Université du Québec en Outaouais

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Université du Québec en Outaouais

FIN6083

« DÉCOMPOSITION HISTORIQUE DE L’INDICE DU S&P500 : L’APPROCHE DE COCHRANE (1994) »

Présenté à :

Professeur David Tessier, Ph. D.

Étudiant :

Mamadou Oury Diallo

15 Février 2016

MÉMOIRE

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SOMMAIRE

Introduction ... 4

Chapitre I : Revue de littérature ... 6

Chapitre II - Les données ... 13

A) L’échantillon allant de Janvier 1901 à Décembre 1995 ... 13

1-Le cours du S&P500 (SPX) ... 13

2-Les dividendes du S&P500 ... 14

3-Le ratio (Dividendes/Prix) du S&P500 ... 15

B) L’échantillon allant de Janvier 1901 à Juin 2015 ... 17

1-Le cours du S&P500 (SPX) ... 17

2-Les dividendes du S&P500 ... 18

3-Le ratio (Dividendes/Prix) du S&P500 ... 19

Chapitre III - La Méthodologie ... 21

A) L’échantillon allant de Janvier 1901 à Décembre 1995 ... 21

1-La stationnarité des variables ... 21

2-La Cointégration des variables du SPX ... 24

B) L’échantillon allant de Janvier 1901 à Juin 2015 ... 25

1-La stationnarité des variables ... 26

2-La Cointégration des variables du SPX ... 29

C) La spécification des modèles ... 30

1-L’échantillon allant de janvier 1901 à Décembre 1999 ... 31

2-L’échantillon allant de Janvier 1901 à Juin 2015 ... 40

Chapitre IV - La décomposition de l’indice du S&P500 ... 49

A) Les fonctions de réponse impulsionnelle ... 49

1-L’échantillon allant de Janvier 1901 à Décembre 1995 ... 49

B) La décomposition de la variance ... 52

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C) La décomposition de Beveridge-Nelson ... 55

Conclusion ... 64

Bibliographie ... 66

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Introduction

Depuis Bachelier (1900), l’étude du comportement du prix des actifs n’a jamais cessé de faire l’objet d’une grande attention dans la littérature en finance. En effet, en introduisant les probabilités et les mouvements browniens pour étudier le comportement du prix des actifs, non seulement Louis Bachelier arriva à résoudre la plupart des

problèmes auxquels conduit l’étude de la spéculation sur les marchés financiers, mais de plus, il arrivera à la conclusion que le marché, à son insu, obéit à une loi qui le domine : c’est la loi de probabilité. Louis Bachelier venait alors d’ouvrir la voie à un domaine d’étude qui allait devenir l’un des plus denses en finance. Cependant, il a fallu attendre l’arrivée des premiers ordinateurs à grande capacité de calcul vers 1945 pour que ce domaine de la recherche en finance connaissance des avancées remarquables.

Tout au long de ce mémoire, nous dévoilons plusieurs méthodes d’analyse quantitative du comportement du prix des actifs. Parmi ces différentes méthodes, nous avons retenu celle employée dans Cochrane (1994). Dans Cochrane (1994), l’auteur définit la stationnarité du ratio (Dividendes Prix⁄ ) comme étant une conséquence naturelle de la relation de cointégration qui existe entre le prix des actifs et leurs

dividendes. Il rajoute ce ratio en niveau dans ses modèles VAR bi-varié et à correction d’erreurs pour parvenir à décomposer le prix des actifs financiers. Suite à ses

opérations de décomposition, John H. Cochrane en arrive ainsi à la conclusion que 57% de la variation du cours des actifs est provoquée par des chocs transitoires. Dans nos travaux, si nous avons retenu la méthodologie employée dans Cochrane (1994), cependant, nous avons choisi de travailler sur deux échantillons différents : le premier allant de Janvier 1901 à Décembre 1995; et le second allant de Janvier 1901 à Juin 2005. Sur le premier échantillon, comme dans Cochrane (1994), nous avons trouvé que le ratio (Dividendes Prix⁄ ) est stationnaire en niveau. Sur le second échantillon, ce ratio est intégré d’ordre 1. Nous sommes arrivés à une spécification VECM(12,2) et à un modèle ARMA(8,7) sur le premier échantillon. Quant au second échantillon, nous en sommes arrivés à une spécification VECM(12,2) et à un modèle ARMA(6,8). Nous avons soumis nos différents modèles à trois méthodes de décomposition : les fonctions de « réponse impulsionnelle », la décomposition de la variance et la décomposition de

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5 Beveridge-Nelson. Ces trois opérations de décomposition que nous avons employé donnent fondamentalement les mêmes résultats sur les deux échantillons. Les résultats de nos opérations de « réponses impulsionnelles » sont identiques à ceux de Cochrane (1994). Quant aux opérations de décomposition de la variance, nos résultats à moyen terme se rapprochent un peu de ceux de Lee (1998), et Gallagher & Taylor (2002).

Quant à Cochrane (1994) qui était arrivé à la conclusion que les chocs transitoires (Prix) comptent pour 57% dans la fluctuation du cours des actifs, la différence entre ses résultats et les nôtres tiennent au fait qu’il a travaillé avec des données annuelles alors que nous avons travaillé avec des données mensuelles beaucoup plus volatiles. De même, Dupuis et Tessier (2003) sont arrivés à la conclusion que, à court terme, 70%

des fluctuations trimestrielles du prix des actifs sont attribuables à des chocs

transitoires. Ce résultat est très proche de nos résultats sur le court terme qui révèlent que 79,89% à 82,84% de la variance du cours du S&P500 est provoquée par des chocs transitoires. À l’aune de cette analyse comparative, et en toile de fond de nos travaux, il y a une idée qui n’a pas été remise en cause : « il existe, à court et moyen terme, une composante transitoire importante dans le cours des actifs qui n’est pas expliquée par leurs fondamentaux ».

Ce mémoire est décomposé en 5 principales parties. Le premier chapitre aborde la revue de littérature sur la décomposition du prix des actifs. Le deuxième chapitre concerne la collecte et le traitement des données. Le troisième chapitre porte sur la définition de la méthodologie. Le quatrième chapitre porte sur l’application des

différentes techniques de décomposition. Et le cinquième chapitre conclu le mémoire.

