I. Dérivation, fonctions de classe Ck

¦ On note I un intervalle deRnon vide et non réduit à un point. On appelle fonction vectorielle définie surItoute fonction f :I→R^n.

Remarque. SiE est unK-espace vectoriel de dimension finie, on peut tout aussi bien

considérer des fonctions vectoriellesf :I→E.

I. Dérivation, fonctions de classe C

Définition 1 – Dérivabilité

On dit que f :I→Rⁿest dérivable en a∈I lorsque : 1

t−a(f(t)−f(a))

admet une limite finie (dansRⁿ) lorsque t→a. Lorsque c’est le cas, on pose : f⁰(a)=lim

t→a

1

t−a(f(t)−f(a))

On dit que f est dérivable sur I lorsqu’elle est dérivable en tout point de I . Lorsque c’est le cas, on définit la fonction :

f⁰: I → Rⁿ a 7→ f⁰(a)

On dit que f est est de classeC¹sur I lorsque f est dérivable sur I et f⁰est continue sur I . Pour k>1, on dit que f est de classeC^ksur I lorsque f est dérivable sur I et f⁰est de classeC^k−1sur I . On dit que f est de classeC^∞sur I lorsque f est de classeC^ksur I quel que soit k∈N. Notations :C^k(I,R^n),C∞(I,R^n).

1

Proposition 2 – Caractérisation avec un DL1

Soient f :I→R^{net a}∈I . On a équivalence entre : (i) f est dérivable en a ;

(ii) Il existe un vecteur v∈Rⁿet une fonctionε:I→R^{ntels que :}

∀t∈I, f(t)=f(a)+(t−a)v+(t−a)ε(t) ε(t)−−−→

t→a 0 et, lorsque c’est le cas, v=f⁰(a). On écrit alors :

f(t)=f(a)+(t−a)f⁰(a)+ o

t→a(t−a) (développement limité de f à l’ordre1en a).

Proposition 3 – Caractérisation par les coordonnées

Soient f :I →R^n,Bune base deR^{n et x}1, . . . ,xn les composantes de f dansB. On a équivalence entre :

(i) La fonction f est de classeC^ksur I ;

(ii) Les fonctions x₁, . . . ,x_nsont de classeC^ksur I .

et lorsque c’est le cas, les composantes de f⁰dansBsont x₁⁰, . . . ,x⁰_n. Proposition 4 – Opérations sur les fonctions de classeC^k

Soient f :I→R^{n, g:I}→R^n,λ:I→R^{net k}Ê1(ou k= ∞). Si f , g etλsont de classeC^k sur I , alors :

(1) f +g est de classeC^ksur I et(f +g)⁰=f⁰+g⁰; (2) λf est de classeC^ksur I et(λf)⁰=λ⁰f +λf⁰;

(3) Siϕ:J→I est de classeC^ksur J (intervalle non vide et non réduit à un point), alors f ◦ϕest de classeC^ksur J et(f ◦ϕ)⁰=ϕ⁰×f⁰◦ϕ;

(4) Si A∈Mp,n(R^{), alors A}×f est de classeC^ksur I et(A×f)⁰=A×(f⁰);

(5) Si L:Rⁿ→R^p est linéaire, alors L◦f est de classeC^ksur I et(L◦f)⁰=L◦f⁰; (6) Si B: (R^n)2→R^p est une application bilinéaire, alors B(f,g)est de classeC^ksur I

et B(f,g)⁰=B(f⁰,g)+B(f,g⁰).

2

II. Arcs paramétrés

Définition 5 – Arc paramétré de classe C^k, point régulier

Soit k∈N^∗. On appelle arc paramétré de classeC^ktoute application f :I→R^{nde classe} C^k. L’ensemble :

©f(t)|t∈Iª

est appelé support (ou trajectoire) de l’arc paramétré. Soit t ∈I , on dit que le point de paramètre t est un point régulier de l’arc paramétré f lorsque #–

f ⁰(t)6=0.

Remarque. Un point qui n’est pas régulier est dit stationnaire (ou singulier).

"Remarque. Des arcs paramétrés différents peuvent avoir le même support.

