Correction Examen National 2018 Session Normale : 2éme Bac SM

Correction Examen National 2018 Session Normale : 2éme Bac SM

Exercice 1 :

1- Montrons que (E,+) est un sous-groupe de



^M2

 

^{IR ,}



∎ E  (carO =M

 

0;0  E ) ∎ E

M

₂

 

IR

SoientM x; y , et

 

^{M x ; y}



^{ }



, deux éléments de E ; On a :

   

^{2 2}

2 2

x y x y

M x; y M x ; y

y x y y x y

 

 

   

        

   

 

 

 

   

2 2

2 2

2 2

x x y y

y y x y x y

x x y y

y y x x y y

 

   

 

        

 

  

 

          ^{M x}



^{x ; y y}



Et ^{M x}



^{x ; y y}



^{E car}



^{xx ; y y}



^IR2.

D’où



^E;



est un sous-groupe de



M2

 

IR ,



^.

2)a) Montrons que E est un sous-espace vectoriel de l’espace vectoriel



^M2

 

^{IR , ,}

^. 

On a : E

M

₂

 

IR ^{et   } ⁰( car ( , )0 0  ) Soient



^{ ;}



^{IR2,M x; y et}

 

^{M x ; y}



^{ }



^{dans E}

On a :

   

^{2 2}

2 2

x y x y

M x; y M x ; y

y x y y x y

 

 

   

           

 

  

 

 

 

   

2 2

2 2

2 2

x x y y

y y x y x y

x x y y

y y x x y y

 

       

 

             

 

      

 

               ^M

 

^{ x x ;}

 

^{ y y}

 

Et ^M

 

^{ x x ;}

 

^{yy}

 

^{E car}

 ^

^{xx ;}

^{ }

^{yy}

^ 

^IR2.

D’où E est un sous-espace vectoriel de l’espace vectoriel



^M2

 

^{IR , ,}

^. 

^.

b) Montrons que

 

^,J est une base de l’espace vectoriel



^{E,+, .}



SoitM x; y

 

E, on a :

 

²

2

x y

M x; y

y x y

  

   

0 0 2

0 2

0 0 2

0 2

x y

y x y

x y

x y y

 

 

    

    

     

^{1 0 0 2}

0 1 1 2

x  y  

    

   

^xM

 

^{1 0; yM}

 

^{0 1;}

x.I y.J









Donc

 

I ; J est une famille génératrice de l’espace vectoriel



^{E , ,}

^. 

^{où I }

 

^{1 0; et J M}

 

^{0 1; .}

Soit



 ;



IR²: On a :

₂ ^{1 0 0 2 0 0}

0 1 1 2 0 0

O

.I .J       

       

 

  

  

 

2 0 0

2 0 0

0

2 0

0

2 0

0 0

  

   

      

  

   

  

   



 

  

Donc

 

^{I ; J} , est une famille libre de l’espace vectoriel



^{E , ,}

^. 

^.

On conclut que

 

^{I ; J} est une base de l’espace vectoriel



^{E , ,}

^. 

^.

3- a) Montrons que Eest une partie stable de



M2

 

IR ,



∎ Soient M x; y et

 

^{M x ; y}



^{ }



deux éléments de E ; On a :

   

^{2 2}

2 2

x y x y

M x; y M x ; y

y x y y x y

 

 

   

        

   

 

   

2 2 2 4

2 2 2 2 4

2 2 2

2 2 2 2

xx yy xy x y yy

x y xy yy xx x y yy xy yy

xx yy xy x y yy

x y xy yy xx yy xy x y yy

      

 

           

      

 

             

^{M xx}



^{2yy ; xy x y 2yy}



Et M xx



2yy ; xy x y 2yy



E car



xx2yy ; xy x y 2yy



IR². Donc : ^{M x; y}

 

^{M x ; y}



^{ }



^E

D’où E est une partie stable de



M2

 

IR ,



^.

2éme Méthode

 

^{I ; J} est une base de l’espace vectoriel



^{E , ,}

. 

