II)Notiond’intégralepourunefonctionpositive I)Préliminaire:suitesadjacentes INTÉGRATION

INTÉGRATION

I) Préliminaire : suites adjacentes

Définition 1

On dit que deux suites(un)et (vn)sontadjacentessi l’une est croissante, l’autre décroissante, et si lim

n→+∞(un−vn) = 0.

Exemple

Les suites(un)et(vn)définies parun= 1

n et vn=−1

n sont adjacentes.

Théorème 2

Si deux suites(un)et(vn)sontadjacentes,(un)étant la suite croissante et(vn)la suite décroissante, alors : 1. Pour toutn∈N,un≤vn

2. Les deux suites(un)et (vn)convergent, et elles ont lamême limiteλ.

3. Pour toutn∈N,un≤λ≤vn.

Démonstration

| | | | | | | |

u0 u1 u2 un vn v2 v1 v0

λ|

vn−un

1.

2.

3.

Remarque

La dernière assertion du théorème 2 nous permet d’obtenir des encadrements de la limite λ de plus en plus précis lorsquenaugmente (leur amplitude tend vers0 en décroissant lorsquentend vers+∞).

II) Notion d’intégrale pour une fonction positive

Le plan étant muni d’un repèreorthogonal(O;~ı, ~), on définit les points I,J etK par−→

OI =~i,−−→

OJ =~jetOIKJ rectangle.

L’aire du rectangleOIKJ est appelée une unité d’aire notée1u.a. |

I

|J

x y

K

O

1 u.a

Par exemple, si||~i||= 1,7cmet||~j||= 1cmalors1u.a= 1,7cm².

Définition 3

Soitf une fonctioncontinueet positivesur un intervalle[a;b](aveca≤b) etC sa courbe représentative dans le repère(O;~ı, ~).

L’aire sous la courbe C sur l’intervalle[a;b] est l’aire, exprimée en unités d’aire, du domaineD délimité parC, l’axe des abscisses, et les droites d’équationsx=aet x=b.

On note Z b

a

f(x)dxcette aire, et on lit«somme dea à b de f(x)dx»ou«intégrale dea à b de f».

aet b sont lesbornes de l’intégrale etxest une variable muette : elle n’intervient pas dans le résultat. On peut utiliser une autre lettre (courammentt ouu) :

Z b a

f(x)dx= Z b

a

f(t)dt= Z b

a

f(u)du.

Remarque

Le domaineD peut aussi être caractérisé comme l’ensemble des pointsM du plan de coordonnées(x;y)dans le repère(O;~ı, ~)vérifiant :a≤x≤b et0≤y≤f(x).

a| b^| x

y

Z ^b

a

f(x)dx=Aire sous la courbe

D

Exemples

• Pour m >0, Z b

a

mdx=

En effet, le domaineD est _{| |}

a b

|m

• Z 3

0

xdx=

En effet, le domaineD est

|

O 3

|3

• Z ³

1

xdx=

En effet, le domaineD est

|

1

|

3

|3

|1

• Si a=b, alors Z b

a

f(x)dx= En effet, le domaineD est

|

a=b

Remarque : les résultats sont exprimés en unités d’aire, les unités prises sur l’avant-dernier dessin ne sont manifestement pas lecm.

Théorème 4 (ADMIS)

Soitf une fonction continue, positiveet croissantesur un intervalle [a;b](aveca≤b) etC sa courbe représentative dans le repère(O;~ı, ~).

L’aire sous la courbe C sur l’intervalle[a;b] est égale à la limite commune des deux suites (un)et (vn) définies par :

un= b−a n

n−1

X

k=0

f

a+kb−a n

et vn= b−a n

n

X

k=1

f

a+kb−a n

oùn∈N^∗

Interprétation graphique

Pour tout entiernnon nul, on divise l’intervalle[a; b]ennintervalles de même longueur b−a n . Parcequef est croissante,

- le termeun correspond à l’aire des rectangles situés sous la courbe(en bleu).

- le termevn correspond à l’aire des rectangles situés au dessus de la courbe(en rouge).

Pour toutn, on aun≤ Z b

a

f(x)dx≤vn.

