fiche synthèse

TP MATHEMATIQUES TRANSFORMEE DE LAPLACE BTS2GO-2008-2009 Exercice 1

U est la fonction échelon unité définie de _ dans _ par : ^ ^{( ) 0}_{( ) 1}^t_t ^ ^{si t}_{si t}^⁰₀ U

U .

La réponse ^{y t( )}d’un système soumis à une excitation ^{x t( )}est telle que : ^{( ) 1 ( )} 1 2

p p

e e

Y p X p

p p

 



   

    

Le signal de sortie ^y est tel que : ^{Y p( ) X p( )H p( )}où X et Y sont les transformées de Laplace de x et de y. On rappelle que la fonction _ue^uait une approximation affine au voisinage de 0 à l’ordre 1 de la forme : e^u 1 u u u( )avec _u^{lim ( ) 0}₀ ^u

 

Déterminer ,en fonction de  , la limite , quand ^ttend vers ^, de la réponse ^{y t( )}, lorsque le système est Soumis à l’excitation ^{x t( )U ( )t} ( échelon unité ). On pourra appliquer le théorème de la valeur finale Exercice 2

U est la fonction échelon unité définie de _ dans _ par : ^ ^{( ) 0}_{( ) 1}^t_t ^ ^{si t}_{si t}^⁰₀ U

U .

La réponse ^{y t( )}d’un système soumis à une excitation ^{x t( )}est telle que : ^{Y p( )X p( )H p( )} X et Y sont les transformées de Laplace de x et de y et Hla fonction de transfert du système . Dans cet exercice , ₂ 1

( ) 1

H p p

p p

 

  et le signal d’entrée est la fonction rampe définie par : ^{x t( )tU ( )t} . 1°. Calculer ^{Y p( )}.En déduire 0

0

(0 ) lim ( )

tt

y ^ y t



 . On pourra appliquer le théorème de la valeur initiale . 2°. Déterminer la transformée de Laplace Y p1( )de la dérivée ^y'de ^y.

En déduire 0 0

'(0 ) lim '( )

tt

y ^ y t



 . Puis calculer ⁰

0

lim "( )

tt

 y t

 en utilisant la méthode que précédemment.

Exercice 3

On considère le système «entrée-sortie» représenté ci-contre :

e(t) Système s(t)

On note

s

le signal de sortie associé au signal d’entrée e. Les fonctions

s

et e sont des fonctions causales, c’est à dire qu’elles sont nulles pour t0. On admet que les fonctions

s

et e admettent des transformées de Laplace, notées respectivement S et E.

La fonction de transfert H du système est définie par : ^{S p( )H p( )E p( )}.

Dans cet exercice, le filtre considéré a une fonction de transfert H définie sur ^_^0;_ par ^{( )} ₂ 1 H p p

p p

   . Première partie : recherche du lieu de transfert

On note ^j le nombre complexe de module 1 et d’argument / 2. 1°. Soit un nombre réel strictement positif .Montrer que

( ) 1 1 1 H j

j



 

     .

2°. b. Le « lieu de transfert » du filtre est la courbe décrite, dans un plan rapporté à un repère ( ; , )O i j  , par le point M d’affixe^Z ^{H j(} ⁾lorsquedécrit l’intervalle ^[0;[. Soit A le point d’affixe 1

2. Calculer 1

( )

H j 2 .En déduire que le « lieu de transfert » du filtre est inclus dans un cercle C dont on précisera le centre et le rayon .Représenter graphiquement les ensembles C1et C .

Deuxième partie : réponse du filtre à une excitation particulière

La fonction échelon unité U est définie de _ dans _ par : ^ ^{( ) 0}_{( ) 1}^t_t ^ ^{si t}_{si t}^⁰₀ U

U .

