Chapitre 2 Séries numériques

Séries numériques

Mathématiques Classe Préparatoire PSI*

Lycée Jean Perrin, Marseille Sylvain Damour

[email protected] Année 2021–2022

Table des matières

1 Rappels sur les suites réelles 2

1.1 Suites bornées . . . 2

1.2 Généralités sur les limites . . . 2

1.3 Théorèmes d’existence d’une limite . . . 3

1.4 Suites extraites . . . 4

1.5 Relations de comparaison . . . 5

1.6 Développements limités . . . 7

1.7 Suites géométriques . . . 7

1.8 Suites arithmético-géométriques . . . 8

1.9 Suites récurrentes linéaires d’ordre 2 à coefficients constants . . . 8

1.10 Suites récurrentes d’ordre 1 . . . 10

1.11 Suites implicites . . . 11

2 Généralités sur les séries numériques 12 2.1 Série convergente . . . 12

2.2 Premières propriétés . . . 13

2.3 Série géométrique . . . 14

2.4 Série exponentielle . . . 15

3 Séries à termes positifs 15 3.1 Limite monotone . . . 15

3.2 Comparaison « série-intégrale » . . . 16

3.3 Séries de Riemann . . . 17

3.4 Comparaison des séries à termes positifs . . . 17

3.5 Formule de Stirling . . . 19

3.6 Comparaison « suite-série » . . . 19

4 Séries absolument convergentes 20

5 Règle de d’Alembert 21

6 Séries alternées 21

7 Produit de Cauchy 22

1 Rappels sur les suites réelles

Notation 1.

(i) (un) désigne lasuite. C’est une application deNdansR. Si la suite commence à partir du rangn0, on note¡

un¢

nÊn0. (ii) un désigne leterme général. C’est un nombre réel.

1.1 Suites bornées

Définition 2. La suite réelle (un) est ditebornée ssi elle est majorée et minorée.

On utilise plutôt la caractérisation suivante, qui est valable aussi pour lessuites complexes: Théorème 3. La suite (un) est bornée SSI ^{il existeK}>0 tel que∀n∈N, |un| ÉK.

1.2 Généralités sur les limites

• Définitions Soit`∈R.

Définition 4. On dit que (un) admet`pourlimite ssi

∀ε>0, ∃N∈N, ∀n∈N, ¡

nÊN =⇒ |un−`| Éε¢ .

On note : un−−−−−→_n

→+∞ ` ou lim

n→+∞un=`.

Définition 5. On dit que (un) admet+∞pourlimite ssi

∀A∈R, ∃N∈N, ∀n∈N, ¡

nÊN =⇒ unÊA¢ .

Définition 6. On dit que (un) admet−∞pourlimite ssi

∀B∈R, ∃N∈N, ∀n∈N, ¡

nÊN =⇒ unÉB¢ .

• Convergence Définition 7.

Z

La suite (un) est dite

(i) convergente ssi elle admet unelimite finie,

(ii) divergente ssi elle admet une limite infinie ou si elle n’admet pas de limite.

• Propriétés Théorème 8.

SI ^(un) admet une limite ALORS cette limite estunique.

Théorème 9.

SI ^(un) admet une limitefinie ALORS ^(un) est bornée.

• Passage à la limite dans une inégalité large Soit`,`⁰∈R.

Théorème 10. (de passage à la limite dans une inégalité large) SI H1∀n∈N, unÉvn

SI H2u_n−−−−−→_n

→+∞ ` et SI H3vn−−−−−→_n

→+∞ `<sup>0</sup> ALORS C`É`⁰

Remarque11. Si l’inégalité est stricte un<vn, alors elle devient large `É`⁰ par passage à la limite.

"

• Formes indéterminées

On retient habituellement quatre formes indéterminées : «∞ − ∞», « 0× ∞», «0

0», «∞

∞».

1.3 Théorèmes d’existence d’une limite Théorème 12. (d’encadrement)

SI H1∀n∈N, anÉunÉbn

et SI H2an−−−−−→

n→+∞ ` et bn−−−−−→

n→+∞ ` (`∈R) ALORS Cun−−−−−→

n→+∞ `.

Exercice 13.

∗∗

SN119

Déterminer un équivalent deun=ln (beⁿc).

Théorème 14. (de minoration) SI H1∀n∈N, anÉun

et SI H2an−−−−−→

n→+∞ +∞

ALORS Cun−−−−−→_n

→+∞ +∞.

