HAL Id: jpa-00249067
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Submitted on 1 Jan 1993
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Dispersion acoustique dans des roches poreuses
C. Gazanhes, J.-P. Hérault
To cite this version:
C. Gazanhes, J.-P. Hérault. Dispersion acoustique dans des roches poreuses. Journal de Physique III, EDP Sciences, 1993, 3 (11), pp.2071-2086. �10.1051/jp3:1993261�. �jpa-00249067�
Classification
Physic-s Abstracts
43.20 43.35 62.65 81.20J 81.70
Dispersion acoustique dans des roches poreuses
C. Gazanhes et J.-P. H6rault
Equipe Ultrasons, Laboratoire de M£canique et d'Acoustique du C-N-R-S-, 31 chemin Joseph Aiguier, 13402 Marseille Cedex 09, France
(Regu le 13 mai1993, rdi>isd le 6 juillet1993, acceptd le 2 septembre 1993)
Rdsumd.-La dispersion de vitesse d'une onde ultrasonore traversant des plaques de roche
calcaire est £tudide dans la gamme de fr£quences 30 kHz-I MHz. A ces frdquences, on a observ£
une onde longitudinale et une onde transversale. La deuxibme onde longitudinale pr£vue par la
th£orie de Biot (l'onde lente) n'a pas £t£ observ£e. La vitesse des ondes augmente avec la
fr£quence h partir d'une vitesse limite Co en basse fr£quence jusqu'h une vitesse C~ dans la zone
non dispersive haute fr£quence. La th£orie de Biot, utilis£e pour calculer les vitesses des ondes
longitudinale et transversale, met en jeu de nombreux parambtres. A ce sujet, nous proposons
diff£rentes m£thodes empirique et th£orique permettant d'ajuster ces parambtres dans le cas de roches calcaires. Finalement, une comparaison et une discussion sont £tablies entre les r£sultats
exp£rimentaux et ceux prdvus par la th£orie de Biot.
Abstract. The dispersion of ultrasonic waves by porous rock is studied by investigating the propagation across solid plates of limestone, in the frequency range 30kHz-1MHz. In this
frequency range, we have observed only a single compressional wave and a shear wave. The slow
wave, predicted by the Biot theory, was not detected. Wave speeds increase with increasing
frequency from a low frequency limit Co of the phase velocity to a phase velocity C~ at the nondispersive high frequency limit. The Biot theory used to predict compressional and shear wave
velocities, contains numerous parameters. We discuss empirical and theoretical ways to predict values of these parameters for limestone. The comparison and discussion of the experimental data with the prediction from the Biot theory are presented.
1. Introduction.
Un milieu est qualifid de dispersif lorsque la vitesse de propagation d'une grandeur physique,
ici le champ de pression acoustique, ddpend de la frdquence. Nous avons dtudid ce phdnombne
dans le cas d'un matdriau composite stratifid [I] et d'un milieu multicouche [2] simulant la
structure de fonds marins. Dans de nombreux cas, cette structure est constitude de matdriaux
poreux (sddiments ou roches) qui sont gdndralement des milieux dispersifs. C'est pourquoi
nous allons maintenant nous intdresser h la dispersion acoustique dans des roches poreuses.
Les milieux poreux sont des matdriaux composites prdsentant deux phases l'une solide, correspondant h la matrice (ou squelette) constitude de grains h structure cristalline varide
l'autre fluide, correspondant au gaz ou liquide interpdndtrant les espaces entre grains. Dans le
cas le plus courant, les vides intergranulaires sont remplis d'air ou d'eau.
Cette hdtdrogdnditd de structure implique au niveau microscopique un comportement
physique propre aux fluides qui la traversent et les propridtds acoustiques qui en ddrivent, induisent dispersion de vitesse et absorption, dues aux mouvements relatifs du solide et du fluide.
Biot, dans ses travaux thdoriques [3-6], a prdvu l'existence de deux types d'onde
longitudinale : une onde rapide, dite de premibre esp6ce et une onde lente, ou onde de seconde
esp6ce. Ces ondes, ainsi que l'onde transversale, sont dispersives, c'est-h-dire que la vitesse de phase qui les caractdrise, est une fonction de la frdquence.
