HAL Id: tel-00011834
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Contribution théorique et expérimentale à l’étude du
phénomène de superradiance
Michel Gross
To cite this version:
Michel Gross. Contribution théorique et expérimentale à l’étude du phénomène de superradiance.
Physique Atomique [physics.atom-ph]. Université Pierre et Marie Curie - Paris VI, 1980. Français.
�tel-00011834�
LABORATOIRE
DE
PHYSIQUE
DE
L’ÉCOLE
NORMALE
THLSE DE DOCTORAT D’ETAT
ès Sciences
Physiques
présentée
à
l’Université
Pierre
etMarie Curie
(Paris VI)
par
-
Miche1
GROSS
-pour obtenir
le
grade
de
DOCTEUR-LS-SCIENCES
Sujet
de la
thèse :
"CONTRIBUTION
THEORIQUE
ET EXPERIMENTALE A L’ETUDE
DU
PHENOMENE DE
SUPERRADIANCE."
Soutenue le 1er Juillet 1980 devant le
jury :
MM.
J.BROSSEL
Président
P.
JACQUINOT
E.BREZIN
C. COHEN-TANNOUDJI
Examinateurs
S. HAROCHE
scientifique exceptionnel.
Je remercie
toutparticulièrement
S. HAROCHEqui guide
etdirige
nos travauxde recherche
depuis
près
de
sept
ans.J’ai,
durant
cesannées,
eul’occasion
d’apprécier
sesqualités
d’homme
etde
physicien
etje
tiens à lui
dire
combien
j’ai
apprécié
sadinection.
Je
tiens à remercier
également
les
autresmembres
de
l’équipe
qui
ontcollaboré
aux travauxdécrits
dans
cemémoire :
toutd’abord
Claude
FABRE et P.PILLET,
puis
J.M.
RAIMOND,
etenfin
P. GOY et L. MOI.Je
remercie
P.JACQUINOT,
C. COHEN-TANNOUDJI et F.BREZIN
de
l’intérêt
qu’ils
ontporté
à
cetravail
enacceptant
de
faire partie
du
jury
de
cettethèse.
Je
suis
heureux de remercier l’ensemble
des techniciens
qui
ont
participé
à la
réalisation
de
cetravail,
et enparticulier
ceuxde
l’atelier
d’électronique.
Je remercie
enfin
toutesles
secrétaires
qui
onttravaillé
à
la
frappe
de
celong manuscript,
Catherine
EMO,
Patricia
BOUNIOL,
Christine
RAT,
ainsi
qu’Irène
BRODSCHIqui
n’a pas
ménagé
sapeine
pour que
cettethèse soit
prète
à
temps.
Je remercie
également
Madame
AUDOIN ainsi que
Dominique
GIAFFERIqui
ontassuré la
pagination
etEmission
spontanée
collective d’unsystème
à deux niveaux p. 3- La
superradiance :
un effet intéressant sur leplan
théorique
p. 8 - Lasuperradiance :
un effet auxapplications pratiques
intéressantes p. 14
- Le domaine de recherche
au début de ce travail p. 15 - Les contributions de
ce travail à l’étude de la
superradiance
p. 16- Plan du mémoire
p. 18
Chapitre
II : Lasuperradiance
d’unsystème
à deux niveaux.II-I Introduction p. 20
A)
Les deuxpoints
de vue de lasuperradiance
p. 20B)
La méthode de résolution deséquations
de lasuperradiance
et soninterprétation physique.
p. 22C)
La discussion desapproximations
et leur contenuphysique
p. 23II-II
Equation
d’évolution dusystème
atomique:
p. 27A)
Position duproblème
et notations p. 271°)
Lesystème
atomique
p. 272°)
Lechamp
rayonné
p. 293°)
Hamiltonien dusystème
atomes +champs
p. 29B)
Equation
pilote
de la matrice densité(point
devue de
Schrödinger).
p. 311°) Equation
générale
pour la matrice densitéatomique
p. 312°)
Approximation
de Born Markov p. 34a)
Approximation
de
Born p. 34b)
Approximation
de Markov
p. 353°) Approximation
géométriques
p. 37a)
Formedu milieu
atomique
émetteur
p. 37b)
Approximation
de
propagation
à
unedimention.
p. 39c)
Approximation
du
champ
moyen
ouapproximation
de
DICKE. p. 46d)
Discussion des
approximations géométriques
en
fonction
du nombre
de
Fresnel
du milieu
C)
Equation
d’évolution desopérateurs
atomiques
et duchamp.
(Point
de vue deHeisenberg).
p. 481°)
Equation
d’évolution desopérateurs
p. 49a)
Définition
des
opérateurs champ électrique
polarisation
etpopulations atomiques
dans
le
cadre de
l’approximation
à
unedimension
p. 49b)
Equation
d’évolution de
N, E,
etP
à
l’approximation
à unedimension.
p. 49c)
Equation
d’évolution
de N et
P
à
l’appro-
p. 53
ximation du
champ
moyen
p. 532°)
Lien avec lepoint
de vue deSchrödinger
p. 54II-III Les solutions du
problème
àl’approximation
duchamp
moyen p. 57A)
Solution pour la matrice densité dusystème
collectif(formalisme
deSchrödinger)
p. 571°)
Position duproblème
et notations p. 58a)
Labase
des
états
de
Dicke
p. 58b)
Leséquations
de Dicke.