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Chapitre I : Revue de littérature

À partir de 1970, l’étude du comportement du prix des actifs fut dominée par une première pensée qui fonde toute sa quintessence sur des tests de vérification empirique de l’efficience des marchés financiers. L’efficience des marchés signifie que le prix des actifs équivaut en tout temps au « juste prix » dans la mesure où les agents sont rationnels et réagissent quasi-immédiatement aux nouvelles informations. En conséquence, sous l’hypothèse de l’efficience des marchés, il n’y aurait aucune

possibilité d’arbitrage sur les marchés car le prix des actifs suit une marche aléatoire. Il existe trois différents types d’efficience des marchés : « l’efficience faible » (lorsque le prix des actifs ne reflète que les informations passées), « l’efficience semi-forte » (lorsque le prix des actifs réagit instantanément à l’annonce d’informations dès que celles-ci deviennent publiques) et « l’efficience forte » (lorsque toutes les informations non publiques sont reflétées dans le prix des actifs). Alors que les contours théoriques de cette première pensée furent tracés auparavant par plusieurs auteurs, cependant, c’est Eugène Fama qui va lui donner une substance empiriquement établie et reconnue.

En effet, dans Fama (1970), pour vérifier si les marchés financiers sont effectivement efficients, l’auteur passe en revue trois types de tests : les tests de « forme faible », les tests de « forme semi-forte » et les tests de « forme forte ». Suites aux résultats de ces tests, Eugène Fama en conclue de manière empiriquement évidente le caractère efficient des marchés financiers. Les adeptes de cette première pensée en déduisent donc qu’il n’existe aucune possibilité d’arbitrage sur les marchés car les prix des actifs suivent une marche aléatoire. Cette première pensée fera son chemin et connaîtra un succès considérable jusqu’au milieu des années 1980, lorsque les critiques à son encontre deviendront de plus en plus convaincantes. En effet, contrairement à la première pensée, de plus en plus de chercheurs trouvent que la volatilité des actifs financiers est beaucoup trop forte pour ne s’expliquer que par un comportement rationnel des agents. Cette nouvelle pensée fonde quant-à-elle toute sa quintessence sur l’idée que les prix des actifs financiers possèdent en eux-mêmes une « composante permanente » déterminée par ses fondamentaux, et une « composante transitoire » qui a tendance, après s’en être écartée, à retomber progressivement vers sa valeur

fondamentale. Il y aurait donc la possibilité pour les investisseurs de prédire le

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7 comportement du prix des actifs financiers et d’en tirer avantage. L’un des maîtres à penser de cette deuxième pensée est Lawrence H. Summers qui, dans Summers (1986), démontre que l’inhabilité des tests classiquement employés à rejeter l’hypothèse de l’efficience des marchés ne constitue pas une preuve irréfutable de l’efficience des marchés. Dans Summers (1986), l’auteur rappelle que l’évaluation des tests d’hypothèse d’une quelconque théorie requiert la spécification d’une hypothèse alternative plausible. Dans le cas de l’efficience des marchés, Summers arrive à spécifier l’hypothèse alternative sous la forme d’un modèle à valeur présente multiplié par un facteur approximativement égal à (1 + 𝜇_𝑡). En supposant que 𝜇_𝑡 suit un processus autorégressif (AR) de premier ordre, soit 𝜇_𝑡 = 𝛼𝜇_𝑡−1+ 𝑣_𝑡 , où 𝑣_𝑡 est un bruit blanc, et 0 ≤ 𝛼 ≤ 1. Avec une telle spécification, Summers arrive à démontrer que les tests généralement utilisés sont impuissants pour détecter certaines formes

d’inefficience des marchés. De plus, avec son modèle à valeur présente factorisé par un processus autorégressif à bruit blanc, non seulement il remet en cause la théorie selon laquelle le prix des actifs sur le marché représente rationnellement ses

fondamentaux, mais de plus, il souligne que le prix des actifs comporte à la fois une composante permanente qui reflète les fondamentaux de l’actifs, et une composante temporaire prévisible et négativement auto-corrélée au rendement des actifs. Cette nouvelle pensée affirmera sa domination dans le domaine de l’étude du comportement du prix des actifs financiers lorsque le maître de la première pensée reviendra, dans Fama et French (1988) et Fama (1991), confirmer l’existence d’une forte autocorrélation négative entre le prix et le rendement des actifs selon la fréquence et l’horizon des données. Dans ce dernier papier, Eugène Fama apporte une nuance fondamentale quant aux tests de « forme faible ». Il remplace ce premier test par un « test de

prévisibilité des rentabilités » qui tient compte de la prévisibilité du prix des actifs à partir d’autres variables, telles que les dividendes et les taux d’intérêts. Pour les tests de formes « semi-forte» et « forte », il maintient les mêmes principes tout en les renommant, respectivement, « l’étude d’évènements » et les « tests de performance des investisseurs initiés ». Les résultats de ses nouveaux tests,

notamment celui de prévisibilité des rentabilités, amènent Eugène Fama à observer que, sur le long terme, il existe bien une forte autocorrélation négative du rendement

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8 des actifs provoquée par l’existence d’une « composante temporaire » dans le prix des actifs. Il admet ainsi la possibilité de prévisibilité du prix des actifs car, après s’en être écarté, le prix des actifs ont tendance à revenir lentement vers leurs moyennes

inconditionnelles. Depuis Summers (1986), plusieurs auteurs ont développé des techniques pour décomposer le prix des actifs financiers en leurs composantes permanente et temporaire. Dans le cadre de ce mémoire, en guise de revue de littérature, nous allons nous intéresser aux papiers suivants :

Dans Cochrane (1994), en transformant le modèle à valeur présente, l’auteur démontre d’abord le caractère stationnaire du ratio (Prix Dividendes)⁄ et l’évolution à marche aléatoire des Dividendes. Avec un ratio (Prix Dividendes)⁄ stationnaire et des dividendes suivant un processus à marche aléatoire, tout choc de prix dans ces circonstances n’aura qu’un effet purement « transitoire ». C’est ainsi que John H.

Cochrane est parvenu, dans un cadre structurel log-linéaire et VAR bi-varié, à décomposer le prix des actifs en leurs composantes permanente et transitoire. Pour capturer l’importance de chacune des composantes, l’auteur a soumis son modèle VAR bi-varié à une fonction de « réponse impulsionnelle » et à une opération de

décomposition de la variance. Il en résulte que, en réponse à un choc de dividendes, le niveau du prix des actifs à tendance à se déplacer immédiatement vers son équilibre de long-terme. Par contre, en maintenant les dividendes fixes, tout choc de prix n’a qu’un effet transitoire sur le niveau du prix des actifs. John H. Cochrane en arrive aux

conclusions que, avec les données pondérées provenant du NYSE, 57% de la variance du rendement des actifs est attribuable à des chocs de prix. Cela révèle l’importance de la composante transitoire dans la fluctuation du prix des actifs.

