Réseaux de Pétri

(1)

Julie Vachon, Hiver 2006

IFT2251 : Génie logiciel

Chapitre 6. Modélisation formelle – Les réseaux de Pétri

Copyrights Julie Vachon, 2006 Chap.6, p.2

Réseaux de Pétri

1. Introduction

2. Marquage d’un réseau de Pétri

3. Franchissement des transitions

Transition franchissable

Séquence de franchissement 4. Modélisation de la concurrence

5. Analyse des réseaux de Pétri

Graphe des marquages accessibles

Graphe de couverture

Propriétés

Références

Ghezzi et al.

Section 5.5.4.

(2)

6.1. Introduction

Modèle permettant de décrire les aspects de contrôle et le flot des données

Permet de représenter les changements d’états et la causalité des événements provoqués par ces changements

Permet de représenter les activités parallèles et concurrentes d’un logiciel

Notation formelle, opérationnelle, dynamique

Recette A Ingrédients :

• 3 kg de pommes

• 1 kg de sucre Donne :

• 2 pots de compote

• 1 pot de gelée de pomme 3

1 1

2 kg pommes

kg sucre

pot compote

pot gelée A

Introduction

Un réseau de Pétri est composé

Ensemble fini de places Ensemble fini de transitions Ensemble fini de flèches reliant soit

Soit une place à une transition

Soit une transition à une place

p

t

n

m

Introduction

Un réseau de Pétri est un quadruplet (P, T, F, W) où

P est un ensemble fini de places T est un ensemble fini de transitions F est la relation de flot

W est la fonction de poids, qui associe un entier naturel non nul à chaque élément de F

W(f) = 1 si une flèche f de F n’est pas étiquetée

P T OutFlow T P InFlow

OutFlow InFlow F

×

⊆

×

⊆

∪

⊆

{0}

\ N F :

W →

p t

m n

(3)

Les réseaux de Pétri, un modèle concurrent

Les transitions servent à modéliser les actions des processus Les jetons représentent des ressources consommables Le franchissement d’une transition représente l’exécution d’une

action (consommation et production de ressources)

Les flèches entrantes indiquent les conditions à satisfaire avant l’action (les ressources nécessaires)

Les flèches sortantes représentent les conditions à satisfaire après l’action (les ressources à produire)

La présence d’un jeton marque la satisfaction, partielle ou totale, d’une condition (i.e., présence d’une ressource)

Le non-déterminisme des franchissements signifie que l’ordonnancement des actions n’est pas défini ou priorisé

Introduction

Places d’entrée et de sortie

Places d’entrée d’une transition t: places desquelles proviennent les flèches qui entrent dans la transition

Places de sortie d’une transition t: places vers lesquelles sont orientées les flèches qui sortent de la transition

InFlow}

t) (p,

| {p

In(t) = ∈

OutFlow}

p) (t,

| {p

Out(t) = ∈

6.2. Marquage d’un réseau de Pétri

On peut placer des jetons dans les places du réseau de Pétri

L’emplacement et la quantité des jetons définissent l’état du réseau de Pétri

La fonction de marquage décrit le nombre de jetons contenus dans chaque place

Marquage = Affectation d’un entier non- négatif à chaque place

N P :

M →

(4)

Marquage d’un réseau de Pétri

Marquage

M(p₁)=1 M(p₂)=1 M(p3)=2 M(p4)=0 M(p5)=0 M(p6)=0 M(p7)=2

p1 p2

p3

p4 p5

p6 p7

t1 t2

t3 t4

Marquage d’un réseau de Pétri

Réseau marqué

Un réseau marqué est un couple N = <R,M>où

Rest un réseau de Pétri

Mest un marquage, c’est-à-dire une application telle que M(p)est le nombre de jetons dans la place

On appelle marquage initial (noté M₀) le premier marquage attribué à un réseau avant que ses transitions ne soient tirées

N P :

M →

P p ∈

6.3. Franchissement des transitions

Transition franchissable

Une transition est dite « franchissable » si chacune de ses places d’entrée contient un nombre de jetons égal ou supérieur à celui des poids sur les flèches correspondantes

Une transition t est franchissable si et seulement si

t)) W((p, M(p)

In(t),

p ∈ ≥

∀

(5)

Transition franchissable

p1 p2

p3

p4 p5

p6 p7

t1 t2

t3 t4

2

Quelles sont les transitions franchissables ?