p. 602°)
Solutionanalytique
exacte p. 603°)
Solutionnéo-classique approchée
p. 644°)
Solution exacte pardécomposition
entrajectoires classiques
p. 65a)
Etatsquasi-classiques
du
système
atomique
ettrajectoires
classiques
pour
l’énergie.
p. 65b)
Lessuperpositions
d’états
quasi-classiques
p. 70B)
Interprétation
physique
destrajectoires
classiques
p. 731°) Que
mesure uneexpérience
desuperradiance
p. 732°)
Les fluctuations dans le modèle "duchamp
moyen" ,
loi deprobabilité
P(t
D
)
du délai p. 763°)
Conclusion : Différentesexpressions
2°)
Loi deprobabilité
destrajectoires
classiques
p. 813°)
Application
destrajectoires classiques
pour le calcul
des fonctions
de corrélationd’onde
normal Q
+
)
e
R
-
)
m
>
p. 824°)
Laphase
de lapolarisation
atomique
et duchamp rayonné
p. 835°)
Le vecteur de Bloch et le"tipping
angle"
p. 846°)
Conclusion p. 86II-IV La solution du
problème
de lasuperradiance
àl’approximation
du modèlede
propagation
à unedimension
p. 87A)
Trajectoires classiques
à une dimension avec conditioninitiale
homogène.
p. 88B)
"Les conditions initiales" et leur loi deprobabilité
dansle cas du modèle de
propagation
à une dimension :propriétés
statistiques
de l’émissionsuperradiante
p. 941°)
Décomposition
du milieu en "tranches" de mêmeabscisse. p. 94
2°)
La mesure àt=t
1
;
lestrajectoires
classiques
p. 953°)
La loi deprobabilité
associée à latrajectoire 03B1
p. 964°)
Propriétés
statistiques
de l’émissionsuperradiante
(rappels
des résultats de Glauberet al
(5))
p. 975°)
Calculsimplifié
de l’émissionsuperradiante.
Démarrage
sur unepolarisation
aléatoirehomo-gène
dans tout le milieu. p. 97 II-V Discussion del’approximation
de Born-Markov p. 99A)
Rappel
p. 991°) Point de vue de
Schrödinger
p. 992°)
Point de vued’Heisenberg
p. 1003°)
Conclusion p. 101B)
Condition suffisante de validité dans lepoint
de vue deSchrodinger :
Condition de Born Markov restrictive p. 1021°)
Condition de Markov p. 102C) Que
se passe t-il dans lepoint
de vue deSchrödinger
siN2
0393
03BC
L/c
>> 1? p. 1041°)
Observables à évolution lente :énergie
etchamp
émis. p. 1042°)
Observablesrapides
p. 106Remarques :
Observables "lentes" et"rapides"
dans le
point
de vue deHeisenberg
p. 110D) Remarque
sur la mesure des observablesrapides
p. 110E)
ConclusionChapitre
III :La
superradiance
d’un ensemble d’atomes àniveaux
dégénérés
ou
quasi-dégénérés :
Battement desuperradiance
p. 117
A)
Equations générales
p. 1181°)
Position duproblème
et notations p. 1182°)
Leséquations
d’évolution desopérateurs
p. 1203°)
Condition àprendre
pour simuler ledémarrage
quantique
dusystème
dans leséqua-tions de Bloch Maxwell
généralisées.
p. 122a)
Système
à trois niveaux
en"V" dans
unmélange statistique
d’états
à
t=0 p. 123i)
Lesystème
à trois niveaux en"V":
notations p. 123
ii)
La condtion initiale dans le cas d’unmélange
statistique
d’états p. 125iii)
Interprétation
physique
du résultat p. 127b)
Système
àtrois niveaux
en"V" dans
un caspur
p. 129e)
Système
àtrois niveaux
en"V" renversé
p. 132i)
Notation p. 132ii) Condition initiale p. 133
d)
Remarque
p. 1344°)
Conclusion p. 135battements de
superradiance ;
les battementsentre atomes
physiquement
différents pour039403C9
T
SR
>>1
p. 136a)
Position
du
problème
etéquations
d’évolution
p. 137b)
Allure
des solutions pour
039403C9T
SR
>>
1 p. 139c)
Lien
avecles battements cohérents de deux
p. 140lasers,
et avecla
détection
hétérodyne
2°)
Lafréquence
et laphase
des battements desuperra-diance. Etude suivant la valeur de 039403C9
T
SR
p. 142a) Etude
analytique
du
démarrage
de l’évolution
du
système
constitué de deux classes d’atomes
à
l’approximation
du
champ
moyen, p. 143b)
Allure des solutions
enfonction
de
n = 039403C9
T
SR
p. 1483°)
Influence des cohérences hertziennes p. 151a)
L’effet
de
quantification
du délai
p. 154b)
Effet
des cohérences hertziennes
surla
phase
etla
profondeur
de
modulation
des
battements
de
superradiance
p. 154i)
en absence de cohérence hertzienne t=O p. 155ii)
enprésence
de cohérences hertziennes àt=O p. 157
iii) Conclusion p. 159
c) Création de cohérences hertziennes par
l’émission
superradiante
p. 160d)
Conclusion
Chapitre
IV : Lasuperradiance
limizée p. 163A)
Introduction p. 163B)
Superradiance
limitée deFriedberg
et HartmannCas d’un
petit
système
p. 165C) La
superradiance
limitée de deux classes d’atomesà deux niveaux de force d’oscillateur différentes p. 169
2°)
Equation
d’évolution eténergie
dusystème
atomique
p. 1713°)
L’effet desuperradiance
limitée p. 173D)
Lasuperradiance
limitée d’unsystème préparé
dans unmélange
statistique
p. 1741°)
Position duproblème