; donc existe un unique



x, y,x', y'



 ⁴ tels que : M



x; y



xI yJ , et M x ; y



 



x I  y J

∎ De plus : I    J J J ; I² I et on a : ^{2 0 2 0 2}

1 2 1 2

J       

   

2 4

2 2

 

 

  

 

1 2

2 1 1

 

    

1 0 0 2

2 0 1 1 2

    

     

   

 

  2I 2J

Et par distributivité de la loi par rapport à + dansM2

 

IR ^{, on a :}

    

^xI

  

M x; y M x ; y   yJ  x I y J

 

   

2

2 2

xx I xy x y J yy J

xx I xy x y J yy I J

   

   

   

     

^



^{xx2yy I}

 

^{ xyx y 2yy J}



M xx



2yy ; xy x y 2yy



D’où ^M



^{x; y}



^{M x ;}



^{ y}



^{M xx}



^{2yy ; xyxy2yy}



Donc : ^{M x; y}

 

^{M x ; y}



^{ }



^E

b) Montrons que



^{E , ,}

^ 

est un anneau commutatif

•



^{E ,}



est un groupe commutatif (car



^{E , , .}



est un espace vectoriel)

• E est une partie stable de

 ^M

²

 

^{IR ,}



^{et de}

 ^M

²

 

^{IR ,}



^{et } est associative et distributive par rapport à + dansM2

 

IR , donc :

 est associative et distributive par rapport à + dansE . Alors



^{E , ,}

^ 

est un anneau.

• Soit



^{M x; y}

 

^{;M x}



^{  ;y}

 

^E2

     

 

   

2 2

2 2

M x; y M x ; y M xx yy ; xy x y yy

M x x y y; x' y xy' y y M x ; y M x; y

         

 



    

  

Donc est commutative dans E, par suite



^{E , ,}

^ 

est un anneau commutatif.

4- a) Montrons que est un homomorphisme



^{C ;}



^vers



M2

 

IR ,



^.

Soient z  x iyet z  x iydeux éléments de C^ . On a :

∎ ^



^{z z }



^

 

^{x iy}

 

^{ xiy}

 

^



^{xxyyi xy}



^{x y}

 

^M

 

^{xxyy}

 

^{ xyx y ;}

 

^{ xyx y}

 

 

2 2

xx yy xy x y xy x y

xy x y xx yy xy x y

     

 

          ∎ D’autre part

       

              



^{2 2}



M x y; y M x y ; y

x y x y y y , x y y

z

y z

x y y y

  

    

      

           

  

  

 

Et on a :



xy



xy

   

 2 y y xxxyyxyy2yy ^



^{xxyy}

 

^{ xyyx}



Et



^xy

  

^{y  xy}

    

^{  y 2 y y  xyyyx y yy2yy}

 



xyx y



Donc : ^

   

^{z  z M}

 

^{xxyy}

 

^{ xyyx ;}

 

^{ xyxy}

 

D’où : ^



^{z z }



^

   

^{z  z} Par suite,



est un homomorphisme



^{C ;}



^vers



^M2

^{ }

^{IR ,}



^.

b) Montrons que ^

 

^{C E}

Soit M x y

 

; E^ ; cherchons zaib deC^tel que : 

 

z M x y

 

;

 

^{z M x y}

 

^;



^{a ib}



^{M x y}

 

^;

    

^{2 2}

2

a b b x y

b a b y x y

 

   

       

2 2

2

a b x

b y a x y

b y b y

a b x y

  

     

     

   



Si

   

a;b  0, 0 , alors a0 et b0, donc x y 0 et  y 0, par suite



^{x y,}

  

^{ 0, 0} ce qui est absurde .Donc

   

^a;b  ^{0, 0}

D’où



^{M x y}

 

^{; E}



^{; !}

^

^{za ib}

^

^{ C} tel que : ^

 

^{z M x y}

 

^;

Donc ^

 

^{C E.}

2éme méthode :

On a : ^

 

^{C }



^

^{ }

^{z /z }



^



^

^

^aib

^{  }

^{/ a b,  2}

^

^{(0, 0)}

^ 

Donc ^

 

^{C  }

 ^

^{a b, b}

^{  }

^{/ a b,  2}

^

^{(0, 0)}

^ 

^{ }

     

^{x, y / x y,  a b , b et a b}

  

^{,  2}



^{(0, 0)}

 

D’où : ^

 

^{C  }

 ^

^{x, y /}

^{ }

^{x y,}

^

^{ 2}

^

^(0,0)

^ 

^{ E}

^{ }

^{O E}

c) En déduire que



^E;



est un groupe commutatif.

