Remarque préliminaire :
n spaghettis donnent 2n extrémités il y a C 2
2n possibilités pour choisir deux extrémités.
La probabilité d'obtenir un cercle en choisissant 2 extrémités vaut n C 2
2n
= 1 2n−1
et celle d'obtenir un spaghetti plus long vaut : 2n−2 2n−1
Avant d'étudier le cas avec 60 spaghettis, observons quelques cas plus simples.
Cas n = 1 :
il y aura à la fin du processus 1 cercle avec une probabilité de 100%
Cas n = 2 :
étape 0 : 2 spaghettis
étape 1 : deux possibilités : 1) un cerce et un spaghetti (probabilité de 1/3) 2) un spaghetti (probabilité 2/3)
étape finale : 2 cercles (prob = 1/3) 1 cercle (prob = 2/3)
Cas n = 3 :
étape 0 : 3 spaghettis
étape 1 : deux possibilités : 1) Un cerce et 2 spaghettis (probabilité de 1/5)
2) 2 spaghettis (probabilité 4/5)
étape 2 : 4 possibilités : 1.1) 2 cercles et 1 spaghetti (prob = 1/5 * 1/3 = 1/15) 1.2) 1 cercle 1 spaghetti (prob = 1/5 * 2/3 = 2/15) 2.1) 1 cercle 1 spaghetti (prob = 4/5 * 1/3 = 4/15) 2.2) 1 spaghetti (prob = 4/5 * 2/5 = 8/15) étape finale : 3 cercles (prob = 1/15)
2 cercles (prob = 6/15) 1 cercle (prob = 8/15)
Résumé avec d'autres cas sur le tableau suivant :
Une fois le tableau complété avec un tableur, il est possible de calculer l'espérance.
Elle vaut, arrondie à l'entier :
3
Diverses espérances en fonction du nombre de spaghettis :
Le petit fils sera déçu par la réponse de la grand-mère.
En effet pour espérer obtenir 6 cerceaux il faudrait un nombre de spaghettis, un peu plus de 22000 qui ne tiendrait pas dans son assiette.
La grand-mère ne pourra pas satisfaire toto.