Quant à Lee (1998), il a cherché à identifier et mesurer la déviation du prix des actifs de leur fondamentaux ainsi que l’importance relative des différentes composantes du prix suite à des changements permanent et temporaire au niveau des bénéfices, des dividendes, du taux d’intérêt, et des foncteurs non-fondamentaux. Pour arriver à ses fins, Lee fait intervenir 3 types de modèles log-linéaires : Le premier modèle est un modèle tri-varié composé des bénéfices, des dividendes et du prix des actifs. Dans ce

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9 modèle, non seulement l’auteur suppose que le rendement anticipé des actifs est

constant, mais de plus, il traite les bénéfices et les dividendes comme étant les fondamentaux. Quant au second modèle, il suppose que le rendement excédentaire des actifs sur le rendement des dettes à court terme est constant. Non seulement ce modèle intègre des taux d’intérêts variables, mais de plus, il contient également les dividendes et le prix des actifs. Dans ce modèle, l’auteur traite les taux d’intérêts et les dividendes comme les fondamentaux. Finalement, le troisième modèle suppose que le rendement excédentaire des actifs varie dans le temps. Ce modèle est composé de trois variables fondamentales (les bénéfices, les dividendes et le taux d’intérêt) et du prix des actifs. Dans ce modèle, les taux d’intérêt et les rendements anticipés varient à la fois à travers le temps. En appliquant ces modèles à des données issues de l’indice Composite S&P500 pour la période allant de 1871 à 1995, l’auteur arrive à la

conclusion que 51,6% de la variance des erreurs de prévision du prix des actifs ne s’explique pas par les bénéfices et les dividendes. De ce fait, la volatilité excessive du prix des actifs s’explique surtout par des éléments non-fondamentaux qui font dévier temporairement le prix des actifs de leur valeur fondamentale. C’est ainsi que, en assumant l’hypothèse du bénéfice permanent et en procédant à des transformations du modèle à valeur présente, Lee arrive à observer et à analyser les effets de chocs

permanent et temporaire sur le prix des actifs.

S’en suit Gallagher et Taylor (2002) qui, pour vérifier si le prix des actifs financiers comporte une composante temporaire, utilisent des informations contenues au sein de variables macroéconomiques. Pour identifier les relations qui existent entre les séries macroéconomiques et les séries financières, Gallagher et Taylor ont développé un modèle macro-log-linéaire composé de salaires nominaux imbriqués et de l’équation de détermination du prix des actifs. Avec leur modèle, dans un premier temps, les auteurs arrivent à démontrer qu’il existe une certaine autocorrélation du prix des actifs, même sous l’hypothèse de l’efficience des marchés; puis, ils montrent comment les

mouvements des composantes permanente et temporaire du prix des actifs sont reliés aux perturbations de l’offre et de la demande agrégées. Ce modèle a permis à ses auteurs de montrer que les chocs de demande ont seulement un effet temporaire, alors

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10 que les chocs d’offre ont un effet permanent sur le niveau du prix des actifs. En utilisant une décomposition VAR et en appliquant leur modèle sur les données de l’indice Composite S&P500 allant de Janvier 1949 à Décembre 1997, Gallagher et Taylor arrivent à la conclusion que, sur un horizon de 12 mois, plus de 42% de la variance des erreurs de prévision du prix des actifs est due à des chocs temporaires (demande agrégée). C’est ainsi que Gallagher et Taylor parviennent à capturer les composantes temporaire et permanente du prix des actifs.

Puis, Dupuis et Tessier (2003), dans le cadre d’une analyse empirique de l’évolution historique du prix des actifs financiers aux USA, se servent quant à eux du modèle à valeur présente et d’un modèle vectoriel-à-correction-d’erreurs structurel pour, non seulement identifier les facteurs fondamentaux (dividendes et taux d’intérêt), mais aussi, intégrer l’effet cumulé des chocs permanents de dividendes et de taux d’intérêt dans le prix des actifs. Dans leur modèle, non seulement les auteurs établissent une forte relation de cointégration entre le prix des actifs, les dividendes et le taux d’intérêt, mais de plus, ils utilisent un modèle vectoriel-à-correction-d’erreurs. Spécifié ainsi, non seulement ce modèle permet aux auteurs d’identifier la contribution permanente des dividendes et du taux d’intérêt dans la fluctuation des prix, mais aussi, de mettre en lumière le degré de surévaluation ou de sous-évaluation du prix des actifs par rapport aux fondamentaux du marché. En confrontant leur modèle aux données de l’indice du Wilshire 5000 couvrant la période allant de 1973 à 2002, suite à une décomposition de la variance, Dupuis et Tessier arrivent à la conclusion qu’à long terme 76% de la dynamique à basse fréquence du prix des actifs s’explique par des chocs de dividendes. Par contre, dans le court terme, les auteurs trouvent que 70% des

fluctuations trimestrielles du prix des actifs sont attribuables à des chocs transitoires qui ont tendance à décliner à 40% après 12 mois, puis à 35% après 24 mois, pour arriver à près de 20% après 60 mois. De ce fait, la composante transitoire du prix des actifs offre généralement une bonne évaluation du degré de sous ou surévaluation du prix des actifs.

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11 Dans Pan (2007), tout en relançant le débat sur la méthode de calcul des bénéfices et des dividendes, l’auteur cherche à identifier et mesurer l’impact des composantes transitoires et permanentes des fondamentaux sur les variations du prix des actifs. Pour ce faire, en s’intéressant au modèle à valeur présente et en admettant l’hypothèse du bénéfice permanent, Pan arrive à établir un système cointégré entre les bénéfices, les dividendes et le prix des actifs. Puis, il utilise l’analyse à corrélation-canonique pour identifier le facteur à « longue mémoire » qui est commun à ce système VAR à trois variables. Ce facteur commun a permis par la suite à Pan de décomposer chacune des séries de données en sa composante permanente (dérivée du facteur commun de longue mémoire) et en sa composante temporaire qui n’a aucun effet permanent sur les données initiales. En confrontant son modèle aux données de l’indice du S&P500 pour la période allant de 1871 à 2001, Pan arrive à la conclusion que : le facteur non-

fondamental (le prix) compte pour 95% dans la variation du prix de actifs lorsque les composantes permanente et temporaire des bénéfices bruts ou les composantes permanente et temporaire des dividendes sont employées dans le modèle VAR; par ailleurs, il trouve que 95% des variations du rendement des actifs peuvent également être expliquées par une combinaison d’innovations, cette fois-ci, des seules

composantes permanentes des bénéfices et des dividendes. Ce dernier cas de figure laisse entendre que seulement 5% des variations du rendement des actifs est

attribuable aux facteurs fondamentaux. Pan en arrive donc à la conclusion que ce sont les facteurs non-fondamentaux qui sont l’élément dominant dans la fluctuation du prix des actifs.

Finalement, pour Senyuz (2011), tout part de la volonté d’identifier la relation de prédiction qui existe entre l’économie et le marché financier. Pour y arriver, il met en avant des modèles multivariés à facteurs dynamiques comportant des commutations asymétriques de Markov pour modéliser les composantes permanente et transitoire qui se manifestent, à court et long terme, dans l’économie et sur le marché financier.

