1. Étude énergétique

SP_C2 TD cor PCSI

1. Étude énergétique

1. L'expression de l'énergie cinétique est E_c

=

1

2mv²

=

1

2mx

˙

² _d'où

E

_C

= 1

2 m A

²

ω

₀²

sin

²

(ω

₀

t ) .

L'expression de l'énergie potentielle est E_p

=

1

2kx² d'où

E

_p

= 1

2 k A

²

cos

²

(ω

₀

t )

2.

a)

T

₀

= 2 π

ω

₀ ^donc

T

₀

ω

₀

=2 π

d'où

E

_C

= 1

2 m A

²

ω

₀²

sin

²

( 0,27 ×2 π)

_avec

_ω

₀

₌ √ ^{m k}

^.

Application numérique :

E

_C

= 1

2 0,05×0,2

²

× 32

0,05 sin

²

(0,27×2 π )

_d'où

E

_C

=0,63 J E

_p

= 1

2 k A

²

cos

²

( 0,27×2 π)

_d'où

_E

p

= 1

2 ×32×0,2

²

cos

²

(0,27×2 π)

_d'où

E

_p

=0,01 J

b) x₁

=

A

2

=

Acos

(ω

₀t₁

)

donc cos( ω₀t₁

)=

1

2 ^or

cos

²

(ω

₀

t

₁

)+sin

²

(ω

₀

t

₁

)=1

_donc

sin

²

(ω

₀

t

₁

)=1−cos

²

(ω

₀

t

₁

)=1− 1

4 = 3 4

^d'où

E

_C

= 1

2 ×0,2

²

×32× 3

4

^d'où

E

_C

=0,48 J

d'où

E

_p

= 1

2 ×32×0,2

²

× 1

4

^d'où

E

_p

=0,16 J

Rem : dans les 2 cas

E

_c

+E

_p

=0,64 J

on peut aussi calculer

E

_p

= 1 2 k ( A

2 )

2

bcq + rapide et utiliser la conservation de l'énergie.

3.

E

_c

= E

_{p si}

cos

²

(ω

₀

t )=sin

²

(ω

₀

t )

cad

tan (ω

₀

t )=±1

d'où

(ω

₀

t

_n

)= π

4 +n π

2

^soit

t

_n

= π

4 ω

₀

+n π

2 ω

₀ ^soit

t

_n

= T

₀

8 +n T

₀

4

avec n un entier.

2. Oscillations dans un cristal

:

1. Lorsque la vitesse est maximale l'énergie potentielle est nulle ainsi

E

_m

= 1

2 m v

_max² . Quand l'allongement est maximal égal à

X

_ml'énergie cinétique est nulle ainsi

E

_m

= 1

2 k X

_m² . Au cours du temps, il y a conservation de l'énergie mécanique donc

1

2 m v

_max²

= 1

2 k X

_m² d'où

v

_max

= √ ^{m k X}

^m

^=ω

⁰

^X

^{m or}

^ω

⁰

^{=2 π f}

^{0 donc}

v

_max

=2 π f

₀

X

_{m .}

Application numérique :

v

_max

=2 π×10

¹²

×0,05 .10

⁻⁹

=314 m.s

⁻¹

2.

E

_m

= 1

2 m v

_max²

= 1

2 m(2 π f

₀

X

_m

)

²donc

E

_m

=2 m (π f

₀

X

_m

)

²

Application numérique :

E

_m

=2×10

⁻²⁶

×(π×10

¹²

×0,05 .10

⁻⁹

)

²

=4,93 .10

⁻²²

J

3. l'accélération

a( t )=−ω

₀²

x (t )

donc son module est maximum quand x(t) est maximum donc

a

_max

=ω

₀²

X

_m

=4 π

²

f

₀²

X

_m

Application numérique :

a

_max

=4 π

²

10

²⁴

×0,05.10

⁻⁹

=1,97 .10

¹⁵

m.s

⁻²

4.

k =m ω

₀²

=m 4 π

²

f

₀²

Application numérique :

k =10

⁻²⁶

4 π

²

10

²⁴

=0,395 N.m

⁻¹

3. Ajout d'une masse

1. Au moment où on ajoute la masse

m

2

sur le chariot, l'ensemble a une vitesse nulle, l'énergie cinétique du chariot est nulle. L'énergie du nouveau système oscillant est sous forme d'énergie potentielle :

E

_m

= 1

2 k A

² elle est indépendante de la masse donc l'énergie mécanique du chariot chargé n'a pas varié. L'amplitude du mouvement ne varie pas non plus.

2.

T

₀

= 2 π √ ^{m k}

Avant ajout de

m

2

. Après ajout de

m

2 T

₀^'

=2 π √ ^{3m 2k =} √ ^{3 2 T}

^{0 donc}

^T

^0'

⁼ √ ^{3 2 T}

⁰

3. Avant ajout de la masse

m

2

.lorsque la vitesse est maximale (passage par la position d'équilibre) l'énergie potentielle est nulle ainsi

E

_m

= 1

2 m v

_max² . Au cours du temps, il y a conservation de l'énergie mécanique donc

1

2 m v

_max²

= 1 2 k A

² d'où

v

_max

= √ ^{m k A}

. Après ajout de la masse

m

2

le raisonnement est le même

v

_max^'

= √ ^{3m 2k A}

^donc

^v

^max'

⁼ √ ^{2 3 v}

^max