans le cas unidimensionnel 2 2.1 Définitions . . . 2
2.2 Célérité et retard . . . 3
2.3 Représentation spatiale et expression mathématique d’une onde progressive . . . 3
2.4 Représentation temporelle et changement de représentation . . . 4
3 L’onde progressive sinusoïdale 6 3.1 Point mathématique : les fonctions sin et cos . . . 6
3.2 Le signal sinusoïdal . . . 7
3.3 Périodicités spatiale et temporelle . . . 8
3.4 Spectre d’un signal . . . 8
3.5 Vitesse de phase et milieux dispersifs . . . 9
4 Transmission d’un signal physique par une onde 10
1 Ondes et signal
1.1 Les ondes
Sur la figure ci-contre, on observe une feuille qui touche la surface de l’eau. Au point d’impact, la hau- teur de l’eau est perturbée. On constate que cette perturbation se transmet depuis ce point source sous la forme d’un phénomène que l’on nommeune onde.
Définition.Une ondeest la propagation d’une modification des propriétés physiques d’un milieu matériel ou immatériel engendrée par une action locale. Cette propagation s’effectue à vi- tesse finie déterminée par les caractéristiques du milieu.
Fig. 1 – Propagation d’une onde.
Le phénomène ondulatoire nécessite donc une source et un milieu de propagation. Un éventuel récepteur situé plus loin recevra l’onde en un temps fini.
Source Recepteur
Milieu de propagation
Onde
Exemple 1 :
BLes ondes mécaniques : vagues, son, ondes sismiques...
BLes ondes électromagnétiques: radio, lumière, UV...
BLes ondes électriques.
BLes ondes gravitationnelles.
1.2 Le signal
Définition. Un signal physiquecorrespond à la perturbation portée par l’onde enun point donnéde l’espace.
Le signal est ce qui est lu par le récepteur, placé en un point donné de l’espace.
Exemple 2 : L’onde radio porte le signal d’une chanson.
2 Description d’une onde progressive dans le cas unidimensionnel
2.1 Définitions
Définition. Un phénomène propagatif est dit unidimensionnel lorsque la propagation se fait dans une seule direction de l’espace.
C’est le cas des signaux dans les câbles électriques, dans les fibres optiques, les vagues dans les canaux...
Définition. Uneonde progressive est une perturbation qui se propage sans transport de matière dans un milieu en restant identique à elle-même. Elle se retrouve à l’identique un peu plus loin un peu plus tard.
Ce sera le cas des signaux étudiés cette année. Ainsi, la propagation ne de l’onde ne modifie pas le contenu du signal.
2.2 Célérité et retard
On réalise l’expérience schématisée ci-dessous : un émetteur d’ultrason envoie des salves mesurées par deux récepteurs situés à une distance L l’un de l’autre. Sur l’oscilloscope, on visualise simultanément les deux signaux mesurés en fonction du temps.
On observe une figure similaire au schéma ci-contre.
Émetteur R1 R2
L
R1
R2 τ
Le temps mesuréτ est leretardentre la réception de l’onde par le récepteur R1 et le récepteur R2. Le retard d’une onde correspond au temps nécessaire pour que le signal se propage.
Définition. On définit lacéléritéc d’une onde comme sa vitesse de propagation. Elle s’exprime en m/s.
La célérité correspond à la distance Lentre un récepteur et un émetteur divisée par le temps nécessaire à l’onde pour parcourir cette distanceτ, soit c= L
τ .
Signal Célérité
Bondes électromagnétiques dans le vide 3×108m/s (vitesse de la lumière) Bson dans l’air à 20◦C sous 1 bar ≈340 m/s
Bson dans les métaux quelques km/s
Bson dans l’eau ≈1500 m/s
Tab. 1 – Quelques ordres de grandeurs de célérités à connaître.
Remarque : Comme le son se propage beaucoup plus vite dans les métaux que dans l’air, les Amérindiens pouvaient anticiper l’arrivée d’un train en écoutant les rails. De même, une explosion sera entendue beaucoup plus rapidement sous la mer que dans l’air.