p. 1742°)
Cas 039403C9 = 0et u
= u’p. 177
3°)
Cas039403C9 ~
0ou u ~
u’ p. 183Interprétation
des résultats p. 185i)
casT
SR,a
~
T
SR,b
p. 186ii) Cas
T
SR,a
= T
SR,b
p. 1874°)
Conclusion p. 190E)
Conclusion : lien avec les effets depropagation
p. 191Chapitre
V : Unsystème
superradiant
trèssimple,
le maser enrégime
transi-toire. p. 193
A)
Introduction p. 193B)
Cas idéal : Lasuperradiance
d’unpetit système
àl’intérieur d’une cavité p. 195
1°)
Position duproblème
et ordres degrandeurs
p. 1952°)
Equations
d’évolution p. 1983°)
Etude de l’état final (effet desuperradiance
totale) p. 2014°)
Allure des solutions en fonction de 03B1=T
CAV
/T
MASER p. 201a)
Ledémarrage
de
l’évolution
p. 201b)
Evolution
auxtemps
très
longs
p. 202c)
Evolution
pour 03B1<< 1 :Cas
du
pendule
fortement
amorti :
solution
de
Dicke
p. 204d)
Evolution
dans
le
casgénéral
p. 204C)
Lasuperradiance
d’unsystème
étendu à l’intérieur d’unecavité
(effets
des ondesstationnaires)
p. 2071°)
Position duproblème
p. 2072°)
Equations
d’évolutions p. 2083°)
Etat final atteint : effet desuperradiance
limitée p. 211d)
Conclusion
p. 218Chapitre
VI : Mise en évidence de lasuperradiance
dans leproche infrarouge
p. 220A)
Introductionp. 220
B)
Description
dumontage
expérimental
p. 2221°)
Description shématique
del’expérience
p. 2222°)
L’excitationoptique
p. 2243°)
La cellule de résonance p. 225a)
Forme etdimension de la cellule
p. 225b)
Température
etpression
de sodium
p. 2254°)
La détection p. 225a)
Lesdétecteurs
p. 225b)
Lachaine
de
détection
rapide
p. 226C)
Allure designaux
superradiants
et résultats p. 2281°)
Détection directe de l’émissionsuperradiante
p. 2282°)
Détection indirecte de l’émissionsuperradiante
p. 2303°)
Interprétations
des résultats et ordres degrandeurs
p. 234D)
Conclusion p. 236Chapitre
VII :Expérience
de battements entre atomes de classes devitesses différentes . p. 237
A)
Introduction p. 237B)
Principe
del’expérience
de battement entre classes devitesses p. 238
i)
Excitation en raielarge
p.ii)
Excitation en raie étroite p. 240C)
Lemontage
expérimental
p. 242i)
La source laser p. 243D) Analyse
de résultats p. 2451°)
Résultats en raie étroites p. 2462°)
Résultats en raielarges
p. 2483°)
Résultats en raielarge
hors résonance p. 249E)
Conclusion p. 250Chapitre
VIII : Etude de lasuperradiance
entre niveaux deRydberg
dansle domaine
millimétrique
p. 252A)
Introduction p. 252B)
La détection indirecte de lasuperradiance
dans lesétats de
Rydberg
(l’ionisation
par effet dechamp)
p. 2531°)
Principe
de la détection par ionisation parchamp
p. 2532°)
Utilisation de la méthode pour étudier lasuperradiance
entre niveaux deRydberg
p. 2553°) Description
d’uneexpérience
desuperradiance
détectée en ionisation par effet de
champ
p. 258a)
Lessignaux
d’horloges
p. 258b)
Lepulse
de
champs
etles lasers
p. 259c)
Larégion
d’interaction
proprement
dite
p. 261d)
L’analyse
des
signaux
p. 2654°)
Conclusion : Lesavantages
et les inconvénients dela méthode pour étudier la
superradiance
p. 266C)
Mise en évidence de lasuperradiance
des niveaux deRydberg
du Césium p. 2681°) Description
dumontage
p. 2682°)
Etudeexpérimentale
de lasuperradiance
sur latransition 24S - 23P p. 269
a) Calcul
d’onde
de
grandeur
p. 269b)
Analyse
des
signaux expérimentaux
p. 2713°)
Extension desexpériences
aux autres niveaux deRydberg
du Césium p. 275a)
Superradiance
surles
transitions
nD-nP p. 275b)
Superradiance
encascade
p. 277c)
Transfert
versdes
niveaux voisins de la
1°)
Principe
desexpériences
p. 2802°)
Description
dumontage
expérimental
p. 283a)
Leslasers
p. 283b)
Lejet
atomique
p. 283c)
la cavité
p. 2843°)
Mise en évidence de l’effet Maser sur latransition 27S - 26P p. 286
4°)
Extension desexpériences
aux autres niveaux deRydberg
du Sodium p. 2875°)
Effets liés à la structure de mode : lasuper-radiance totale p. 294
6°) Comparaison
théorieexpérience :
évaluationdes seuils. p. 299
7°)
Conclusion p. 302Chapitre
IX : Lasuperradiance
déclenchée p. 303A)
Leprincipe
de l’effet p. 304B)
Etudethéorique
simplifiée
dudémarrage
de l’émissionsuperradiante
àl’approximation
duchamp
moyen p. 3071°)
Déclenchement de l’émission par unchamp
classique
p. 307i) Effet de raccourcissement du délai p. 310
ii)
Effet depolarisation
p. 3102°)
Déclenchement de l’émission par unchamp
thermique
p. 311C)
Mise en évidence des effets de déclenchement desuper-radiance dans le doamine
proche infrarouge
p. 3131°) Description
du montageexpérimental
p. 3142°)
Les signaux desuperradiance
déclénchés p. 315D)
Les effets desuperradiance
déclenchée dans le domainep. 322
microonde.
