A2843. Un, deux, trois,...,2022 variables

A2843. Un, deux, trois,...,2022 variables

Q1 Trouver les solutions réelles et complexes en x de l’équation quartique x4 + 4x ‒ 1 = 0

Q2 Trouver les solutions en x et y nombres réels, x ≠ y, tels que = 0

Q3 Trouver les solutions en x,y et z réels tels que x2 ‒ xy ‒ xz = 5, y2 ‒ yz ‒ xy = ‒ 4 et z2 ‒ xz ‒ yz = ‒ 7

Q4 Trouver les solutions positives du système de 2022 équations à 2022 inconnues x1, x2, x3 , ….,x2021 ,x2022 définies par les relations…

Solution Question 1

Une analyse rapide de la courbe permet d’évaluer 2 racines (0,25 et ‒1,66) dont la somme S= ‒1.41 et le produit P= ‒0.415.

Cela suggère que l’on peut mettre x²-SX+P en facteur avec S=‒√2 et P=‒√2+1 On obtient ainsi :

X⁴ + 4x – 1 = (x² + √2x ‒√2 + 1) (x² - √2x +√2 + 1)

D’où la valeur des 2 racines réelles et 2 racines complexes :

x

= ^{−√𝟐+𝑨}

𝟐 x

= ^{−√𝟐−𝑨}

𝟐 x

= ^{+√𝟐+𝒊𝑩}

𝟐 x

= ^{+√𝟐−𝒊𝑩} 𝟐

avec

A = √𝟒√𝟐 − 𝟐 et B = √𝟒√𝟐 + 𝟐

Question 2

Nous nous intéressons plus généralement à résoudre l’égalité :

𝑥−𝑦

1+𝑥𝑦

+

^𝑦−𝑎

1+𝑎𝑦 + ^𝑎−𝑥

1+𝑎𝑥 = 0 [1] avec les condition x

𝑦, x≠-⁻¹

𝑎, y≠-⁻¹

𝑎

Posons x = Tan(X) avec -π/2 < X < +π/2 y = Tan(Y) avec -π/2 < Y < +π/2 a = Tan(A) avec -π/2 < A < +π/2 L’équation [1] devient :

TAN(X-Y) +TAN(Y-A)+TAN(A-X) =0

[2]

TAN(X-Y) +TAN((Y-X)+(X-A))+TAN(A-X) =0 [TAN(X-Y) + TAN(A-X) ] [1 ‒ ¹

1−TAN(A−X) TAN(X−Y) ] = 0 Le produit est nul :

Soit TAN(X-Y) + TAN(A-X) = 0 TAN(X-Y) = TAN(X-A) = 0

Avec les restrictions sur X, Y et A, Y = A , donc y=a Soit TAN(A-X) . TAN(X-Y) = 0

TAN(A-X) = 0 ou TAN(X-Y) = 0

Avec les restrictions sur X, Y et A, A=X , donc x=a ou X=Y , donc x=y Les solutions sont donc pour une valeur définie de a : x=y

x=a et y quelconque sauf -1/a y=a et x quelconque sauf Dans l’énoncé a = 2021, les solutions sont hors x=y qui a été exclu :

x=2021 et y quelconque sauf -1/2021 y=2021 et x quelconque sauf -1/2021

Question 3

x² ‒ xy ‒ xz = 5 y² ‒ yz ‒ xy = ‒ 4

Il faut noter que x, y et z sont nécessairement différent de 0.

De plus l’étude peut se limiter dans une première étape à x>0 car toute solution (x=a, x=b, x=c) implique que (x=-a, x=-b, x=-c) soit solution et réciproquement.