L’auteur défini notamment des relations de cointégration à la fois dans l’économie (la croissance, la consommation et l’investissement) et sur les marchés financiers (le prix des actifs, les dividendes et les bénéfices). Cela lui permettra, non seulement de

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12 séparer les cycles de l’activité économique de la tendance générale indiquée dans les tests de cointégration, mais aussi, d’extraire la tendance stochastique du prix des actifs financier et d’utiliser la composante transitoire pour analyser la déviation des marchés de leurs fondamentaux. Tel que défini, ce modèle à facteur de Senyuz est ainsi capable de prendre en compte des variations communes et idiosyncratiques, des variations permanentes et temporaires, ainsi que des dynamiques linéaires et non-linéaires. En confrontant ses modèles aux données de l’indice Composite S&P500 pour une période allant de 1952 à 2008, non seulement Senyuz arrive à décomposer le prix des actifs en leur composantes permanentes et temporaires, mais de plus, il trouve que la

composante transitoire du marché financier arrive à prédire, avec une avance d’un trimestre, toutes les récessions économiques de l’après-guerre. Faisant ainsi de la composante transitoire des marchés financiers un bon indicateur des cycles

économiques.

En matière de décomposition du prix des actifs, il existe plusieurs autres

méthodes autant pertinentes que toutes celles que nous avons présentées dans cette introduction littéraire. Cependant, dans le cadre de ce mémoire, nous allons adopter la méthode de Cochrane (1994) pour décomposer l’indice du S&P500 en ses

composantes permanente et transitoire.

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Chapitre II - Les données

L’indice boursier qui fera l’objet de notre attention dans ce mémoire est le

S&P500 (SPX). Cet indice boursier fut créé en 1950. Il est géré par « Standard & Poor’s

», l’une des principales sociétés de notation financière. Le S&P500 représente les 500 plus grandes entreprises cotées sur les bourses américaines. Cet indice couvre 80% de la capitalisation boursière et compte des actifs comptant approximativement $2,2 trillion.

Pour parvenir à la décomposition de l’indice du S&P500, nous comptons faire usage de la méthode de décomposition de John H. Cochrane employée dans Cochrane (1994).

Cette méthode suppose que l’on dispose des variables suivantes : le Prix, les Dividendes et le ratio Dividendes/Prix du S&P500.

Aux fins de nos travaux, la principale source de données fut le « ONLINE DATA » de Robert Shiller. Sur cette base de données, il est possible de télécharger le cours et les dividendes mensuels de l’indice SPX. Nous avons choisi de travailler sur deux

échantillons : l’un couvrant la période allant de Janvier 1901 à Décembre 1995 (1140 observations), et l’autre couvrant la période allant de Janvier 1901 à Juin 2015 (1374 observations).

A) L’échantillon allant de Janvier 1901 à Décembre 1995 : sur cet échantillon, nous allons observer l’évolution du cours (Prix), des Dividendes et du ratio (Dividendes/Prix).

1-Le cours du S&P500 (SPX) : dans sa base de données, Robert Shiller détermine le cours du SPX comme étant la moyenne mensuelle des prix de clôture journaliers des compagnies du S&P500. Sur l’échantillon allant de Janvier 1901 à Décembre 1995, nous observons l’évolution du cours du SPX comme illustré sur le graphique suivant :

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14 Graphique 1

0 100 200 300 400 500 600 700

1910 1920 1930 1940 1950 1960 1970 1980 1990 Le Cours du S&P500

Janvier 1901 à Décembre 1995

En transformant, comme dans Cochrane (1994), le Prix du S&P500 sous sa forme logarithmique, nous obtenons une nouvelle série nommée

𝒑

telle que illustrée dans le graphique suivant :

Graphique 2

1 2 3 4 5 6 7

1910 1920 1930 1940 1950 1960 1970 1980 1990 Le logarithme du Prix du S&P500

2-Les dividendes du S&P500 : les données de cette variable sont le résultat d’une interpolation linéaire des dividendes trimestriels du S&P500. Sur l’échantillon allant de Janvier 1901 à Décembre 1995, nous observons l’évolution des Dividendes du SPX sur le graphique suivant :

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15 Graphique 3

0 2 4 6 8 10 12 14

1910 1920 1930 1940 1950 1960 1970 1980 1990 Les Dividendes du S&P500

En transformant, comme dans Cochrane (1994), la variable « Dividendes » en sa forme logarithmique, nous obtenons une nouvelle série nommée

𝒅

telle que illustrée dans le graphique suivant :

Graphique 4

-2 -1 0 1 2 3

1910 1920 1930 1940 1950 1960 1970 1980 1990 Le logarithme des Dividendes du S&P500

3-Le ratio (Dividendes/Prix) du S&P500 : pour obtenir ce ratio, nous avons utilisé la formule suivante :

𝑟𝑎𝑡𝑖𝑜

_𝑡

=

^{𝐷𝑖𝑣𝑖𝑑𝑒𝑛𝑑𝑒𝑠}^𝑡

𝑃𝑟𝑖𝑥_𝑡 (1) Où :

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16

 𝑃𝑟𝑖𝑥_𝑡 : le cours du S&P500 à la période t; et

 𝐷𝑖𝑣𝑖𝑑𝑒𝑛𝑑𝑒𝑠_𝑡 : la somme des dividendes distribués par l’ensemble des compagnies du S&P500 à la période t.

En appliquant cette formule sur l’échantillon allant de Janvier 1901 à Décembre 1995, nous avons obtenu la série chronologique illustrée dans le graphique suivant :

Graphique 5

.02 .04 .06 .08 .10 .12 .14

1910 1920 1930 1940 1950 1960 1970 1980 1990 Le ratio Dividendes/Prix du S&P500

En transformant, comme dans Cochrane (1994), ce ratio sous sa forme logarithmique, nous obtenons une nouvelle série nommée

(𝒅 − 𝒑)

telle que illustrée dans le

graphique suivant :

Graphique 6

-4.0 -3.6 -3.2 -2.8 -2.4 -2.0 -1.6

1910 1920 1930 1940 1950 1960 1970 1980 1990 Le logarithme du ratio Dividendes/Prix du S&P500

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17 Sur l’échantillon allant de Janvier 1901 à Décembre 1995, ce sont là les données des trois principales variables que nous allons employer dans nos travaux.

B) L’échantillon allant de Janvier 1901 à Juin 2015 : comme pour le premier, sur ce deuxième échantillon également nous allons observer l’évolution du cours (Prix), des Dividendes et du ratio (Dividendes/Prix).