1°)
Description
dumontage
expérimental
p. 322 1)L’oscillateur local p. 324il)La
source servant à déclencher l’émissionmaser p. 324
iii)Le
système
de détection par battementshétérodynes
p. 3252°)
La détection directe de l’émission Maser(rappel
des résultats obtenus en
(65)
et(32)
p. 3263°)
Mise en évidence de lasuperradiance
déclenchéedans le domaine microonde p. 327
a)
Etuda
qualitative
b)
Effets
de
déclenchement
enpolarisation
p. 329c)
Effet
de
synchronisation
de la
phase
de
p. 332
l’émission
maser p.4°) Etude
quantitative
de lasuperradiance
déclenchée dansp.333
le
domaine
microondeConclusion
générale
p. 338Appendice
I Calcul aupremier
ordre des termesnégligés
àl’approximation
deBorn Markov p. A 1
1°) Calcul du 1er terme non Born p. A 3
2°)
Calcul du 1er terme non Markov p. A 83°)
Poids des différents termes p. A 10a) Poids
relatif
du
premier
terme non Born p. A 10pour
lamatrice densité
b)
Poids
relatif
du
premier
terme non Born pourl’évolution de
l’énergie
Appendice
II Etude des effetsgéométriques
p. A 16A)
Superradiance
Avant-Arrière p. A 161°) Calcul
simplifié :
onnéglige
les interférencesdes
champs
émis avant et arrière p. A 17a)
Leséquations
d’évolution
p. A 17b) Allure de la solution
"typique"
p. A 18c)
Lastatistique
des solutions
p. A 19"typique"
3°)
Conclusion p. A 23B)
Lasuperradiance
vers l’avant d’un milieu étendu en tenantcompte
des effets transverses
(problème
à troisdimensions )
p. A 241°)
Généralisation deséquations
de Bloch Maxwell à troisdimensions p. A 24
2°)
Signification
physique
du termesupplémentaire
dansl’équation
de Maxwellgénéralisée
p. A 263°)
La condition initiale àprendre
pour résoudre leséquations
de Bloch Maxwellgénéralisées
p. A 284°)
Difficulté rencontrée lors de l’étude duproblème
dela
superradiance
à trois dimensions p. A 29a)
Difficultés mathémtiques d’intégration numérique.
p. A 29b)
Difficultés
liées à
l’analyse
des résultats
p. A 305°)
Conclusion p. A 31Appendice
III : Les fluctuations de l’effet de déclenchement parCHAPITRE I
d’un ensemble
d’atomes
ou de molécules initialementpréparés
dans un état radia-tivement instable. Cette émission a lieu avec une constante detemps
beaucoup
plus
courte que la durée de vie naturelle de ces atomes oumolécules,
la"compression
temporelle"
duphénomène
étantproportionnelle
au nombre N deradiateurs.
L’interprétation qualitative
de l’effet estsimple.
Sous l’effetde leur
couplage
avec lechamp
électromagnétique
(initialement
"vide"),
lesdipôles électriques
des différents atomesdu
milieuacquièrent
une fortecor-rélation et se mettent à émettre en
phase.
Il en résulte une interférenceconstructive des
champs
émis par cesatomes,
conduisant à une intensitérayon-née
proportionnelle
àN
2
.
L’énergie
totale à émettre étant seulement propor-tionnelle àN,
lesystème
s’amortit
nécessairementplus
vitequ’en
absence deces corrélations et émet en un
temps
proportionnel
àN
-1
.
Pour observer
expérimentalement
lasuperradiance,
il fautpréparer
l’ensemble des atomes dans l’état
supérieur
d’une transitionoptique
en untemps
très court. Pour réaliser cettepréparation,
on utilisegénéralement
uneconfiguration
desystème
à trois niveaux(figure
I.1).
La transition2
superradiante
est la transition de l’état + vers l’état -. Lesystème
estpréparé
dansl’état
+ par uneimpulsion
lumineuse,
résonnante sur la transi tion f ~ + àpartir
du niveau "fondamental"f.
