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Série n° 7 exercices « Etude de fonction exponentielle » 2éme Bac SM
EXERCICE 1
Soit f la fonction définie sur par : f x
x ex1) Montrer que l’équation f x
0 admet une seule solution dans l’intervalle 1,1 e
2) Soit
un la suite définie par : u0 1,1e
et
n
:un1 eun a) Montrer que :
n
:un 1,1e
b) Montrer que :
n
:un1 ee1 un c) Déduire limun3) Pour tout n * , on pose :
1 n
n k
k
v u
Montrer que :
1 0 n
k k
u
vn e
et en déduire limvn EXERCICE 2
On considère les fonctionsch et sh définies par :
2
x x
e e
ch x
et
2
x x
e e
sh x
1) Montrer que :
x
:sh x'
ch x
et ch x'
sh x
puis donner le tableau de variation des fonctions ch et sh2) a) Montrer que :
x
:ch2
x sh2
x 1b) Montrer que :
a b, 2
:ch a b
ch a ch b
sh a sh b
etsh a b
sh a ch b
ch a sh b
puis déduire ch
2a et sh
2a en fonction de ch a
et sh a
3) a) Montrer que la fonction sh admet une fonction réciproque sh1 b) Montrer que sh1 est dérivable sur et que :
1
1 21 sh x
x
c) Montrer que :
x
:sh1
x ln
x 1x2
4) Soit f
la restriction de la fonction ch à . a) Montrer que fest bijective de vers
1,
.b) Montrer que f1 est dérivable sur
1,
et que :
1,
:
1
121
x f x
x
c) Montrer que :
x
1,
:
f1
x ln
x x21
www.guessmaths.co E-mail : abdelaliguessouma@gmail.com whatsapp : 0604488896 EXERCICE 3
soit f la fonction numérique définie sur par :
1
; 0
0 0
x
f x x x x f
C est la courbe de fdans un repère orthonormé
O i j , ,
1) Étudier la continuité de f à droite en 0
2) Étudier la dérivabilité de f à droite en 0 et interpréter graphiquement le résultat trouvé 3) Calculer lim
x f x
, puis étudier la branche infinie de la courbe
C en 4) Soit g la fonction définie sur
0,
par : g x
1 x lnxÉtudier les variations de g puis déduire le signe de g x
5) Montrer que :
0,
:
g x
2x f x f x
x
puis donner le tableau de variation de f.
6) construire la courbe
CEXERCICE 4 Partie A
Soit g la fonction définie sur par :
1 ; 0
0 1
e x
g x x
x g
1) Montrer que gest continue à droite en 0
2) Soit h la fonction définie sur par :
1 22 x x
h x x e a) Montrer que :
x
: 0h
x xb) En déduire que :
: 0
36
x h x x
c) En déduire que la fonction gest dérivable à droite en 0 Partie B
Soit f la fonction numérique définie sur par :
2
; 0
0 1
x x
e e
f x x
x f
1) Montrer que :
x *
: f
x 02) a-Vérifier que :
x
: f x
2g
2x g x
b- En déduire que fest dérivable à droite en 0 3) Donner le tableau de variation de f
4) Construire la courbe
C de f dans un repère orthonormé
O i j . , ,
EXERCICE 5
Soit n avec n2 et soit fn la fonction numérique définie sur par : n
n xf x x e n
Cn est la courbe de fndans un repère orthonormé
O i j . , ,
1 ) a) Calculer lim n
x f x
et lim n
x f x
www.guessmaths.co E-mail : abdelaliguessouma@gmail.com whatsapp : 0604488896 b) Étudier les branches infinies de la courbe
Cn2) Calculer fn
x pour tout x puis dresser le tableau de variation de fn 3) a) Montrer que l’équation fn
x 0 admet une seule solution n dans b) Montrer que : fn 1 0 n
c) Montrer que :
x
:ex x 1 , puis en déduire que fn
1 0.3) Montrer que : 1 n 1 n
4) Construire la courbe
Cn ( on prend n 0, 6 5) a-Montrer que :
1
12 : 1 1
1
n n
n
n n
n f ne e
n n
b- En déduire que :
n 2 :
fn1
n 0c-Montrer que la suite
n est convergente 6) a-Montrer que
21 1
2 : n n
n e
n n
b- déduire que :
ln 2ln
2 : n n n
n n n
c- calculer limn