Examen National 2009 Session Normale 2éme Bac SM Exercice1

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Examen National 2009 Session Normale 2éme Bac SM

Exercice1

 

2 IR

M est l’ensemble des matrices d’ordre 2.

On rappelle que



M2

 

IR ; ; 



est un anneau et I 1 0 0 1

 

  

  est sont élément unitaire.

Soit l’ensemble F des matrices ^{M x;y}

 

^de M2

 

IR telles que : ^{M x;y}

 

0^{x y}1 x

 

 

  

; avec

 

^{x;y  IR IR .}

A- a) Montrer que F est une partie stable de



^M2

 

^{IR ;}



^.

b) Montrer que

 

^{F ;} est un groupe commutatif.

2. Soit G l'ensemble des matrice ^{M x;0}

 

de F tel que : x IR ^ . Montrer que G est un sous-groupe du groupe

 

^{F ; .}

3. soitE IR xIR^ .

On muni E d'une loi de Composition interne définie par :



^

 

^{x;y E}



^;



^

 

^{a;b E}



^;

   

^{x;y  a;b }_^{xa ; xb}_a^y_

 

On Considère l'application :

   

   

F ; E ;

M x;y x;y

:   



a) Calculer

   

^{1;1  2;3 et}

   

^{2;3  1;1}

b) Montrer que  est un isomorphisme de

 

^{F ; vers}



^{E ;}



^.

1) Déduire la structure de



^{E ;}



^.

Exercice 2

Soit m un nombre complexe tel que : m 1 .

I- On considère dans C l'équation :

 

^{E : z2} 

 

1 i m 1 z i m 1 0







² 



1- a) Vérifier que le discriminant de l'équation

 

^{E est :}

  

^{1 i m 1 }

 

^{2 .}

b) Résoudre l'équation

 

^{E dansC .}

c) Déterminer sous forme algébrique les valeurs de m pour que le produit des solutions de

 

^E soit égale à 1.

2. On pose : z₁m i et z₂  1 im. Dans le cas où m e ^{i } avec

2    . Donner z et ₁ z sous forme trigonométrique ₂

Il- Dans le plan complexe

 

^P muni d'un repère orthonormé direct



O;e ;e1 2



; on considère M ;M et₁ M d'affixes respectifs m; ₂ z 1 im₁  et z₂ m i .

1-Déterminer l'ensemble des points M tels que M ;M et₁ M soient alignés. ₂

2. a) Montrer que la transformation R qui o chaque point M d'affixe z donne comme

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image le point M d'affixe z tel que : z 1 iz   est une rotation dont on déterminera le centre et l'angle.

b) Montrer que le nombre complexe ^{2 1}

2

z z iIR

z m

 

 si et seulement : Re(m I) m(m) 1 . (Re(m) est la partie réelle de m et Im(m) est la partie imaginaire de m.).

c) Déduire e l’ensemble des point M tels que :  ; M ;M et₁ M soient cocycliques. ₂

Exercice 3

Pour tout n IN ^ ; on pose : a_n2ⁿ3ⁿ 6 1.ⁿ 1- a) Vérifier que a est pair pour tout_n n IN ^.

b) Déterminer les Valeurs de n pour les quelles : a_n  0 3 ^. 2- Soit p un nombre premier tel que : p 3 .

a) Montrer que : 2^{p 1}   1 p ^; 3^{p 1}   1 p ^et 6^{p 1}   1 p ^. b) Montrer que p divisea_{p 2} .

c) Montrer que pour tout entier naturel premier q il existe un entier naturel non nul n tel que : a_n q q (a_nqest le pgcd de a et q) _n

Problème Soitn IN .

On considère la fonction f définie sur _n 0; ^{par :}

   

 

n n

n

f x x 1 lnx si x 0 f 0 0

   



 

Soit

 

Cn la courbe représentative de f dans un repère orthonormé_n



O; i ; j .



Partie l

1- a) Montrer que la fonction f est continue à droite en 0 (On pourra poser_n x t ⁿ ) b) Etudier la dérivabilité de f à droite en 0. _n

c) Calculer xlim f x1

 

 ; 1

 

x

limf x x

 ; xlim f x2

 

 et 2

 

x

lim f x x

 .

2- a) Etudier les variations def . ₁ b) Etudier les variations def . ₂

3- a) Etudier la position relative de

 

C1 et

 

C2 .

b) Construire

 

C1 et

 

C2 dans le même repère



O; i ; j



(on accepte que (Ce) admet le point ^{A 1 ;1}

 

comme point d’inflexion et on prendra i  j 2cm).

Partie Il

On Considère la fonction F définie sur ;0 ^{par :}

   

x

1 1 e 2

F x f t dt

 1 t





www.guessmaths.co E-mail : abdelaliguessouma@gmail.com whatsapp : 0604488896 1- a) Montrer que F est dérivable sur ;0et que : x 0  ;

   

2x^2x

x 1 e F x 1 e

  

 b) Déduire les variations de F sur;0^.

2- a) Montrer que : x 0  ; x

   

x

 

1 1

1 2x 1

e e

1 f t dt F x 1 f t dt

2  1 e

 

 

b) Vérifier que la fonction x x² 3 lnx

4 2

  

 

  est une primitive de la fonction f sur ₁ l'intervalle 0; ^.

c) Montrer que : x

 

1 e 1 x

lim f t dt 3 4







3. On suppose que la fonction I admet une limite fini

l

au voisinage de; montrer que :

3 3

8 l 4 Partie III

Pour tout n IN ^ ; on pose : un



1^ef t dtn

 

^.

1- a) Montrer que :



^{ n 1}



^; un0.

b) Déterminer de signe de



fn 1_

   

x f xn



sur l'intervalle1 ;e ^. c)Montrer que :



^{ n 1}



^; un 1_ un.

d) Déduire que la suite

 

^u_{n n 1} est convergente.

2- a) Montrer que :



^{ n 1}



^; n 1 n

1 n 1

u u

2 2



    .

b) Déduire en cm² l'aire de la partie du plan délimitée par

 

C1 et

 

C2 et les droites d’équations x 1 et x e .

3- a) Montrer que :



^{ n 2}



^; n

1 u 1

n 1 n 1

 

(on pourra utiliser les résultats des questions 1-a); 1-c) et 2-a)) b) Déterminer _n

nlim u

 et _n

nlim nu



4- Soit a un réel tel que : a u ₁.

On considère la suite

 

^v_{n n 1} définie par :

 

1

n 1 n

v a 1 n 1

v v n 1

2 2



 

      



et pour toutn IN ^ ; on pose : d_n  v_nu_n a) Montrer que :



^{ n 1}



^; n n 1 1

d n! d 2^

 .

b) Montrer que : _n

nlim d

  

c) Déduire que la suite

 

^v_{n n 1} est divergente.