2

t₂et t₃

Franchissement des transitions

Transition franchissable

p2 p3

p4 p5

p6 p7

t1 t2

t3 t4

2

Quelles sont les transitions

franchissables ? ²

t₁

Une transition sans place d’entrée est

toujours franchissable…

Franchissement des transitions

Une transition franchissable peut être franchie (on dit aussi tirée)

Lorsqu’on franchit (i.e., on tire) une transition t

Pour chaque place d’entrée p_i, un nombre de jetons égal au poids indiqué sur la flèche de p_i à test retiré

Pour chaque place de sortie p_j, un nombre de jetons égal au poids indiqué sur la flèche de t à p_jest ajouté

(6)

Franchissement des transitions

Franchissement d’une transition

p1 p2

p3

p4 p5

p6 p7

t1 t2

t3 t4

2 2

Franchissement des transitions

Franchissement d’une transition

p1 p2

p3

p4 p5

p6 p7

t1 t2

t3 t4

2 2

Franchissement des transitions

Soient les fonctions pré et post définissant les pré- et post-conditions du

franchissement des transitions

Si t est franchissable pour le marquage M, le franchissement de t donne le nouveau marquage M’ tel que

sinon 0,

In(t) p si t)), W((p, t) pre(p,

=

∈

=

sinon 0,

Out(t) p si p)), W((t, t) post(p,

=

∈

=

t) post(p, t)

pre(p, - M(p) (p) M' P,

p ∈ = +

∀

(7)

















=

0 t2) pre(p7,

0 t2) pre(p6,

0 t2) pre(p5,

0 t2) pre(p4,

0 t2) pre(p3,

2 t2) pre(p2,

0 t2) pre(p1,

















=

0 t2) post(p7,

0 t2) post(p6,

1 t2) post(p5,

0 t2) post(p4,

0 t2) post(p3,

0 t2) post(p2,

0 t2) post(p1,

















=

0 M(p7)

0 M(p6)

1 M(p5)

1 M(p4)

2 M(p3)

2 M(p2)

0 M(p1)

















=

0 (p7) M'

0 (p6) M'

2 (p5) M'

1 (p4) M'

2 (p3) M'

0 (p2) M'

0 (p1) M'

p1 p2

p3

p4 p5

p6 p7

t1 t2

t3 t4

2 2

p1 p2

p3

p4 p5

p6 p7

t1 t2

t3 t4

2 2

=

- +

Tir de t2

Franchissement des transitions

Soit un réseau marqué <R,M>, une séquence de franchissement est une suite de transitions franchies séquentiellement dans R depuis le marquage M

Cette séquence est dénotée par une chaîne de noms de transitions

<t₁, t₂, …, t_n>telle que t₁est franchissable depuis le marquage M, t₂est franchissable depuis le marquage M’obtenu suite au franchissement de t₁, etc.

Franchissement des transitions

Séquence de franchissement M <t

₂

> M’

p1 p2

p3

p4 p5

p6 p7

t1 t2

t3 t4

2 2

(8)

Franchissement des transitions

Séquence de franchissement M <t

₂

,t

₄

> M’’

p1 p2

p3

p4 p5

p6 p7

t1 t2

t3 t4

2 2

Franchissement des transitions

Séquence de franchissement M <t

₂

,t

₄

,t

₃

> M’’’

p1 p2

p3

p4 p5

p6 p7

t1 t2

t3 t4

2 2

Franchissement des transitions

Séquence de franchissement M <t

₂

,t

₄

,t

₃

> M’’’

p1 p2

p3

p4 p5

p6 p7

t1 t2

t3 t4

2 2

(9)