Le système d’équations peut s’écrire avec S=x+y+z : x(2x-S) = 5 [1]

y(2y-S) = ‒ 4 [2]

z(2z-S) = ‒ 7 [3]

d’où :

S=2x-5/x= f(x) [4]

2y²-Sy+4=0 [5]

2z²-Sy+7=0 [6]

Supposons que x soit défini, on en déduit avec [4] S = f(x) et S étant alors connu, on en déduit l’expression de y et z en fonction de S en utilisant [5] et [6]

Les 2 valeurs de y sont : y1 / y2= (S+α √𝑆²− 32)/4 avec α=+1 ou -1 Les 2 valeurs de z sont : z1 / z2= (S+β √𝑆²− 56)/4 avec β=+1 ou -1 Mais il faut que x+yi+zi=S=f(x)

Il faut donc étudier les solutions de 4 équations en x qui se résument ainsi : x+yi+zi-f(x)=0 , soit :

10

𝑥 + α √𝑓(𝑥)²− 32) + β √𝑓(𝑥)²− 56) = 0 avec f(x) = 2x-5/x

Cette équation n’a de solution réelle avec x>0 que sur I1 = ]0 ;+0,57[ et I2 = ]4,33 ;+∞[

Sachant que x>0, x ne peut être nul, elle peut se résumer à trouver les solutions de l’équation ci-dessous sur les 2 plages, soit 8 cas à étudier.

10 + α √4𝑥⁴− 52𝑥²+ 25 + β √4𝑥⁴− 76𝑥²+ 25 = 0

Il suffit donc de chercher les solutions des 4 équations suivantes étudiées sur chacune des quatre plages : G1(x) = 10 + R1(x) + R2(x) avec α=+1 et β=+1

G2(x) = 10 + R1(x) - R2(x) avec α=+1 et β=-1 G3(x) = 10 - R1(x) + R2(x) avec α=-1 et β=+1 G4(x) = 10 - R1(x) - R2(x) avec α=-1 et β=-1

et avec R1(x) = √4𝑥⁴− 52𝑥²+ 25 et R2 (x) = √4𝑥⁴− 76𝑥²+ 25

Les fonctions 4x⁴-52x²+25 et 4x⁴-76x²+25 sont monotones sur les 2 plages I1 et I2, donc R1(x) et R2(x) également.

Ce qui permet d’arbitrer facilement pour la plupart de cas comme le montre le tableau suivant :

Pour G3(x) sur la plage I1, il est probable, si l’évolution est monotone, qu’il n’y aura pas de solution.

En revanche pour G3(x) sur la plage I2, il est certain que nous trouverons des solutions (une seule si l’évolution est monotone)

Un examen graphique des 2 courbes nous donnera la solution de manière fiable sans calcul complexe.

On constate effectivement qu’il n’y a pas de solution sur la plage I1 et une seule solution sur la plage I2 avec x=5 D’où S=2x-5/x=9

La fonction G3 correspond à α=-1 et β=+1, donc : y = (S-√𝑆²− 32)/4 = 0,5

z = (S+√𝑆²− 56)/4 = 3,5

Les solutions sont donc : x=5, y=0,5, z=3,5 et x=-5, y=-0,5, z=-3,5

Question 4

On généralisera le problème en remplaçant 2021 par n (n ∈ N).

Les expressions prennent la forme suivante :

X2i-1 + 1/X2i = 2/n pour i = 1 à (n+1)/2 et X2i + 1/X2i+1 = 2n pour i = 1 à (n-1)/2 et X2i + 1/X1 = 2n pour i = (n+1)/2 On remarque d’abord que X2i-1 = 1/n et X2i = n (pour i=1 à (n+1)/2) donnent une solution.

Il faut distinguer les variables de la forme X2i+1 et les variables de la forme X2i

Calculons X2i en fonction de X2i-1, X2i+1 en fonction de X2i

X2i = n/(2-nX2i-1) et X2i+1 = 1/(2n-X2i)

Nous nous intéressons maintenant à la série en X2i qui a pour expression : X2i+2 = n (2n-X2i)/(3n-2X2i)

[1]

Si l’on prend comme variable principale X2, on peut en déduire facilement X4 à Xn+1, d’où X1 à Xn

Il faut donc rechercher X2 tel que Xn+1 + 1/X1 = 2n

Il faut analyser le comportement de la série X2i.

L’équation [1] nous amène à étudier la fonction y = n(2n-x)/(3n-2x) qui permet la construction géométrique de la série X2i.

Il s’agit d’une hyperbole d’asymptote verticale Xa = 3n/2 et d’asymptote horizontale Ya = n/2 La droite y=x est tangente à l’hyperbole en x=y=n.