A la suite des travaux de Biot, l'intdrdt pour l'acoustique des milieux poreux n'a cessd
d'augmenter en vue d'dtendre le champ d'application de la thdorie h des domaines aussi divers que l'acoustique sous-marine et la gdophysique pdtrolibre. En particulier, Stoll [7] a dtudid
l'acoustique des sddiments marins et Bourbid et ses collaborateurs [8] ainsi que Rasalofosaon [9, 10], l'acoustique des roches poreuses. Plona [I ii et Johnson [12] ont eu, les premiers, le
mdrite de mettre en Evidence l'onde de seconde espbce dans un milieu artificiel constitud par des billes de verre frittd, ouvrant du mdme coup l'application de la thdorie au contr01e non
destructif des matdriaux frittds, dldments filtrants et cdramiques notamment. Marion et Nur [13] ont dtudid les variations de vitesse de l'onde rapide et de l'onde transversale en fonction de la porositd, de la pression et de la tempdrature h partir des relations de Biot-Gassmann [14]. En
acoustique adrienne, Allard [15] s'intdresse h la propagation du son dans des mat6riaux poreux
en vue de moddliser des matdriaux absorbants. II adapte la thdorie de Biot au cas oh le fluide est de l'air.
Dans ce travail, nous nous sommes intdressds uniquement h l'dtude de la dispersion de vitesse dans un milieu poreux naturel (roche calcaire) en vue de tenter d'estimer les parambtres mdcaniques et hydrauliques du milieu.
Le prochain paragraphe conceme quelques ddfinitions relatives aux milieux poreux.
Dans le paragraphe 3 nous rappelons les dquations de la thdorie de Biot et discutons les
principaux param6tres : couplage inertiel (masse ajoutde), frdquence caractdristique.. qui rdgissent les dquations du mouvement.
Dons le paragraphe 4 nous dtudions la propagation proprement dite : vitesse et dispersion.
Enfin, le demier paragraphe est relatif h la partie expdrimentale de ce travail : techniques de
mesure, rdsultats exp£rimentaux et estimation des parambtres.
2. Description des milieux poreux.
2.I POROSIT#. Un milieu poreux est constitud d'dldments solides particules pour les
sddiments, matrice ou squelette pour les roches ou les matdriaux frittds entre lesquels les vides constituent l'espace poreux. On ddfinit la porositd par le rapport :
4
= V~/V~ (1)
oh V~ reprdsente le volume des pores et V~ le volume total du milieu.
Par la suite, nous considdrerons que le milieu poreux est saturd, que les phases fluide et solide sont continues et que la porositd est isotrope et uniforme.
2.2 PERMtABILIT#. De nombreux milieux poreux permettent la circulation des fluides. Or la loi de Darcy [16] dtablit que la vitesse d'dcoulement est directement proportionnelle au
gradient de pression donnant naissance h l'dcoulement. Si Q est le ddbit en volume qui s'dcoule
par seconde h travers une aire de section droite S, la loi de Darcy indique que :
K~ Ap
Q = S ~ (2)
dans le cas oh l'dcoulement est parallble h L et oh Ap est la diffdrence de pression h travers un milieu poreux d'dpaisseur AL ; ~ est la viscositd dynamique du fluide et K~ le coefficient de
permdabilitd ou permdabilitd du milieu poreux. La permdabilitd est homogbne h une surface et
son unitd est le m~. On emploie dgalement le darcy (D) qui vaut 0, 986923 ~Lm2, mais on utilise
souvent le millidarcy (I mD
w 10~ '~ m~).
La loi de Darcy n'est valable que dans les cas d'dcoulement laminaire ou dcoulement
visqueux. Ce qui implique que
la r£sistance h l'dcoulement est due h la seule force de viscositd
le fluide est inerte vis-h-vis du milieu poreux, c'est-h-dire que des effets chimique, dlectrique, thermique sont absents.
3. Modkle de Blot (rappels).
3.I EQUATIONS Du MOUVEMENT. La thdorie de Biot [3, 4] moddlise la propagation d'une onde acoustique dans un milieu poreux, en se plaqant dans l'hypothdse oh la longueur d'onde est grande devant les dimensions des pores. Le milieu poreux dtant vu comme la superposition
de deux milieux continus, on obtient deux dquations coupldes pour la propagation.