M <t

₁

, …, t

_n

> ou M

La séquence <t₁, …, t_n>est franchissable depuis M

M <t

₁

, …, t

_n

> M’ ou M M’

La séquence <t₁, …, t_n>franchissable depuis Mconduit au marquage M’

t₁,..t_n

6.4. Modélisation de la concurrence

Les réseaux de Pétri, un modèle concurrent

Les transitions servent à modéliser les actions des processus Les jetons représentent des ressources consommables Le franchissement d’une transition représente l’exécution d’une

action (consommation et production de ressources)

Les flèches entrantes indiquent les conditions à satisfaire avant l’action (les ressources nécessaires)

Les flèches sortantes représentent les conditions à satisfaire après l’action (les ressources à produire)

La présence d’un jeton marque la satisfaction, partielle ou totale, d’une condition (i.e., présence d’une ressource)

Le non-déterminisme des franchissements signifie que l’ordonnancement des actions n’est pas défini ou priorisé

Modélisation de la concurrence

Exemple du producteur-consommateur

Modélisezl’exemple du producteur et du consommateur par un réseau de Pétri (tampon capacité 1)

Légende p1: prêt à produire; p2: prêt à écrire c1: prêt à lire; c2: prêt à consommer b0: tampon vide; b1:tampon plein

p2 produire

déposer p1

Producteur

b1

b0 Tampon

prendre consommer

c2 c1

Consommateur

(10)

Modélisation de la concurrence

Exemple du producteur-consommateur

produire

déposer p2 p1

prendre consommer

c2 c1

b1

b0

Modélisation de la concurrence

Exemple du producteur-consommateur

produire

déposer p2 p1

prendre consommer

c2 c1

b1

b0

Modélisation de la concurrence

Exemple du producteur-consommateur

produire

déposer p2 p1

prendre consommer

c2 c1

b1

b0

(11)

Les réseaux de Pétri sont non déterministes

Si plus d’une transition est franchissable, le choix de la transition à franchir est non- déterministe

p1 p2

p3

p4 p5

p6 p7

t1 t2

t3 t4

2

2 t₂ou t₃?

Choix non déterministe…

Modélisation de la concurrence

p1 p2

p3

p4 p5

p6 p7

t1 t2

t3 t4

t6 t5

Processus A Processus B

A B A

Quelques dérives du non-déterminisme…

Modélisation de la concurrence

Quelques dérives du non-déterminisme…

p1 p2

p3

p4 p5

p6 p7

t1 t2

t3 t4

t6 t5

Processus A Processus B

Possibilité de tomber sur une séquence de franchissement qui finit par ne favoriser que A: <t1, t2, t3, t5, t1, t3, t5, t1, t3, t5…>

(12)

Modélisation de la concurrence

Politique non équitable et famine

Les réseaux de Pétri n’imposent pas de politique d’ordonnancement des transitions pour gérer le non-déterminisme

Il est possible que

Une séquence de franchissement n’offre pas de chance égale aux processus ayant des transitions franchissables, on dit que la séquence est non équitable

Un processus se voit refuser l’accès à une ressource dont il a besoin pendant un temps indéfini, on dit que le processus est en famine

Modélisation de la concurrence

Concurrence dans les réseaux de Pétri

On considère généralement la simulation des réseaux de Pétri sur une machine séquentielle

Concurrence = Exécution invariable de l’entrelacement des séquences

)

; ( )

; (

//

₂ ₁ ₂ ₂ ₁

1

t t t t t

t ≡ ∨

Modélisation de la concurrence

Transitions concurrentes : paire de transitions dont le franchissement de l’une n’empêche pas celui de l’autre

Concurrence structurelle: la structure du réseau de Pétri fait en sorte que les transitions ne se nuisent pas

Concurrence « pratique »: la structure et–ou le marquage du réseau fait en sorte que les transitions ne se nuisent pas

(13)