Lapopulation
est ainsi initia-lement et totalement inversée sur la transition + ~ -. Même ainsipréparé,
unsystème
atomique
ne manifeste pastoujours
lephénomène
d’émission collective. Le schéma d’excitation que nous venons de décrire est celui d’ungrand
nombred’expériences
de fluorescenceatomique
(battement
quantique
parexemple
(
1
)),
dans
lesquelles
on sait bien que la lumière réémise estsimplement
la sommedes intensités
rayonnées
indépendamment
parchaque
atome ou molécule. Lasuper-radiance ne
peut
en effet se manifesterqu’au-dessus
d’un certain seuil(cor-respondant
à un nombre minimum d’atomes ou moléculesexcités),
car lecouplage
radiatif entre les atomes est contrecarré par des effets
géométriques
(seule-ment certains modes duchamp,
dépendant
de la forme del’échantillon,
contri-buent efficacement à cecouplage)
et par desphénomènes
dedéphasage
concurrentsqui
affectent lesdipôles
mis enphase
par lasuperradiance
(émission
spontanée
sur d’autres
transitions, collisions,
effetDoppler,
etc...).
La
superradiance
ainsi décriteapparaît
comme étroitementapparentée
à l’effet laser ou maser sans cavitéoptique
("laser
sansmiroirs")
(
2
).
Leschéma des niveaux de la
figure
I.1rappelle
en effet clairement leprincipe
dupompage
d’une
transition laser dans unsystème
à trois niveaux. La conditionde seuil de
superradiance
estidentique
à celle d’un oscillateur laser dont le milieuamplificateur
serait l’échantillonsuperradiant.
La différence essentiel-le entresuperradiance
et effet laser ou maser "ordinaire" tient aux constantesde
temps
des deuxphénomènes.
Un laser fonctionne engénéral
en pompage "continu"ou en pompage
impulsionnel
avec untemps
d’excitationlong
devant letemps
ca-ractéristique
d’évolution radiative du milieuamplificateur.
En d’autres termes,le
couplage
de ce milieu avec lechamp
est encompétition
avec les processusde pompage
qui
régénèrent
l’état excité. Unrégime
stationnaire ouquasi-sta-tionnaire tend à
s’établir,
danslequel
les mécanismes de relaxation autresque radiatifs
jouent
un rôleimportant.
Dans un vraisystème superradiant
aucontraire,
c’est l’évolutionspontanée
d’unsystème
librecouplé
au seulrayon-nement
qui
est lephénomène
essentiel et il faut donc réaliser une excitationpercussionnelle,
très courte devant letemps
d’évolution radiatif du milieu.transitoire limite de
l’amplification
laser pour destemps
de pompageinfini-ment courts. Les deux
"points
de vue" de lasuperradiance
que nous venonsd’indiquer
(émission
spontanée
collective etamplification
transitoire derayonnement)
sont,
bienentendu,
équivalents,
mais conduisent à desimages
physiques
très différentes dont il estimportant
dedégager
lacompatibilité.
Le but de ce mémoire est de
présenter
uneanalyse
détaillée duphénomène
desuperradiance
et de décrire un certain nombred’expériences
quenous avons réalisées sur des
systèmes atomiques
trèssimples
pour testerquel-ques
aspects
de la théorie et démontrer lespossibilités d’application
pratique
de la
superradiance.
Notre travail s’est effectuéparallèlement
à celui deplusieurs
autres groupes de recherchequi,
ces dernièresannées,
ontégalement
étudié ce
phénomène,
tant sur leplan théorique
5
)
6
)(
3
)(
4
)(
(
qu’expérimental
(
7
)(
8
)(
9
)(
10
).
Il nousparaît
doncimportant,dans
cechapitre d’introduction,
de faire un
point
"historique"
sur lasuperradiance,
enprécisant
lesproblèmes
théoriques
etexpérimentaux qui
seposaient
au début de ce travail et enrésu-mant brièvement ce
qui
nous semble être notre contributionoriginale
à lacompréhension
de cephénomène.
Pour
préparer
cettediscussion,
ilpeut
être utile de commencerpar une
analyse qualitative simple
de lasuperradiance.
EMISSION SPONTANEE COLLECTIVE D’UN SYSTEME DE N ATOMES A DEUX NIVEAUX
Rappelons
tout d’abord lespropriétés
bien connues de l’émissionspontanée
d’un atome isolé(N=1).
Un atome à deux niveaux + -,couplés
entreeux
par
une transitiondipolaire électrique permise , préparé
à l’instant t=0 dansl’état
excité+,
va se désexciter ensuitespontanément
sous l’effetde son
couplage
avec les modes vides duchamp électromagnétique.
Lesystème
global
"atome
+champ
quantifié"
évolue de l’état initial|+,
0 >(représen-tant
l’atome
dans l’état + enprésence
duvide)
vers un continuum d’états finals|-,
1k e
>(représentant
l’atome
dans l’état - enprésence
d’unphoton
de vecteur d’onde k etpolarisation
03B5).
Laprobabilité
P
+
(t)
de trouver àl’instant
t lesystème
dans l’état|+,
0 > décroît suivant une loiexponen-tielle,
avec la durée de viecaractéristique
T
sp
=0393
+
-1
.
0393
+
est lalargeur
4
(03C9
o
:
fréquence
de la transition + ~ - ; <+|D|-
> : élément de matrice entre + et - dudipôle
électrique atomique
D).
