I. Tir dans le vide

1

DYNAMIQUE - PRINCIPE FONDAMENTAL - corrigé des exercices

I. Tir dans le vide

1.

• La relation fondamentale de la dynamique de translation peut sʼécrire : m

!

a =

!

P = m

!

g puisquʼon néglige les autres effets.

• Une première intégration donne, compte tenu des conditions initiales :

!

v t

( )

⁼

!

g t+v₀ ; une seconde intégration donne, compte tenu des conditions initiales :

!

OM =

!

1

2g t²+v₀ t+OM₀.

• Le mouvement est en entier dans le plan vertical défini par la position M₀ et les directions de

!

v₀ et

!

g ; on peut donc raisonner avec deux coordonnées x et z dans ce plan.

• Si on prend M₀ comme origine, on cherche à obtenir : x = v_0xt = v₀ cos(α) t maximum (où α est lʼangle de

!

v₀ avec lʼhorizontale), tout en imposant : z = v_0zt -

!

1 2^{g t}

2 = v₀ sin(α)t -

!

1 2^{g t}

2 = h. Aucune condition nʼétant imposée sur la durée du trajet, seule la trajectoire importe et on peut obtenir son équation par élimination de t : z(x) = tan(α) x -

!

g

2v₀²cos²

( )

" ^x

2 = tan(α) x - [1+tan²(α)]

!

g 2v₀^{2 x}

2 = h.

Le maximum x_m est alors obtenu en choisissant la valeur de α la plus efficace.

• On peut ensuite considérer que si, pour x fixé, on pouvait ajuster α afin dʼatteindre z(x) > h, alors (puisque le point M finit toujours par retomber) il serait forcément possible dʼatteindre z(xʼ) = h avec un xʼ > x. Autrement dit : pour x = x_m le point dʼaltitude z(x_m) = h se trouve forcément sur la parabole du sûreté (le plus haut quʼil est possible dʼatteindre en ajustant α pour x = x_m donné).

◊ remarque : cette “équivalence” simplifie beaucoup le calcul car il est plus facile de chercher lʼextremum de z pour x fixé (lʼéquation de la trajectoire est quadratique en x et linéaire en z).

• Pour établir l'équation de la courbe de sûreté, on peut commencer par simplifier les notations en posant (par exemple) : λ = tan(α) et µ =

!

g

v₀² ; on obtient ainsi : z = λ x - (1 + λ²)

!

µ 2 ^x

2.

• Pour chercher le maximum, on peut ensuite dériver cette relation par rapport à λ (cela revient au même que de dériver par rapport à α) en considérant x fixé : 0 =

!

dz

d" = x - λµ x².

• Le maximum cherché est tel que

!

dz

d" = 0 cʼest-à-dire : x - λµ x² = 0 dʼoù : λx =

!

1

µ. Il suffit alors de remplacer dans lʼexpression de z(x) : z_m(x) = λ x - (1 + λ²)

!

µ 2^x

2 =

!

1" µ²x²

2µ (ceci est lʼéquation de la parabole de sûreté).

• Inversement, en imposant dans cette équation z_m(x_m) = h, on obtient : x_m =

!

1"2µh

µ ⁼

!

v₀²

g 1"2gh

v₀² ≈ 2900 m.

◊ remarque : la précision est médiocre en négligeant les frottements sur lʼair pour une telle distance.

◊ remarque : on obtient aussi : λ_m =

!

1 µx_m ⁼

!

1 1"2gh

v₀²

= 1,4 = tan(α_m) et α_m ≈ 54 ° = 0,95 rad.

2.

• On cherche maintenant à obtenir : z(

!

x_m

2 ) = h (en supposant quʼen plaçant la nouvelle origine à une distance

!

x_m

2 on garde lʼaltitude z = 0) ; ceci donne : λ

!

x_m

2 ^{- (1 + λ}

2)

!

µx_m²

8 = h dʼoù on déduit : λ₁ = 2x_m -

!

4x_m²"µx_m².

(

µx_m²+8h

)

= 1,07 et α₁ ≈ 47 ° = 0,82 rad λ₂ = 2x_m +

!

4x_m²"µx_m².

(

µx_m²+8h

)

= 4,55 et α₂ ≈ 78 ° = 1,35 rad.

2

3.

• La vitesse de lʼobus quand il touche lʼobjectif peut se calculer en dérivant les coordonnées, puis en calculant lʼinstant de lʼimpact pour en déduire les coordonnées de la vitesse et sa norme. Mais on peut plus simplement utiliser le théorème de lʼénergie cinétique ou la conservation de lʼénergie mécanique, dʼoù on tire : v =

!

v₀²"2gh = 143 m.s^-1.

II. Recherche de trajectoire

1.a.

• Le principe fondamental de la dynamique de translation peut sʼécrire : m

!

a = k

!

OM ou encore :

!

OM^•• - λ²

!

OM =

!

0 en posant λ =

!

k m^.

• Une telle équation différentielle du second ordre est linéaire (sans second membre) et peut sʼintégrer (par exemple) à lʼaide des coordonnées cartésiennes :

x^•• - λ² x = 0 ; y^•• - λ² y = 0 ; z^•• - λ² z = 0.