Lorsquentend vers+∞, l’écart entre les aires des deux séries de rectangles tend vers0. Les suites(un)et(vn) tendent alors vers l’aire sous la courbeC. On les appelle lessommes de Riemannassociées à la fonctionf.

u4≥u2 v4≤v2

Remarques

• Les suites(un)et (vn)ne sont pas forcément adjacentes : v4≤v2 mais on ne peut pas à priori comparer v3et v2 car les subdivisions n’ont pas de points communs.

• Si f est continue, positive et décroissantesur l’intervalle [a; b], on peut construire les deux suites de la même façon, mais c’est alorsvn qui correspond à l’aire des rectangles sous la courbe etun qui correspond à l’aire des rectangles situés au dessus de la courbe.

• La propriété se généralise sif est seulement continue (c’est à dire pas forcément monotone) sur l’intervalle [a;b]: les suites (un)et (vn)convergent vers la même limite, qui est l’aire sous la courbe def.

• Si f est croissante, les suites obtenues par découpage en deux de chaque intervalle puis de chaque sous- intervalle :(u2ⁿ)et(v2ⁿ)sont adjacentes :u2≤u4≤u2ⁿ. . .≤v2ⁿ ≤v4≤v2. Et lim

n→+∞v2ⁿ−u2ⁿ= 0.

Définition 5

Soitf une fonctioncontinueetpositivesur un intervalle [a;b],avec a < b.

On appellevaleur moyennede la fonction f sur l’intervalle [a;b]le nombre réelµ= 1 b−a

Z b a

f(x)dx.

Interprétation graphique

µ= 1 b−a

Z b a

f(x)dxéquivaut àµ(b−a) = Z b

a

f(x)dx.

La valeur moyenne sur[a;b]est le réelµtel que le rectangle de dimen- sionsµ et b−asoit de même aire que le domaine situé sous la courbe def.

C’est la valeur qu’il faudrait donner à une fonction constante g sur l’intervalle [a;b] pour que l’aire sous la courbe de g soit égale à l’aire sous la courbe def.

a| b^| x

y Z b a

f(x)dx=µ(b−a)

|µ

III) Intégrale d’une fonction de signe quelconque

Le plan est muni d’un repèreorthogonal(O;~ı, ~).

Définition 6 : cas d’une fonction négative

Soitf une fonctioncontinueetnégative sur un intervalle[a;b],avec a < b.

On définit l’intégrale deaàbdef par :

Z b a

f(x)dx=−A

oùA est l’aire du domaineD délimité par la courbe def, l’axe des abscisses, et les droites d’équationsx=a et x=b.

Exemple

Soitf définie surRparf(x) =1 2x−2.

La fonctionf est continue et négative sur [0 ; 3].

L’aire deDest celle du trapèzeOABE, d’où le calcul : Z ³

0

f(x)dx=

Définition 7 : cas d’une fonction changeant de signe

Soit f une fonction continue qui change de signe sur un intervalle [a;b], avec a < b, et C sa courbe représentative.

Soit A₁ l’aire de la partie du plan délimitée par la courbeC, l’axe des abscisses et les droites d’équations x=aet x=b, etsituée au dessus de l’axe des abscisses.

Soit A₂ l’aire de la partie du plan délimitée par la courbeC, l’axe des abscisses et les droites d’équations x=aet x=b, etsituée en dessous de l’axe des abscisses.

On définit alors Z b

a

f(x)dx=A₁−A₂.

a| ^|b x

y Z b

a

f(x)dx=A₁−A₂

A₁

A₂

Exemple

On reprend la fonction de l’exemple précédent :f(x) = 1 2x−2.

Z 6 0

f(x)dx=A₁−A₂, avecA₁= et A₂= Ainsi,

Z ⁶

0

f(x)dx=

x y

On étend alors la notion de valeur moyenne d’une fonction continuef de signe quelconque sur[a;b](aveca < b) en donnant la définition :

Définition 8

Soitf une fonctioncontinuesur un intervalle[a;b],avec a < b.

On appellevaleur moyennede la fonction f sur l’intervalle [a;b] le nombre réel µ= 1

b−a Z b

a

f(x)dx

IV) Intégrale et primitive

Si f est continue, positive et croissante sur un intervalle [a;b], alors la fonction x7−→

Z x a

f(t) dt est la primitive def sur[a;b]qui s’annule ena.

a| x^| t

y

F(x) = Z x

a

f(t)dt

Onadmetque ce résultat se généralise :

Théorème 9 (ADMIS)

Soitf une fonctioncontinuesur un intervalleI, etaun élément quelconque deI.