Au cours de tout le processus,le
dipôle électrique
de l’atomegarde
une valeur moyenne nulle :En termes
classiques,
onpeut
dire que ledipôle,
"induit" par les fluctuations duvide, possède
unephase
aléatoireéquirépartie
de 0 à 203C0. La valeur moyenne< I > de
l’intensité
électromagnétique rayonnée
par l’atome estproportionnelle
non à < D
> ,
mais à <D
2
>,
qui
est non nul etproportionnel
à laprobabilité
de trouver l’atome dans le niveau + :<
I(t)
> est donc maximale à t = 0 etdécroît,
tout
commeP
+
(t),
suivant laloi
exponentielle
detemps
caractéristique
0393
+
-1
.
Considérons à
présent
un ensemble de deux atomes 1 et 2identiques
et
immobiles,
initialementpréparés
dans l’état + etséparés
par une distancex
12
petite
parrapport
à lalongueur
d’onde de leurrayonnement :
L’intensité moyenne
rayonnée
par cesystème
estproportionnelle
au carré du
dipôle
total :où
D
1
(D
2
)
est ledipôle
de l’atome 1(2).
A l’instant initial
(t=0),
lesystème
se trouve dans l’état|+
1
, +
2
;0
> et la valeur moyenne du carré dudipôle
s’écritsimplement :
car les corrélations entre les deux atomes sont à cet instant nulles :
L’émission
spontanée
commence donc comme celle de deux atomesindé-pendants,
avec une duréecaractéristique
0393
+
-1
.
En raison de la condition
(1.4),
l’interaction entre les deuxato-mes et le
rayonnement
est invariante parpermutation
des deux atomes. Il enrésulte
qu’après
l’émission
d’unphoton,
lesystème atomique
se trouve dans l’état :résultant
d’une
répartition
symétrique
de l’excitation entre les atomes 1 et 2. Il est facile de voir que, dans cetétat,
les corrélations entre les deux atomessont
importantes
et l’on a :Le carré du
dipôle
totaldevient alors
supérieur
à celui de deux atomes non corrélés et l’émission de-vient ainsiplus
forte etplus
rapide :
En termes
classiques,
la relation(I.9)
signifie
que les deuxdipôles,
dontles
phases
sont individuellement aléatoires(<
D
1
> = <D
2
> =0)
ontacquis
une différence de
phase
bien définie sousl’effet
de leurcouplage
symétrique
avec le
champ.
L’amortissementsuperradiant
résulte alors de l’interférence6
Le même
phénomène
segénéralise simplement
au cas de N atomes quenous
considérerons,
pour fixer lesidées, répartis
dans un volumecylindrique
allongé
de dimensionsgrandes
devant lalongueur
d’onde. On montre alors quel’émission
despremiers photons
met le
système atomique
dans unesuperposition
symétrique
des états|+
>
i
ete
-ik
o
x
i |- >
(k
o
est le vecteur d’onde moyen del’émission
dans l’axe ducylindre,
x
i
laposition
de l’atomei).
Cettesuperposition
symétrique correspond
à la création de fortes corrélations entreles
dipôles
d’atomes différents :Le
rayonnement
émis par lesystème
est constitué de deuxparties :
unepartie
incohérente et
isotrope, proportionnelle
à la somme des carrés desdipôles :
et une
partie
"cohérente"provenant
de l’interférence deschamps
émis par desatomes différents :
Le terme d’émission cohérent interfère constructivement dans l’axe du
cylindre,
plus
précisément
dans unpetit angle
solide039403A9
autour de cet axe. L’intensitécohérente dans cette direction est
proportionnelle
à cetangle
solide et aunombre des
corrélations,
c’est-à-dire àN
2
039403A9 :
Le terme
isotrope
d’émission incohérente est,lui,
proportionnel
à N et à403C0 :
L’émission
superradiante
cohérentel’emporte
sur l’émissionest satisfaite. On met souvent cette condition sous la forme :
où
ne
dépend
que de lagéométrie
du milieu émetteur(
11
).
Ce raisonnement supposeimplicitement qu’aucune
cause dedéphasage
"parasite"
n’affecte les dipôles.Si ce n’était pas le cas, la condition de seuil devrait
prendre
une formeplus
restrictive que
(I.17).
La discussion
précédente
dégage
clairement le doubleaspect
duphé-nomène
superradiant :
il estquantique dans
la mesure où la mise enphase
ini-tiale des
dipôles atomiques
résulte
de la construction spontanée dans lesys-tème de corrélations
interatomiques impossible
àcomprendre
àpartir
d’untraitement
classique
duchamp
électromagnétique.
Il estclassique
dans lamesure où
l’amortissement
plus
efficace dedipôles
enphase
est unphénomène
d’interférence
constructiveparfaitement expliqué
par la théorie desantennes,
à
partir
deséquations
de Maxwell.C’est la nécessité de
prendre
encompte
le doubleaspect
classique
etquantique
de cephénomène
dans une théorie consistantequi
fait toute ladifficulté et la richesse de
l’étude
de lasuperradiance.
Notons,
en conclusion de ceparagraphe,
les
principales propriétés
de la
superradiance qui
sedégagent
de cettedescription qualitative :
~ Un réseau cohérent de
dipôles
se construit dans le milieu initia-lement inversé au cours del’émission
despremiers photons.
~ Ce réseau rayonne de
façon
constructive dans certaines directions del’espace
sous l’effet d’interférencesinteratomiques
définissant ainsil’angle
solided’émission 039403A9
et le facteurgéométrique
03BC.~ Il en résulte une émission
plus
rapide
que l’émissionspontanée
8
Le
temps
caractéristique
d’évolution de l’intensité émise est donc :Cette
analyse qualitative
ne constitue évidemment pas un calculde
l’effet.
