PHYSIQUE 20 : Premier principe de la thermodynamique

MP S I-2I 2021-2022 TD Sciences Physiques

PHYSIQUE 20 : Premier principe de la thermodynamique

Vrai ou Faux

Affirmation V F

1. L’énergie interne d’un gaz ne dépend que de la température

2. Au cours d’une transformation monobare, le transfert thermique est égal à la variation d’enthalpie.

3. La température d’un corps pur augmente si on lui fournit un transfert thermique 4. La température d’un système isolé reste constante

5. Si un système fournit adiabatiquement du travail, sa température ne varie pas.

6. Si un système fournit adiabatiquement du travail, son énergie interne diminue

On met en contact deux briques identiques A et B de températures respectives TA = 100°C et TB = 20°C. Les échanges thermiques sont supposés n’être possible qu’entre ces briques. Le système atteint un état d’équilibre.

7. L’énergie interne du système constitué des deux briques diminue.

8. Le transfert thermique reçu par la brique B est égal au transfert thermique perdu par la brique A

9. Le travail reçu par la brique A est égal au travail perdu par la brique B 10. La température finale est la même pour les deux briques et vaut 60°C

Exercice 1 : Chauffage d’une enceinte :

On étudie le système suivant :

I

A B

𝑅_𝑜 n = 1 n = 1 thermostat 𝑃𝑜 𝑉𝑜 𝑇𝑜 𝑃𝑜 𝑉𝑜 𝑇𝑜

On suppose que les enceintes contiennent des gaz parfaits diatomiques et que l’enceinte A est parfaitement calorifugée.

Le gaz contenu dans le compartiment 𝐵 est en contact avec un thermostat qui maintient sa température à 𝑇_𝑜. La paroi séparant les deux compartiments est mobile. On chauffe l’enceinte A jusqu’à la température 𝑇₁ à l’aide d’une résistance chauffante alimentée par un générateur délivrant ne intensité constante I. Les transformations subies par les gaz sont supposées quasi statiques mécaniquement réversible.

1. Caractériser le type de transformation subie par chacun des deux gaz.

2. Exprimer les volumes finaux et les pressions finales dans les deux enceintes en fonction des données.

3. Calculer la variation d’énergie interne de chacune des deux enceintes 𝐴 et 𝐵 ainsi que celle de l’ensemble {𝐴 + 𝐵}.

4. Déterminer le travail 𝑊_𝐵 reçu par le gaz de l’enceinte 𝐵 pendant la transformation. En déduire le travail 𝑊_𝐴 reçu par le gaz de l’enceinte 𝐴. Détermimner le transfert thermique 𝑄₁ échangé entre 𝐵 et le thermostat.

5. Déterminer le transfert thermique 𝑄₂ fourni par la résistance. Exprimer le temps 𝜏 pendant lequel le générateur a fonctionné.

Exercice 2 : Détente de l’Hélium :

Une enceinte cylindrique fermée par un piston mobile sans frottements, contient 500 g d’hélium gazeux, de masse molaire M = 4 g.mol^-1. Dans l’état initial A, le volume de l’enceinte est VA = 100 L et le gaz supposé parfait, est à la température TA = 600 K.

1. Calculer la capacité thermique massique à volume constant de l’hélium.

2. Par déplacement du piston le gaz subit une détente isotherme mécaniquement réversible, qui le conduit dans un état B, caractérisé par VB = 250 L. Calculer la pression PB du gaz dans cet état.

3. Quel est le travail WAB reçu par le gaz au cours de cette évolution ? 4. En déduire le transfert thermique QAB reçu par le gaz.

On envisage une nouvelle évolution mécaniquement réversible constituée d’une détente adiabatique entre l’état A et un état intermédiaire C de volume VC = VB, suivie d’un chauffage isochore entre l’état C et l’état B.

5. Déterminer la température TC.

6. Déterminer le travail W’AB reçu par le système gazeux au cours de cette nouvelle évolution entre A et B.

7. En déduire le transfert thermique reçu Q’AB

Exercice 3 : Compression d’un gaz parfait :

On considère un cylindre vertical, de surface 𝑆 = 10 cm², fermé par un piston mobile sans frottements de masse 𝑀 = 15 kg. Les parois du cylindre ainsi que le piston ne sont pas calorifugées. On place dans le cylindre un gaz parfait diatomique (𝛾 = 1,4). La température du laboratoire est 𝑇_𝑜 = 300 K et la pression 𝑃_𝑜 = 10⁵ Pa.