2.3 Représentation spatiale et expression mathématique d’une onde progressive
Dans une représentation spatiale, on regarde à untemps fixéla perturbation dans tout l’espace.
Expérience 1 : Ébranlement d’une corde _•
•
• t= 0 t=t1 t=t2 > t1
x
Exemple 3 :Une photographie est une représentation spatiale, à un instant donné, on regarde la disposition des choses.
Dans cet exemple, notonsf la fonction mathématique décrivant la perturbation se propageant vers les xcroissants. Au tempst= 0, la représentation spatiale est donnée par le graphe dex7→f(x). Pour se fixer les idées, on suppose quef est maximale pourx= 0. À un temps ultérieurt, la représentation spatiale est donnée par x7→f(x−x0) avec x0 la nouvelle position du maximum de la perturbation. Par définition de la célérité, on a x0 =ct.
Définition. Une onde progressive unidimensionnelle s’écrit toujours sous la forme f(SM −ct) avecSM la distance (positive) entre la source S et le point d’observation M,tle temps nécessaire au parcours de la distance SM etf la fonction décrivant la perturbation.
À l’inverse, si l’onde se propage vers les x décroissants, la nouvelle position du maximum se déplace vers la droite, soit x0 =−ct.
Propriété.En particulier, si on notexla distance algébriqueSM représentée sur un axe orienté de gauche à droite, on a
. h(x−ct) si l’onde se propage vers lesx croissants (avecM à droite de S etSM = +x >0) et avech la fonction décrivant la perturbation ;
. g(x+ct) si l’onde se propage vers les x décroissants (avec M à gauche de S, soit SM =−x >0) et avec g la fonction décrivant la perturbation.
Quitte à modifier un peu l’écriture des fonctions h et g, on peut aussi écrire les ondes sous la forme h2(t−x/c) et g2(t+x/c).
Définition. La grandeur±x/creprésente leretardde l’onde du à la propagation.
Application 1 : Donner l’expression deh2 etg2 en fonction de h etg.
2.4 Représentation temporelle et changement de représentation
Dans une représentation temporelle, on regarde à un endroit fixé la perturbation sur toute sa durée.
Exemple 4 : Dans l’exemple de l’ébranlement de la corde, une représentation temporelle serait représentée par le schéma ci-dessous.
x1 fixé •
t
Exemple 5 :L’évolution d’un pixel à un endroit donné au cours d’un film est une représen- tation temporelle.
IReprésentation spatio-temporelle
On peut lier ces deux représentations dans une représentation spatio-temporelle illustrée figure 2.
x (a)
0 1 2 3 4 5 0
0.2 0.4 0.6 0.8 1
x
0 1 2 3 4 5 0
0.2 0.4 0.6 0.8 1
(b)
t
0 1 2 3 4 5 0
0.2 0.4 0.6 0.8 1
(c)
t
0 1 2 3 4 5 0
0.2 0.4 0.6 0.8 1
(d)
Fig. 2– Représentation spatio-temporelle d’une onde (à gauche). Les 4 figures de droites représentent l’allure du signal suivant les coupes représentées par les ligne rouge du schéma de gauche. La figure (a) est la représentation au temps t = 0 de la variation spatiale de l’onde, la figure (b) celle au temps t = 3, la figure (c) est la représentation temporelle du signal à la position x= 1 et la figure (d) est celle à la position x= 3.
Exemple 6 :Un film est une représentation spatio-temporelle, l’évolution d’un pixel est une représentation temporelle et une image du film est une représentation spatiale.
La célérité lie les évolutions spatiales et temporelles de l’onde. Ce qui se passe en un point donné x1 à un temps donnét1 est lié à ce qui s’est passé à un pointx0 précédent et à à un temps t0 antérieur. Comme cela est représenté figure 3, la célérité influe donc naturellement sur la représentation spatio-temporelle, et donc sur les représentations spatiales et temporelles.
