Université Paris 13, Institut Galilée CCS – Probabilités & Statistiques Année universitaire 2013–2014
Examen final du 28 avril 2014
Durée : 3 heures
Une feuille A4 manuscrite et nominative de notes et une calculatrice sont autorisées.
La qualité de la présentation et de la rédaction seront prises en considération (veiller à écrire des phrases pour répondre aux questions, à bien expliquer et justifier les calculs effectués).
Quand un résultat numérique est demandé, on en donnera une valeur approchée.
Un barême approximatif (pour une note sur 20 points) est donné ci-dessous à titre d’information. On pourra noter qu’il n’est pas nécessaire de réussir tout le sujet pour avoir la note maximale.
Attention. Utiliser une feuille différente pour chaque exercice : exercice 1 sur la copie double, puis un exercice par feuille intercalaire (ou sur plusieurs feuilles intercalaires).
Exercice 1 – (6 points). On considère l’ensembleD⊂R2 défini par D=n
(x,y)∈R2 0< 1
x < y < xo et un couple(X,Y) de variables aléatoires de densité
f(X,Y)(x,y) = ( 1
2x2y si(x,y)∈D 0 sinon.
1. Représenter graphiquement l’ensembleD.
2. Vérifier que f(X,Y) est une densité.
3. Au vu du dessin de la question1, quels sont les ensembles des valeurs possibles deX et deY ? 4. Calculer la densité fX deX et la densitéfY de Y.
5. Les variables aléatoires X etY sont-elles indépendantes ? 6. On définit les variables aléatoires U,V parU =√
XY etV = qX
Y. 6.a)Quel est l’ensemble des valeurs possibles de(U,V)?
6.b)Déterminer la densitéf(U,V) de (U,V).
6.c)U etV sont-elles indépendantes ? Quelles sont leurs densités ?
Exercice 2 – (5 points). Un vendeur de matériel informatique veut proposer à ses clients une garantie sur les écrans, au tarif de 5e: à partirnpixels défectueux sur un écran (oùnreste à choisir), l’écran est remplacé à neuf. Le prix d’un écran neuf est de 300 e. On constate que sur 100 écrans il y a au total 27 pixels défectueux (chaque écran compte environ 780 000 pixels). On suppose les pixels indépendants et identiques.
1. Justifier que le nombre X de pixels défectueux sur un écran suit approximativement la loi P(0,27).
2. Évaluer P(X < n), pourn= 0, 1, 2, 3 et 4.
3. On noteY le coût de la garantie pour le vendeur, pour un écran (autrement ditY vaut 0eou 300e selon le nombre de pixels défectueux). Calculer E[Y]dans le cas où nvaut 1, 2, 3 ou 4. En déduire la valeur denà partir de laquelle la garantie proposée est avantageuse en moyenne pour le vendeur.
4. On utilise la valeur n= 3. Au total, 170 clients ont acheté la garantie pour leur écran.
4.a)Quelle est la probabilité qu’aucun n’utilise la garantie ?
4.b)À quelle condition l’opération est-elle rentable pour le vendeur ? Calculer la probabilité de cet événement. (On pourra utiliser une approximation pour simplifier)
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Exercice 3 –Sondage “flouté” (5 points). On souhaite faire un sondage par téléphone pour obtenir une estimation de la proportion de personnes qui téléchargent illégalement des films sur internet. On peut légitimement penser que parmi les personnes interrogées qui téléchargent illégalement, un certain nombre vont donner une réponse mensongère. Afin de garantir la sincérité des réponses, on utilise le dispositif suivant :
On demande à chaque personne interrogée de lancer une pièce de monnaie.
– Si elle obtient pile, alors elle répond honnêtement à la question “Téléchargez-vous des films illégale- ment ?”,
– et si elle obtient face alors elle lance à nouveau la pièce et répond “Oui” si le résultat est pile, et
“Non” si c’est face.
Ainsi, connaître la réponse ne permet pas de savoir si la personne interrogée télécharge illégalement ou non, et on peut donc en effet supposer qu’elle répond honnêtement.
On notep la proportion de personnes dans la population qui téléchargent illégalement.
SoitX la variable aléatoire correspondant à la réponse d’une personne : X= 1 si la réponse est “Oui”
etX= 0 si la réponse est “Non”.
SoitX1, . . . ,Xn un échantillon de X, correspondant aux résultats du sondage auprès denpersonnes.
1. On note π = P(X = 1) la probabilité qu’une personne réponde “Oui” au sondage. Exprimer π en fonction de p.
2. Pour une personne qui télécharge illégalement, quelle est la probabilité qu’elle réponde “Oui” au sondage ? Même question pour une personne qui ne télécharge pas illégalement.
3. Sachant qu’une personne a répondu “Oui” au sondage, quelle est la probabilité qu’elle télécharge illégalement ? (en fonction de p)
4. Quelle est la loi de X? Rappeler son espérance, et en déduire un estimateur pbde p par la méthode des moments.
5. Parmi 1000 personnes, on a obtenu 450 réponses “Oui”.
5.a)En déduire une estimation deπ, puis dep.
5.b)Donner, en le justifiant, un intervalle de confiance pourπ, au niveau 95%.
On rappelle que P(|Z|>1,96)'0,05 si Z suit la loi N(0,1).
5.c)En déduire un intervalle de confiance pourp, au niveau 95%. Commenter.
Exercice 4 – (7 points). SoitX une variable aléatoire de densité f(x) =αβα 1
xα+1 si x > β, et f(x) = 0 sinon, où α >0 etβ >0sont des paramètres. On dispose d’un échantillon X1, . . . ,Xn deX.
1. Donner la vraisemblance L(x1, . . . ,xn;α,β) de l’échantillonX1, . . . ,Xn. 2.On suppose β= 1, et α inconnu. Écrire ce que valentf etL dans ce cas.
2.a)On suppose α > 1. Calculer E[X], et en déduire un estimateur T1 de α par la méthode des moments.
2.b)Calculer l’estimateur T2 de αpar la méthode du maximum de vraisemblance.
3.On suppose α= 1, et β inconnu. Écrire ce que valentf etL dans ce cas.
3.a)Démontrer que l’estimateur du maximum de vraisemblance pourβ est Z = min(X1, . . . ,Xn).
3.b)Calculer la fonction de répartitionFX de X (toujours avec α= 1).
3.c)En déduire celle deZ.(On pourra commencer par obtenir P(Z > z))
3.d)Calculer la densité deZ, puis son espérance. Que peut-on dire au sujet du biais deZ? 3.e)CalculerE[Z2], et en déduire le risque quadratique deZ.
3.f )L’estimateurZ est-il convergent ?
4.On suppose α et β inconnus. Déterminer les estimateurs deα etβ par la méthode du maximum de vraisemblance.
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