Théorème 15. (de majoration) SI H1∀n∈N, u_nÉb_n et SI H2bn−−−−−→_n

→+∞ −∞

ALORS Cun−−−−−→

n→+∞ −∞.

Théorème 16. (de la limite monotone)

Z

(i) SI (un) est H1croissante et H2majorée ALORS C(un) CV.

(ii) SI ^(un) est H1croissante et H2non majorée ALORS Cun−−−−−→_n

→+∞ +∞.

Remarque17.

"

SI ^(un) est croissante et majorée parM ALORS ^(un) CV vers` tel que `ÉM . Remarque18. Résultat similaire pour une suite décroissante et minorée ou non.

Définition 19.

Z

On dit que les suites (un) et (vn) sontadjacentes ssi 1. (un) est croissante,

2. (vn) est décroissante, 3. et vn−un−−−−−→

n→+∞ 0.

Théorème 20. (des suites adjacentes)

Z

SI H(un) et (vn) sont deux suites adjacentes ALORS C1(un) et (vn) CV.

De plus, C2elles CV vers la même limite` et C3∀n∈N, unÉ`Évn.

Exercice 21.

∗∗

SN08

Soit∀nÊ1, un=

n

X

k=0

1

k! et vn=un+ 1 n×n!.

Montrer que (un) et (vn) convergent vers une même limite.

Remarque : Cette limite est le nombre réel e'2,72.

1.4 Suites extraites

Définition 22. Unesuite extraite de (un) est une suite de la forme¡ u_ϕ(n)¢

oùϕ:N→N est une fonction strictement croissante.

Exemple23. ϕ(n)=2n, 2n+1, 3n, n², etc.

Théorème 24. (de convergence d’une suite extraite) SI ^un−−−−−→

n→+∞ α (α∈R, α= +∞ ouα= −∞) et SI ^¡u_ϕ(n)¢

est une suite extraite ALORS u_ϕ(n)−−−−−→_n

→+∞ α.

Méthode 25. Pour montrer qu’une suite (un) ne tend vers aucunα,

il suffit de trouver deux suites extraites¡ u_ϕ(n)¢

et¡ u_ψ(n)¢

qui tendent vers des limites différentes.

Démonstration 26.

∗∗

Exemple27. La suite de terme généralun=(−1)ⁿ n’a pas de limite.

Exercice 28.

∗

SN01

Étudier la convergence de la suite de terme généralun=cos µ

nπ+1 n

¶ .

Théorème 29. (des suites recouvrantes) SI ^u2n−−−−−→

n→+∞ α et u2n+1−−−−−→

n→+∞ α

"

ALORS ^un−−−−−→

n→+∞ α.

Exercice 30.

∗

SN07

Étudier la convergence de la suite de terme généralun=pⁿ

2+(−1)ⁿ.

1.5 Relations de comparaison

• Équivalents, « petits o », « grands o » Mêmes définitions que pour les fonctions :

Définition 31. Soient (un) et (vn) deux suites telles que∀n∈N, vn6=0. On note : (i) un_n ∼

→+∞vn ssi ^un

vn −−−−−→_n

→+∞ 1. On dit que (un) estéquivalente à (vn).

(ii) un =

n→+∞o(vn) ssi ^un

v_n −−−−−→

n→+∞ 0. On dit que (un) estnégligeabledevant (vn).

(iii) un_n =

→+∞O(vn) ssi ^µun vn

¶

est bornée.

• Règles de calcul sur les « petits o »

Mêmes propriétés que pour les fonctions. En particulier : Théorème 32. un =

n→+∞o (1) ssi ^un−−−−−→

n→+∞ 0.

Théorème 33. (Croissance comparée avec des « petits o ») Soientα,β,γ∈R^∗₊.

(i) (lnn)^α =

n→+∞ o¡ n^β¢

. (ii) n^β _n =

→+∞ o¡ e^γn¢

. (iii) e^γn _n =

→+∞ o (n!).

Remarque34. e^γn=qⁿ en posantq=e^γ. Donc¡ e^γn¢

est une suite géométrique.

• Règles de calcul sur les équivalents

Mêmes propriétés que pour les fonctions. En particulier : Théorème 35. Soit`∈R^∗. un ∼

n→+∞` ⇐⇒ un−−−−−→

n→+∞ `.

AT TENTION:

"

Ne jamais écrire

XXXXX un_n ∼

→+∞0.

