PanaMaths
[1 - 1]Novembre 2011
Calculer la somme :
( )
2 1
1
2 1 2
n k
k k
S n
k
−
=
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
= ∑ −
Analyse
Encore et toujours revenir au développement de la puissance d’une somme …
Résolution
On a :
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
1
1 1
0
1 0
2
0 0
2
2 1 2
1 2 1 2
2
2 2 2
1 1
2 2 2
0
2 2
2 2
1 1
2 1 2 1 1
2 2
1 1
2 1 1 1 1
2 2
0
n n
k k k k
k k
n n
k k
k k
n n
k k n k
k k
n
n n
S k k
n n n
k k
n n
k k
−
= =
= =
−
= =
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
= ⎜ ⎟ − = ⎜ ⎟ −
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎡ ⎤
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
= ⎜ ⎟ − = ⎢ ⎜ ⎟ − −⎜ ⎟ − ⎥
⎝ ⎠ ⎣ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎦
⎡ ⎛ ⎞ ⎤ ⎡ ⎛ ⎞ ⎤
= ⎢ ⎜ ⎟ − − =⎥ ⎢ ⎜ ⎟ − − ⎥
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎣ ⎦ ⎣ ⎦
⎡ ⎤
= ⎣ − + − =⎦ −
=
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
Résultat final
( )
11
2 1 2 0
n k k
k
S n
k
−
=
⎛ ⎞
= ⎜ ⎟ − =
⎝ ⎠