Un certain nombre dequestions théoriques plus
ou moinsfondamen-tales,
auxquelles
nous n’avions pastrouvé,
dans la littérature abondante surcet
effet,
deréponse
claire au début de cetravail,
restentposées.
Nousré-sumons l’essentiel de ces
questions
auparagraphe
suivant.LA SUPERRADIANCE : UN EFFET INTERESSANT SUR LE PLAN DE LA THEORIE
Parmi les
problèmes
difficiles queposait
le traitementthéorique
de la
superradiance,
lepremier
concerne le doubleaspect
classique
etquan-tique
duphénomène
et le choixjudicieux
du formalisme à choisir pour en rendrecompte :
(i)
Faut-iladopter
un formalismeclassique
ouquantique ?
Si
l’on veutcomprendre
la mise enphase
initiale desdipôles
ato-miques,
il est clair quel’approche
satisfaisante est celle del’électrodyna-mique
quantique.
Elle seule décrit correctement l’émissionspontanée
qui
està
l’origine
du"démarrage"
de lasuperradiance. Cependant,
une foisles
pre-miers
photons
émis,
on se trouve confronté à unproblème
de propagation
duchamp électromagnétique
dans un milieufortement
nonlinéaire,
ce que l’on ne sait pas commodément traiter en termes de processusd’absorption
oud’émis-sion de
photons.
L’approche
semi-classique
(atomes
traitésquantiquement
etchamp
classiquement)
estbeaucoup
mieuxadaptée
à l’étude de lapropagation
duchamp,
un foisqu’il
s’est créé dans lesystème,comme
entémoignent
lesmul-tiples
études depropagation
depulses
dans des milieux non linéaires(
12
)(
13
).
Cette
approche
est, parcontre,
inapte
à décrire le début de l’émission . Iln’est pas évident
enfin,que
les effetsquantiques
ne continuent pas à semani-fester
mêmelorsque
lechamp
émis est devenuimportant.
En d’autres termes,ce
champ
est-il"classique"
avec unephase
biendéfinie,
ou bien "incohérent" avec untemps
de corrélationbeaucoup plus
court queT
SR
?
Leschamps
émispar
différents
échantillonssuperradiants
sont-ilssusceptibles
ou nonLes différents auteurs
qui,
avant le début de notretravail,
avaienttraité de la
superradiance
s’étaientpartagés
en deuxécoles,
suivantqu’ils
privilégiaient l’aspect
quantique
ouclassique.
Dans lepremier
cas(
14
),
ilsétaient amenés en
général
ànégliger complètement
lapropagation
(modèle
duchamp moyen).
Dans le second(
15
),
il leur fallait simuler defaçon
ad hoc laphase
initiale duphénomène.
Il est
évident,
cependant,
que si l’on cherche unecompréhension
profonde
de lasupperradiance,
le seulpoint
de vue réaliste estl’approche
quantique qui
contient toute laphysique
duproblème
-les difficultés de cetteapproche
étant seulementtechniques
et non deprincipe-.
L’approche classique
nepeut
êtreadoptée
que si elle estjustifiée
comme uneapproximation
valide du
point
de vuequantique,
suivant des critèresprécis
decorrespondance
qui
restaient -au début de ce travail- à définir et àpréciser.
Nous
adopterons
doncrésolument,
dans la suite de cemémoire,
lepoint
de vue del’électrodynamique
quantique.
(ii) Que
mesure exactement uneexpérience
desuperradiance ?
Quelles
sont lesquantités physiques
àcalculer ?
Immédiatement
après
laquestion
du formalisme àadopter,
se pose laquestion
desquantités physiques
à calculer pour rendrecompte
desobser-vations. Etant donné la
complexité
duproblème,
il est clair en effetqu’il
est hors de
question
de calculerexplicitement
l’étatglobal
dusystème,
maisqu’il
faut restreindre la théorie à la détermination desquantités
utiles àl’analyse
d’expériences
physiquement
réalisables.-
Se pose alors naturellement laquestion
suivante :Que peut-on
mesurer avec des détecteurs entourantl’échantillon
superradiant ?
La plupart
des articlesthéoriques
mettent l’accent sur le calcul del’intensité moyenne < I(t) >
rayonnée
par lesystème.
Celle-cipeut
s’écriresous différentes formes
équivalentes :
elle estégale
à la valeur moyenne du carré duchamp
électrique
<|E(t)|
2
> ,
ou encore au carré dudipôle atomique
total <|D|
2
> ,
ou encore par conservation del’énergie,
à la dérivéechangée
de
signe
del’énergie atomique.
Cettequantité
évolue avec la constante detemps
T
SR
,
suivant une courbeprésentant
un maximum au bout dequelques
T
SR
et décroissant ensuite
rapidement
vers zéro(voir
figure
1.2 donnantl’allure
10-FIGURE
I.2<
I(t)
>représente
dans ces calculs une moyenne au sens de lamécanique
quantique,
c’est-à-dire décrivant la moyenne d’ungrand
nombre
d’expériences
effectuées
dans les mêmes conditions initiales(même
nombre d’atomes excités à t =0,
mêmegéométrie,
mêmedétecteur).