Méthode 36. On peut remplacer une suite par son équivalent dans unproduit, unquotient, une

puissanceαconstante ¡

par ex. une racine carrée, pourα=¹₂ ¢

ou une valeur absolue.

Z

Exemple37. Si un_n ∼

→+∞

(−1)ⁿ

n alors |un|_n ∼

→+∞

1 n. Remarque38. On ne peut pas

"

remplacer une suite par sont équivalent dans une somme, une différence,

ou à l’intérieur d’une fonction comme ln, exp, sin, . . .

Théorème 39. un ∼

n→+∞vn ⇐⇒ un−vn =

n→+∞o(vn).

Remarque40. Dit autrement : un ∼

n→+∞vn ⇐⇒ un=vn+αn avecαn =

n→+∞o(vn).

Théorème 41.

(i) Deux suites équivalentes ont la même limite (finie, infinie ou aucune).

(ii) Deux suites équivalentes ont le même signe, à partir d’un certain rang.

(iii) Une suite est équivalente au premier terme de son DL.

Théorème 42.

ln (n+1) ∼

n→+∞lnn.

Démonstration 43.

∗

Remarque44. On a de même : ln (n+2) ∼

n→+∞lnn, ln (n+3) ∼

n→+∞lnn, etc.

1.6 Développements limités '

&

$

% Méthode 45. Pour déterminer le développement limité d’une suite :

1. On considère toujoursx=1

n −−−−−→_n

→+∞ 0.

2. Pour effectuer une opération sur les DL (somme, produit, composée, inverse) :

"

On part de deux DL au même ordrek et le résultat obtenu est aussi à l’ordrek.

Exercice 46.

∗∗ ?

SN102

Soitα∈R fixé. Déterminer la limite quandn→ +∞ de la suiteun=

³ 1+α

n

´n

.

1.7 Suites géométriques

Rappel : La suite (un) est géométrique (de raisonq) ssi ∀n∈N, un+1=q un. Dans ce cas,∀n∈N, u_n=u₀qⁿ.

Théorème 47.

Z

^{Soitq∈R ou C.}

La suite¡ qⁿ¢

CV SSI |q| <1 ouq=1.

Remarque48. Siq∈R:

"

(i) SI |q| <1 ALORS ^qn−−−−−→

n→+∞ 0.

(ii) SI ^q=1 ALORS ^qn−−−−−→

n→+∞ 1.

(iii) SI ^q>1 ALORS ^qn−−−−−→_n

→+∞ +∞.

(iv) SI ^qÉ −1 ALORS ^(qn) n’a pas de limite.

Remarque49. Siq∈C:

"

(i) SI |q| <1 ALORS qⁿ−−−−−→

n→+∞ 0.

(ii) SI ^q=1 ALORS ^qn−−−−−→_n

→+∞ 1.

(iii) SI |q| >1 ou ¡

|q| =1 et q6=1¢ ALORS (qⁿ) DV.

Exercice 50.

∗∗

SN107

Soit les suites réelles (x_n) et (y_n) définies parx₀∈R, y₀∈R et

∀n∈N, xn+1=1

2(xn−yn) et yn+1=1

2(xn+yn).

1) Étudier la convergence de la suite complexe définie par∀n∈N, zn=xn+iyn. 2) En déduire les limites des suites (xn) et (yn).

1.8 Suites arithmético-géométriques '

&

$

% Méthode 51.

Z

^{Soit (un}) une suite définie par une relation de récurrence de la forme

∀n∈N, u_n+1=a u_n+b aveca,b∈R.

Pour déterminer l’expression du terme généralun: 1. On cherche le point fixeωtel que : ω=aω+b.

2. On posev_n=u_n−ω et on montre que (v_n) est une suite géométrique.

3. On en déduit l’expression devnpuis celle deun.

Exercice 52.

∗

SN02

1) Déterminer l’expression du terme général de la suite définie par : u0=1 et ∀n∈N, un+1= −1

2un−1.

2) Étudier la convergence de la suite (un).

1.9 Suites récurrentes linéaires d’ordre 2 à coefficients constants Théorème 53.

Z

Soit la suiteréelle(un) vérifiant

∀n∈N, un+2=a un+1+b un aveca,b∈R,b6=0.

SI l’équation caractéristique r²=ar+b admet : 1. deux racines réelles distinctesr1etr2 ¡

⇐⇒∆>0¢ ALORS ∀n∈N, u_n=A r₁ⁿ+B r₂ⁿ avecA,B∈R.