1-Le cours du S&P500 (SPX) : sur l’échantillon allant de Janvier 1901 à Juin 2015, nous observons l’évolution du cours du SPX comme indiqué sur le graphique suivant :

Graphique 7

0 400 800 1,200 1,600 2,000 2,400

10 20 30 40 50 60 70 80 90 00 10

Le Cours du S&P500 Janvier 1901 à Juin 2015

En transformant cette variable sous sa forme logarithmique, nous obtenons une nouvelle série nommée

𝒑

telle que illustrée dans le graphique suivant :

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18 Graphique 8

1 2 3 4 5 6 7 8

10 20 30 40 50 60 70 80 90 00 10

Le logarithme du Prix du S&P500 Janvier 1901 à Juin 2015

2-Les dividendes du S&P500 : sur l’échantillon allant de Janvier 1901 à Juin 2015, nous observons l’évolution des Dividendes du SPX tel que indiqué sur le graphique suivant :

Graphique 9

0 10 20 30 40 50

10 20 30 40 50 60 70 80 90 00 10

Les Dividendes du S&P500 Janvier 1901 à Juin 2015

En transformant cette variable sous sa forme logarithmique, nous obtenons une nouvelle série nommée

𝒅

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19 Graphique 10

-2 -1 0 1 2 3 4

10 20 30 40 50 60 70 80 90 00 10

Le logarithme des Dividendes du S&P500 Janvier 1901 à Juin 2015

3-Le ratio (Dividendes/Prix) du S&P500 : pour obtenir ce ratio, nous avons utilisé la formule (1) et nous avons obtenu la série chronologique illustrée dans le graphique suivant :

Graphique 11

.00 .02 .04 .06 .08 .10 .12 .14

10 20 30 40 50 60 70 80 90 00 10

Le ratio Dividendes/Prix du S&P500 Janvier 1901 à Juin 2015

En transformant ce ratio en sa forme logarithmique, nous obtenons une nouvelle série nommée

(𝒅 − 𝒑)

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20 Graphique 12

-5.0 -4.5 -4.0 -3.5 -3.0 -2.5 -2.0 -1.5

10 20 30 40 50 60 70 80 90 00 10

Le logarithme du ratio Dividendes/Prix du S&P500 Janvier 1901 à Juin 2015

Sur l’échantillon allant de Janvier 1901 à Juin 2015, ce sont là les données des trois principales variables que nous allons employer dans nos travaux.

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Chapitre III - La Méthodologie

Cochrane (1994) étant notre modèle de référence, alors nous allons employer sa méthodologie de décomposition. En effet, pour parvenir à décomposer le prix des actifs en leurs composantes permanente et transitoire, Cochrane se sert d’un modèle Vecteur Autorégressif (VAR) bi-varié. Dans son modèle, non seulement Cochrane régresse les rendements des prix et des dividendes sur leurs variables de retard, mais aussi, sur le ratio (Dividendes/Prix). L’auteur justifie le choix d’inclure le ratio (Dividendes/Prix) dans ces différentes régressions par le fait que, non seulement ce ratio est stable sur une longue période du fait de l’existence d’une relation de cointégration entre le prix et les dividendes, mais de plus, en considérant que les dividendes évoluent presque en marche aléatoire, il trouve que ce ratio arrive à mieux prédire les rendements du prix des actifs. Par la suite, Cochrane a employé un modèle-à-correction-d’erreurs pour mettre l’accent sur les prévisions de rendements à long terme. Avec une pareille

spécification, et grâce à des opérations de décomposition de la variance, de fonctions à

« réponse impulsionnelle », et au filtre de Beveridge-Nelson, Cochrane arrive à extraire les composantes permanente et transitoire du prix des actifs. Il en conclu que 57% de la variation du prix des actifs est provoquée par des chocs transitoires. Pour spécifier nos modèles VAR dans la logique de Cochrane (1994), sur chacun des deux échantillons, nous allons étudier dans ce chapitre la stationnarité, la cointégration et le rendement de nos trois variables.

A) L’échantillon allant de Janvier 1901 à Décembre 1995 : sur cet échantillon, nous allons analyser la stationnarité et la cointégration des deux variables du SPX.

1-La stationnarité des variables : pour étudier la stationnarité de chacune des

variables, nous avons procédé, grâce au logiciel Eviews, à des tests de racine unitaire.

Nous avons notamment soumis la forme logarithmique de chacune des variables au test Augmenté de Dickey-Fuller. Le test de Dickey-Fuller définit l’hypothèse nulle comme suit : « la variable admet une racine unitaire ».

(22)

22 1.a) La stationnarité du prix : comme indiqué dans le tableau suivant, il apparaît que la variable

𝒑

en niveau du SPX admet une racine unitaire car, dans toutes les

circonstances, la probabilité (P-value) est largement supérieure au seuil conventionnel de 5%. La variable n’est donc pas stationnaire en niveau.

Tableau 1

Valeur critique Test Augmenté de Dickey-Fuller Statistique-t P-value 1% 5% 10%

Constante 0,739902 99,30% -3,436 -2,864 -2,568 Tendance linéaire et constante -1,913202 64,69% -3,966 -3,414 -3,129

Afin de rendre le prix du SPX stationnaire, nous avons différencié une fois la variable et nous l’avons soumise au test de racine unitaire. Nous avons obtenu le tableau suivant :

Tableau 2

Constante -21,83354 0% -3,436 -2,864 -2,568 Tendance linéaire et constante -21,89393 0% -3,966 -3,414 -3,129

De ce tableau, il apparaît que, dans toutes les circonstances, l’hypothèse nulle est rejetée. La variable est donc stationnaire en première différence. De ce fait, nous en concluons que 𝒑 ~ 𝑰(𝟏). Le graphique suivant illustre la nouvelle série différenciée du Prix du SPX :

Graphique 13

-.4 -.3 -.2 -.1 .0 .1 .2 .3 .4 .5

1910 1920 1930 1940 1950 1960 1970 1980 1990 Le logarithme du Prix du S&P500 différencié 1 fois

(23)

23 1.b) La stationnarité des Dividendes : pour déterminer si les dividendes du SPX sont stationnaires, nous allons soumettre la variable

𝒅

au test de racine unitaire de Dickey- Fuller. Les résultats du test de stationnarité apparaissent dans le tableau suivant :

Tableau 3

De ce tableau, il apparaît que l’hypothèse nulle qui veut que la variable admette une racine unitaire n’est pas rejetée. Les dividendes en niveau du SPX ne sont donc pas stationnaires. Pour rendre la variable stationnaire, nous l’avons différencié une fois et nous l’avons soumise au test de racine unitaire. Les résultats du test de stationnarité sur la nouvelle variable différenciée sont illustrés au tableau suivant :

Tableau 4

Constante -6,960962 0% -3,436 -2,864 -2,568 Tendance linéaire et constante --7,007265 0% -3,966 -3,414 -3,129

De ce tableau, il apparaît que l’hypothèse nulle est rejetée dans toutes les

circonstances. La variable est donc stationnaire en première différence. Nous en

concluons que 𝒅 ~ 𝑰(𝟏). Le graphique suivant illustre la nouvelle série différenciée des dividendes du SPX :

