UNIVERSITE MOHAMMED V FACULTE DES SCIENCES
DEPARTEMENT DE PHYSIQUE RABAT
PRECIS DU COURS DE THERMODYNAMIQUE 1 FILIERE : SMIA et EIR
Professeur : Omar MOUNKACHI
Rappels et compléments de mathématiques
I) Fonction d’une seule variable
La variable y est dite fonction de la variable x si la donnée de la valeur de x fixe la valeur (éventuellement les valeurs) de y : y = f(x)
Où f(x) symbolise une expression mathématique où intervient x.
Exemples de fonctions : Fonctions polynômes:
f(x)= a0+a1X1+a2X2+a3X3+……+anXn
Fonctions trigonométriques : y = cos(x); y = sin(x); y = tg(x)
Fonction exponentielle :
x ou
y e= y=exp( )x
, , Fonction logarithme :
, si ,
1 2 1 2
e .x x x x
y= e =e + e0 =1
x 1 e x
e
- =
log ( )e ( ) ( )
y= x =Log x =Ln x x e= y
1 2 1 2
( ) ( ) ( )
Ln x +Ln x =Ln x x (1) 0
Ln =
I.1 Dérivée d’une fonction
Exemples :
I.2 Différentielle d’une fonction
' '
0
( ) ( )
( ) x
f x x f x y f x Lim
x
D ®
+D -
= =
D
' 1
2
2
' '
( ) ( )
cos( ) sin( ) sin( ) cos( )
( ) 1 ( ) 1
cos ( ) ( ). ( ) ( ). ( ) ( ). ( )
( ) 1
n n
x x
f x x f x nx
x x
x x
tg x tg x
x u x v x u x v x v x u x
e e
Ln x x
= ® = -
® -
®
® + =
® +
®
®
' '
0 0
( ) ( )
( ) x x
f x x f x y
y f x Lim Lim
x x
D ® D ®
+D - D
= = =
D D
'
( ) ( ) 00 x
y f x x
x e
D ®
D = + D ® D
'( ). . ( ) y f x x xe x D = D +D D
Au premier ordre:
Si on a
La différentielle de la fonction y est notée dy
et la dérivée s’écrira :
Cas d’une fonction de fonction : y=f(t) et t=g(x)
, ,
'( ). ...
y f x x D = D +
0
D ®x D ®d
'( ).
dy= f x dx '( ) dy
f x =dx
( ( ))
y= f g x ' dy dy dt ' '
y f g
dx dt dx
= = = dy= f g dx' '
II. Fonction de plusieurs variables
0n peut étendre la notion de fonction, au cas où la connaissance des valeurs de plusieurs variables est nécessaire au calcul d’un nombre qui sera dit fonction de ces variables Exemples: Fonction du point : f(M)
Un point de l’espace M est repéré par ses coordonnées cartésiennes x, y et z : f(M)=f(x,y,z)
II.1Dérivées partielles
Si on considère une fonction à plusieurs variables la dérivée partielle de cette fonction est la dérivée par rapport à une seule variable donnée, les autres variables sont considérée
constantes
Prenons le cas d’une fonction à 2 variables f(x,y)
II.2 différentielle d’une fonction à plusieurs variables
Soit une fonction à 2 variables f(x,y) qui subit l’accroissement totale Df(x,y)
Si Dx et Dy tendent vers 0 on a e(Dx) et e(Dy) tendent vers 0 et D tend vers d
Et on aura
Dans le cas d’une fonction à trois variables on a
'
0
( , ) ( , )
( , )
x x
y
f f x x y f x y
f x y Lim
x D ® x
¶ +D -
æ ö
=çè¶ ÷ø = D
'
0
( , ) ( , )
( , )
y y
x
f f x y y f x y
f x y Lim
y D ® y
æ¶ ö +D -
=çè¶ ÷ø = D
0 0 0 0
( , ) ( , )
f f x x y y f x y
D = +D +D -
0 0 0 0 0 0 0 0
( , ) ( , ) ( , ) ( , )
f f x x y y f x x y f x x y f x y
D = +D +D - +D + +D -
' '
0 0 0 0
. ( , )y . ( ) . ( , )x . ( ) f y f x y ye y x f x y xe x
D =D +D D +D +D D
y x
f f
df dx dy
x y
æ ö
¶ ¶
æ ö
=çè¶ ÷ø +çè¶ ÷ø
0 x
y z
M f(M)=f(x 1 ,y 1 ,z 1 ) z1
y
1x
1II.3 Fonction d’état
Une fonction est dite fonction d’état s’elle ne dépend que de l’état initial et de l’état final ou bien si sa différentielle est une différentielle totale exacte.
Une fonction d’état ne dépend pas du chemin suivi pour aller de l’état initial à l’état final.
Dans le cas de deux variables : df(x,y) est totale exacte si
Dans le cas de trois variables : df(x,y) est totale exacte si :
1°)
2°) ( , , )
yz xz xy
f f f
df x y z dx dy dz
x y z
æ ö
¶ ¶ ¶
æ ö æ ö
=çè¶ ÷ø +çè¶ ÷ø +çè¶ ÷ø
2
f
2f
x y y x
¶ = ¶
¶ ¶ ¶ ¶
2 2
z z
f f
x y y x
æ ¶ ö =æ ¶ ö ç¶ ¶ ÷ ç¶ ¶ ÷
è ø è ø
2 2
y y
f f
x z z x
æ ¶ ö =æ ¶ ö ç¶ ¶ ÷ ç¶ ¶ ÷
è ø è ø
3°) Si on a
df(x,y) est diff tot exacte si
2 2
x x
f f
y z z y
æ ¶ ö æ ¶ ö
ç¶ ¶ ÷ =ç¶ ¶ ÷
è ø è ø
( , ) ( , ) ( , ) df x y = A x y dx B x y dy+
( , ) ( , )
x y
A x y B x y
y x
æ¶ ö =æ¶ ö
ç ¶ ÷ çè ¶ ÷ø
è ø