2. une racine réelle doubler0 ¡

⇐⇒ ∆=0¢

ALORS ∀n∈N, un=A r₀ⁿ+B n r₀ⁿ avecA,B∈R.

3. deux racines complexes conjuguées r=ρe^iθ et r=ρe^−iθ ¡

⇐⇒ ∆<0¢ ALORS ∀n∈N, u_n=Aρⁿcosnθ+Bρⁿsinnθ avecA,B∈R.

Théorème 54.

Z

Soit la suitecomplexe(u_n) vérifiant

∀n∈N, un+2=a un+1+b un aveca,b∈C,b6=0.

SI l’équation caractéristique r²=ar+b admet : 1. deux racines complexes distinctesr1etr2

¡⇐⇒ ∆6=0¢ ALORS ∀n∈N, un=A r₁ⁿ+B r₂ⁿ avecA,B∈C. 2. une racine complexe doubler0 ¡

⇐⇒∆=0¢

ALORS ∀n∈N, un=A r₀ⁿ+B n r₀ⁿ avecA,B∈C.

Exercice 55.

∗∗

SN03

¡Suite de Fibonacci¢

1) Calculer le terme général de la suite définie par :

∀n∈N, u_n+2=u_n+1+u_n, u₀=0, u₁=1.

2) En déduire un équivalent simple de (u_n).

Leonardo Fibonacci (1175-1250) est un mathématicien ita- lien. Fibonacci introduisit le système de notation indo-arabe 0,1,2,3. . . en Europe. Ce système est plus puissant et plus rapide que la notation romaine I,II,III,IV. . .

L’invention sera d’abord mal reçue car le public ne comprenait plus les calculs que faisaient les commerçants. En 1280, Florence interdit même l’usage des chiffres arabes par les banquiers. On jugea que le 0 apportait la confusion.

Le mot « chiffre » vient du mot arabe « sifr » signifiant vide, zéro.

1.10 Suites récurrentes d’ordre 1 '

&

$

% Méthode 56. (avec le théorème de la limite monotone)

Pour étudier la convergence d’une suite définie par

∀n∈N, un+1=f(un) oùf est une fonction :

1. On trace la courbeC:y=f(x), la droiteD:y=x puis « l’escalier » (sif est croissante) ou

« l’escargot » (sif est décroissante) (voir la figure 57)

2. On cherche les points fixes de f, c’est-à-dire les réelsωtels que f(ω)=ω. Ce sont les abs- cisses des ponts d’intersection deCetD.

(On va montrer à l’étape 6 que si (un) CV, alors c’est vers un point fixeω.) 3. On cherche un intervalleIstable parf, c’est-à-dire tel que f(I)⊂I.

Siu0∈I, on aura alors, par récurrence évidente,∀n∈N, un∈I.

4. On étudie la monotonie de (un). Pour déterminer le signe deun+1−un=f(un)−un, on est souvent amené à étudier la fonctiong:x7→f(x)−x.

5. On prouve la CV de (u_n) par le théorème de la limite monotone. On note`sa limite.

6. On au_n−−−−−→_n

→+∞ `. Doncu_n+1−−−−−→_n

→+∞ ` et, si f est continue en`, f(u_n)−−−−−→_n

→+∞ f(`).

On fait tendren→ +∞ dansu_n+1=f(un). On obtient`=f(`). Donc`est un point fixe def.

7. Conclure.

Figure 57. « Escalier » ou « escargot »

Exercice 58.

∗∗

SN04

Étudier la convergence de la suite définie par∀n∈N, un+1=p

1+un etu0Ê −1.

'

&

$

% Méthode 59. (avec une fonctionf contractante)

Pour étudier la convergence d’une suite définie par

∀n∈N, u_n+1=f(u_n)

oùf est une fonction contractante, c’est-à-direk-lipschitzienne avec|k| <1 : 1. On montre quef estk-lipschitzienne aveck<1, par exemple à l’aide de l’IAF.

2. On cherche les points fixes def, c’est-à-dire les réelsωtels quef(ω)=ω. 3. On écrit que : |un−ω| = ¯

¯f(un−1)−f(ω)¯

¯ É k|un−1−ω|. 4. On obtient, par récurrence évidente :

|un−ω| É k|un−1−ω| É k²|un−2−ω| É . . . É kⁿ|u0−ω|.

5. |k| <1, donckⁿ−−−−−→_n

→+∞ 0, donc vu le théorème d’encadrementun−−−−−→_n

→+∞ ω.

Exercice 60.