Le signal d’entrée est un créneau défini par : ^{( ) 1 [0;1[}

0 [1; [

e t si t si t



 

  



1°. Donner la représentation graphique de la fonction ^edans un repère orthogonal .Vérifier à l’aide d’un tableau que ^{e t( )U ( )t U (t1)}. Donner la transformée de Laplace de la fonction ^e

2°. Déterminer la transformée de Laplace ^{S p( )}du signal de sortie puis l’expression de ^{s t( )}en remarquant que ^{p2  p 1}



^{p1/ 2}



^{23/ 4}

Exercice 4

^tdésigne la variable réelle positive , on se propose de chercher la solution ^{( ; )x y} du système différentiel ^^{x t}_{y t}^{'( )}_{'( ) 2 ( )}^^{x t( ) 2 ( )}_{x t}^^{y t}_{y t( )} vérifiant : x(0 ) 2^  et y(0 ) 4^ 

1°.Première méthode : utilisation de la transformation de Laplace

a. Déterminer les réels ^{a b c et d, ,} tels que : _(p²⁽_3)(^p_p³⁾_1)^ _p^a_3^ _p^b_1 et _(p3)(^4p_p1)^ _p^c_3^ _p^d_1. b. On suppose que les fonctions ^xet ^yadmettent des transformées de Laplace notées respectivement ^{X p( )} et ^{Y p( )} .Grâce à la transformation de Laplace , trouver la solution du système vérifiant le conditions initiales imposées

2°. Résolution d’une équation différentielle du second ordre

a. Montrer que la solution ^t ^{x t( )} cherchée satisfait à l’équation différentielle : ( ) : "( ) 2 '( ) 3 ( ) 0E x t  x t  x t 

b. Résoudre l’équation différentielle^{( )E} . En déduire la solution du système vérifiant le conditions initiales imposées

Exercice 5

On considère le circuit ci-dessus et on se propose d’étudier en fonction du temps ^t( exprimé en secondes ), l’intensité du courant ^{i t( )}( exprimée en Ampères ) suivant la force électromotrice ^{f t( )}( exprimée en Volts) appliquée aux bornes.

On sait que l’équation différentielle régissant le circuit est : ^{( ) :1} '( ) 10 ( ) ( ) E 2i t  i t  f t 1.Première partie : on suppose que ^{f t( ) 5}

a. Déterminer la solution ^{i t}₁^{( )}de l’équation ^{( ) :E} vérifiant ⁱ₁^{(0) 0}

b. Etudier le sens de variation de la fonction ⁱ₁sur l’intervalle ^[0;[. Représenter graphiquement ⁱ₁dans un repère orthonormal pour ^{0 t 0,5}( on prendra pour unité graphique 20 cm )

2. deuxième partie

On suppose maintenant que la force électromotrice^{f t( )}est définie par

0 ] ;0[

( ) 5 [0;0,5[

0 [0,5; [

si t f t si t si t

  



 

  



a. Montrer que, pour tout ^t, on a : ^{f t( ) 5}



^{U ( )t U (t1/ 2)}



, oùU représente la fonction échelon unité En déduire la transformée de Laplace de ^f

b. Déterminer les réels ^{a et b}tels que pour tout réel ^p0, on ait : _{p p(} ¹⁰_20)^{ a}_{p p}^b₂₀ En déduire les originaux de Laplace des fonctions définies par : 1

( ) 10

( 20) F p  p p

 et ₂^{( ) 10 / 2} ( 20)

e p

F p p p

 

 c. Déterminer la solution i t₂( ) de l’équation différentielle ^{( ) :E} vérifiant ⁱ₂^{(0) 0} en utilisant la transformation de Laplace

d. Montrer que cette solution peut s’écrire :

 

1

2 10 20

( ) [0;0,5[

( ) 1

1 [0,5; [

2

t

i t si t

i t e e^ si t

 

 

  



Exercice 6

On se propose de déterminer la fonction ^f de la variable réelle ^t, définie sur _ ,qui vérifie : a. ^{f t( ) 0} pour t0 ;

b. ^f est deux fois dérivable sur ^[0;[ ;

c. f t"( ) 2 '( ) 5 ( ) f t  f t e^tsin(3 )t pour tout ^{t[0;[} ; d. f(0 ) 0^  et f '(0 ) 0^  .

1. première partie

a. Résoudre , sur ^[0;[, l’équation différentielle : (E0) : "( ) 2 '( ) 5 ( ) 0y t  y t  y t 

b. Déterminer le réel ktel que la fonction hdéfinie par : h t( )ke^tsin(3 )t soit solution sur ^[0;[, de l’équation différentielle ( ) : "( ) 2 '( ) 5 ( )E y t  y t  y t e^tsin(3 )t .

c. Donner la solution générale de l’équation différentielle ^{( )E} . d. Déduire des questions précédentes la fonction ^f cherchée . 2. Deuxième partie

On admet que la fonction^f et ses dérivées ont des transformées de Laplace , et l’on note ^{F p( )L ( ( ))f t} a. Préciser les transformées de Laplace de :

 la fonction f '  la fonction f"

 la fonction ^g définie sur _ par g t( )e^tsin(3 )tU ( )t , oùU représente la fonction échelon unité b. Déterminer la transformée Fde ^f

c. Déterminer les réels ^{a et b}tels que pour tout réel ^p0, on ait :

₂ ³ _{2 2 2}

[( 1) 4][( 1) 9] ( 1) 4 ( 1) 9

a b

p p  p  p

        .Déterminer alors la fonction ^f .