La premibre dquation s'obtient h partir de la quantitd de mouvement totale du fluide et du solide. En ne considdrant qu'un mouvement parallble h l'axe des x, elle s'dcrit :
A(He-C()
=
~ (Pe-Pff). (~l
~
La deuxibme dquation rdsulte des lois du mouvement relatif du fluide par rapport au solide, elle s'dcrit
A (Ce M( j = (
(p~ e mf I F (K K (4j
°t Kp °t
avec
e dilatation volumique de la matrice du matdriau, ( augmentation locale de teneur en fluide,
pi masse volumique du fluide,
p~ masse volumique du solide constituant la matrice,
p masse volumique totale du milieu saturd, donnde par la relation :
P " Pr(1- ~ i + pf ~ (5)
Dans l'dquation (4), m reprdsente le couplage inertiel et le rapport ~F (K )/K~ reprdsente le
couplage visqueux.
H, C et M sont les modules dlastiques de Biot.
3.2 MODULES fLASTIQUES. Its s'expriment h partir des modules de rigiditd K~ du matdriau
constituant la matrice, K~ du fluide et K~ de la matrice, p dtant le module de cisaillement
classique du matdriau constituant la matrice. Pour ddterminer et comprendre la signification physique de ces coefficients, Biot a proposd deux types d'expdriences « fictives » h partir
desquelles il serait possible d'exprimer H, C et M en fonction des modules K~, K~ et
K~.
La premibre expdrience correspond h un milieu draind pour lequel la pression p~ du fluide est nulle.
La deuxibme correspond h un milieu non draind pour lequel la teneur en fluide ( est
constante.
En s'inspirant de ces expdriences « fictives », Stoll [7] donne les expressions suivantes pour les coefficients de Biot
(K~-K~)~ 4
H
=
+K~+-p
D-Kb 3
K~(K~ K~
C
= D Kb
~ (6)
M
=
~
D Kb
K~ ~l
D =K~ 1+~ --l
Kt
Gdndralement K~ n'est pas connu et devra dire considdrd comme un parambtre ajustable.
Quant h H ~ p, il reprdsente le module de rigiditd du milieu poreux saturd.
3
C est un coefficient de couplage.
3.3 FACTEUR DE CORRECTION DE LA vIscosITt. En haute frdquence l'dcoulement du fluide
h travers les pores n'obdit plus h la loi de Poiseuille, c'est pourquoi Biot [4] proposa
d'introduire un facteur de correction ddpendant de la frdquence
F (K
=
~~~~ (7)
~ l + ~
T(K
oh
~n~~j her'(K ) + I bet'(R j her (K ) + I bei (K her'(K j
=
£ her(K j
bei'(K j = ~ bei(K ).
Les fonction her et bei sont les parties rdelle et imaginaire de la fonction de Kelvin, d'argument
wp~ i12
K=h ~'l (8)
h est un parambtre caractdristique qui a pour dimension une longueur et qui est associd au rayon hydraulique des pores. Par exemple, pour des pores constituds de fentes paral161es, on
prendra pour h la valeur proposde par Biot [4]
3K 1/2
h= ~
~
3.4 COUPLAGE WERTIEL. -Le couplage inertiel prend en compte l'effet de tortuositd du milieu poreux, h savoir que l'dcoulement du fluide dans les pores ne s'effectue pas entibrement suivant la direction du gradient de pression appliqude au milieu.
Stoll [7], Bourbid et al. [8] dcrivent le couplage inertiel sous la forme
m = a
~~ (9)
~ oh a est le paramdtre de tortuositd tel que :
L~
a=-ml
L~ dtant la longueur moyenne des capillaires et L, la longueur du milieu.
Dans le cas oh les capillaires sont tous paralldles au gradient de pression a
= I ; si les
capillaires ont des orientations aldatoires par rapport h la direction du gradient de pression
a = 3.
3.5 FR#QUENCE CARACT#RISTIQUE. Elle est ddfinie en posant
w~ =
2 arf~
=
fi (10)
K~ p~
La frdquence caractdristique f~ ddpend donc de la permdabilitd K~ et de la porositd ~ du milieu poreux, ainsi que de la viscositd ~ et de la masse volumique p~ du fluide.
4. Propagation des ondes.
4, I fQUATION DE DISPERSION. Pour obtenir l'Equation de dispersion considdrons pour e et ( des solutions de la forme
e =Ajexp[I(wt-ki)]
(
= A~ exp[I(wt kx)] ~~~~
oh k k~ + ikj.
En portant les relations (11) dans les Equations (3) et (4), nous obtenons un systdme de 2 Equations h deux inconnues Aj et A~ qui admet des solutions non triviales si le ddterminant
des coefficients est nul, soit ici
Hk)-pw~ p~w~-Ck(
=0 (12)
Ck(-p~w~ mw~-Mk(-I~°'~~
K~
oh kj reprdsente le nombre d'onde longitudinal.