∗∗

SN05

Étudier la convergence de la suite définie par∀n∈N, un+1=cosun etu₀=0.

1.11 Suites implicites '

&

$

% Méthode 61. Pour étudier la convergence d’une suite définie par

∀n∈N, g(xn)=αn

oùgest une fonction et (αn) une suite :

1. Par le théorème de la bijection, on prouve quegest bijective. Doncxn=g⁻¹(αn).

2. On en déduit la monotonie et la limite de (xn) en utilisant le tableau de variations deg.

Exercice 62.

∗∗

SN109

1) Montrer que pour toutn∈N, il existe un uniquexn∈R, tel quex³_n+xn=n.

2) Montrer que (xn) est croissante.

3) Montrer quexn−−−−−→

n→+∞ +∞. '

&

$

% Méthode 63. Pour étudier la convergence d’une suite définie par

∀n∈N, fn(xn)=0 où lesfnsont des fonctions :

1. Par le théorème de la bijection, on prouve quexnest l’unique solution de l’équationfn(x)=0.

On détermine aussi un encadrement dexn.

2. On étudie la monotonie de (xn) en cherchant le signe de fn+1(x)−fn(x) et en utilisant f_n+1(x_n+1)=0 etf_n(x_n)=0. (voir la figure 64)

3. On prouve la CV de (xn) par le théorème de la limite monotone. On note`sa limite.

4. On fait tendren→ +∞ dansfn(xn)=0 pour déterminer`.

Figure 64. Monotonie d’une suite implicite

Exercice 65.

∗∗∗

SN06

1) Montrer que pour toutn∈N^∗, il existe un uniquexn∈]0, 1[ tel quex_n³+n xn=1.

2) Étudier la convergence de (xn).

3) Déterminer un équivalent de (xn).

2 Généralités sur les séries numériques

Dans toute cette partie,KdésigneRouC etun∈K.

2.1 Série convergente Définition 66.

Z

^{Soit (un}) une suite réelle ou complexe.

(i) On note X

un lasérie de terme généralun

(ii) On appellesomme partielle d’ordreN le nombre : SN=

N

X

n=0

un. (iii) On dit que la sérieX

u_nconverge (CV) ssi la suite (S_N) converge.

Sinon, on dit que la sérieX

undiverge (DV).

(iv) Si la sérieX

unconverge, on appellesomme la limite de la suite (SN).

On la note : S=

+∞X

n=0

un.

On a donc :

+∞X

n=0

un = lim

N→+∞

N

X

n=0

un.

Exercice 67.

∗

SN11

Étudier la convergence de la série X 1

p p .

Notation 68.

(i) On note aussi X

nÊ0

un la sérieX un.

(ii) Si la suite (u_n)nÊn₀ ne commence qu’au rangn₀, on note X

nÊn₀

u_n la série.

Exemple69. X

nÊ1

1 n.

Théorème 70. Soitp∈N. Les séries X

nÊ0

un et X

nÊp

un sont demême nature c’est-à-dire : OU BIEN toutes les deux CV, OU BIEN toutes les deux DV.

« La convergence d’une série ne dépend pas de ses premiers termes. » Mais la valeur de sa somme en dépend bien sûr !

Définition 71.

Z

^SoitXunune série CV. On appellereste d’ordreNle nombre : RN=

+∞X

n=N+1

un.

Théorème 72. SoitX

unune série CV. Alors : (i) Pour toutN∈N,

+∞X

n=0

un = S = SN+RN. (ii) RN−−−−−→

N→+∞ 0.

2.2 Premières propriétés

Théorème 73. (Linéarité)SoitX

unetX

vndeux séries CV et soitλ∈K. Alors : (i) la sérieX

(λun+vn) CV (ii) et

+∞X

n=0

(λun+vn) = λ^+∞X

n=0

un +

+∞X

n=0

vn.

Théorème 74.

(i) SI ^Xun CV et X

vn CV ALORS ^X(un+vn) CV.

(ii) SI ^Xun CV et X

vn DV ALORS ^X(un+vn) DV.

(iii) SI ^Xun DV et X

v_n DV ALORS on ne peut rien dire

"

sur la convergence de la série

X(u_n+v_n).

Démonstration 75.

∗

Théorème 76.

SI la sérieX

u_n CV ALORS ^un−−−−−→_n

→+∞ 0.

Z

Démonstration 77.

∗

La réciproque est fausse !