Graphique 14

-. 10 -. 08 -. 06 -. 04 -. 02 . 00 . 02 . 04 . 06

1910 1920 1930 1940 1950 1960 1970 1980 1990

Le logarithme des Dividendes du S&P500 différencié 1 fois Janvier 1901 à Juin 2015

(24)

24 1.c) La stationnarité du ratio (Dividendes/Prix) : nous avons soumis la variable

(𝒅 − 𝒑) du SPX au test de racine unitaire. Et nous avons obtenu le résultat illustré dans le tableau suivant :

Tableau 5

Constante -3,167538 2,22% -3,436 -2,864 -2,568 Tendance linéaire et constante -4,067444 0,72% -3,966 -3,414 -3,129

De ce tableau, il apparaît que l’hypothèse nulle est rejetée dans toutes les circonstances. La seule exception intervient au niveau de la valeur critique à 1%

lorsque la spécification du test tient compte d’une Constante. Cependant, pour ce qui est du seuil de la valeur critique, nos exigences de stationnarité dans ce mémoire se situent entre 5% et 10%. Nous pouvons donc affirmer que la variable (𝒅 − 𝒑) n’admet aucune racine unitaire dans cet intervalle. De ce fait, la variable est stationnaire en niveau. Nous en concluons que (𝒅 − 𝒑)_𝑺𝑷𝑿 ~ 𝑰(𝟎). Ce résultat confirme les

observations faites dans Cochrane(1994) où l’auteur explique la stationnarité en niveau du ratio (Dividendes/Prix) comme une conséquence de la relation de cointégration qui existe entre le Prix et les Dividendes.

2-La Cointégration des variables du SPX : étant donné que sur cet échantillon les variables

𝒑

et

𝒅

sont intégrées d’ordre 1, alors nous pouvons employer le test de

cointégration de Johansen. En soumettant les trois variables au test de cointégration de Johansen, nous obtenons les deux tableaux suivants qui illustrent les résultats des tests

« Trace » et « Maximum-Eigenvalue » :

Tableau 6 Hypothèses nulles

(H0) LE TEST TRACE

Nombre d'équations

Cointégrées Eigenvalue Statistique-Trace Valeur critique à 5% Probabilité Aucune 0,014131 16,35546 15,49471 3,70%

1 0,000281 0,316611 3,841466 57,36%

(25)

25 L’hypothèse nulle (H0) étant définie comme « le nombre d’équations Cointégrées », alors selon le test-Trace de Johansen, l’hypothèse nulle est rejetée au seuil

conventionnel de 5% pour la première hypothèse. Cependant, elle est avérée pour la deuxième hypothèse qui indique la présence d’une seule relation de cointégration entre nos deux variables. Quant au test Maximum-Eigenvalue, ses résultats sont illustrés dans le tableau suivant :

(H0) LE TEST MAXIMUM-EIGENVALUE

1 0,000281 0,316611 3,841466 57,36%

De ce tableau, il apparaît que le test Maximum-Eigenvalue indique également la présence d’une seule relation de cointégration entre nos deux variables. Le test de cointégration de Johansen nous a aussi permis d’obtenir les coefficients de l’équation de cointégration qui existent entre nos deux variables. L’équation de cointégration s’écrit comme suit :

𝑒𝑞_1𝑡 = −3,04302 + 𝑝_𝑡 − 1,173474 ∗ 𝑑_𝑡 (2) Où :

 𝑝_𝑡 : la variable prix à la période t; et

 𝑑_𝑡 : la variable dividende à la période t.

Plus tard dans nos travaux, nous allons faire usage de l’équation (2) pour mieux spécifier nos modèles sur l’échantillon allant de Janvier 1901 à Décembre 1995.

B) L’échantillon allant de Janvier 1901 à Juin 2015 : comme sur le premier, sur ce second échantillon, nous allons également analyser la stationnarité et la cointégration de nos 2 variables.

(26)

26 1-La stationnarité des variables : pour étudier la stationnarité de chacune des

variables sur cet échantillon, nous allons soumettre la forme logarithmique de chacune des variables au test augmenté de Dickey-Fuller.

1.a) La stationnarité du prix : comme indiqué dans le tableau suivant, il apparaît que le prix en niveau du SPX admet une racine unitaire car, dans toutes les circonstances, la probabilité (P-value) est largement supérieure au seuil conventionnel de 5%. La variable n’est donc pas stationnaire en niveau.

Tableau 8

Afin de rendre le prix du SPX stationnaire, nous avons différencié une fois la variable et repris le test de racine unitaire. Les résultats du test apparaissent dans le tableau suivant :

Tableau 9

Nous observons de ce tableau que l’hypothèse nulle est rejetée dans toutes les circonstances. Cette variable est donc stationnaire en première différence : nous en concluons donc que 𝒑 ~ 𝑰(𝟏). Le graphique suivant illustre la nouvelle série

différenciée du Prix du SPX :

(27)

27 Graphique 15

-.4 -.3 -.2 -.1 .0 .1 .2 .3 .4 .5

10 20 30 40 50 60 70 80 90 00 10

Le logarithme du Prix du S&P500 différencié 1 fois Janvier 1901 à Juin 2015

1.b) La stationnarité des Dividendes : pour déterminer si les dividendes du SPX sont stationnaires, nous allons soumettre la variable au test de racine unitaire de Dickey- Fuller. Les résultats du test apparaissent au tableau suivant :

Tableau 10

De ce tableau, il apparaît que l’hypothèse nulle n’est pas rejetée. Les dividendes en niveau du SPX admettent donc une racine unitaire. Pour rendre la variable stationnaire, nous l’avons différencié une fois et nous l’avons soumise au test de racine unitaire. Les résultats du test de stationnarité sont illustrés dans le tableau suivant :

Tableau 11

circonstances. La variable est donc stationnaire en première différence. Nous en

(28)

28 concluons donc que 𝒅 ~ 𝑰(𝟏). Le graphique suivant illustre la nouvelle série

différenciée des dividendes du SPX :

Graphique 16

-.10 -.08 -.06 -.04 -.02 .00 .02 .04 .06

10 20 30 40 50 60 70 80 90 00 10

Le logarithme des Dividendes du S&P500 différencié 1 fois Janvier 1901 à Juin 2015

1.c) La stationnarité du ratio (Dividendes/Prix) : nous allons soumettre la variable (𝒅 − 𝒑) du SPX au test de racine unitaire. Sur cet échantillon, nous avons obtenu le résultat illustré dans le tableau suivant :

Tableau 12

Constante -2,108099 24,16% -3,436 -2,864 -2,568 Tendance linéaire et constante -3,815165 1,60% -3,966 -3,414 -3,129