Définition 6 – Tangente en un point régulier

Soit f :I→Rⁿun arc paramétré de classeC^ket t∈I . Si le point de paramètre t est régulier, alors la droite passant par f(t)et dirigée par #–

f ⁰(t)est la tangente à l’arc paramétré au point de paramètre t .

3

Tracés de courbes

x (t ) = 10 cos(2t ) sin(t )

cos(t ) y (t ) = 10 cos(2t ) sin(t )

cos(t )

4

x (t ) = sin(t ) y (t ) = sin(2t )

5

x (t ) = 5(1 − t

) exp( − t

) y (t ) = 5t exp( − t

)

6

x (t ) = 5t 1 − t

1 + t

y (t ) = 5 1 − t

1 + t

7

Les résultats à connaitre

• Dérivabilité pour une fonction à valeurs vectorielle.

• Caractérisation par un développement limité à l’ordre 1.

• Opérations sur les fonctions dérivables.

• Point régulier d’un arc paramétré de classe C^k, tangente en un tel point.

Quelques objectifs du chapitre

• Savoir étudier la dérivabilité d’une fonction f :I→R^n.

• Savoir interpréter les notions physiquement (vitesse, accélération) et géométrique- ment (tangente).

• Savoir étudier et construire une courbe paramétrée du plan.

• Savoir résoudre un système d’équations différentielles linéaire homogène à coefficients constants.

En pratique

Ï

Comment résoudre à un système d’équations différentielles ?

On ne considère ici que des systèmes d’équations différentielles linéaires, homogènes et à coefficients constants. Par exemple un système (E) de la forme

µx⁰ y⁰ z⁰

¶

=A³_x

y z

´

avecA∈M3(K^).

• Si on peut trouverP ∈GL₃(K^{) etD}=diag(λ1,λ2,λ3) telles queP⁻¹AP =D, alors en posant

³_x1

y1

z1

´

=P⁻¹³_x

y z

´, le système (E) s’écrit :







x₁⁰ =λ1x1

y₁⁰ =λ2y₁ z₁⁰ =λ3z1

On en déduitx₁,y₁,z₁puis³_x

yz

´

=P³x₁ y1

z1

´

;

• Si on peut trouverP∈GL₃(K^{) etT} ∈M3(K) triangulaire supérieure telles queP⁻¹AP= T, alors en posant

³_x1

y₁ z1

´

=P⁻¹³_x

y z

´, le système (E) s’écrit :







x⁰₁=ax1+b y1+c z1

y⁰₁=d y₁+ez₁ z⁰₁=f z1

avecT= µ_{a b c}

0d e 0 0 f

¶

On en déduitz₁, puisy₁et enfinx₁. Ensuite,³_x

yz

´

=P³_x1

y1

z1

´ .

Remarque : il n’y a pas lieu de calculerP⁻¹(sauf parfois lorsqu’il y a une condition initiale).

Ï

Comment étudier une courbe plane ?

Pour une courbe associée à une fonction vectoriellef :t7→

³x(t) y(t)

´

, on suit le plan d’étude :

• Déterminer le domaine de définitionDde f : c’est l’intersection des domaines de définition dexet dey;

exemple). Pour cela, on compare le point M(t) à un pointM(t ) oùt dépend de t, dans les cas les plus fréquents :

— Pour tirer parti de laT-périodicité des fonctionsxet y, on compare les points M(t) etM(t+T) ;

— Pour tirer parti de la parité dexety, on compare les pointsM(t) etM(−t) ;

— Si on a réduit le domaine d’étude à un segment [0,a], on peut comparerM(t) et M(a−t).