Exercice 2006

On considère le système «entrée-sortie» représenté ci-contre :

e(t) Système s(t)

On note e t( )le signal d’entrée et s t( )le signal de sortie . Un système du 1^er ordre est un système régi par une équation différentielle du type : ( ) :E T s t'( )s t( )K e t( ), où T et K sont des constantes réelles positives On note pE p( )L ( ( ))e t et pS p( )L ( ( ))s t où L est la transformation de Laplace .

La fonction de transfert Hd’un système est définie par :S p( )H p( )E p( ). Partie A

1°. Recherche de la fonction de transfert

En appliquant la transformation de Laplace L aux deux membres de l’équation différentielle^{( )E} et en supposant que s(0 ) 0^  ( le système est initialement au repos , montrer que ( )

1 H p K

 Tp

 Dans le reste de l’exercice , on prendra K T 1

2°. Recherche du signal de sortie dans un cas particulier On suppose que le signal d’entrée est ^{e t( ) 2 U (t3)}

a ) Représenter sur la feuille de copie la fonction e dans un repère orthogonal pour ^{t [ 1;6]}

b) Calculer ^{E p( )}

c) Montrer que 1 1 ³

( ) 2

1

S p e p

p p

  

    

d) En déduire l’expression du signal de sortie s t( )L ^1( ( ))S p Partie B

On se propose dans cette question de déterminer le « lieu de transfert » associé à la fonction de transfert H.On note ^jle nombre complexe de module 1 et d’argument / 2et on pose ^p ^j avec  ^{]0; [}

On a alors : 1

( ) H j 1

 j

 



millimétré avec un repère orthonormal ( ; , )O i j 

d’unité graphique cinq centimètres

On appelle ^M_le point d’affixe ^z ^{1 j}et ^N_le point d’affixe^{H j(} ⁾pour tout  ^{]0; [} On lit sur l’écran d’une calculatrice que les valeurs de^{H j(} ⁾pour 3

  4 . 1 et  3

3 16 12

4 25 25

H j   j

  ;

 

^{1 1}

H j  2 2 j ; ^H

 

^{3j  1}_{4 4}^{3 j.}

Placer sur une figure les points ^M_et ^N_ pour 3

 4,1 puis  3

b) Tracer sur la figure du 3°a ,l’ensemble C1des points ^M_du planP, d’affixe ^z ^{1 j} quanddécrit l’intervalle ^[0;[.

c) Soit A le point d’affixe 1 2. Calculer 1

( )

H j 2 .En déduire que le « lieu de transfert » du filtre est inclus dans un demi- cercle C dont on précisera le centre et le rayon .

Représenter graphiquement sur la figure du 3°a l’ensembles C décrit par le point^N_ lorsquedécrit l’intervalle ^[0;[.

.

0 1

1

x y

A

N1/₂ N3/₄ N

M₁ M₂ M₃

O

N' N'1/₂N'3/₄

Exercice 1

( ) 1 ( )

1 2

p p

e e

Y p X p

p p

 



   

     , comme ^x^{x t( )} est la fonction échelon unité , on a :

2 2 2

(1 ) 1 (1 ) 1 2 1 (1 ) 3 (1 ) 3

( ) 1

1 2 1 2 1 2 1 2

p p p p p p p p

Y p p p p p p p p p

        

   

       

       

             

on applique le théorème de la valeur finale ; on a : ^lim_p0^{pF p( )}_t^{lim ( )}_ ^{f t} donc ^lim_p0^{pY p( )}_t^{lim ( )}_^{y t} :

0 0 0

(1 ) 3 3

lim ( ) lim lim (1 )

1 2 1 2

p p p

pY p p p p

p p p

  

         

   