Il est claircependant
qu’une
réa-lisation donnée de
l’expérience
ne donnera pas lesignal
<I(t)
> . Dans lecas de
l’émission
spontanée
d’un seulatome,
parexemple,
on sait que lesignal
détecté en un coup par un
photomultiplicateur
estun pic
discret représentantl’arrivée d’un
photon.
<I(t)
> ~e
-0393+t
est,
dans ce cas, lesignal analogique
observé par
addition
d’ungrand
nombre de telspics,
ou encorereprésente
laprobabilité
P(t)
d’observer unpic
à l’instant t. Ainsi <I(t)
> n’est que lamoyenne
d’un signal présentant
degrandes
fluctuations d’une réalisation àl’autre de la même
expérience.
Il en est de même dans le cas de lasuperra-diance d’un
grand système
(N
»1).
Si un nombre dephotons
élevé arrive enmoyenne sur le détecteur
pendant
letemps
deréponse
fini03B4t
decelui-ci,
lesignal
détecté
àchaque
réalisation est lui-mêmeanalogique,
cequi
faitapparaître
moins clairement la différence entresignal
mesuré en un coup etsignal
moyen. Il n’en reste pas moins que lesignal
observé àchaque
expérience,
I
dét
(t),
n’a aucune raison d’êtreidentique
ausignal
moyen <I(t)
>. Toutcomme dans le cas de l’émission d’un seul
atome,
I
dét
(t)
vaprésenter
d’unde
l’émission
spontanée
despremiers
photons
dans lesystème.
Laquestion
importante qui
se pose alors est de caractériser la forme desimpulsions
in-dividuelles détectées et de déterminer leur
statistique (fluctuations
deforme,
d’amplitude,
dedélais,
...). Cette
statistique dépend
évidemment des
fonctions de corrélation d’ordre
supérieur
del’intensité.
L’importance
de ces fonctions de corrélationapparaît également
trèsclairement si on
s’intéresse
àl’évolution
depetits systèmes superradiants,
pour
lesquels
N est assez faible pourqu’on puisse
se poser laquestion
physi-que de la détection
digitale
desphotons
émis. Il faut pour cela que l’intervallemoyen
séparant
dans letemps l’émission
de deuxphotons
successifs soitplus
grand
que letemps
deréponse
du détecteur utilisé03B4t :
Dans ce cas, le
signal
détecté pourchaque
réalisation del’expérience
sera une succession depics
discrets dont la forme sera bien sûr très différentede <
I(t)
> . Pour caractériser cesignal
et sastatistique,
il faut connaître-outre <
I(t)
>proportionnel
àP(t)-
lesprobabilités
à ntemps
P(t
1
,
t
2
,
...t
n
)
de détecter une succession dephotons
aux instantst
1
,
t
2
,
...t
n
.
Cesprobabilités
sontproportionnelles
aux fonctions de corrélation de l’intensité duchamp
électrique E :
Si on s’intéresse non pas seulement à
l’intensité
émise et à sastatistique,
mais à laphase
duchamp
émis et à sespropriétés
decohérence,
ce sont alors les fonctions de corrélation del’amplitude,
dont laplus simple
est <
E(t)
E*(t -
03C4)>,
qu’il
fautpouvoir
calculer.Ainsi,
l’interprétation complète
d’uneexpérience
desuperradiance
nécessite la détermination non seulement de <I(t) >,
mais aussi d’un ensemble de fonctions de corrélations del’amplitude
et de l’intensité duchamp électrique
12
dont le
calcul
est évidemment apriori beaucoup
plus compliqué.
(iii)
Comment calculer les fonctions de corrélations ? Le caractère Markovien deséquations
de lasuperradiance.
La constante de
temps
caractéristique
de l’évolution de l’intensité moyenne dusystème
estT
SR
=1/N0393
+
03BC.
Il en résultequ’une
fonction decorréla-tion d’ordre n du
champ
ou de l’intensité évolue en untemps
caractéristique :
N
photons
étantémis,
les fonctions de corrélation d’ordre leplus
élevé à considérer évoluent donc en untemps :
Ce dernier
temps
apparaît
d’ailleurs naturellement comme la constante destemps
d’évolution laplus
rapide
des éléments de la matrice densité du sys-tèmesuperradiant.
Laquestion qui
se pose alors concerne ladescription
rigoureuse
de l’évolution dequantités physiques
aussirapides.
Il est
utile,
pouranalyser simplement
ceproblème,
de revenirune fois encore au cas de l’émission
spontanée
d’un seul atome.L’évolution
dusystème atomique
est alors décrite -dans la théorie deWigner-Weisskopf-
par uneéquation
intégrodifférentielle
ayant
un noyau detemps
de corrélation fini03C4
c
=03BB/c
(période optique).
Dans lelangage
habituelde la
relaxation,
cecisignifie
que lesystème
atomique
(ici
l’atome à deuxniveaux)
estcouplé
à un réservoir(ici
les modes vides duchamp
e.m.) ayant
une très
grande
dispersion
enénergie,
donc untemps
de mémoire très court.Ce
temps
de mémoire étant trèspetit
devant letemps
d’évolution1/0393
+
du
système :
(03B1 :
constante de structurefine),
il estlégitime
de fairel’approximation
de Markov
qui
revient ànégliger
l’évolutionpendant
letemps
de mémoire fini du réservoir et àremplacer
l’équation
d’évolutionintégrodifférentielle
parune