De ce tableau, il apparaît que l’hypothèse nulle n’est rejetée que lorsque la spécification du test tient compte, de manière inclusive, d’une tendance linéaire et d’une constante au seuil critique de 5% et 10%. Cependant, lorsque la spécification du test ne tient compte que d’une constante, l’hypothèse nulle est avérée quel que soit le seuil de la valeur critique. De ce fait, sur cet échantillon, le ratio (Dividendes/Prix) n’est pas stationnaire en niveau. Ce résultat vient en contradiction des travaux effectués dans Cochrane (1994) et des résultats obtenus sur le premier échantillon. Pour rendre stationnaire cette variable, nous allons donc la différencier une fois et la soumettre au test de racine unitaire. Nous obtenons le tableau suivant :

(29)

29 Tableau 13

circonstances. La variable (𝒅 − 𝒑) est donc stationnaire en première différence. Nous en concluons que (𝒅 − 𝒑)~ 𝑰(𝟏). Le graphique suivant illustre la série de la nouvelle variable différenciée :

Graphique 17

-.5 -.4 -.3 -.2 -.1 .0 .1 .2 .3 .4

10 20 30 40 50 60 70 80 90 00 10

Le logarithme du ratio Dividendes/Prix du S&P500 différencié 1 fois Janvier 1901 à Juin 2015

2-La Cointégration des variables du SPX : en soumettant nos deux variables au test de cointégration de Johansen, nous obtenons les deux tableaux suivants qui illustrent les résultats des tests « Trace » et « Maximum-Eigenvalue » :

(H0) LE TEST TRACE

Cointégrées Eigenvalue Statistique-Trace Valeur critique à 5% Probabilité Aucune 0.012620 17,92755 15,49471 2,11%

1 0,000433 0,591383 3,841466 44,19%

(30)

30 Le test-Trace de Johansen nous indique que, comme sur le premier échantillon, sur ce second échantillon il n’existe qu’une seule relation de cointégration entre nos deux variables. Quant au test Maximum-Eigenvalue, ses résultats sont illustrés dans le tableau suivant :

(H0) LE TEST MAXIMUM-EIGENVALUE

1 0,000433 0,591383 3,841466 44,19%

De ce tableau, il apparaît que le test Maximum-Eigenvalue nous indique également qu’il n’existe qu’une seule relation de cointégration entre nos deux variables. Le test de cointégration de Johansen nous a aussi permis de déterminer l’équation de

cointégration entre nos deux variables. Cette équation s’écrit comme suit :

𝑒𝑞_2𝑡 = −3,043202 + 𝑝_𝑡 − 1,268070 ∗ 𝑑_𝑡 (3) Où :

 𝑝_𝑡 : la variable prix à la période t; et

 𝑑_𝑡 : la variable dividende à la période t.

Dans la section C du présent chapitre qui portera sur la spécification des modèles, nous allons tenir compte des équations (2) et (3) pour mieux calibrer nos différents modèles.

C) La spécification des modèles : Dans Cochrane (1994), avant de procéder à la décomposition du prix des actifs en leurs composantes permanente et transitoire, l’auteur spécifie d’abord le modèle de régression susceptible de mieux capturer les effets et le comportement de ses variables. John H. Cochrane emploie notamment des Vecteurs Autorégressifs (VAR) bi-varié. Dans la présente section, nous allons donc procéder, pour chacun de nos deux échantillons, à la spécification des modèles à adopter.

(31)

31 1-L’échantillon allant de janvier 1901 à Décembre 1999 : pour une meilleure

spécification d’un modèle VAR, il y a différentes étapes importantes à suivre. Dans un premier temps, il faut déterminer l’étendue des variables de retard à inclure dans le modèle; puis, procéder à l’analyse des résidus; ensuite, vérifier la stabilité du modèle et procéder aux tests de causalité pour déterminer l’influence des différentes variables dans le système; et finalement, procéder au diagnostic des coefficients.

Dans Cochrane (1994), l’auteur a choisi un VAR d’ordre 2 pour son modèle. Au lieu de choisir aveuglement pour nos données un modèle VAR d’ordre 2, nous allons d’abord tester d’autres méthodes de sélection, notamment la méthode des critères

d’information. En considérant le critère d’information Akaike (AIC) comme étant notre critère de référence, alors, avec une valeur 𝐀𝐈𝐂 = −𝟏𝟏, 𝟏𝟒𝟎𝟗𝟏, il apparait que le nombre de retard optimal sur ce premier échantillon est de 12. La prochaine étape consiste à estimer des modèles VAR selon la suggestion faite par le critère

d’information AIC.

1) Le modèle VAR(12) : le modèle VAR(12) tel que suggéré le critère d’information AIC s’écrit sous la forme :

∆𝑝_𝑡 = 𝑐₁+ ∑¹²_𝑖=1𝛼_1𝑖∆𝑝_𝑡−𝑖+ ∑¹²_𝑗=1𝛽_1𝑗𝑑_𝑡−𝑗+ 𝛾₁(𝑑_𝑡−1− 𝑝_𝑡−1) + 𝑢_1𝑡

∆𝑑_𝑡 = 𝑐₂+ ∑ 𝛼_2𝑖∆𝑝_𝑡−𝑖

12

𝑖=1

+ ∑ 𝛽_2𝑗𝑑_𝑡−𝑗

12

𝑗=1

+ 𝛾₂(𝑑_𝑡−1− 𝑝_𝑡−1) + 𝑢_2𝑡

Où :

 𝑐₁ 𝑒𝑡 𝑐₂ : les constantes du système de régression;

 ∆𝑝_𝑡: le rendement du prix à la période t;

 ∆𝑑_𝑡: le rendement des dividendes à la période t;

 ∆𝑝_𝑡−𝑖 : les variables de retards du rendement du prix;

 𝑑_𝑡−𝑗: les variables de retard du rendement des dividendes;

 (𝑑_𝑡−1− 𝑝_𝑡−1) : le ratio (dividendes/prix) à la période (t-1);

(4)

(32)

32

 𝑢_1𝑡 𝑒𝑡 𝑢_2𝑡 : les résidus du système la régression; et

 𝛼_1𝑖, 𝛼_2𝑖, 𝛽_1𝑗, 𝛽_2𝑗, 𝛾₁ 𝑒𝑡 𝛾₂ : les coefficients du système de régression.

Après avoir estimé, grâce au logiciel Eviews, le modèle VAR(12) tel que spécifié dans le système d’équations (4), il nous revient à présent à procéder aux différentes analyses nécessaires pour valider la pertinence de ce modèle.

