Diophante a écrit le nombre 2 sur le tableau noir. A tour de rôle, l’un des deux joueurs Zig et Puce ajoute un diviseur d du dernier nombre n qui vient d’être écrit avec 0 < d < n et écrit n + d. Le premier joueur qui dépasse une ligne rouge fixée à l’avance par Diophante perd la partie et l’autre joueur est déclaré gagnant.
1ère partie : ligne rouge = 31. Zig joue le premier. Qui gagne la partie ? [*]
2ème partie : ligne rouge = 32. Puce joue le premier.Qui gagne la partie ? [**]
3ème partie : ligne rouge = 2019. Puce joue le premier.Qui gagne la partie ?[***]
4ème partie : ligne rouge = 2020. Zig joue le premier.Qui gagne la partie ?[***]
Le premier qui joue ne peut obtenir que 2+1=3, puis l’autre 3+1=4
Tout nombre impair n’a que des diviseurs impairs, donc, partant d’un nombre impair, on ne peut obtenir qu’un nombre pair ; et à partir d’un nombre pair, on peut toujours obtenir un nombre impair en ajoutant 1. Celui qui commence peut donc n’obtenir que des nombres impairs, et si la ligne rouge est sur un nombre impair, il gagne à coup sûr.
Notons G ou P les positions gagnantes et perdantes.
Si la ligne rouge est sur le nombre pair 2n G, alors 2n-1 P et 2n-2 P ; nous pouvons alors procéder par descente pour recenser les positions impaires P et paires G
1ère et 3ème parties : la ligne rouge étant sur une position impaire, celui qui commence gagne : Zig pour la première partie et Puce pour la troisième
2ème partie : Si 32, pair, est gagnant, 31 est un perdant impair (premier) qui n’a d’autre antécédent que 30 qui est perdant (car 30+2=32) : 29 (premier) est gagnant ainsi que tous les impairs inférieurs. Donc Puce qui joue en premier est gagnant
4ème partie : Si 2020 est gagnant pair, on a les perdants impairs 2019, 2015, 1919 et 1515 ; - 2019 ne peut être obtenu qu’à partir de 2018, 2016 ou 1346 tous perdants
- Pour 2015, 2014 est gagnant, et donne les perdants impairs 1995 et 1961. 1995 donne 1994 gagnant donc 1993 (premier) et 1992 perdants. 1961 peut être obtenu par 1960, 1924 et 1908 dont aucun n’est gagnant.
- 1919 peut être obtenu par 1918, 1900 ou 1818 dont aucun n’est gagnant ( car 1925, 1901, 1827 le sont)
- Enfin 1515 procède de 1514, gagnant ; 1513 est perdant, et peut être obtenu par 1512 (perdant), 1496 (perdant car 1783 gagnant) ou 1424 (perdant car 1425 gagnant)
Il n’y a donc pas d’impair perdant inférieur à 1513, donc Zig gagne la partie.