(a) Céléritéc=0.5 m/s (b) Céléritéc=1 m/s (c) Célérité c=1.5 m/s
Fig. 3– Représentation spatio-temporelle de la propagation de l’onde de la figure 2 pour différentes célérités.
IPassage d’une représentation à une autre
Prenons une onde qui se déplace vers le x croissants. Par définition, elle est donnée par une fonction f(x−ct). Ainsi, mathématiquement, on peut faire deux remarques :
. le signe négatif devant le temps implique une symétrie par rapport à un axe vertical entre les deux représentations ;
. le facteur multiplicatifc devant le temps implique une homothétie entre les deux représentations.
Autrement dit, les deux représentations semblent « inversées » et elles n’ont pas le même « étalement ».
Cela est visible sur les graphiques de la figure 2. Pour comprendre ces observations, prenons l’exemple d’une « ola » dans un stade. Pour simplifier le schéma, chaque personne sera représentée par un point dans la figure 4.
En « lisant » la photographie de gauche à droite, la première personne vue est en train de se rasseoir (fin de l’onde au niveau temporel) alors que la dernière personne vue se lève (début de l’onde au niveau temporel). Début de l’onde et fin de l’onde s’inverse au niveau de la lecture entre les représentations spatiales et temporelles.
Par ailleurs, la photographie ne donne pas d’information sur la célérité à elle seule. Il y a toujours 5 personnes sur la « ola », mais selon la célérité, chaque personne reste plus ou moins longtemps debout.
Ainsi, le signal peut être plus ou moins « étalé ». Ce phénomène est visible en faisant des coupes de la figure 3 pour obtenir des représentations spatio-temporelles.
Pour comprendre le phénomène, on peut manipulercette animation [1].
• • •
•
•
•
• • •
Cette personne se rasseoit.
Cette personne com- mence à se lever.
Fig. 4 – Représentation spatiale (photographie) d’une « ola ».
Application 2 : Une onde progressive se propage le long d’une corde à la céléritéc= 100 cm·s−1 vers les x croissants. À t = 0, le signal créé au point A débute. En utilisant la figure, déterminer l’instant correspondant à l’image et la durée de la perturbation. Tracer ensuiteyA(t)puis représenter la corde à t= 1 s.
2 4 6 8 x(dm)
y
A
Application 3 : Une onde progressive se propage le long d’une corde à la célérité c= 10 cm·s−1 vers les x croissants. En x = 0 (point A de la corde), on crée le signal représenté sur le schéma.
Déterminer la durée et la longueur de la perturbation. Tracer ensuitey(x) àt= 1 spuis traceryM(t) avec AM = 3 cm.
t(s) yA(cm)
0.2 0.4 0.6 0.8
3 L’onde progressive sinusoïdale
3.1 Point mathématique : les fonctions sin et cos IRelations dans le triangle rectangle
Les fonctions sinus et cosinus sont avant tout des relations dans le triangle rectangle. Avec les notations du triangle ci-dessous, il vient
cosθ= c
a = Adjacent Hypothénuse ; sinθ= b
a = Opposé Hypothénuse ; tanθ= sinθ
cosθ = b
c = Opposé Adjacent .
c a b
θ
Remarque :Pour se souvenir des relations trigonométriques, on peut se souvenir par exemple de la phrase « CAHSOHTOA ».
ILe cercle trigonométrique
Le cercle trigonométrique est un cercle de rayon 1. Il permet la lecture directe des sinus et des cosinus grâce à des projections directes sur les axes, comme tracé figure 5. Ce cerle permet par ailleurs de retrouver la plupart des relations trigonométriques entre les sinus et les cosinus. On pourra par exemple manipuler cette animation[2].
Application 4 :À l’aide du cercle trigonométrique, montrer quesinθ= sin(π−θ);cosθ= cos(−θ); cosθ=−cos(π+θ)etsinθ=−sin(π+θ).
IGraphes
On rappelle le tracé des fonctions sinus et cosinus figure 6. Ce tracé est à savoir refaire.
1 θ
cosθ sinθ
Fig. 5 – Le cercle trigonométrique.
x f(x)
−1 1
cosx sinx
−π2 0
−3π2 −π
−2π π
2 π 3π
2 2π
Fig. 6 – Graphes des fonctions sinus et cosinus.
