Enonc´e noA456 (Diophante)
Solution de Jean Moreau de Saint-Martin
Soienta < b < c < dles cˆot´es (en centim`etres) des 4 cubes d’une pyramide.
Le volume de la pyramide esta3+b3+c3+d3 cm3.
La surface de la pyramide comporte les surfaces lat´erales des 4 cubes, soit 4a2+ 4b2+ 4c2+ 4d2, et la surface des faces ou portions de face parall`eles aux faces de collage, soit 2d2.
Il faut donc satisfaire, aveca < b < c < dentiers de 1 `a 15, a3+b3+c3+d3 = 8a2+ 8b2+ 8c2+ 12d2.
Le second membre est pair, alors que le premier membre a la parit´e de la hauteur h =a+b+c+d. Le nombre d’entiers impairs parmi a, b, c, d est donc pair. Il y a 7 entiers pairs et 8 entiers impairs de 1 `a 15, ce qui donne a priori 693 choix poura, b, c, d.
Mais cette ´enum´eration n’est pas n´ecessaire. Une discussion “`a la main”
utilise l’´equation ´ecrite sous la forme
(a3−8a2) + (b3−8b2) + (c3−8c2) = 12d2−d3. Dressons le tableau
x x3−8x2 12x2−x3
1 −7 11
2 −24 40
3 −45 81
4 −64 128
5 −75 175
6 −72 216
7 −49 245
8 0 256
9 81 243
10 200 200
11 363 121
12 576 0
13 845 −169
14 1176 −392
15 1575 −675
Il s’agit donc de trouver dans la colonne de droite un nombre qui soit ´egal
`
a la somme de trois nombres de la colonne centrale, situ´es au-dessus de lui.
Examinons ces sommes.
La plus n´egative de ces sommes est −211. Cela exclut les valeurs 14 et 15 pourd. Avecd= 13, on a
(−45) + (−75) + (−49) = (−169), d’o`u la solution (a, b, c, d) = (3,5,7,13) avec une pyramide de hauteur 28 cm.
Aucune somme de trois termes n’est nulle, ce qui exclut d= 12.
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Sid < 12, il faut une somme de trois termes positive, ce qui exclut d≤9, puisd= 10 car alors ces sommes ne d´epassent pas 74 = 81 + 0−7.
Reste `a essayerd= 11, qui donne
(−7) + (−72) + (200) = (121), d’o`u la solution (a, b, c, d) = (1,6,10,11) avec une pyramide de hauteur 28 cm.
Les deux pyramides ont donc la mˆeme hauteur, et n’ont aucun cube en commun.
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