On a  est un homomorphisme de



^{C ;}



^vers



M2

^{ }

IR ,



^{, et}



^{C ;}



est un groupe commutatif alors :



^

 

^{C ,}



est un groupe commutatif

Et comme ^

 

^{C E, alors}



^E;



est un groupe commutatif 5- Montrons que



^{E; ; }



est un corps commutatif.

On a :

∎



^{E ,}



est un groupe commutatif d’élément neutreO ( , )0 0 . ∎



^E;



est un groupe commutatif ( ^{E  E}

 

^{O )}

∎  est distributive par rapport à + dans E . ( car



^{E , ,}

^ 

est un anneau commutatif ) . Donc



^{E; ; }



est un corps commutatif ( car  est commutative dans E ).

Exercice 2 (3 points)

Soit p un nombre premier tel que : p 3 4k avec kIN^ .

1) Montrons que pour tout entier relatif x, si ^{x2 1}

 

^{p alorsxp5 1}

 

^p

On a : ^{x2 1}

 

^{p }

 

^{x2 2k1 12k1}

^{ }

^p



^{car2k 1 IN}



 

 

 

 

4 2 4 3 5

5

1 1 1

k k p

x p

x p

x p



 



 

 

 

2) Soit x un entier relatif vérifiant ^{xp5 1}

 

^{p .}

a) Montrons que x et p sont premier entre eux.

On a : ^{xp5 1}

 

^{p p x}



^p51



 

 

  ^{ }

  

²



5

5

6

;

1 ; IN

1 ; IN 1

. 1

/ .

p

p

x p

u v

x kp k

x kp k

x p k

v ux p

 

 



  

  

  





 





 ZZ

Avec u x^p6 ZZ ,v  k ZZ ,p7 ; d’après le théorème de Bézout x p 1 . D’où x et p sont premiers entre eux.

2^ème méthode :

On a p est un nombre premier, donc x p 1 ou x p p

Si x p p , alors p divise x donc ^x0

 

^p par suite ^{xp5 0}

 

^p

Et comme ^{xp5 1}

 

^{p , alors 10}

 

^p donc p=1 ce qui est absurde. ( car p est premier) Donc x p 1 , d’où x et p sont premier entre eux.

b) Montrons que : ^xp11

 

^p

(D’après la question(2-a)), on a : p est premier positif et x p 1 Et d'après le théorème de Fermat : ^xp11

 

^p

c) Vérifions que ^{2 }



^{k 1}



^{p 1}

 

^{k p5}



On a : 2 



k 1



p   1



2



k 1



p 5 4



  

  

  

    

 

2 4 4 1 5

4 2 1 5

4 3 5 1 5

5 1 5

5

k k p

k k p

k k p

p k p

k p

     

    

     

    

 

d) Déduisons que ^{x2 1}

 

^{p .}

On a : ∎) ^{xp5 1}

 

^{p }

 

^{xp5 k 1}

^{ }

^{p ;}



^kIN



   

   

    ^{ }

( 5)

2 ( 1)( 1)

2 ( 1)( 1)

; IN ; IN

; IN 1

1

1 1

k p

k p

k p

k k k

x p

x p

x x p



  











 

 











∎) ^{xp1 1}

 

^p (d’après la question 2- b)).



^x(p1)



^{(k1) 1}

 

^p

D’où ^{x x2. (k1)(p1) x2}

 

^{p 2}

 

de (1) et (2) on conclut que : ^{x2 1}

 

^p

3) Résolvons l’équation : ^{x62 1 67}

 

D’après les résultats de (1) et (2) , on en déduit que :

^{1 1}

 

^{2 1}

 

4 3; IN

xp p

x p

p k k





 

 

   

Donc : ^{x621 67}

 

^{x67 5 1 67}

 

x² 1

 

67



car 67 est premier et 67 4 163



 

  

67 2 1

67 1 1

x

x x











Comme 67 est un nombre premier, alors : ⁶⁷



^x1



^x1



^{67 x1 ou 67 x1}

Donc : ^{x62 1 67}

 