3.2 Le signal sinusoïdal
Expérience 2 : Le son d’un diapason : observation à l’oscilloscope du son d’un diapason enregistré avec un microphone. Le signal mesuré est sinusoïdal.
Définition. Le son est unephénomène vibratoire, c’est-à-dire un phénomène qui se reproduit identique à lui même à intervalle de temps régulier.
La durée entre deux phénomènes identiques consécutifs est la périodeT, son unité est la seconde.
Le nombre de périodes par seconde est lafréquencef, son unité est le hertz (Hz).
La période et la fréquence sont liées par la relation f = 1
T . On définit la pulsationω par la relation
ω = 2πf = 2π T . La pulsation s’exprime en radian par secondes (rad/s).
Les différentes notations sont matérialisées figure 7.
Un diapason est un instrument qui émet une note pure, c’est-à-dire que le signal sonore émis est sinusoïdal de fréquence f donnée. Le signal émis est donc de la forme s(t) = Asin(2πf t) = Asin(ωt).
Chaque note de musique a une fréquence donnée. Par exemple, le La3 vaut 440 Hz, le La4 vaut 880 Hz et le Do2 vaut 130.81 Hz.
t s(t)
−A A
0
T = 1 f = 2π
ω Fig. 7– Un signal sinusoïdal.
3.3 Périodicités spatiale et temporelle
t
T = 1/f
Fig. 8 – À x fixé, l’onde progressive sinusoïdale est une fonction sinusoïdale en fonction du temps.
x
λ
Fig. 9– Àtfixé, l’onde progressive sinusoïdale est une fonction sinusoïdale en fonction de la position.
Définition. Une onde sinusoïdale qui se propage est appeléeonde progressive sinusoïdale. Mathéma- tiquement, on écrit le signal au pointM
s(t, M) =Asin (ωt−kx+φ0) =Asin
2πf t−2πx λ+φ0
où l’on note
. Al’amplitudede l’onde ;
. f safréquence(en hertz), et ω= 2πf sapulsation; . λsa longueur d’onde(en mètres), et k= 2π
λ sonnombre d’onde;
. S le point source de l’onde, et donc x=SM la distance entre le point de mesure et la source ; . φ0 saphase à l’origine.
La grandeur Φ(t, x) =ωt−k SM+φ0 est la phase de l’onde.
Une onde progressive sinusoïdale présente donc une double périodicité, l’une dans sa représentation spatiale et l’autre dans sa représentation temporelle. La longueur d’onde λ est l’équivalent spatial de la périodeT.
3.4 Spectre d’un signal
Le diapason produit des notes pures, mais ce n’est pas le cas de tous les instruments, et encore moins de tous les sons. Dans le cas général, un son est la superposition de notes. À l’aide de l’animation [3], on peut visualiser pour différents instruments l’ensemble des notes produites lors d’un son. C’est une propriété générale des signaux. De plus, l’animation[4] permet de construire un signal à l’aide de premières harmoniques
Théorème. Théorème de Fourier
Tout signal physique périodique peut s’écrire comme une somme de signaux sinusoïdaux.
Ainsi, si l’on sait travailler sur un signal sinusoïdal, on sait étudier quasiment tous les signaux car, à l’aide de ce théorème, on peut décomposer n’importe quel signal en sommes de signaux que l’on fait traiter indépendamment les uns des autres.
Définition. Pour un signal physique donné, l’ensemble des composantes sinusoïdales d’un signal ainsi que leur amplitude constituent son spectre en fréquence. On le représente généralement graphiquement.
Pour un signal périodique, la première fréquence s’appelle la fréquence fondamentale et les suivantes sont lesharmoniques. Les fréquences des harmoniques sont des multiples de la fréquence fondamentale.
f S(f)
0 f0 f1 f2 Fondamentale
Premières harmoniques
Fig. 10 – Spectre d’un signal.