             

or ^lim(1_p0 ^{  p) 1} et ^lim_p0^_{1 2} ^3 _p^^{ 3 lim}_p0^_{1 2} ¹ _p^^{ 3} , donc ^lim_p0^{pY p( ) 3 }d’où _t^{lim ( ) 3}_^{y t  } Exercice 2

1. ^{Y p( )X p( )H p( )} ; ₂ 1

( ) 1

H p p

p p

 

  x t( )tU ( )t donc 1₂ ( ( ))x t (t ( ))t

  p

L L U

et ^{( ) 1}_{2 2} ¹ 1 Y p p

p p p

  

  lim ( ) (0 )

p pY p y ^

  , donc

_{2 2} 1 1 ₂ 1 ₃ 1₂

lim ( ) lim lim lim lim 0

1 1

p p p p p

p p p p

pY p p p p p p p p p

    

         

              

y(0 ) 0^  .

Y p₁( )L ( '( ))y t  pY p( )y(0 )^ , donc 1 2

1 1

( ) ( )

1 Y p pY p p

p p p

   

  lim 1( ) '(0 )

p pY p y ^

  , donc

1 2 2 2

1 1 1

lim ( ) lim lim lim lim 0

1 1

p p p p p

p p p p

pY p p p p p p p p

    

         

               . y'(0 ) 0^  Y p₂( )L ( ''( ))y t  p Y p² ( )py'(0 )^ y(0 )^  p Y p² ( ), donc 2 ² 2

( ) ( ) 1

1 Y p p Y p p

p p

  

  lim 2( ) ''(0 )

p pY p y ^

  , donc

2

2 2 2

( 1)

lim ( ) lim lim 1

1

p p p

p p p

pY p p p p

  

 

  

       . y''(0 ) 1^  Exercice 3

Partie 1

1.

 

²

1 1

( )

1 1

1 1 1

H j j

j j j j

j

 

     

  

 

       

, puisque 1 j j   .

Donc 1

( )

1 ( )

H j jf

 

 , avec 1

( ) f  

 

2. la fonction ^f , définie sur l’intervalle ^{]0 ;[} par 1 ( )

f  

  , est dérivable sur ^{]0 ;[}

et 1₂ ²₂1

'( ) 1 0

f  

 

     .la fonction ^f est donc strictement croissante sur ^{]0 ;[}.

_^lim₀ ⁰

  et

0

lim 1

^   , donc _^{lim ( )}₀ ^f 

  .

_^lim 

   et 1

lim 0

^  , donc _^{lim f( )}

  .

 0 

'( ) f 

( ) f 

. + 



3a. lorsque  décrit l’intervalle ^{]0 ;[} ; ^Z₁ ^{1 jf( )} a une partie réelle fixe et égale à 1, sa partie imaginaire^{f( )} parcourt _ ..

Donc l’ensemble C1des points m1du planP, d’affixe Z1 1 jf( ) lorsquedécrit l’intervalle ^[0;[ est la droite d’équation :x1.

3b.

1 1

2 1 1

1 1 1 1 1

( )

1 1 1

2 1 2 2 1 21

2 2

j j

H j

j j j

 

 

   

  

   

        

    

     

           

, ¹

1

1 1

( )

2 2

H j Z

   Z

donc ^{1 1}

1 1

1 1 1

( )

2 2 2 2

Z Z

H j   Z  Z  , on sait que l’ensemble du point M d’affixe Ztel que ^{Z a r} est le cercle C de centre A d’affixe a et de rayon ^r.donc l’ensemble du point M d’affixe^Z ^{H j(} ⁾ est le cercle C de centre A d’affixe 1

2et de rayon ¹ r2. Partie 2

2. ^{e t( )U ( )t U (t1)}. 1

( ( )) ( ( ) ( 1)) ( ( )) ( ( 1)) e ^p

e t t t t t

p p

        

L L U U L U L U

2 2 2 2 2

1 1

( ) ( ) ( )

1 1 1 ( 1/ 2) 3/ 4 ( 1/ 2 3/ 4

1

)

p p p

S p H p E p p

p p p p

e e e

p p p p

p p

  

 

                  

Or ( sin( )) _{2 2}

( )

e at t

p a

 



 

 

L ( formulaire ) et ( ^{( )}sin( ( ))) _{2 2}

( )

a t p

e t e

p a

    



    

 

L ( théorème du retard ) , donc on obtient

1 1 (1/ 2)

