E454-Lignes rouges
Diophante a écrit le nombre 2 sur le tableau noir. A tour de rôle, l’un des deux joueurs Zig et Puce ajoute un diviseurddu dernier nombrenqui vient d’être écrit avec 0<d<net écritn+d. Le premier joueur qui dépasse une ligne rouge fixée à l’avance par Diophante perd la partie et l’autre joueur est déclaré ga- gnant.
1repartie : ligne rouge = 31. Zig joue le premier. Qui gagne la partie ? [*]
2epartie : ligne rouge = 32. Puce joue le premier. Qui gagne la partie ? [**]
3epartie : ligne rouge = 2019. Puce joue le premier. Qui gagne la partie ?[***]
4epartie : ligne rouge = 2020. Zig joue le premier. Qui gagne la partie ?[***]
Solution de Claude Felloneau
C’est toujours le premier joueur qui gagne.
1repartie : Zig gagne 2epartie : Puce gagne 3epartie : Puce gagne 4epartie : Zig gagne
SoitN la ligne rouge fixée à l’avance.
Le joueur qui doit jouer lorsqueN est écrit au tableau est dans une position perdante puisque il va dé- passer la ligne rouge.
On évalue par récurrence descendante pour tout entierk compris entren−1 et 2 si le joueur qui doit jouer à partir du nombrekest dans une position gagnante ou perdante.
Il est dans une position gagnante s’il peut placer son adversaire dans une position perdante et il se trouve dans une position perdante si quelque soit son choix il perd ou place son adversaire dans une position gagnante.
Pour tout entierncompris entre 1 etN, on posef(n)=1 si le joueur qui doit jouer à partir du nombren est en position gagnante etf(n)=0 dans le cas contraire.
On af(N)=0 et pour tout entierntel que 16n<N,f(n)=1− Y
d|n 0<d6N−n
f(n+d).
On af(3)=1−f(4),f(4)=1−f(5)f(6) etf(5)=1−f(6) donc f(3)=f(5)f(6)=¡
1−f(6)¢
f(6)=0.
On en déduit quef(2)=1−f(3)=1. La position de départ est donc gagnante.
La stratégie du premier joueur est de placer systématiquement son adversaire dans une position per- dante.
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