La fonctionF définie surIparF(x) = Z x

a

f(t)dtest l’unique primitive def surI qui s’annule ena.

a| ^|b

x| t

y

F(x) = Z x

a

f(t)dt

Remarques

• On ne peut pas employer la même lettre pour une borne de l’intégrale (ici x) et la variable «muette»

d’intégration, notée ici t.

• La fonction F définie dans le théorème est doncdérivablesurI,de dérivée f.

Exemple

La fonctiont7−→ 1

t est continue sur]0 ; +∞[; son unique primitive s’annulant en1 est la fonction logarithme népérien. Ainsi, pour toutx∈]0 ; +∞[, on a lnx=

Z x 1

1 t dt

Théorème 10 : Calcul d’une intégrale à l’aide d’une primitive Soitf une fonctioncontinuesur un intervalleI. Pour tous réelsaetb deI, on a :

Z b a

f(x)dx=F(b)−F(a) oùF estune primitive quelconque def sur I.

Démonstration

Exemple

La fonction f : x7−→x²−2xest continue surR. L’une de ses primitives surRestF : x7−→

Pour présenter les calculs, on peut écrire Z b

a

f(x)dx=

F(x) ^b

a

=F(b)−F(a).

Ainsi, Z ²

1

(x²−2x)dx=

²

1

=

V) Propriétés de l’intégrale

Les démonstrations reposent en général sur le calcul d’une intégrale à l’aide d’une primitive, mais l’interprétation en termes d’aire permet de visualiser ces propriétés dans certains cas ; et c’est cette interprétation qu’il faut retenir.

Propriétés algébriques

Proposition 11 : Relation de Chasles

Soitf une fonctioncontinuesur un intervalleI. Pour tous réelsa,b etcdeI, on a : Z c

a

f(x)dx= Z b

a

f(x)dx+ Z c

b

f(x)dx

Démonstration

Remarques

On a le cas particulier suivant : Z b

a

f(x)dx+ Z a

b

f(x)dx= Z a

a

f(x)dx= Ainsi, Z a

b

f(x)dx=− Z b

a

f(x)dx C’est à dire que lorsqu’on intègre dans l’« autre sens », l’intégrale change de signe.

En termes d’aire, lorsque f est continue et positive sur I et a ≤ b ≤ c, la relation de Chasles traduit que l’aire du domaine hachuré est la somme des aires des domainesD₁etD₂.

a| b^|

c| x

y Z c

a

f(x)dx= Z b

a

f(x)dx+ Z c

b

f(x)dx

Exemple

Z 3

0

(|2−t|+|1−t|)dt=

|

3

|3

Proposition 12 : Linéarité

Soientf et gdeux fonctions continues sur un intervalleI, etαun réel. Pour tous réelsaetb deI, on a : Z b

a

(f+g)(x)dx= Z b

a

f(x)dx+ Z b

a

g(x)dx et

Z b a

(αf)(x)dx=α Z b

a

f(x)dx

Démonstration

Intégrale et inégalités

Proposition 13 : Positivité

Soitf une fonction continue sur un intervalleI,aetbdeux réels de Itels que a≤b.

Si f est positivesur[a;b], alors Z b

a

f(x)dx≥0.

Cette propriété est liée à la définition de l’intégrale, pour une fonction positive, comme aire située sous la courbe représentative de la fonction sur[a;b].

ATTENTION : La réciproque n’est pas vraie : une fonctionf peut très bien avoir une intégrale positive sur l’intervalle[a;b]sans être elle-même positive sur tout cet intervalle ! Donnez un exemple à l’aide d’un graphique

Proposition 14 : Signe d’une intégrale

si f ≥0 sur I aveca≤b, Z b

a

f(x)dx 0 aveca≥b, Z b

a

f(x)dx 0 si f ≤0 sur I aveca≤b,

Z b a

f(x)dx 0 aveca≥b, Z b

a

f(x)dx 0

Exemple

Sans calculs, on a les inégalités suivantes : Z ⁰

−2

(1 + sin²(x))dx 0; Z ¹

2

√xdx 0; Z 0,8

0,5

lnxdx 0

Proposition 15 : Conservation de l’ordre

Soientf et gdeux fonctions continues sur un intervalleI,aetb deux réels deI tels quea≤b.