^{ x 1 67 ; k kZZou x 1 67 ; k kZZ.}

Alors : ^{S }



^{67k1 /k}

 

^{ 67k1 /k}



Exercice 3

I -

 

Em ^: z² 



im²



z im   ² m ⁰ . 1) a) ^{ }



^{im2 – 4}



²



^{im 2 m}



(im)²4im 4 4im 8 4m (im)²4m4

 

2 2

2

4 4

( 2

2 )

( )

m m

m

= i m

   

  



b) = i m( 2) est une racine carrée de . donc , les solutions de

 

E_m sont :

∎si m2

1

   

)

2 ( 2

1 1

2

im im i

z =    m i

   et 2

   

2 ( 2

2 1

)

im im i

z =    i

   Donc : Sm 

 

¹m i



  ^1;



¹ i

 

∎si m2 càd  0 ; alors : z = z =1 2  

 

1 i . Donc : S2   

 

1 i

 

2) pour mi 2 •) ^{z1 }



^{1 i 2}



^i1

 

2 1

1 2

i i

  

  

3 4

3 4

2 2

2 1

i

i

e e





 

 

   

 

3 3 3 3

8 8 8 3 8

2 2 2 cos

8

i i i i

e e e e

 ^  ^  ^ _  _ 

     

 

 

Et comme 0 3

8 2

 

  , alors cos ³ 0

8

   

 

  , donc ₁ 2 2 cos ³

z _ 8 _

  

D’autre par ^{z1 }



^{2 1  }



ⁱ



^{2 1}



^{2  1 42 2}

Donc :

3 8 1 4 2 2 ⁱ

z e

  

Remarque : On peut calculer cos ³ 8



 

 

 de la façon suivante : On a : 2 1 cos 2

 

cos 2

  ^  ; donc :

2

1 cos 2 3

3 8

cos 8 2

1 cos 3 4

2 1 2 2

2

2 2

4







 

   

   

 

 

 

  



 

 

D’où : 3 cos 8

2 2

2

  

  



 

 ; mais comme cos ³ 0

8

   

 

  (car 0 ³

8 2

   ) ; alors :

3 cos 8

2 2

2

  

  

  Par suite :

3 8 1 4 2 2 ⁱ

z e



  •) z =2  

 

1 i

4 5

4

2 2

i i

i

= e e

= e

 



Donc :

5 4

2 2 ⁱ

z = e



II- 1) a) On a : R M

  

z



M

^{ }

z ^zM ^{z = z}C

^

M ^zC

^

e ⁱ²



  

   où z_Cest l’affixe du centre de le rotationR.

m z =_C



m z_C



e ⁱ²



  

 

 

1 z = z

1 z = z

1 z = 1

C C

C C

C

im i i m

i i

i +i

      

   

  

z = ¹

C 1

+i i

 



 

¹

z 1

z

C

C

= +i i= i i

=

 

 Doncest le centre de le rotation R.

2éme méthode : On a : m'=-i m-1= -i



m i



Donc ^{m'=ei2}



^{m i}



On en déduit que est le centre de le rotation R.

b) On a : ^{R B}

 

^{A a = b}



^



^ei2

 

1 =

1 2 1

= 2 2

i i i b i

i = ib

ib i

b

     

    

  

 

.

2) a) On a: ^{a = i b}

 

^{a= i}

b

  



     





^a



^{m b}



^{= i m b}

 

b





 

  

 D’une part; on a: i m b







  im2i

   

1 1

1 1

im i i

im i i i

m a

    

     

 



Par suite ^a



^{m b =}



b m a





   



b) ∎ Si ma le résultat est évident, car les points A, M et M’ sont alignés (M=A) et les points A, B, et M sont cocycliques (car M=A et les points A, B,  ne sont pas alignés donc ils sont cocycliques) , d’où l’équivalence .

∎ Si ma , alors :

A ; MetMsont alignés ' IR m

a a

 m 





a m b IR b m a





 

  

  (d’après ce qui précède : ^{m' a a}



^{m b}



b





   

 )

a b m IR

b a m





 

  

 

   , , et Msont cocycliques (car  , et  ne sont pas alignés ) c) A ; M etMsont alignés    , , et Msont cocycliques ( d’après la question précédente )  M appartient au cercle (C) circonscrit au triangle ABΩ rectangle et isocèle en  .

