bac tunisien 2004

- 1 - Exercice N°1

Soit (O,i, j,k) r r r

un repère orthonormé de l’espace et P le plan d’équation : x+ − + =y z 2 0 et le point ^{I 0, 1,1}

(

⁻

)

^.

1) a- Vérifier que le point I appartient à P.

b- Déterminer une représentation paramétrique de la droite D perpendiculaire à P en I.

c- SoitΩ(1,0,0). Vérifiant que Ω appartient à la droite D.

2) Soit C le cercle du plan P de centre I et de rayon 1 et S la sphère de centre Ω et qui coupe le plan P suivant le cercle C.

a- Montrer que la sphère S est de rayon 2.

b- Déterminer une équation cartésienne de S.

3) Soit m un réel et S_m l’ensemble de points M(x,y,z)tel que : x²+y²+z²+mx+(m+2)y (m− +2)z+2m 1 0+ =

a- Montrer que pour tout réel m, S_m est une sphère dont on précisera les coordonnées du centre Im et le rayon

b- Montrer que, lorsque m varie dans , I_mdécrit la droite D.

Exercice N°2

On considère la suite réelle (U )_n définie sur par : ⁰

n 1 n

U 3 2

U ₊ 1 U 1 pour tout n de

 =



 = + −



1) a- Montrer par récurrence que pour tout n de , 1 U< _n <2.

b- Montrer que(U )_n est croissante.

c- En déduire que(U )_n converge vers une limite que l’on déterminera.

2) Soit (V )_n la suite réelle définie sur par : V_n =Log(U_n−1) a- Montrer que(V )_n est une suite géométrique de raison 1

2. b- Déterminer _n

nlim V

→+∞ . c- Retrouver _n

nlim U

→+∞

Problème

Soit f une fonction définie et dérivable sur ^\

{ }

^−1,1 et C la courbe représentative dans un repère orthonormé(o,i, j)

r r .

Le graphique ci-joint représente une partie de la courbe C et la droite D d’équation x =y.

La partie représentée de C admet une tangente horizontale en O et deux asymptotes d’équation respectives : x= −1 et x =1

I- Dans cette partie, utiliser le graphique pour répondre aux questions.

1) a- Déterminer

xlim f(x) et lim f(x)1 x 1

→− → .

NOUVEAU REGIME

REPUBLIQUE TUNISIENNE

MINISTAIRE DE L’EDUCATION ET DE LA FORMATION

EXAMEN DU BACCALAUREAT SESSION PRINCIPALE 2004

SESSION PRINCIPALE SECTION : Science Expérimentale

EPREUVE : MATHEMATIQUES DUREE :2h COEFFICIENT : 2

- 2 - b- Dresser le tableau de variation de f dans

[

^−2,2

]

. (On ne recherche pas à déterminer f(2) ni f(-2)).

c- Donner le nombre de solution de l’équation f (x) = x dans

[

^−2,2

]

^.

On désigne parαcelle qui appartient à

] [

^0,1.

2) Soit g la restriction de f à

[ [

^{0,1 .}

a- Vérifier que g réalise une bijection de

[ [

^0,1sur un intervalle j que l’on déterminera b- Soit C 'la courbe représentative de la fonction réciproque de g .

Tracer C ' dans le repère(o,i, j) r r

.

II- On suppose qu’il existe deux réels a et b tels que pour tout x de

{

^{−1, 1}

}

^{on a}

f(x) ax b Log x 1 x 1

= + + +

−

1) a- Montrer que ₂2 f '(x) a .

x 1

= − − b- Montrer que a= −2 et b=0

2) On suppose dans la suite du problème x 1 f(x) 2x Log

x 1

= − + +

− a- Montrer que f est impaire.

b- Dresser le tableau de variation de f.

3) Montrer que la droite ∆ d’équation y= −2x est une asymptote à la courbe C.

4) Tracer ∆ et compléter le graphique donné pour obtenir la courbe C.

5) Soit A( )α une mesure de la partie du plan limitée par les courbes C et C’ et les droites d’équations respectives :x=0 et x = α

Montrer que A( )α = − α −3 ² 2Log(1− α²)

- 3 -