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n1 = 99999785960616263…100 [tous les entiers de 59 à 100 sont présents]. Pour avoir le plus petit

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Texte intégral

(1)

G 277. 100 chiffres à éliminer.

On détermine respectivement le plus grand entier naturel n1 puis le plus petit entier naturel n2 en

supprimant 100 chiffres dans l’entier N obtenu par concaténation des entiers naturels 1, 2, 3, ... jusqu’à 100 : N =1234567891011....9899100. L’ordre des chiffres non supprimés est respecté.

Recenser tous les chiffres de la différence n1 – n2.

Solution proposée par Michel Lafond:

N = 123456789101112131415161718192021…

Pour avoir le plus grand n1 :

On ne peut pas faire mieux que d’avoir un 9 en premier chiffre, et pour cela il faut éliminer les 8 entiers 12345678. Il reste 9101112131415161718192021…

On ne peut pas faire mieux que d’avoir un 9 en deuxième chiffre, et pour cela il faut éliminer les 19 entiers 1011121314151617181. Il reste 99202122232425262728293031…

On recommence 3 fois le même raisonnement pour aboutir après 8 + 4 × 19 = 84 éliminations à 99999 50515253545556575859606162… Il reste 16 chiffres à éliminer.

Il est impossible d’avoir un 9 en 6ème chiffre car il faudrait 19 éliminations.

Il est impossible d’avoir un 8 en 6ème chiffre car il faudrait 17 éliminations.

Donc on ne peut pas faire mieux que d’avoir un 7 en sixième chiffre, et pour cela il faut éliminer les 15 entiers 505152535456565. Il reste 999997 5859606162… et encore une élimination. Ce sera le 5.

n1 = 99999785960616263…100

[tous les entiers de 59 à 100 sont présents].

Pour avoir le plus petit n2 :

 Première interprétation : On admet 0 en premier chiffre :

On ne peut pas faire mieux que d’avoir un 0 en premier chiffre, et pour cela il faut éliminer les 10 chiffres 1234567891. Il reste 01112131415161718192021…

On ne peut pas faire moins que d’avoir un 0 en deuxième chiffre, et pour cela il faut éliminer les 19 chiffres 1112131415161718192. Il reste 002122232425262728293031…

On recommence 3 fois le même raisonnement pour aboutir après 10 + 4 × 19 = 86 éliminations à 000005152535455565758596061… Il reste 14 chiffres à éliminer.

Il est impossible d’avoir un 0 en 6ème chiffre car il faudrait 19 éliminations.

Donc on ne peut pas faire moins que d’avoir un 1 en sixième chiffre et pour cela il faut éliminer 5.

Il reste : 000001 52535455565758596061… et encore 13 éliminations.

On recommence 3 fois le même raisonnement en éliminant les 3 premiers 5 et il reste : 000001234 555657585960616263… et encore 10 éliminations.

On ne peut pas faire moins que d’avoir un 5 en dixième chiffre et pour cela il faut garder le premier 5.

Il reste : 0000012345 55657585960616263… et encore 10 éliminations.

On ne peut pas faire moins que d’avoir un 0 en onzième chiffre et pour cela il faut éliminer les 10 chiffres 5565758596.

Il reste : 0000012345061626364…

n2 = 123450616263… 100

[tous les entiers de 61 à 100 sont présents].

La différence n2 – n1 est

99999785960616263… 100

(2)

-

123450616263… 100

Soit : 9999966251 × 1082.

 Seconde interprétation : On n’admet pas 0 en premier chiffre :

On ne peut pas faire mieux que d’avoir un 1 en premier chiffre, et pour cela on garde le premier 1.

On ne peut pas faire moins que d’avoir un 0 en deuxième chiffre, et pour cela il faut éliminer les 9 chiffres 234567891. Il reste 10 111213141516171819202122232425262728293031… et 91 éliminations.

On ne peut pas faire moins que d’avoir un 0 en troisième chiffre, et pour cela il faut éliminer les 19 chiffres 1112131415161718192. Il reste 1002122232425262728293031… et 72 éliminations.

On recommence 3 fois le même raisonnement pour aboutir après 9 + 19 + 3 × 19 = 85 éliminations à 100000 5152535455565758596061… Il reste 15 chiffres à éliminer.

Il est impossible d’avoir un 0 en 7ème chiffre car il faudrait 19 éliminations.

Donc on ne peut pas faire moins que d’avoir un 1 en septième chiffre et pour cela il faut éliminer 5.

Il reste : 1000001 52535455565758596061… et encore 14 éliminations.

On recommence 3 fois le même raisonnement en éliminant les 3 premiers 5 et il reste : 1000001234 555657585960616263… et encore 11 éliminations.

On ne peut pas faire moins que d’avoir un 0 en onzième chiffre et pour cela il faut éliminer 55565758596.

Il reste : 10000012340 616263…

n2 = 10000012340616263… 100

[tous les entiers de 61 à 100 sont présents].

La différence n2 – n1 est

99999785960616263… 100

-

10000012340616263… 100

Soit : 8999977362 × 1082.

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