Donc A ; M etMsont alignés M appartient au cercle (C) de diamètre

 

^AB

Le rayon de ( C) est ^{3 10}

2 2 2 2

b a i

r AB  

   

Le centre de ( C) est le pointI milieu de

 

^AB , d’affixe : ^{1 1}

2 2 2

I

a b

z     i.

Donc l’ensemble des points M tel que les points A,M et M’ sont alignés est le cercle ( C) de centre 1 1

2 2i

 

   et de rayon ¹⁰ r 2

2éme méthode :

∎Si m=a , alors M=A et les points A ; MetMsont alignés ∎ Si ma , alors :

A ; M etMsont alignés ² IR 1 m

i i

i

 m 

 

  ; On pose : m x iy où

 

^{x y,  2}

Donc :

 

 

^IR

1 1

2 2

IR i x i

im i iy

m i x iy i

   

    

 

 

 

 

 

       

   

    

 

   

    

 

   

2 2

2 2 2 2

1 IR

1 1 IR

1 1

IR 1

2

2

2

2 2

1

1 1 1 1

IR

1 1 1 1

x y x iy i

x y

x i y

x x i y

x y

x y x x x y

i

x y x

i i

i

y i

y

y y

 





  

  

  

  

  

 

  

   

  

     



   

D’où A ; MetMsont alignés ^



^2x



^x1

 

^{y y 1}



⁰

 x² x 2 y²  y 0

2 2 2

1 1 5 10

2 2 2 2

x y  

   

         

Donc l’ensemble des points M tel que les points A,M et M’ sont alignés est le cercle ( C) de centre

1 1

2, 2

 

   et de rayon ¹⁰ r  2 Exercice 4

Partie II :

1) a) Montrer que

   

₀

 

0, : ^x1t ln 1

t x

x dt x

    

 



Soitx0 ; on a :

• ^{1 1}

1 1

t t

t t

  

   ¹ 1

1 t

  

 Donc :

0 0

1 1

1 1

x t x

tdt  t dt

  

 

0 0

1 1

x x

dt dt

  t 







 

 

 

0 0

0

ln 1 ln 1 ln 1

x x

x

t t

t x

x x

     

    

   

(1  t 1 t car x0et 0 t x)

D’où : ₀ ^l

 

1 n 1

x

dt x

t x

t  

 



pour tout ^x



^0;



^.

b) Soit x0 et 0 t x

on pose: ut² Alorst u et ^{t 0 u 0}₂

t x u x

  

   . Et

2 dt du

u

 Donc :

2

01 0 1 2

x t x u

t

du dt u

   u

 



2

0

1 2

1 1

x

udu







D’où : ²

0 0

1 2

1

1 1

x t x

tdt  tdt

 

 

pour tout^x



^0;



^.

c) soitx0 et 0 u x² On a : 0 u x²  0 u  x

1 1 1

1 1

1 1 1

u x

x u

    

  

 

Donc

2 2 2

0 0 0

1 1

1 1

x x x

du du du

x  u 



 





^{2 ln 1}

 

²

1

x x x x

x    

 Donc :

   

2

1 ln 1 1

2 1 2

x x

x x

 

 

 ; pour tout ^x



^0;



^.

2) D’après la question précédente on a ; pour tout x0 :

   

2

1 ln 1 1

2 1 2

x x

x x

 

 

 Comme :

 

0

1 1

lim 2 1 2

x^{ } x 



Alors :

 

0 2

ln 1 1

lim 2

x

x x

 x



 

 Partie II :

1) a) On a :

   

0 0

lim lim 1ln 1

x x

f x x x

  x

 

  

   

0

lim 1 ln 1 1

x

x x

 x





 

   

  (car

 

0

lim ln 1 1

x

x

 x



  ) Comme ^f

 

^{0 1}

Alors :

   

0

lim 0

x

f x f

   ; par suite f est continue à droite en 0.

b) Calculons

   

0

lim 0

x

f x f

 x



 .