(Cette liste n’est pas exhaustive, dans certains cas on peut par exemple comparerM(t) etM(1/t).) Les symétries que l’on rencontre le plus souvent sont les suivantes :

— Six(t⁰)=x(t) ety(t⁰)=y(t) alorsM(t⁰) etM(t) sont confondus ;

— Six(t⁰)= −x(t) ety(t⁰)=y(t) alorsM(t⁰) etM(t) sont symétrique par rapport à l’axe (O y) ;

— Six(t⁰)=x(t) ety(t⁰)= −y(t) alorsM(t⁰) etM(t) sont symétrique par rapport à l’axe (Ox) ;

— Six(t⁰)= −x(t) ety(t⁰)= −y(t) alorsM(t⁰) etM(t) sont symétrique par rapport à O;

— Six(t⁰)=x(t)+αety(t⁰)=y(t)+β, alorsM(t⁰) se déduit deM(t) par la translation de vecteur#–

u¯

¯^α_β.

L’ordre dans lequel on procède pour réduire le domaine d’étude est généralement le suivant :

(1) Recherche de simplifications liées à la périodicité ; (2) Recherche de simplifications liées à la parité ;

(3) Si on a aboutit à un intervalle [0,a], on peut comparerM(t) etM(a−t) ;

(4) Plus généralement, si on a aboutit à un intervalle [a,b], on peut comparerM(t) etM(a+b−t) (cette dernière étape peut-être répétée plusieurs fois).

• Établir un tableau de variation conjoint pour les fonctions x et y sur le domaine d’étude ;

• Placer les tangentes intéressantes. Rappel : si (x⁰(t₀),y⁰(t₀))6=(0, 0), alors la courbe possède une tangente au point (x(t₀),y(t₀)) dirigée par (x⁰(t₀),y⁰(t₀)). En particulier, x⁰(t₀)6=0 et y⁰(t₀)=0 donne une tangente « horizontale » etx⁰(t₀)=0 et y⁰(t₀)6=0 donne une tangente « verticale. »

• On peut également noter que six(t)−−−→

t→t0 ±∞et y(t)−−−→

t→t0 `(limite finie), alors la droite d’équationy=`est asymptote à la courbe lorsquet→t₀. De même, six(t)−−−→

t→t0

` (limite finie) et y(t)−−−→

t→t0 ±∞, alors la droite d’équation x=`est asymptote à la courbe lorsquet →t₀. La recherche d’asymptotes dans le cas général n’est pas au programme.

Illustrations du cours

Exercice 1Application linéaire. SoientA∈Mn(R^{) etf :}R→Rⁿde classe C¹. Démontrer que l’application :

g:t∈R7→A×f(t) est de classe C¹et déterminer sa dérivée.

Exercice 2Applications bilinéaires. (a) Soient #–

f :R→R^2et#–

g :R7→R²de classe C¹, démontrer que les applications : h:t∈R7→

D#–

f (t),#–

g(t)E

(produit scalaire canonique) d:t∈R7→det_C(#–

f (t),#–

g(t)) (déterminant dans la base canonique) sont de classe C¹et déterminer leur dérivée.

(b) Soient#–

f :R→R^3et#–

g :R7→R³de classe C¹, démontrer que les applications : h:t∈R7→

D#–

f (t),#–

g(t)E

(produit scalaire canonique)

#–v :t∈R7→#–

f (t)∧#–

g(t)

sont de classe C¹et déterminer leur dérivée.

(c) SoientM∈Mn(R^{), etu:}R→R^{netv :}R→Rⁿde classe C¹. Démontrer que l’applica- tion

f :t∈R7→u(t)^>M v(t) est de classe C¹et déterminer sa dérivée.

Exercice 3Une courbe plane. Représenter graphiquement l’arc paramétré : f :t7→

µt²−1

t²+1,tt²−1 t²+1

¶

Exercice 4Une autre courbe plane (Cycloïde). On considère la fonction vectoriellef :t7→

(x(t),y(t)) avec

½ x(t)=t−sint y(t)=1−cost

Représenter l’arc paramétré correspondant.Indication :pourt 6=0, déterminer le coeffi- cient directeur de la droite (M(0)M(t)) ainsi que sa limite lorsque t →0 et donner une interprétation géométrique. Donner une équation de la tangente en tout point régulier.

(1) La fonction f : R → R² t6=0 7→

µ t⁻¹sin(t) t⁻¹(cos(t)−1)

¶

0 7→

µ0 0

¶

est dérivable surR^.

