Universit´e Paris-Dauphine 2011-2012 M1 MMD, Processus Continus Approfondis
Partiel du Jeudi 29 Mars, 14h-16h
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Dans tous les exercices B = Bt un mouvement brownien r´eel standard d´efini sur un espace probabilis´e (Ω,A,P) etF=FtB est la filtration canonique associ´ee c`ad et contenant les n´egligeables deA.
Exercice 1
a) - Montrer que pour touta >0, le processusXt:=a−1Ba2test un mouvement brownien.
b) - SoitM une martingale r´eelle de carr´e int´egrable. Montrer queS:=M2est une sous-martingale.
Exercice 2
On d´efinit le processus (Zt)0≤t≤1par la formule Zt:=Bt−t B1. a) - Pour tous 0 ≤t1 < ... < tn ≤1, montrer que le vecteur (Zt
1, ..., Ztn, B1) est un vecteur gaussien et calculer sa matrice de covariance.
b) - Montrer que (Zt)0≤t≤1 est un processus gaussien ind´ependant deB1. c) - Montrer que le processusZt′=Z1−t, 0≤t≤1, a mˆeme loi queZ. d) - On d´efinitYt:= (1−t)Bt/(1−t), 0≤t≤1.
Montrer queYt→0 p.s. lorsquet→1; on poseY1= 0.
Montrer queYt, 0≤t≤1, a mˆeme loi queZ.
Exercice 3
Soienta >0 et bdeux r´eels. On cherche `a calculer la probabilit´e queB atteigne la droitet7→(at+b). On introduit donc
T = inf{t≥0, Bt=at+b} avec la convention inf{∅}= +∞.
1) CalculerP(T <+∞) dans le cas b≤0. On suppose maintenant b>0.
2) Montrer que pour tout r´eelα, le processus (eαBt−α22 t)t≥0 est une martingale.
3) Montrer que siX est un processus r´eel continu etF est un ferm´e deRalorsTF(ω) := inf{s;Xs(ω)∈F} est un temps d’arrˆet. On pourra commencer par montrer que{TF ≤t}={d((Xu)0≤u≤t, F) = 0}.
4) Montrer queT est un temps d’arrˆet.
5) Pourquoi ne peut-on pas appliquer directement le th´eor`eme d’arrˆet `aT? Montrer que pour toutαet tout t >0:
E[eαBT∧t−α22 (T∧t)] = 1.
6) Calculer la limite p.s. quandttend vers l’infini deeαBT∧t−α22 (T∧t).
7) Montrer que pourα= 2a, on peut appliquer le th´eor`eme de convergence domin´e.
8) En d´eduireP(T <+∞).
9) Comment traite-t-on facilement le casa <0?
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