N OUVELLES ANNALES DE MATHÉMATIQUES
É MILE F RANÇOISE
Solution des questions 483, 484, 485
Nouvelles annales de mathématiques 1
resérie, tome 19 (1860), p. 11-14
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SOLUTION DES QUESTIONS 483, 484, 485
(voir t XVlii, p 3ô7);
PAR M. EMILE FRANÇOISE, Élève du lycée de Caen.
Solution de la question 483.
D'un point B extérieur à une circonférence O on mène
Fir,. i.
deux tangentes BA et BC, on projette C en D sur le rayon
O A , et l'on fait exécuter une révolution complète à la
figure autour de OA , l'un des rayons des points de con-
tact; il faut démontrer que le volume engendre par le
( I'i )
triangle mixtiligue CBA est équivalent au cone engendré par le triangle BOA.
On a , en cflet,
vol. ABD — i 7T AB . AD,
ó
vol ABC = ^ n AD* ( 3 r — ADj.
Soit ABC = a ; on a
AD--= ABsina, CD = rsin a, / étant le rayon du cercle.
Les expressions pi'écédentes deviennent vol. ABD — - 7T AB sina,
o
\ol.ABCD = ^7rAB sina-f-^Tr/^ABsin^a-f-^Tr AB / sin / ,
<J O «3
2 i 3
vol. ACD — TV BA / sin a — - TT AB sin" a , vol. ABCD — \ o l . ABD
- - ^ T A B s i n a [ A B2s i n2a -f- (AB — / s i n a )2 ] - \T: A B s i n a [ AD' -f- {AB — CD) ]
-T: AB' sin^y=zvol ABD.
c. Q r. r>.
»3
Solution de la question 484.
La même figure étant faite que précédemment, et exé- cutant la même révolution, il faut prouver que le seg- ment sphérique engendré par CDA est équivalent au vo- lume engendré par le triangle CBD.
En effet, •
vol. CBD = vol. ABCD — vol. ABD, vol. C A D — vol. ABCD — vol. ABC, et comme
on a
vol. ABC = vol. ABD, vol. CBD = vol. CAD.
C. O. F. Ü.
Solution de la question 485.
L<* volume compris entre un cône droit AS A' el deux
FlG. 2 .
sphères O et C qui le louchent intérieurement et se tou-
chent elles-mêmes extérieurement, est la moitié du vo-
( ' 4 )
luine compris entre le cône et la sphère qui passe par les deux cercles de contact.
Le volume compris entre le cône cl la sphère qui passe par les points de contact a pour mesure
~ 77 B D2 . E F .
o
Je mène GH tangente commune aux deux circonfé- rences.
Je joins GF et GE; on a
GR==GDr=:GB, et, par conséquent,
RC = KF.
D'ailleurs (Question 483),
r voi.BGR = vol.GKF, vol. GEK — vol. GRD;
donc
\ol. BKD — I TV GR2 EF = — n BD* EF.
3 12
C'est la moitié du volume compris entre le cône et la bphère qui passe par les cercles de contact.