Transitions concurrentes

Concurrence structurelle : deux transitions t₁et t₂sont structurellement concurrentes si elles n’ont aucune place d’entrée commune, i.e.,

p1 p2

p3

p4 p5

p6 p7

t1 t2

t3 t4

t6 t5

{}

In(t2) In(t1)∩ =

t₁et t₂? t₁et t₂sont structurellement concurrentes t₃et t₄?

t₃et t₄ne le sont pas

Modélisation de la concurrence

Transitions concurrentes

Concurrence « pratique » : étant donné un marquage M, deux transitions t₁et t₂sont concurrentes en pratique si les ressources sont suffisantes pour qu’elles puissent s’exécuter dans un ordre ou dans l’autre, sans se nuire, i.e.,

t₃et t₄?

t₃et t₄sont concurrentes en pratique pour le marquage M illustré

Attention ! Si M(p₃)=1, t₃et t₄ne seraient pas concurrentes en pratique

t2) pre(p, t1) pre(p, M(p) P,

p∈ ≥ +

∀

t6

p1 p2

p3

p4 p5

p6 p7

t1 t2

t3 t4

t5

Modélisation de la concurrence

Transitions conflictuelles : le

franchissement de l’une des transitions empêche le franchissement de l’autre

Conflit structurel: la structure du réseau de Pétri fait en sorte que les transitions risquent de se nuire

Conflit effectif: la structure et le marquage du réseau font en sorte que les transitions ne peuvent être franchies simultanément, i.e., l’une après l’autre dans n’importe quel ordre

(14)

Modélisation de la concurrence

Transitions conflictuelles Conflit structurel : deux transitions t₁et t₂sont structurellement en conflit si elles ont au moins une place d’entrée commune, i.e.,

p1 p2

p3

p4 p5

p6 p7

t1 t2

t3 t4

t6 t5

{}

In(t2) In(t1)∩ ≠

t₃et t₄sont structurellement conflictuelles

Modélisation de la concurrence

Transitions conflictuelles Conflit effectif : étant donné un marquage M, deux transitions t₁et t₂sont effectivement en conflit si les ressources ne sont pas suffisantes pour qu’elles puissent s’exécuter simultanément, i.e.,

t₃et t₄sont effectivement en conflit étant donné le marquage illustré

t2) pre(p, t1) pre(p, M(p) P,

p∈ < +

∃

t6

p1 p2

p3

p4 p5

p6 p7

t1 t2

t3 t4

t5

Modélisation de la concurrence

Interblocage (deadlock)

p3

p2

p3

p5 p6

p7 p8

t1 t2

t3 t4

2 2

t5 t6

t7 t8

p1

p4

(15)

p3

p2

p3

p5 p6

p7 p8

t1 t2

t3 t4

2 2

t5 t6

t7 t8

p1

p4

Modélisation de la concurrence

p3

p2

p3

p5 p6

p7 p8

t1 t2

t3 t4

2 2

t5 t6

t7 t8

p1

p4

Modélisation de la concurrence

p3

p2

p3

p5 p6

p7 p8

t1 t2

t3 t4

2 2

t5 t6

t7 t8

p1

p4

Interblocage !

(16)

Modélisation de la concurrence

Situation de blocage

Un réseau de Pétri, dans un marquage donné M, est en situation de blocage si et seulement si aucune transition n’est franchissable Cas typique : le processus A est arrêté car il a

besoin d’une ressource détenue par B, or le processus B est arrêté car il a besoin d’une ressource détenue par A… Interblocage !