On accroche le piston à un bloc de glace de masse 𝑀 à l’aide d’une corde (sans masse) et d’un système de poulies idéales selon le schéma ; à l’état initial, la distance entre le piston et le fond du cylindre est 𝐻𝑜 = 50 cm et la pression dans le système est 𝑃_𝑜.

piston de masse M

bloc de glace Po Ho

1. On laisse fondre la glace : la transformation est supposée infiniment lente ; on néglige les frottements. Une fois la glace fondue, le système gazeux atteint un nouvel état d’équilibre caractérisé par 𝑃₁, 𝑇₁, 𝑉₁.

a) Quelle hypothèse peut-on faire quant à la nature de la transformation subie par le gaz ? b) Déterminer 𝑃1, 𝑇1 𝑒𝑡 𝑉1. Faire les applications numériques.

c) Faire le bilan d’énergie de cette transformation.

d) Calculer la variation d’enthalpie du système gazeux durant cette transformation.

2. En partant du même état d’équilibre initial, on coupe la corde. Le système gazeux atteint un nouvel état d’équilibre caractérisé par 𝑃₂, 𝑇₂, 𝑉₂.

a) Donner les caractéristiques de la transformation subie par le gaz.

b) Déterminer 𝑃₂, 𝑇₂ 𝑒𝑡 𝑉₂. Faire les applications numériques.

c) Faire le bilan d’énergie de cette transformation.

d) Calculer la variation d’enthalpie durant cette transformation.

On reprend la même expérience en travaillant dans un calorimètre. Le piston est maintenant lui aussi calorifugé. La température initiale du gaz dans le cylindre est 𝑇𝑜. La distance initiale entre le piston et le fond du récipient est encore 𝐻_𝑜 et la pression initiale est 𝑃_𝑜.

piston de masse M calorifugé

bloc de glace Po To Ho

3. On laisse fondre très lentement la glace. Une fois la glace fondue, le système gazeux atteint un nouvel état d’équilibre caractérisé par 𝑃₃, 𝑇3, 𝑉3.

a) Donner les caractéristiques de la transformation subie par le gaz.

b) Déterminer 𝑃3, 𝑇3 𝑒𝑡 𝑉3. Faire les applications numériques.

c) Faire le bilan d’énergie de cette transformation.

d) Calculer la variation d’enthalpie du système gazeux durant cette transformation.

4. En partant du même état d’équilibre, on coupe la corde. Le système gazeux atteint un nouvel état d’équilibre caractérisé par 𝑃₄, 𝑇₄, 𝑉₄.

a) Donner les caractéristiques de la transformation subie par le gaz.

b) Déterminer 𝑃₄, 𝑇₄ 𝑒𝑡 𝑉₄. Faire les applications numériques.

c) Faire le bilan d’énergie de cette transformation.

d) Calculer la variation d’enthalpie durant cette transformation.

Exercice 4 : Détente d’un gaz parfait :

Une certaine quantité 𝑛 d’un gaz parfait est enfermée dans un récipient aux parois parfaitement calorifugées ; l’une des parois est mobile horizontalement et sans frottements.

Dans l’état initial (figure ci-contre), la paroi est bloquée et le gaz occupe alors un volume 𝑉_𝑜 à une température 𝑇_𝑜 et une pression 𝑃_𝑜.

La paroi est bloquée par une cale.

On enlève brusquement cette cale et le gaz évolue alors jusqu’à un nouvel état d’équilibre caractérisé par les valeurs 𝑃₁, 𝑇₁, et 𝑉₁. La pression de l’air extérieur est notée 𝑃_𝑒𝑥𝑡 ; on a 𝑃_𝑒𝑥𝑡 = ^𝑃𝑜

2.

𝑃𝑜 𝑉𝑜 𝑇𝑜 𝑃𝑒𝑥𝑡

Cale

1. Caractériser la transformation subie par le gaz et déterminer la pression 𝑃₁.

2. En utilisant le premier principe de la thermodynamique, déterminer 𝑉1 et 𝑇1. Le gaz s’est-il réchauffé ou refroidi ?

Exercice 5 : Etude d’un cycle frigorifique :

Le principe général d’un réfrigérateur (qui est un exemple de machine thermique) est le suivant : un fluide, en général du fréon, circule dans un réseau de tubes fermé. Ce circuit passe par l’intérieur du frigo où le fréon reçoit de l’énergie thermique 𝑄_𝐹 de la part du contenu du frigo (aliments, emballages…) : cela fait chuter la température à l’intérieur du frigo. Il passe également à l’extérieur du réfrigérateur où il cède de l’énergie thermique 𝑄_𝑐 à l’atmosphère de la pièce dans laquelle le frigo est situé. (« En mettant sa main derrière un réfrigérateur on peut ressentir cette chaleur 𝑄𝑐 dégagée »).

Cette circulation est rendue possible grâce au travail mécanique 𝑊 fourni par une pompe actionnée dès que le frigo est branché sur le secteur.

« Frigo » Circuit du fréon

Q

Q

Pompe

On étudie ici une modélisation de la suite des transformations subies par un fluide dans une machine frigorifique.