- 8,000 - 6,000 - 4,000 - 2,000 - 2,000 4,000

4,000 4,500 5,000 5,500 6,000

G3(x) sur la plage I2

Il résulte de cela :

• Cas 1 : Si 0<X2i<n, alors X2i< X2i+2<n

• Cas 2 : Si X2i =n, alors X2i+1 = 1/n. C’est la solution évoquée plus haut avec les X2i et les X2i+1 identiques

• Cas 3 : Si n<X2i<5n/4, alors X2i< X2i+2<Xa

• Cas 4 : Si X2i=5n/4, alors X2i=Ꚙ. C’est une valeur impossible

• Cas 5 : Si 5n/4<X2i<+Ꚙ, alors X2i+2 est l’abscisse d’un point de la branche de droite de l’hyperbole, ce qui aura pour conséquence que X2i+4 sera l’abscisse d’un point de la branche de gauche de l’hyperbole

Pour illustrer ce comportement nous prendrons l’exemple de n=21, Xa = 31,5 et Ya = 10,5

Les graphiques suivants montrent pour l’évolution des 11 valeurs de X2 à X22.

Cas A : X2=20 Les valeurs sont croissantes en restant inférieures à 21

Cas B : X2=22 Les valeurs sont croissantes en restant supérieures à 21

Cas C : X2=22,1 Les valeurs sont croissantes sauf au moment où on dépasse l’asymptote verticale.le point X22 est sur la branche de droite de l’hyperbole

Cas D : X2=25

Les valeurs sont croissantes sauf au moment où l’on dépasse l’asymptote verticale.un seul point est sur la branche de droite de l’hyperbole, les points suivants reviennent sur la branche de gauche de l’hyperbole

Revenons au cas général avec n quelconque.

Cas A : La valeur de X2 est inférieure à n Posons X2 =n-a (n>a>0)

Toutes les valeurs suivantes de la série sont croissantes et inférieures à n.

Donc on peut écrire : X2022 =n-ka (1>k>0)

X1 =(n-2a)/(n(n-a)) (on rappelle que par hypothèse X1 doit être positif, donc n-2a>0, soit a<n/2) Calculons X2022 + 1/X1 =2n + (na(1-k) + 2ka²)/(n-2a)

Or na, (1-k), 2ka², n-2a sont positifs, donc X2022 + 1/X1 > 2n

Cas B : La valeur de X2 est supérieure à n et la limite 5n/4 n’est pas atteinte par X2020(Attention indice 2020)

Posons X2 =n+a (a>0)

Toutes les valeurs suivantes de la série sont croissantes Donc on peut écrire : X2022= n+ka (k>1)

X1 =(n+2a)/(n(n+a))

Calculons X2022 + 1/X1 =2n + (na (k-1)+2ka²))/(n+2a)

Or na, (k-1), 2ka², n+2a sont positifs, donc X2022 + 1/X1 > 2n

Cas C : La valeur de X2 est supérieure à n et 5n/4 < X2020 < 3n/2 (Attention indice 2020)

Posons X2 =n+a (a>0)

X2022 est sur la branche de droite de l’hyperbole Alors X2022 < n/2 (X2022 sous l’asymptote)

X1 =(n+2a)/(n(n+a))

Calculons X2022 + 1/X1 < 2n - n(n+4a)/2(n+2a) Or n+4a, n+2a sont positifs, donc X2022 + 1/X1 < 2n

Cas D : La valeur de X2 est supérieure à n et un terme avec i<1010 est tel que 5n/4 < X2i < 3n/2 (Attention indice 2i)

Posons X2 =n+a (a>0)

X2022 est sur la première partie de la branche de gauche de l’hyperbole Alors X2022 < n

X1 =(n+2a)/(n(n+a)) 1/X1 = n - na/(n+2a)

Or na, n+2a sont positifs, donc 1/X1 < n Donc X2022 + 1/X1 < 2n

Toutes les possibilités ayant été envisagées, il apparait qu’il ne reste que la solution triviale : Tous les Xi impairs égaux à 1/n (1/2021 pour la valeur choisie ici)

Tous les Xi pairs égaux à n (2021 pour la valeur choisie ici)