(2) Soit f :t7→e^−t µt

t²

¶

, il existe des valeurs dettelles quef⁰(t) est colinéaire à µ−1

2

¶ . (3) On considère les fonctions

f :t7→

µt t²

¶

, g :t7→

µt 1

¶

, ϕ:t7→­

f(t),g(t)®

(produit scalaire canonique) Il existe des valeurs dettelles queϕ⁰(t)=0.

(4) On considère les fonctions f :t7→

µe^t e^2t

¶

, g:t7→ f(cos(t)) Il existe des valeurs dettelles queg⁰(t)=0.

On considèreI intervalle non vide non réduit à un point,f :I→R^n,t0∈I etv∈R^n. (5) Si f n’est pas dérivable ent0, alors f(t)−f(t₀)

t−t₀ −−−→

t→t0 ±∞.

(6) Si f(t)−f(t₀)

t−t₀ n’est pas bornée au voisinage det0, alors f n’est pas dérivable ent0. (7) Si f(t)=f(t₀)+ o

t→t0

(t−t₀), alors f est dérivable ent₀. (8) Si f(t)=f(t₀)+v(t−t₀)+ o

t→t₀((t−t₀)²), alors f est dérivable ent₀. (9) Si f(t)=f(t₀)+v(t−t₀)²+ o

t→t0

((t−t₀)²) alors f est dérivable ent₀. (10) Sif(t)=f(t₀)+v(t−t₀)²+ o

t→t0

((t−t₀)²) alors f est deux fois dérivable ent₀.

(11) La courbe paramétréex(t)=ln(t),y(t)=e^t admet une asymptote horizontale d’équa- tionx=0.

(12) La courbe paramétréex(t)=ln(t²),y(t)=t²présente une symétrie d’axe (O y).

(13) La courbe paramétréex(t)=sin(t),y(t)=t³présente une symétrie de centreO.

(14) La courbe paramétréex(t)=cos(t),y(t)=t³possède un seul point stationnaire.

(15) Soita∈R. La courbe paramétréex(t)=t³+at²+at,y(t)=e^−t2ne possède pas de point stationnaire quelle que soit la valeur dea.

(16) Les points de paramètretet 1

t de la courbe paramétrée x(t)= t

1+t³, y(t)= t² 1+t³ sont symétriques par rapport à la droite d’équationy=x.

(17) Sur la courbe paramétrée x(t)=cos(t), y(t)=sin(t), les points de paramètrest et t+π/2 sont symétriques par rapport à la droite d’équationy=x.

(18) La trajectoire de la courbe paramétrée x(t)= 2t

1+t², y(t)=1−t² 1+t² est contenue dans le cercle de centreOet de rayon 1.

(19) La trajectoire de la courbe paramétréex(t)=e^t,y(t)=2e^t+1 est la droite d’équation y=2x+1.

(20) La trajectoire de la courbe paramétrée x(t)= 1

t−1, y(t)= t

t+1, z(t)=t²+1 t²−1 est contenue dans un plan.

On considère la courbe paramétréeC de composantesx(t)=t²,y(t)=t³. (21) La courbeC présente une symétrie d’axe (Ox).

(22) La courbeC présente une symétrie d’axe (O y).

(23) La courbeC présente une symétrie de centreO.

(24) La courbeC ne possède pas de point stationnaire.

(25) La tangente àC au point de paramètret= −2 passe par le point de coordonnées (1, 1).

(26) La tangente àC au point de paramètret=1 est parallèle à la droite d’équation y=2

3x+1

(27) Les tangentes àC aux points de paramètrest=1 ett= −1 sont parallèles.

(28) Les tangentes àC aux points de paramètrest=4 ett= −9 sont perpendiculaires.

On remarque que y(t)−y(0) x(t)−x(0)−−−→

t→0 0.

(29) La courbeC présente une tangente horizontale au point de paramètret=0.

(30) La courbeC présente une tangente verticale au point de paramètret=0.

1F2V3V4 V5 F6V 7V 8V 9V10F 11F1 2F13V1 4V15F16

V17F18 V1 9F20 V2 1V22F2 3F24F 25V 26F 27F28 F29V30 F

12