• Lʼéquation sur x a pour solution générale : x = A e^λt + B e^-λt, correspondant à x^• = λA e^λt - λB e^-λt. Compte tenu de la condition initiale x^•(0) = 0, on obtient A = B ; compte tenu de la condition initiale x(0) = x₀, on obtient A = B =

!

x₀

2 , cʼest-à-dire : x =

!

x₀ 2 ^(e

λt + e^-λt).

◊ remarque : avec les notations de trigonométrie hyperbolique : x = x₀ ch(λt).

• Lʼéquation sur y a de même la solution générale : y = A e^λt + B e^-λt avec y^• = λA e^λt - λB e^-λt. Compte tenu de la condition initiale y(0) = 0, on obtient A = -B ; compte tenu de la condition initiale y^•(0) = v₀, on obtient A = -B =

!

v₀

2", cʼest-à-dire : y =

!

v₀ 2"^(e

λt - e^-λt).

◊ remarque : avec les notations de trigonométrie hyperbolique : y =

!

v₀

" ^sh(λt).

• Lʼéquation sur z a de même la solution générale : z = A e^λt + B e^-λt avec z^• = λA e^λt - λB e^-λt. Compte tenu de la condition initiale z^•(0) = 0, on obtient A = B ; compte tenu de la condition initiale z(0) = 0, on obtient A = B = 0, cʼest-à-dire : z = 0.

1.b.

• La relation z = 0 montre que le mouvement s'effectue dans le plan Oxy (les mouvements à accélération radiale sont contenus dans le plan déterminé par les conditions initiales).

2.a.

• Les équations de la trajectoire sont z = 0 et lʼéquation obtenue en éliminant t entre x(t) et y(t) dans le plan Oxy (correspondant à z = 0).

• Si on nʼest pas familier des fonctions “hyperboliques” ch et sh, on peut utiliser les identités remarquables : x² =

!

x₀² 4 ^(e

2λt + e^-2λt + 2) et y² =

!

v₀² 4"^2(e

2λt + e^-2λt - 2) dʼoù :

!

x x₀

"

# $ %

&

'

2

( )y

v₀

"

# $ %

&

'

2

= 1.

2.b.

• L'allure de la trajectoire est la suivante :

3

• C'est une hyperbole, dont les sommets (sur lʼaxe des x) ont pour abscisses x = ± x₀, et dont les asymptotes (obliques) ont pour équations :

!

y y_a ⁼

!

± x

x₀ (en posant y_a =

!

v₀

" ). La trajectoire est la branche dʼhyperbole passant par x = x₀.

3.a.

• Le principe fondamental de la dynamique de translation peut sʼécrire : m

!

a = -k

!

OM ou encore :

!

OM^•• + ω²

!

OM =

!

0 en posant ω =

!

k

m (il sʼagit ici dʼune force attractive).

• Une telle équation différentielle peut sʼintégrer (par exemple) à lʼaide des coordonnées cartésiennes : x^•• + ω² x = 0 ; y^•• + ω² y = 0 ; z^•• + ω² z = 0.

• Lʼéquation sur x a pour solution : x = A cos(ωt) + B sin(ωt) avec x^• = -ωA sin(ωt) + ωB cos(ωt).

Compte tenu de la condition initiale x^•(0) = 0, on obtient B = 0 ; compte tenu de la condition initiale x(0) = x₀, on obtient A = x₀, cʼest-à-dire : x = x₀ cos(ωt).

• Lʼéquation sur y a pour solution : y = A cos(ωt) + B sin(ωt) avec y^• = -ωA sin(ωt) + ωB cos(ωt).

Compte tenu de la condition initiale y(0) = 0, on obtient A = 0 ; compte tenu de la condition initiale y^•(0) = v₀, on obtient B =

!

v₀

", cʼest-à-dire : y =

!

v₀

" ^sin(ωt).

• Lʼéquation sur z a pour solution : z = A cos(ωt) + B sin(ωt) avec z^• = -ωA sin(ωt) + ωB cos(ωt).

Compte tenu de la condition initiale z^•(0) = 0, on obtient B = 0 ; compte tenu de la condition initiale z(0) = 0, on obtient A = 0, cʼest-à-dire : z = 0 (les mouvements à accélération radiale sont contenus dans le plan déterminé par les conditions initiales...).

• Les équations de la trajectoire sont z = 0 et lʼéquation obtenue en éliminant t entre x(t) et y(t) dans le plan Oxy (correspondant à z = 0) :

!

x x₀

"

# $ %

&

'

2

+ (y

v₀

"

# $ %

&

'

2

= 1.

• L'allure de la trajectoire est la suivante :

• C'est une ellipse, dont les sommets sur lʼaxe des x ont pour abscisses x = ± x₀, et dont les sommets sur lʼaxe des y ont pour abscisses y = ± y_a (en posant y_a =

!

v₀

"^).

3.b.

• La différence essentielle avec le mouvement précédent est que les trajectoires sont fermées (et de plus, dans ce cas, le mouvement est périodique).