2 2

1 2 3 / 2 2 3

sin 2

3 3

( 1/ 2) 3/ 4 ( 1/ 2) 3 ( )

/ 4

e t t

p t

p

        

    

 

         

     

L L U

1 1 (1/ 2)( 1)

2 2

2 3 / 2 2 3

sin ( 1) ( 1)

3 3 2

( 1/ 2) 3/ 4 ( 1/ 2) 3/ 4

p t

e p

e e t t

p p

 

         

   

     

         

  U

L L

(1/ 2) (1/ 2)( 1)

2 3 2 3

( ) sin () sin ( 1) ( 1)

2 2

3 3

t t

s t e^  t t e^{ }  t  t

  U    U  . Exercice 3

1._(p²⁽_3)(^p_p³⁾_1)^ _p^a_3^ _p^b_1^{a p(}_(p^{ }_¹⁾₃₎₍^{b p}_p⁽_1)^{3) (a b p}₍^_p⁾₃₎₍^_p^(a_^₁₎^{3 )b} , donc 2 4 4

3 6 2

a b b

a b a b

   

 

     

 

1 3 b a

  

   et _(p3)(^4p_p1)^ _p^c_3^ _p^d_1^{c p(}_(p^{ }_¹⁾₃₎₍^{d p}_p⁽_1)^{3)(c d p c}₍^_p⁾₃₎₍^{ }_p1)^3d .donc 4

3 0

c d c d

  

  



4 4

3 d

c d

 

  

1 3 d c

 

   donc on a : ^{2( 3) 3 1}

( 3)( 1) 3 1

p

p p p p

  

    et ^{4 3 1}

( 3)( 1) 3 1

p

p p  p  p

    .

2. ^{'( ) ( ) 2 ( ) ( ) (0 ) ( ) 2 ( ) ( )} ( ) 2 ( ) 2 ( 1) ( ) 2 ( ) 2 '( ) 2 ( ) ( ) ( ) (0 ) 2 ( ) ( ) ( ) 2 ( ) ( ) 4 ( 1) ( ) 2 ( ) 4

x t x t y t pX p x X p Y p pX p X p Y p p X p Y p

y t x t y t pY p y X p Y p pY p X p Y p p Y p X p





           

   

              

   

( 1) ( ) 2 ( ) 2 ( 1) ( 1)2 ( ) 2( 1) ( ) 2( 1)

( 1) ( ) 2 ( ) 4 2 2( 1) ( ) 4 ( ) 8

p X p Y p p p X p p Y p p

p Y p X p p Y p X p

     

      

        

  , on obtient

[(p1)24] ( ) 2(X p  p 1) 8 [(p 1 2)(p 1 2)] ( ) 2(X p  p 3) [(p3)(p1)] ( ) 2(X p  p3)

D’où ^{X p( )}_(p²⁽_3)(^p_p³⁾_1).

2

2( 1) ( ) 4 ( ) 4 ( 1) ( ) 2 ( ) 2 2

( 1) ( ) 2 ( ) 4 ( 1) ( 1) ( ) 2( 1) ( ) 4( 1)

p X p Y p

p X p Y p

p Y p X p p p Y p p X p p

  

    

 

           

  , on obtient

[(p1)24] ( ) 4(Y p  p 1) 4 [(p3)(p1)] ( ) 4X p  p ; D’où ^{X p( )}_(p3)(^4p_p1)

 

1 1 3 1 1 1 1 1

( ) 3

3 1 3 1

X p p p p p

         

           

L L L L , or on sait que 1

(e ^at ( ))t

p a

 

L U  On applique la formule avec a 3 et a1 , on obtient ainsi : ^{x t( )}



^3e3tet



^{U ( )t .}

 

1 1 3 1 1 1 1 1

( ) 3

3 1 3 1

Y p p p p p

         

           

L L L L , on obtient ainsi : ^{y t( )}



^{3e3t et}



^{U ( )t .}

2. ^{'( ) ( ) 2 ( )} '( ) 2 ( ) ( ) x t x t y t y t x t y t

 

  

 , on dérive la première équation par rapport à t , on obtient : x t^{''( )}x t'( ) 2 '( ) y t Puis on remplace ^{y t'( )}et ^{y t( )}par leur expression en fonction de ^{x t'( )}et ^{x t( )}, on obtient :