Le ddveloppement du ddterminant (12) donne une Equation bicarrde en kj dont la rdsolution
conduit h deux solutions ayant un sens physique, donc h deux vitesses de propagation
ddtermindes par Vp
=
w/k~ pour les ondes longitudinales, avec une attdnuation donnde par
A~
= kj.
Ces deux vitesses ddpendent de la frdquence et correspondent, l'une h l'onde de premidre espdce (ou onde rapide), l'autre h l'onde de deuxidme espdce (ou onde lente) de Biot.
Nous pouvons dgalement obtenir, h partir des relations contrainte-ddformation, l'Equation de
propagation des ondes de cisaillement dont l'dquation de dispersion est donnde par :
~j ~~~ ~~~~j~t~~F
~ ~~~~
K~
oh k~ reprdsente le nombre d'onde transversal.
La rdsolution de la relation (13) conduit h une seule onde de cisaillement.
4.2 R#soLuTIoN NUM#RIQUE. La rdsolution du ddterminant (12) permet d'obtenir, aprbs ddveloppement, une Equation de dispersion bicarrde. L'expression des solutions appartenant h
cette Equation fait apparaitre l'existence d'une onde de compression rapide (notde Vp,) et d'une
onde de compression lente (notde Vp~), correspondant respectivement aux signes + et du discriminant
Vp,
= Re ~° et Vp~
=
Re ~°
k/R kjR
ces deux vitesses Vpj et Vp~ variant de Co (vitesse h frdquence nulle) h C
~
(vitesse h frdquence infinie).
Dans ces notations, Re (. ) est la partie rdelle de (, et k~ reprdsente la partie rdelle du nombre d'onde.
De mfime, la rdsolution du ddterminant (13) donne une solution correspondant h une onde de cisaillement (notde Vs), dont la vitesse est exprimde par :
Vs
=
Re I
~tR
Nous ne calculerons pas les attdnuations (notdes A~), relatives aux trois types d'ondes, que
l'on peut obtenir h partir de la relation
A~= -Im (k)= -kj.
Le traitement numdrique est rdalisd par un programme dcrit en Fortran, destind h calculer les vitesses de phase Vpj, Vp~ et Vs en fonction de la frdquence et permettant de tracer les courbes
thdoriques V
= f (frdquence), h partir de la connaissance des divers paramdtres (modules de
rigiditd K~, K~, K~, module de cisaillement p, porositd ~, viscositd ~, permdabilitd
K~ et masses volumiques p~, pi).
Les courbes de la figure I donnent l'allure des variations de la vitesse de l'onde rapide et de
l'onde de cisaillement en fonction de la frdquence. Ces courbes sont calculdes avec les
parambtres publids par Turgut [17], ceux-ci correspondant h une roche poreuse dent la nature n'est pas spdcifide.
5. Mesures et rdsultats expdrimentaux.
La thdorie de Biot a dtd ddveloppde pour rendre compte du comportement acoustique des
matdriaux poreux. Or, nous pouvons considdrer le meddle d'un point de vue pratique comme
dtant un systdme d entries-sorties dans lequel, pour un matdriau de composition donnde, les
propridtds physiques des constituants reprdsentent les entries du systbme alors que les sorties sont reprdsentdes par les vitesses de phase des ondes de compression et de cisaillement dans le
matdriau concemd.
vp,jrrusj vsIrrusj
~~
~ 3
I
~ "
( T
~ fl
f I z
u
?
~ 8
4 f
£
Roche pOreUSe
)~
~oche pOreUSe
lo~ lo' lo, lo~ lo lo
Fr£quence jHzj Fr£quen;elHzj
Fig. I. -Exemple de courbes de dispersion de vitesse obtenues avec les paramdtres de Turgut.
[Example of dispersion curves computed from Turgut's parameters.]
Le processus de vdrification thdorie-expdrimentation va consister alors h se servir de ces
parambtres d'entrde en les introduisant dans le modble, afin que ce demier restitue en sortie,
sous forme de courbes thdoriques, les rdsultats qui seront ultdrieurement compards aux courbes
expdrimentales.
Comme nous l'avons vu dans le paragraphe prdcddent, pour utiliser le modble de Biot nous devons prdciser les valeurs des nombreux parambtres d'entrde caractdrisant les propridtds physiques des matdriaux poreux.