On considère un fluide assimilé à un gaz parfait diatomique (système fermé), subissant une série de trois transformations supposées réversibles formant un cycle :

• Depuis un état d’équilibre initial 𝐴 , le système subit une compression adiabatique jusqu’à un état B.

• Sa pression est ensuite diminuée de façon isochore jusqu’à un état 𝐶.

• Il subit enfin une détente isotherme qui le ramène dans son état d’équilibre initial 𝐴.

Le cycle des transformations subies est représenté ci-dessous dans un diagramme de Watt (P,V) :

P

V

1. Reproduire et annoter le graphique ci-dessus : on précisera les positions des points 𝐴, 𝐵, 𝐶 ; le sens de parcours des transformations.

2. Reproduire et remplir le tableau suivant : (On justifiera les calculs)

A B C

pression 𝑃_𝑎= 10⁵ Pa température Ta = 273 K

volume Vb = ^𝑉𝑎

2 = nombre de moles n = 1 mole

3. Exprimer et calculer les travaux 𝑊_𝐵𝐶 et 𝑊_𝐶𝐴 échangé par le système au cours des deux transformations 𝐵 − 𝐶 𝑒𝑡 𝐶 − 𝐴.

4. En utilisant le premier principe, exprimer et calculer le travail 𝑊_𝐴𝐵 échangé par le fluide au cours de la première transformation.

5. En déduire le travail total 𝑊 échangé par le fluide au cours d’un cycle. Cette énergie est-elle gagnée ou perdue par le fluide ?

6. Exprimer et calculer les transferts thermiques 𝑄_𝐴𝐵, 𝑄𝐵𝐶 et 𝑄_𝐶𝐴 échangés au cours des divers étapes.

7. Parmi ces transferts d’énergie thermique, identifier 𝑄_𝐶 et 𝑄_𝐹 pour notre modèle.

8. Pour une machine thermique, on définit l’efficacité énergétique par 𝑒 = | "é𝑛𝑒𝑟𝑔𝑖𝑒 𝑢𝑡𝑖𝑙𝑒"

"é𝑛𝑒𝑟𝑔𝑖𝑒 𝑑é𝑝𝑒𝑛𝑠é𝑒 𝑝𝑎𝑟 𝑙^′𝑜𝑝é𝑟𝑎𝑡𝑒𝑢𝑟"|

Proposer une expression de l’efficacité pour notre réfrigérateur et faire l’application numérique. Commenter.

Exercice 6* : Réalisation de basses températures :

Une mole de gaz parfait prise à To et Po, subit une compression isotherme quasi statique mécaniquement réversible jusqu’à P1 = a Po, puis une détente adiabatique réversible le ramenant à Po , T1.

On répète k fois l’opération : Po Tk-1 P1 Tk-1 Po Tk

1. Représenter la succession des transformations sur un diagramme de Watt.

2. Exprimer Tk en fonction de a, k, To et 

3. Exprimer le travail Wk, le transfert thermique Qk et la variation d’énergie interne lors de la k^ième opération.

4. Calculer T1, T2, T5, W5, Q5, U5. On donne  = 1,4, Po = 1 bar, P1 = 20 bar et To = 273 K.

Exercice 7* : Compression polytropique :

On considère n moles de gaz, de coefficient adiabatique γ, compris dans un cylindre imparfaitement calorifugé. On comprime très lentement ce gaz initialement à la pression atmosphérique 𝑃₁. Les frottements sont négligés. Pour tenir compte des fuites thermiques vers l’extérieur, on suppose que le gaz subit une transformation polytropique c’est-à-dire suivant la loi 𝑃𝑉^𝑘 = 𝑐𝑡𝑒 où k est une constante fonction des pertes thermiques.

1. Calculer le travail reçu par le gaz pour une compression d’un volume 𝑉₁ à un volume 𝑉₂= 𝛼 𝑉₁ (α < 1), en fonction de 𝑃₁, 𝑉₁, 𝑘, γ et α.

Dans cette question, on cherche à évaluer k. Pour cela, le milieu extérieur est modélisé par

— un pressostat qui fournit du travail au gaz d’une part

— des parois indéformables de capacité thermique C et de température T en permanence égale à celle du système d’autre part.

2. En raisonnant sur une transformation infinitésimale, montrer que : ^𝑑𝑇

𝑇 + (𝑘 − 1) ^𝑑𝑉

𝑉 = 0 où k est à exprimer en fonction de n, R, γ et C.

3. En déduire que 𝑃𝑉^𝑘= 𝑐𝑡𝑒 durant la transformation.

4. Interpréter physiquement les cas limites 𝐶 → 0 et 𝐶 → ∞. Borner alors la valeur de k pour une transformation réelle.