3.5 Vitesse de phase et milieux dispersifs
Considérons la phase Φ(t1, x1) de l’onde à un instant t1 et à la positionx1 =SM1. Supposons, pour se fixer les idées, que cette phase est maximale. L’onde se propage ensuite d’une distancedpendant le temps τ. Dans ce cas, il vient
Φ(t1+τ, x1+L) = Φ(t1, x1).
On peut alors utiliser la définition de la phase donnée précédemment et donc 2πf t1−2πx1
λ +φ0= 2πf(t1+τ)−2πx1+d λ +φ0.
Position x1 t
• t1
Positionx1+d t
• t1+τ
Fig. 11 – Le point rouge matérialise le point que l’on suit. Entre les deux schémas, l’onde, et donc le point rouge, se sont propagés pendant le tempsτ sur une distance d.
On montre alors que d τ =λf.
Propriété.La vitesse de phase vφ d’une onde progressive sinusoïdale est reliée à la fréquence et à la longueur d’onde par la relation
vφ=λf .
On peut retenir que la longueur d’onde est la distance parcourue par l’onde pendant une période.
Application 5 : Montrer que cette propriété permet d’écrire un onde progressive sinusoïdale sous la forme d’une onde progressive décrite dans le paragraphe 2.3.
Remarque : On peut aussi démontrer cette relation en notant x(t) la position de la phase du point rouge en fonction du temps. La vitesse de phase de l’onde vaut alors simplement vφ=x0(t), la dérivée de cette position. Par ailleurs, la fonction Φ(t, x(t))est une constante, et en la dérivant par rapport au temps, on arrive directement à la relation précédente.
Définition. Un milieu est ditdispersif si la vitesse de phasevφdépend de la fréquence ou de la longueur d’onde.
Pour un milieu non dispersif, on définit la célérité de l’onde comme la valeur commune des vitesses de phases.
Si le milieu est dispersif, les différentes composantes spectrales d’un signal ne vont pas à la même vitesse et donc le signal peut se déformer lors de la propagation. Il s’agit de la principale limite des transmissions réelles.
Remarque : Les ondes progressives non sinusoïdales étant une somme d’onde sinusoïdales, elles ne peuvent se propager que dans un milieu non dispersif. Sinon, elles se déforment avec la propagation ce qui est contradictoire à leur définition.
4 Transmission d’un signal physique par une onde
ILes signaux acoustiques
Les signaux acoustiques se propagent par une modification locale de la pression et de la vitesse locale du milieu. Il se propagent dans l’air (≈340 m/s à 20◦C sous 1 bar) et dans les solides ou les liquides. Les fréquences audibles sont situées entre 20 Hz (grave) et 20 kHz (aigu) mais ces valeurs varient selon les individus.
ILes signaux électromagnétiques
Les signaux électromagnétiques se propagent par une modification locale du champ électromagnétique (E,#» B). Ils se propagent dans le vide (c#» ≈ 3×108m/s) et dans certains milieux transparents pour cer- taines fréquences, par exemple dans l’eau à ≈ 2.25×108m/s et dans les verres entre 1.66×108m/s−
−2.20×108m/s.
Type Rayon X UV Visible
Longueur d’onde (dans le vide) 10 pm - 10 nm 10 nm–400 nm 400 nm (violet) - 800 nm (rouge)
Type IR Micro-ondes Radio
Longueur d’onde (dans le vide) 800 nm-1 mm 1 mm - 1 m 1 m - 106km ILes signaux électriques
Ils se propagent dans les conducteurs électriques (métaux notamment) et correspondent à une modifi- cation locale du courantI et de la tension U.
Références
[1] http://www.sciences.univ-nantes.fr/sites/genevieve_tulloue/Ondes/general/evolution_
temporelle.php
[2] http://tfleisch.profweb.ca/cercle-trigonomeacutetrique.html
[3] http://www.sciences.univ-nantes.fr/sites/genevieve_tulloue/Ondes/son/analyseur.php [4] http://www.sciences.univ-nantes.fr/sites/genevieve_tulloue/Ondes/general/synthese.php