1.a) L’analyse de la stabilité du modèle : analyser la stabilité d’un modèle VAR consiste à vérifier si toutes ses racines sont hors du cercle unitaire. Un modèle VAR dont une ou plusieurs racines sont à l’intérieur du cercle unitaire n’est pas un modèle stable, et par conséquent il serait impertinent d’utiliser les fonctions de « réponse impulsionnelle » et de « décomposition de la variance » pour un tel modèle. Pour analyser la stabilité du modèle, nous allons donc observer le graphique suivant qui illustre les racines inverses du polynôme autorégressif caractéristique du modèle VAR(12) :

Graphique 18

-1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5

-1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 Racines inverses du polynôme

autorégressif caractéristique

De ce graphique, il apparaît qu’aucune racine n’est hors du cercle unitaire. Étant donné qu’il s’agit de racines inverses, alors nous pouvons donc en conclure que le modèle VAR(12) est stable. Nous pouvons donc en conclure que le modèle est stable et

(33)

33 admissible pour les opérations de décomposition de la variance et les fonctions de

« réponse impulsionnelle ».

1.b) L’Analyse de la causalité au sein du modèle : il est utile de vérifier si notre modèle VAR(6) contient des variables susceptibles de se comporter comme des variables exogènes. Pour ce faire, nous allons précéder au test de causalité de Granger. Une variable « granger-cause » la variable dépendante lorsque l’hypothèse nulle est rejetée au seuil conventionnel de 5%. L’hypothèse nulle est définie comme suit : « la variable exclue ne granger-cause pas la variable dépendante ». Nous obtenons le tableau suivant :

Tableau 16

Variable causée: ∆𝒑

Variable causale Chi-carré Probabilité

∆𝒅 31,72989 0,15%

De ce tableau, il apparaît qu’en excluant la variable « Dividendes » du système,

l’hypothèse nulle est rejetée au seuil conventionnel de 5% car la probabilité associé est de 0,15%.On peut donc en conclue que la variable « Dividendes » granger-cause la variable « Prix ». Cependant, pour mieux cerner la nature de cette causalité dans le système, nous allons procéder au test d’exclusion des variables de Wald. Dans ce test, l’hypothèse nulle est définie comme suit: « la variable de retard considérée peut être exclue du système ». Il apparaît du tableau (17) suivant que, prises conjointement, c’est seulement aux paliers de retard 2, 7, 10, 11 et 12 que l’ensemble des variables ne sont pas pertinentes. Prises individuellement, la variable ∆𝑝 est significative aux paliers de retard 1, 2 et 8; tandis que la variable ∆𝑑 n’est insignifiante qu’aux paliers de retard 2, 7, 10 et 11. Ceci est un résultat satisfaisant dans la mesure où, non seulement il existe un effet de causalité entre la variable indépendante et la variable dépendante, mais de plus, chacune des variables, sur un palier de retard ou sur un autre, produit des effets dans le modèle VAR(12).

(34)

34 Tableau17

VAR(12) ∆𝒑 ∆𝒅 Conjointement

Retard 1 106,2104 885,0502 993,2636

P-value [ 0,000000] [ 0,000000] [ 0,000000]

Retard 2 7,566408 1,444574 8,713133

P-value [ 0,022750] [ 0,485640] [ 0,068684]

Retard 3 3,399015 70,58442 76,03229

P-value [ 0,182774] [ 4,44e-16] [ 1,22e-15]

Retard 4 2,789048 47,19724 51,89436

P-value [ 0,247951] [ 5,64e-11] [ 1,45e-10]

Retard 5 2,637925 11,01545 14,64262

P-value [ 0,267413] [ 0,004055] [ 0,005503]

Retard 6 4,24229 7,907224 12,99719

P-value [ 0,119894] [ 0,019185] [ 0,011290]

Retard 7 1,585767 0,060298 1,60519

P-value [ 0,452538] [ 0,970301] [ 0,807859]

Retard 8 10,26302 8,639415 19,68313

P-value [ 0,005908] [ 0,013304] [ 0,000577]

Retard 9 2,544331 7,148794 10,4282

P-value [ 0,280224] [ 0,028032] [ 0,033801]

Retard 10 3,744882 0,944658 4,481061

P-value [ 0,153748] [ 0,623548] [ 0,344799]

Retard 11 3,419954 0,836886 4,48087

P-value [ 0,180870] [ 0,658071] [ 0,344822]

Retard 12 0,984061 16,7468 17,64414

P-value [ 0,611384] [ 0,000231] [ 0,001448]

1.c) Le diagnostic des coefficients : pour mieux cerner la pertinence de chacune des variables dans le système, nous avons procédé au test de restriction des coefficients de Wald. Le diagnostic des coefficients nous permet de tester la possibilité que les

coefficients assignés aux retards d’une variable donnée dans le modèle soient

conjointement nuls. Considérons le système d’équations (4) et posons les hypothèses nulles suivantes :

 « H⁰ : 𝛼_1𝑖 = 0 : l’ensemble des coefficients assignés aux retards de la variable prix sont égaux à 0 »;

(35)

35

 « H⁰ : 𝛽_1𝑗 = 0 : l’ensemble des coefficients assignés aux retards de la variable Dividendes sont égaux à 0 »; et

 « H0 : 𝛾₁ = 0 : l’ensemble des coefficients assignés aux retards à la variable Ratio (Dividendes/Prix) sont égaux à 0 ».

Puis, testons ces hypothèses nulles grâce au test de restriction des coefficients de Wald. Nous obtenons le tableau suivant :

Tableau 18

Hypothèses H0 Chi² Probabilité

H⁰-prix ^120,4113 ^0%

H⁰-diviendes 31,72989 0,15%

H0-ratio 3,326927 6,82%

De ce test de restriction des coefficients de Wald, si l’hypothèse nulle est avérée pour le coefficient assigné à la variable (𝒅_𝒕−𝟏− 𝒑_𝒕−𝟏), cependant, elle est rejetée pour les retards assignés aux variables 𝒑 et 𝒅. Ceci est tout de même un résultat mitigé.

Pour une meilleure spécification, il est utile à ce stade de nos travaux de faire usage de l’une des propriétés les plus importantes de nos données : la relation de cointégration qui existe entre nos deux variables. Dans Cochrane (1994), pour aménager son modèle VAR de manière à être prédisposé à performer convenablement les fonctions de

« réponse impulsionnelle » et de « décomposition de la variance », l’auteur a fait usage d’un modèle-à-correction-d’erreurs. Dans notre cas, nous allons nous appuyer sur la relation de cointégration qui existe entre nos deux variables pour estimer un modèle vectoriel-à-correction-d’erreurs (VECM).

2) Le modèle VECM(12,2) : le modèle VECM est une amélioration naturelle du modèle VAR. Lors du traitement des données du S&P500 sur l’échantillon allant de Janvier 1901 à Décembre 1995, nous avions déterminé que, grâce aux tests « Trace » et

« Maximum-Eigenvalue » de Johansen, il existait une relations de cointégration entre nos deux variables. Le test de Johansen nous avait également permis de déterminer