"

Contre-exemple78. 1

n −−−−−→_n

→+∞ 0 mais la sérieX1 n DV.

Remarque79. La contraposée du théorème 76 donne : SI ^un−−−−−→

n→+∞ 0 ALORS ^{la sérieXu}n DV.

Définition 80. On dit que la série X

un diverge grossièrement ssi ^un−−−−−→

n→+∞ 0.

Exemple81. La série X

arctann DV grossièrement, car arctann−−−−−→

n→+∞

π 2. Exemple82. La série X

(−1)ⁿ DV grossièrement, car la suite¡ (−1)ⁿ¢

n’a pas de limite.

2.3 Série géométrique

Définition 83. On appellesérie géométrique une série de la formeX

qⁿ oùq∈K est fixé.

Théorème 84. (Somme des termes d’une suite géométrique)

Z

SoitN∈N etq∈K.

SI ^q6=1

"

ALORS SN =

N

X

n=0

qⁿ = 1+q+q²+ · · · +q^N = 1−q^N+1 1−q .

Plus généralement :

n1

X

n=n₀

qⁿ = 1^erterme×1−qnb de termes

1−q .

Remarque85. SI ^q=1 ALORS ^SN =

N

X

n=0

qⁿ = N+1.

Théorème 86. (Convergence d’une série géométrique)

Z

Soitq∈K. (i) La sérieX

qⁿ CV SSI ^¯¯q¯

¯<1.

(ii) Dans ce cas,

+∞X

n=0

qⁿ = 1 1−q .

Démonstration 87.

∗

Exercice 88.

∗

SN12

Montrer la convergence et calculer la somme de la série X

nÊ1

5×2ⁿ⁺¹ 3ⁿ⁻¹ .

2.4 Série exponentielle Théorème 89.

Z

^{Soitx∈R. La sérieXx}nⁿ! CV et

+∞X

n=0

xⁿ n! = e^x.

Idée de la démonstration. Grâce à la formule de Taylor avec reste intégral. (cf. le Chapitre 5 « Intégrales généralisées »)

Exemple90.

+∞X

n=0

1 n! = e.

3 Séries à termes positifs

Dans toute cette partie, unÊ0.

"

3.1 Limite monotone

Théorème 91. (de la limite monotone pour les séries) SI HX

u_n est une série à termes positifs, c’est-à-dire que∀n∈N, u_nÊ0, ALORS

C1la suite (SN) est croissante,

C2la sérieX

un CV SSI la suite (SN) est majorée.

Dans ce cas, ∀N∈N, SNÉ

+∞X

n=0

un.

Démonstration 92.

∗∗

3.2 Comparaison « série-intégrale »

• Pour étudier la convergence d’une série

La notion suivante sera étudiée au Chapitre 5 « Intégrales généralisées » : Définition 93. Soitf une fonction continue sur [a,+∞[.

L’intégrale généralisée Z _+∞

a

f(t) dt est diteconvergente ssi ^{Z x}

a

f(t) dt a une limite finie quandxtend vers+∞.

On notera : Z _+∞

a f(t) dt = lim

x→+∞

Z x

a f(t) dt.

Théorème 94. (de comparaison « série-intégrale »)

Z

SI la fonctionf est H1continuesur£

n₀,+∞£

H2positive et H3décroissante

"

ALORS CLa série X

nÊn0

f(n) et l’intégrale Z _+∞

n0

f(t) dt sont demême nature c’est-à-dire : OU BIEN toutes les deux CV, OU BIEN toutes les deux DV.

Exemple95. La série X

nÊ1

1 n² CV.

• Pour obtenir un équivalent d’une somme partielle ou d’un reste '

&

$

% Méthode 96. (de comparaison « série-intégrale »)

Soitf une fonctioncontinue, positive et monotone sur [a,+∞[.

"

1. On trace la figure, et on montre que, pour toutnÊn0+1, Sif estdécroissante:

Z _n+1

n

f(t) dt É f(n) É Z n

n−1

f(t) dt

2. On somme terme à terme cet encadrement, pournvariant den₀+1 àn₁. On obtient, grâce à la relation de Chasles :

Sif estdécroissante:

Z n₁+1 n0+1

f(t) dt É

n₁

X

n=n0+1

f(n) É Z n₁

n0

f(t) dt 3. On utilise alors cet encadrement pour obtenir un équivalent :

— des sommes partiellesS_Nen cas de DV,

— des restesRNen cas de CV.

4. Sif estcroissante: les encadrements sont dans l’autre sens.

Figure 97.