6.5. Analyse des réseaux de Pétri

L’analyse d’un réseau de Pétri peut permettre de confirmer ou d’infirmer certaines propriétés du système modélisé

On étudie les états du système Techniques

Analyse des réseaux de Pétri

Marquages accessibles

Étant donné <R,M

₀

>, l’ensemble des marquages accessibles est l’ensemble de tous les marquages de R atteignables par une séquence de franchissements à partir du marquage initial M

₀

} M s M s,

| {M ) M

A(R;

₀

=

_i

∃

₀

< >

_i

(17)

Graphe des marquages accessibles

Si A(R;M

₀

) est fini, on peut le représenter sous forme d’un graphe

Le graphe des marquage GA(R;M₀)est un graphe dont les sommets sont les marquages de A(R;M₀)tel qu’un arc relie deux sommets M_iet M_js’il existe une transition franchissable permettant de passer du marquage M_ià M_j

Analyse des réseaux de Pétri

p1

p2 p3

t1

t2 t3

p4

(1,1,0,0)

(0,1,1,0)

(0,0,0,1) t4

(0,2,0,0) t4

t1

t3 t2

<R,M₀> GA(R;M₀)

M0

(1,0,0,0) (0,0,1,0)

t1

(0,1,0,0) t4

Analyse des réseaux de Pétri

Comment construire GA(R,M0)?

1. Partir du marquage initial M₀, marquer ce nœud new 2. Choisir un nœud M_imarqué new

3. Pour chaque transition t_ifranchissable depuis M_i, calculer le marquage M_jobtenu par franchissement

A. Si Mjest égal à un marquage Mkdéjà rencontré, ajouter un arc étiqueté par tiliant Mià Mk

B. Si Mjest strictement supérieur à un marquage Mkdéjà rencontré sur le chemin qu’on est en train d’explorer, on peut s’arrêter car le graphe comportera un nombre infini d’états : il faut construire le graphe de couverture

C. Sinon, ajouter un arc étiqueté par t_iliant M_ià M_j, marquer M_jnew, marquer M_ioldet répéter les étapes 2 et 3 tant qu’il reste des sommets marqués new

(18)

Analyse des réseaux de Pétri

Marquage strictement supérieur

Un marquage M est strictement supérieur à un marquage M’ (et est noté M > M’) si et seulement si pour tout

M' M et (p) M' M(p) P,

p ∈ ≥ ≠

∀

Analyse des réseaux de Pétri

Graphe des marquages accessibles

Exemple d’un graphe infini

p1

t1 t3

t2 p2

p3

Analyse des réseaux de Pétri

GA(R;M₀)ne peut pas être construit si l’ensemble des marquages est infini (cas 3.B.)

Par exemple lorsqu’il existe une séquence faisant toujours croître le nombre de jetons dans une place p

Construire un graphe fini tel que tous les marquages accessibles sont

Soit explicitement représentés par un nœud du graphe

Soit «couverts» par un nœud, un tel graphe s’appelle graphe de couverture

(19)

Dans un graphe de couverture certains des sommets représentent des marquages pour lesquels une ou plusieurs places ont un nombre de jetons, noté ω, pouvant être arbitrairement grand, M(p) = ω

Propriétés

ω + ν = ω, ω − ν = ω, ν < ω, ω ≥ ω

Analyse des réseaux de Pétri

On construit le graphe de couverture GC(R,M₀)comme on construit le graphe de marquage mais à l’étape 3.B.

où l’on s’apprête à atteindre un marquage M_jstrictement supérieur à un marquage M_kdéjà rencontré sur le chemin qu’on explore, on applique la règle suivante :

M_k

Mj

M_i t

M_k

M_i

⇒ t M`j

sinon (p), M (p) M

M (p) M si ω, (p) M

k j

j k j

=

′

<

′ = M

Mj> k

Analyse des réseaux de Pétri

j k k M

i(p) pre(p,t) post(p,t) M (p) , M M M

P, p

j

≠

≥

− +

∈

∀ 1444442444443

Règle (graphe de couverture)

sinon (p), M (p) M

t) post(p, - t) pre(p, (p) M (p) M si ω, (p) M

k j

i k j

=

+

<

=

Soit M_ile sommet qu’on explore, M_kun sommet (déjà visité) sur le chemin qu’on explore et soit t une transition franchissable depuis M_i Si :

Alors :

On ajoute un nouveau sommet M_jet un arc étiqueté tde M_ià M_jtel que

(20)

Analyse des réseaux de Pétri

p2 t1

t2 p1

2

(1,0)

(0,1)

