1 D353 – L'astéroïde et les douze astronautes [*** à la main]
Problème proposé par Raymond Bloch d'après une idée de Konstantin Knop
Douze astronautes se sont posés sur un petit astéroïde sphérique et décident de l'explorer à partir de leur base de départ B₀ placée au pôle Nord.Ils partent plein Sud sur des grands cercles distincts selon le même ordre de mouvement: ils parcourent d'abord x kilomètres en gardant le même cap, puis ils tournent de 90° en se dirigeant vers l'Est et parcourent à nouveau x kilomètres en suivant toujours la même direction. Enfin ils tournent de 90°
et prennent la direction plein Nord en parcourant x kilomètres sur le même arc de grand cercle.
Tous les astronautes sauf deux d'entre eux se retrouvent au même endroit.
Les valeurs entières de x sont distinctes selon les astronautes et forment une progression arithmétique de premier terme 22 kilomètres et de raison 3 kilomètres.
Sachant que la plus petite distance séparant les deux astronautes qui se retrouvent isolés, est égale à 14 kilomètres selon les arcs de grand cercle passant par B, déterminer la circonférence de l'astéroïde.
Solution
Soit d la demi-circonférence de l'astéroïde.
Pour revenir à la base de départ,les dix premiers astronautes ont deux types de parcours décrits ci-après:
Pour ces dix astronautes le paramètre x prend les dix premières valeurs de le progression arithmétique 22,25,28,31,34,37,40,43,46,49 kms. Ces astronautes ne passent jamais par le pôle de sorte que d > 49 kms.
Le parcours du premier type est réservé aux astronautes pour lesquels sin(πx/d) < x/2d c'est à dire pour des x relativement "petits" par rapport à d.
C'est le cas plus simple avec des triangles sphériques équilatéraux de côté x et de sommets B₀,B₁ et B₂ qui ramènent les astronautes à leur base de départ B₀ sans qu'ils soient passés deux fois par le même point.
Les astronautes parcourent d'abord un arc de méridien B₀B₁ de longueur x (en bleu) suivi d'un tronçon (en rouge) sur un même parallèle qui repasse une ou plusieurs fois par le point B₁ et amène les astronautes jusqu'à un point B₂ à partir duquel ils prennent la direction Nord pour rejoindre la base B₀ avec un arc de grand cercle B₂B₀ (en vert) de longueur x.
2 La plus petite distance qui sépare ces deux astronautes selon les arcs de grands cercles passant par B est alors 2(x₁₁ ‒ d) + 2(x₁₂ ‒ d) = 14
On a x₁₁ = 52 kms et x₁₂ = 55 kms. D'où d = 50 et 2d = 100 kilomètres.
Nota: avec cette valeur de d, comme sin(40π/50) = 0.58778.. >40/100 et sin(43π/50) = 0.4257..<43/100, on vérifie que les sept premiers astronautes (x ≤ 40) réalisent des parcours du premier type (triangles sphériques équilatéraux), les huitième,neuvième et dixième des parcours du second type.
La principale caractéristique du parcours des deux derniers
astronautes qui se retrouvent isolés,est le passage par le pôle Sud.
- ils passent par un premier point B₁ situé à (2d ‒ x) kms de B₀ puis par le pôle Sud B₂ diamétralement opposé à B₀. Ils arrivent en un point B₃ situé sur le même parallèle que B₁ à (x ‒ d) kilomètres de B₂. (tracé bleu).
- ils tournent de 90°, prennent la direction plein Est et réalisent le deuxième tronçon (en rouge) sur un même parallèle jusqu'à un point B₄.A cette occasion ils peuvent repasser 0,1 ou plusieurs fois par B₃.
- enfin, ils tournent à nouveau de 90° et prennent la direction plein Nord en étant situés à (2d ‒ x) kilomètres de B₀. Ils passent par B₀ et continuent à parcourir x ‒ (2d ‒ x) = 2(x ‒ d) kilomètres au delà de B₀ (tracé vert) pour se retrouver isolés.