Démonstration 98.

∗∗ ?

3.3 Séries de Riemann

Définition 99. On appellesérie de Riemann une série de la formeX 1

n^α oùα∈R est fixé.

Bernhard Riemann (1826-1866) est un mathématicien alle- mand. Il a ouvert la voie aux géométries non euclidiennes et à la théorie de la relativité générale.

La célèbre hypothèse de Riemann sur les zéros non triviaux de la fonction zêta ζ(α)=

+∞X

n=1

1

n^α n’est toujours pas démontrée et fait partie des fameux 23 problèmes de Hilbert ainsi que des 7 problèmes du millénaire.

Théorème 100.

Z

La série de RiemannX 1

n^α converge SSI α>1.

Démonstration 101.

∗∗

Avec le théorème de comparaison série-intégrale.

Remarque102. Pourα=2, on a :

+∞X

n=1

1 n²=π²

6 . Ce résultat est bien connu mais hors-programme.

Exercice 103.

∗∗ ?

SN14

Déterminer un équivalent des sommes partielles de la série X

nÊ1

1 n.

Exercice 104.

∗∗ ?

SN53

Déterminer un équivalent des restes de la série X

nÊ1

1 n².

3.4 Comparaison des séries à termes positifs

Théorème 105. (de Comparaison des Séries à Termes Positifs (CSTP) pour É, o, O)

Z

SI H1∀n∈N, vnÊ0 et wnÊ0

"

SI H2v_nÉw_n OU v_n=o(w_n) OU v_n=O(w_n) (i) SI H3X

wn CV ALORS CX vn CV.

(ii) SI H3X

vn DV ALORS CX

wn DV.

Remarque106. Dans le cas où vnÉwn et X

wnCV, on a de plus

+∞X

n=0

vnÉ

+∞X

n=0

wn.

Le résultat est faux si les séries ne sont pas à termes positifs.

"

Contre-exemple107. Soientun= −1

n et vn= 1 n². On a bienunÉvn et X

vn CV MAIS X un DV.

Exercice 108.

∗

SN16

Étudier la convergence de la série X Z ^π

2

0

cos²x n²+cos²x dx.

Exercice 109.

∗

SN17

Étudier la convergence de la série X

nÊ1

p 1 n¡

cos²n¢.

Exercice 110.

∗

SN52

Étudier la convergence de la série X e⁻ⁿ².

Théorème 111. (de Comparaison des Séries à Termes Positifs (CSTP) pour ∼)

Z

SI H1∀n∈N, vnÊ0 et wnÊ0

"

SI H2vn ∼

n→+∞wn

ALORS CX

vn et X

wnsont demême nature

c’est-à-dire : OU BIEN toutes les deux CV, OU BIEN toutes les deux DV.

Remarque112. SivnÉ0 et wnÉ0, le théorème est toujours valable, car on l’applique à−vnet−wn. On l’appellera dans ce cas : Comparaison des Séries à Termes Négatifs (CSTN).

Le résultat est faux si les termes changent de signe.

"

Contre-exemple113. Soientv_n=(−1)ⁿ pn +1

n et w_n=(−1)ⁿ pn . On a bienv_nn ∼

→+∞w_n et X

w_n CV (voir le TSSA au §6) MAIS X v_n DV.

Exercice 114.

∗

SN18

Étudier la convergence de la série X µ

sin µ1¶

−ln µ

1+1¶¶

.

Exercice 115.

∗∗

SN19

Étudier la convergence de la série X

nÊ1

1

n^α+arctann selon les valeurs deα∈R.

3.5 Formule de Stirling Théorème 116.

Z

^{n!n→+∞∼ p2πn nne−n.}

James Stirling(1692-1770)est un mathématicien écossais.

Exercice 117.

∗∗

SN21

Étudier la convergence de la sérieX

¡_2n

n

¢

2²ⁿ(2n−1).

3.6 Comparaison « suite-série »

Théorème 118. (de comparaison « suite-série »)

Z

La suite (u_n) converge SSI la sérieX

(u_n+1−u_n) converge.

Démonstration 119.

∗∗

Exercice 120.

∗∗∗ ?

SN13

¡Série harmonique et constante d’Euler¢ Montrer que

n

X

k=1

1

k = lnn+γ+o(1) oùγest une constante réelle.

Remarque : X1

k est appelée la série harmonique etγ'0, 58 est la constante d’Euler.

Leonhard Euler(1707-1783) est un mathématicien suisse.