La plupart de ces paramdtres ant dtd ddterminds d partir de nos mesures de vitesse de phase
de l'onde de compression Vpj et de l'onde de cisaillement Vs, relatives d l'dchantillon de roche testde.
Quant aux masses volumiques et aux porositds, elles ont did calculdes h partir de la connaissance des volumes et poids du matdriau saturd d'eau ou sec. Les permdabilit£s ont did ddtermindes par deux mdthodes diffdrentes l'une expdrimentale par mesure du ddbit d'eau
traversant une surface connue, l'autre indirecte par lecture du point d'inflexion sur la courbe de
dispersion V~~~f).
Les mesures relatives au comportement acoustique des diffdrents dchantillons poreux testds
ont portd sur des matdriaux poreux naturels (roches sddimentaires de calcaire) et synthdtiques.
Dans cet article, nous porterons notre attention uniquement sur les roches de calcaire.
5,I EXP#RIMENTATION.-Les techniques de mesure ultrasonore permettant de tester les
dchantillons poreux sont basdes essentiellement sur les principes de transmission, de
conversion de mode et de rdfraction aux interfaces liquide-solide (Fig. 2).
L'expdrience est rdalisde en immergeant l'dchantillon dans une cuve remplie d'eau. II est
alors soumis h un champ ultrasonore grhce h un transducteur dmettant un train d'ondes
sinusoidales de quelques pdriodes. L'dnergie ultrasonore transmise par le matdriau est ddtectde par un transducteur rdcepteur et la vitesse de phase est ddterminde en mesurant les temps d'arrivde du train d'ondes sur un oscilloscope numdrique (type Nicolet 4094 B ou 450) avec
une pdriode d'dchantillonnage de 50 ns ou de 20 ns. L'angle d'incidence du signal dmis sur le milieu poreux est contr01d et peut varier afin d'engendrer les ondes de mode longitudinal ou de mode transversal. Les transducteurs employds sont des modbles large bande (type Paname- trics), de frdquence centrde sur 250kHz ou 500kHz.
0nde de compression
EAU
~
E R
M E
I '
s , E
S , P
i , T
O ,
N O
Onde de cisaillement N
Echantillon
Fig. 2. -Transformation de modes.
[Mode conversions.]
5.2 MAT#RIAUX PoREux.-Parmi les matdriaux poreux naturels, trois types de roches
sddimentaires du Midi de la France font l'objet de notre dtude (Fig. 3), ce sont successivement le calcaire de Castillon (Cl,
le calcaire de Montpellier (Ml,
le calcaire du Lubdron (L).
Ces dchantillons sont des plaques de dimensions approximatives 20cmx25 cm et
d'dpaisseur avoisinant 2 cm.
5.3 COURBES EXP#RIMENTALES. Les courbes expdrimentales (figurdes par des points) et les
courbes thdoriques (en trait plein) sort tracdes sur les figures 4 et 5.
Nous avons portd, sur le graphique de la figure 4, (es trois courbes de vitesse de phase
Vpj = f (frdquence), et en figure 5 les trois courbes Vs
=
f (frdquence) correspondant aux
trois roches sddimentaires de Castillon, de Montpellier et du Lubdron classdes darts l'ordre croissant de vitesse.
Nous observons que la vitesse augmente avec la frdquence d'une valeur Co (vitesse h
frdquence nulle) h une valeur C~ (vitesse h frdquence infinie).
Ces trois dchantillons accusent dans l'ensemble une forte dispersion de vitesse, bien que celle-ci soil moins importante pour le demier dchantillon notd (L les diffdrences d'amplitude
AVp entre C~ et Co sent respectivement AVp(C
=
209 m/s, AVp(M)
=
261 m/s, AVp(L)
=
l19 m/s la mdme remarque est rdpercutde sur les vitesses de cisaillement, h
savoir AVS (C) = 126 m/s, AVS(M)
=
130 m/s, AVS (L
=
67 m/s.
Nous pouvons rioter dgalement que la dispersion de vitesse reflbte le «degrd de
consolidation » de la roche.
Fig. 3. Photographies des trots £chantillons calcaires : IL) roche du Lub£ron, (C) roche de Castillon et >
(M) roche de Montpellier.
[Photographs of the three limestone samples : (L) Luberon rock, (C) Castillon rock and (M) Montpellier rock.]