''( ) '( ) 4 ( ) 2 ( )

x t x t  x t  y t , puis x t^{''( )}x t'( ) 4 ( ) 2 ( ) x t  y t , ^{2 ( )y t x t'( )x t( )}, on déduit ''( ) '( ) 4 ( ) '( ) ( ) 2 '( ) 3 ( )

x t x t  x t x t x t  x t  x t et enfin x t''( ) 2 '( ) 3 ( ) 0 x t  x t  qui a pour solution

1 2

1 2

( ) ^{rt r t}

x t k e k e . Pour résoudre cette équation différentielle, on cherche à résoudre son polynôme caractéristique qui est sous la forme _r²_{2r 3 0}, on trouve r13 et r2  1, donc x t( )k e₁ ^3tk e₂ ^t

1 3

3 3

1 2

1 2 2

2 ( )y t x t'( )x t( ) 3 k e ^t k e^t k e ^t k e^t 2k e ^t 2k e^t, d’où y t( )k e₁ ^3t k e₂ ^t On applique les conditions initiales et on a :

1

1 2 1 2

1

1 2

2 2

(

(0) 4

3 1

0) 2

y k k k

x k k k

k k et k

k

   

 

        

 

 

D’où x t( ) 3 e^3t e^t et y t( ) 3 e^3t e^t. Exercice 5

1.^{( ) :1} '( ) 10 ( ) ( )

E 2i t  i t  f t soit ^{( ) :1} '( ) 10 ( ) 5 E 2i t  i t  ⁽ ₀^{) :1} '( ) 10 ( ) 0

E 2i t  i t  une solution homogène est de la forme i t_H( )ke^20t. On cherche une solution particulière 1

( ) 2

i tP  qui vérifie l’équation différentielle ^{( )E} . On obtient donc la solution générale ₁ 1 ²⁰

( ) 2

i t  ke^ t, on sait que i1(0) 0 ,d’où 1

k 2 et ^{i t1( )1}₂



^1e20t



2.



^{f t( )}



⁵



^{( )t ( 1/ 2)t}



⁵



^{( )t}



⁵



^{( 1/ 2)t}



^{5 5e p/ 2}

p p

        

L L U U L U L U

3. _{p p(} ¹⁰_20)^{ a}_{p p}^b₂₀^{ a p(}_{p p(}^20)_20)^{bp (a b p}_{p p}^₍ ⁾_20)^20a, d’où 1

a2 et 1

b 2. _{p p(} ¹⁰_20)^{1/ 2}_p ^ _p^{1/ 2}_20. 1

( ) 10

( 20) F p  p p

 : 1



1



1 1 1 1

( )

) 2 2 2

( 0

f t F p

p p

    

     

L L  L  . ₁ 1 1 ²⁰

( ) ( )

2 2

( ) t e ^t

f t  U  ^ U t

/ 2 2

( ) 10

( 20) e p

F p p p

 

 ^{f t2( ) }



^{F p2( )}



^{ }_{ p p}¹⁰₍^e_^p₂₀₎^{/ 2 }_^{ }



^{F p e1( ) p/ 2}



^{ f t1( 1/ 2) ( 1/ 2t )}

 

L L L U

Donc _{2 1} 1 1 ^{20( 1/ 2)}

( 1/ 2) ( 1/ 2) ( 1/ 2) ( 1/ 2

( )

2 2

) f t t t ^t

t e t

f   U   U   ^{ } U 

4.^{( ) : 1} '( ) 10 ( )



( )



E 2i t  i t  f t

 

L L ^{( ) :1}



^{'( )}



¹⁰



^{10 ( )}

 

^{( )}



E 2L i t  L i t L f t ^{( ) :1 ( ) 10 ( ) 5 5 / 2}

2

E pI p I p e p

p p

    ^{( ) : (1 20) ( ) 5 5 / 2}

2

E p I p e p

p p

     ^{I p( )} _{p p(} ¹⁰_20)



^{1ep/ 2}



^{( ) 1/ 2 1/ 2 1/ 2 1/ 2 / 2}

20 20

I p e p

p p p p

    

         i t2( )L ^



I p( )



L ^



F p1( )



L ^



F p2( )



 f t1( ) f t2( )

Donc ₂ 1 1 ²⁰ 1 1 ^{20( 1/ 2)}

( ) ( ) ( 1/ 2) ( 1

( / 2)

2 2 2 2

) t e ^t t t e ^t

i t  U  ^ U  U   ^{ } U t