Il a notamment montré de magnifiques formules comme : e^iπ+1=0 et

+∞X

n=0

1 n!=e.

4 Séries absolument convergentes

Dans toute cette partie,un∈RouC.

Définition 121.

Z

^{Soit (un}) une suite réelle ou complexe.

On dit que la série X

un converge absolument (CVA) ssi la série X

|un| CV.

Exemple122. La sérieX(−1)ⁿ n² CVA.

Théorème 123.

Z

^{SI Hla sérieXun CVA}

ALORS Cla sérieX un CV.

Dans ce cas, on a l’inégalité triangulaire :

¯

¯

¯

¯

+∞X

n=0

un

¯

¯

¯

¯ É

+∞X

n=0

¯

¯

¯un

¯

¯

¯.

Remarque124. CVA =⇒ CV

Démonstration 125.

∗∗∗

Exemple126. La sérieXcosn

n² CVA donc CV.

La réciproque est fausse !

"

Contre-exemple127. La sérieX(−1)ⁿ

n est CV (voir le TSSA au §6) mais pas CVA.

Exercice 128.

∗∗

SN22

Étudier la convergence des sériesXsinn

eⁿ et Xsinn lnn eⁿ .

5 Règle de d’Alembert

Théorème 129. (Règle de d’Alembert)

Z

SoitX

unune série telle que

¯

¯

¯

¯ un+1

u_n

¯

¯

¯

¯−−−−−→

n→+∞ ` (finie ou infinie).

SI `<1 ALORS <sup>la sérieXu</sup>n CV. (et même CVA) SI `>1 ALORS la sérieX

un DV. (et même DVG) SI `=1 ALORS on ne peut pas conclure.

Démonstration 130.

∗∗∗

Jean Le Rond d’Alembert(1717-1783) est un mathématicien, philosophe et encyclopédiste français.

Il est célèbre pour avoir dirigé l’Encyclopédie avec Denis Diderot jusqu’en 1757 et pour ses recherches en mathématiques sur les équations différentielles et les dérivées partielles.

Exercice 131.

∗∗

SN20

Étudier la convergence de la sérieXn! nⁿ.

6 Séries alternées

Définition 132. Unesérie alternéeest une série de la formeX

(−1)ⁿan ou X

(−1)ⁿ⁺¹an avec anÊ0.

Théorème 133. (spécial des séries alternées ou TSSA)

Z

SI H1a_nÊ0

SI H2(an) est décroissante et SI H3an−−−−−→_n

→+∞ 0

ALORS C1la série alternéeX

un CV, avecun=(−1)ⁿan ou un=(−1)ⁿ⁺¹an. De plus, C2|RN| =

¯

¯

¯

¯

¯

+∞X

n=N+1

un

¯

¯

¯

¯

¯

É |uN+1| = aN+1 et |S| =

¯

¯

¯

¯

+∞X

n=0

un

¯

¯

¯

¯ É |u0| = a0. Par ailleurs, C3R_Na le même signe queu_N+1 et Sa le même signe queu₀.

Pour retenir plus facilement les résultats C2et C3, on peut convenir queS=R₋₁. Démonstration 134.

∗∗

Exemple135. La sérieX(−1)ⁿ n CV.

7 Produit de Cauchy

Définition 136. On appelleproduit de Cauchy des sériesX

un etX

vn, la sérieX wn de terme général : w_n=

Xn k=0

u_n−kv_k.

Théorème 137. (Produit de Cauchy de deux séries absolument convergentes)

Z

SI Hles séries X

u_n et X

v_n CVA

"

ALORS C1la série X

wn CVA, où wn =

n

X

k=0

u_n−kv_k = X

p+q=n

upvq.

et C2 µ_+∞

X

n=0

un

¶

× µ_+∞

X

n=0

vn

¶

=

+∞X

n=0

wn.

Toutes les sommes doivent commencer à 0.

"

Si on a par exemple

+∞X

n=1

un, alors on poseu0=0. On a donc

+∞X

n=1

un =

+∞X

n=0

un et le théorème s’applique.

Augustin Louis Cauchy (1789-1857) est un mathématicien français, membre de l’Académie des sciences et professeur à l’École polytechnique.

Exercice 138.

∗∗

SN24

Montrer la convergence et calculer la somme de la série X

nÊ1

xn où xn=

n

X

k=1

1 k²(n−k) !.

¡On admettra que

+∞X

n=1

1 n² =π²

6 .¢