On a :

     

0 0

1ln 1 1

lim 0 lim

x x

x x

f x f x

x x

 

 

  

 

   

0 2

1 ln 1 lim

x

x x x

 x



  



   

2 2

0

ln 1 ln 1 lim

x

x x x x

x x

 

  

 

   

 

   

0 2

ln 1 ln 1

lim 1 2

x

x x x

x x

 

  

 

   

 



(car

 

0

limln 1 1

x

x

 x



  et

 

0 2

ln 1 1

lim 2

x

x x

 x



 

 ) Donc f est dérivable à droite en 0 et

 

^{0 1}

d 2

f   ) c) On a :•) ^lim

 

^{lim 1ln 1}

 

x x

f x x x

  x

    

(Car lim ¹ 1

x

x

 x

  et ^{lim ln 1}

 

x x

   )

•)

 

^{1ln 1}

 

lim lim

x x

x x

f x x

x x

 

 



 

 

2 ln 1

lim 1 0

1

x

x x

x x



 

 

     

(car

1 2

lim 1

x

x

 x

   

 

  et

 

 

lim ln 1 0

1

x

x

 x

 

 )

Interprétation géométrique

La courbe

 

C admet une branche parabolique de direction l'axe des abscisses au voisinage de

2) a) La fonction

1 x x

x est dérivable sur



^0;



Et la fonction x ln 1



x



est dérivable sur



^0;



(comme composée de deux fonctions dérivables sur



^0;



^).

Donc la fonction f est dérivable sur



^0;



comme produit de deux fonctions dérivables sur



^0;



^;

et pour tout ^x



^0;



^{on a :}

 

^{x 1 ln 1}

 

^{x 1}



^{ln 1}

  

f x x x

x x

  

  

     

2

 

1 1 1

ln 1 1

x x

x x x

     



 

 

2

2

1 1

ln 1 ln 1

x x x

x x

x

   

 



b) D’après la question parte I)c) on a pour tout x0:

   

2

1 ln 1 1

2 1 2

x x

x x

 

 

 Donc : ⁰

 

¹

f x 2

  (car :



¹



⁰

2 1 x 

 )

d'où :^f

 

^{x 0.}

On conclut que f est strictement croissante sur



^0;



^.

c) f est continue strictement croissante sur



^0,



^{; donc :}

 



^0;

 ^{ }

^{0 ; lim}_x

^{ }

f f f x



 

   

^{ }



^1;



2) Construction de (C).

Partie III

1) a) D’après la question parte I)c) on a pour tout x0:

   

2

1 ln 1 1

2 1 2

x x

x x

 

 

 Donc : ⁰

 

¹

f x 2

 

b) g est dérivable sur



^0;



(comme somme de deux fonctions dérivables sur



^0;



; et pour tout



^0;



^{; on a :}g x

 

 f

 

x 1

Comme

 

¹

f x 2 Alors : ^f

 

^{x  1 0}

Donc : pour tout



^0;



^{; on a :g x}

 

^0

D’où g est strictement décroissante sur



^0;



; et comme g est continue sur



^0;



Alors :

    ^{   }

0

0; lim ; lim

x x

g g x _g x

 

 

   

•)

     

0 0

lim lim 1

x x

g x f x x

 

    

•)_x^lim_^{g x}

 

^_x^lim_



^{f x}

 

^x



 

lim 1

x

x f x

 x

 

    

  (Car

 

lim 0

x

f x

 x  ) donc: ^g

 

^{0;  }

  ^

^;1

^

^.

c) g est continue et strictement décroissant sur



^0;



; donc g est une bijection de



^0;



^vers

 



^0;

 ^

^;1

^

g    ; et Comme ^{0 }



^;1



^{Alors :}

 



^{  ! ;1}



^{/ g}

^{ }

^{ 0 Càd : f}

^{ }

^{ .}

Donc l’équation ^{f x}

 

^xadmet une solution unique  dans



^0;



2) a) Montrons par récurrence que :



^{ n IN}



^; un ⁰. * pour n=0 ; on a : u₀ aet ^a



^0;



^{, donc :} u0 0

 Soit nIN ; supposons que :u_n 0 et montrons que : u_n10. On a u_n 0 et f est strictement croissante sur



^0;