Si f ≤g sur[a; b], alors Z b

a

f(x)dx Z b

a

g(x)dx.

Démonstration

En termes d’aires, si f et g sont continues et positives sur [a;b], l’inégalité traduit le fait que l’aire du domaineD₁ situé sousC_f est inférieure à l’aire deD₂situé sous C_g.

Proposition 16 : Inégalités de la moyenne

Soitf une fonction continue sur un intervalleI, etaetb deux réels dansI.

• S’il existe deux réelsm etM tels quem≤f ≤M surI, et sia≤b, alors : m(b−a)≤

Z b a

f(x)dx≤M(b−a)

• S’il existe un réelM positif tel que|f| ≤M surI, alors

Z b a

f(x)dx

≤M |b−a|.

Démonstration

En termes d’aires,pourfpositive etm >0, cet encadrement traduit que l’aire du domaine D est comprise entre les aires des deux rec- tangles de hauteursmet M, de largeurb−a.

a| ^|b x

y

|M

|m

Exemple

Soit la fonction inverse sur l’intervalle[1 ; 2].

1 2 ≤ 1

x≤1, d’où 1 2 ≤

Z 2

1

1

x dx≤1, soit 1

2 ≤ln 2≤1.

VI) Intégration par parties

Dans certains cas où on ne peut pas utiliser les formules usuelles pour calculer des intégrales ou déterminer des primitives, on peut utiliser la formule suivante :

Proposition 17 : Intégration par parties

Soientuetv deux fonctions dérivables sur l’intervalleI, telles queu^′ etv^′ soientcontinuessurI.

Pour tous réelsaetb deI, on a : Z b

a

u(x)v^′(x)dx=

u(x)v(x) ^b

a

− Z b

a

u^′(x)v(x)dx

Démonstration

Remarque

L’intégration par parties est souvent utilisée pour calculer l’intégrale d’une fonction f dont on ne connaît pas de primitive et qui s’écrit sous la forme d’un produit. En particulier lorsquef(x)est de la forme :

P(x)×ln(x) , P(x)×e^x , P(x)×cosx , P(x)×sinx oùP est une fonction polynôme.

Dans chacun de ces cas, on dérive le polynôme, sauf dans le cas deP(x)×ln(x)où on dériveln(x).

Exemples

• Calcul de Z ¹

0

(2−t)e^tdt

On intègre par parties en posant :







u(t) = 2−t u^′(t) =−1 v^′(t) =e^t v(t) =e^t

et il vient :

Z ¹

0

(2−t)e^tdt =

(2−t)e^{t 1}

0

− Z ¹

0

−e^tdt

= (2−1)e¹−2e⁰+ Z 1

0

e^tdt

= e−2 + Z 1

0

e^tdt

= e−2 +

e^{t 1}

0

=e−2 +e¹−e⁰= 2e−3

• Calcul de I= Z ¹

0

t²e^3tdt

On intègre par parties en posant :











u(t) =t² u^′(t) = 2t v^′(t) =e^3t v(t) =e^3t 3

et il vient :

I= Z 1

0

t²e^3tdt = 1

3t²e^{3t 1}

0

− Z 1

0

2 3te^3tdt

= e³ 3 −2

3 Z ¹

0

te^3tdt

On fait alors une seconde intégration par parties pour le calcul deJ = Z ¹

0

te^3tdten posant :











u(t) =t u^′(t) = 1 v^′(t) =e^3t v(t) = e^3t

3

et il vient :

J = Z ¹

0

te^3tdt = 1

3te^{3t 1}

0

− Z ¹

0

e^3t 3 dt

= e³ 3 −

e^3t 3

¹

0

=1 + 2e³ 9

Par conséquent,I=e³ 3 −2

3J =e³ 3 −2

3

1 + 2e³ 9

et enfin, on obtient Z ¹

0

t²e^3tdt= 5e³−2 27

• Calcul de Z ⁴

0

te^−tdt −5e⁻⁴+ 1