Solution des questions 483 et 484

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N OUVELLES ANNALES DE MATHÉMATIQUES

DE L A B RIÈRE DE C ^HARODON

Solution des questions 483 et 484

Nouvelles annales de mathématiques 1

^re

série, tome 19 (1860), p. 52-54

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SOLUTION DES QUESTIONS 4 8 3 ET 4M

(roir I XVJII, p. 3S7),

R MM. DE LA BRIÈRE ET DE CHARODON, Élèves de l'école des Carmes (classe de M. Gerono)

Question 483.

Le volume engendré par le triangle rectiligne ABD

tournant autour de AD est ITTÂÏÏ'.ÀD.

Le volume engendré par le triangle mixtiligne ABC est égal au volume engendré par le trapèze ABCD moins le volume engendré par le segment AC.

Or, le volume engendré par le trapèze est

^ 7T AD (ÏÏI

3

AB.

le volume engendré par le segment est

le volume engendré par le triangle mixtiligne sera donc V AB. DC — | D O ' - - 1 5 ' ) •

2 2 /

i , AD fÂi

3 \\

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( 53 )

II faut donc prouver qu'on a l'égalité 4TTAD ( A B V DCV AB.DC — - Ï)C2~ - AD ) = ^ 3 \ 2 i j 6 „

ou bien

2 3 î | 2

DC + AB.DC DC AD = o,

2 2

2. AB. CD = DCV AD2= Ac'.

Abaissons de C une perpendiculaire CH sur AB, on aura

ÂC²=: ÂH V HC*.

11 faut donc prouver que

Or

HC '== CB'— HB2r= AB — HB2= 5 B V Â H V 2 HB. AH — HB3

donc

Â ë V 2 V 2HB. AH = 2AH.(AH 4-BH)

L'égalité à prouver devient donc 2AB.CD = 2AH.AB, qui est évidente puisque AH = CD.

Question 484.

Ce théorème est un corollaire du précédent.

Nous venons de démontrer que le \olume engendré par

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le triangle mixtiligne ABC était égal au volume engen- dré par ABD. Retranchant de chacun de ces volumes la partie commune engendrée par le triangle mixtiligne ABM, il reste les volumes engendrés par les triangles mixtilignes MBC, ADM et qui doivent être égaux. Ajou- tant à chacun de ces volumes le volume engendré par DMC,on a

vol. AMCD = vol. BDC.

C. Q. F . D.

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