(2,0) (ω,0)

(ω,ω)

t1 t2

t1

(ω,1) t2

t1

<R,M₀> GC(R;M₀)

Propriétés comportementales

Réversibilité: un réseau de Pétri est réversible si et seulement si pour tout marquage accessible, il existe une séquence de franchissement qui permet de retourner au marquage initial

Le réseau de Pétri Rinitialement marqué M₀est dit réversible si et seulement si :

La réversibilité assure que le système peut toujours revenir à son état initial

Propriété souhaitable pour un système car elle montre que celui-ci peut être réinitialisé en cas d’erreur

Analyse des réseaux de Pétri

0

0), s telqueM s M

M A(R,

M∈ ∃ < >

∀

Analyse des réseaux de Pétri

K-borné: un réseau de Pétri est k-borné si et seulement si pour tout marquage accessible le marquage de chaque place est toujours inférieur ou égal à k

Le réseau de Pétri R, initialement marqué M₀est dit k-borné si et seulement si :

Propriété importante des systèmes où l’on modélise la capacité des ressources

k M(p) ), M A(R,

M ∈

₀

≤

∀

(21)

Vivacité: un réseau de Pétri est vivant si et seulement si pour tout marquage accessible M, il existe une séquence de franchissements depuis M contenant toutes les transitions

Le réseau de Pétri R, initialement marqué M₀est dit vivant si et seulement si :

Une conséquence immédiate de la vivacité est l’absence de blocage dans le système

s) t T, t ( et ) s (M que tel s

), M A(R,

M ₀

∈

∀

>

<

∃

∈

∀

Analyse des réseaux de Pétri

En construisant le graphe des marquages accessibles on peut vérifier

Si le réseau est k-borné: nombre fini de marquages accessibles (A(R,M₀)est fini)

Donc pas de ωdans graphe de couverture : graphe de couverture = Graphe des marquages accessibles

Si le réseau est réversible: chaque sommet est sur un circuit orienté contenant M₀

Si le réseau contient des blocages: certains sommets ne sont l’origine d’aucune transition

Si le réseau est vivant

Analyse des réseaux de Pétri

Remarques

Il est important de réaliser que le graphe de couverture offre une information réduite par rapport au graphe des marquages accessibles : perte d’information au niveau des sommets représentant des marquages non bornés

À partir du graphe de couverture seulement, il n’est pas toujours possible de prouver la réversibilité et la vivacité… Pour vérifier ces propriétés, il faut

reconsidérer le réseau de Pétri marqué et l’ensemble de ses marquages accessibles A(R,M0)

(22)

Analyse des réseaux de Pétri

t3

t4 p4 p3

t2

t5 p5 p2

t1

p1

(0,1,0,0,1)

(0,0,0,1,0) (0,2,0,0,0)

(1,0,1,0,0) (ω,0,0,1,0)

(ω,0,1,0,0) t2

t4

t3

t4 t3 t1

ω

<R,M₀> GC(R;M₀)

Analyse des réseaux de Pétri

t3

t4 p4 p3

t2

t5 p5 p2

t1

p1

(0,1,0,0,1)

(0,0,0,1,0) (0,2,0,0,0)

(1,0,1,0,0)

(ω,0,0,1,0) (ω,0,1,0,0) t1 t2

t4

t3

t4 t3

Le réseau n’est pas borné, n’est pas réversible, n’est pas vivant et contient un blocage, pourquoi ?

<R,M₀> GC(R;M₀)

Analyse des réseaux de Pétri

Réseau vivant Pourquoi ?

p2 p1

p3

p4 t2

t2

Réseau 2-borné Pourquoi ? t3

p1

p3 p2

t1

t3 t4

(23)

Limitations du modèle de base

Les jetons sont anonymes

Parfois, on aimerait que les jetons portent une valeur pour pouvoir les discriminer, pouvoir mettre des conditions sur les arcs pour décider du franchissement d’une transition en fonction de la valeur des jetons dans les places Absence de politique de sélection des transitions