Chapitre II
I. CHAMP ET POTENTIEL ELECTROSTATIQUES
I - Champ électrostatique :
On dit qu’il existe un champ électrique en tout point de l’espace, si en ce point peuvent se manifester des forces capables d’agir sur les charges électriques.
1 – Champ crée par une charge ponctuelle : On dispose de trois charges Q, q et q’ :
a) Si la charge q est placée seule au point M, aucune force électrique ne sera présente au point M.
b) Si la charge Q est placée au point O et la charge q au point M, dans ce cas la charge q est soumise à une force FQq
rrr r
:
Qq 2 OM 2 OM
o o
1 Qq 1 Q
F u q u
4 r 4 r
= =
== ==
= πεπεπεπε = πεπεπεπε r
rr
r rrrr rrrr
c) Sans modifier la charge Q, la charge q est remplacée par la charge q’, dans ce cas une nouvelle forceFQq'
r rr r
s’applique au point P :
Qq' 2 OM 2 OM
o o
1 Qq ' 1 Q
F u q ' u
4 r 4 r
= =
= =
= =
= πεπεπεπε = πεπεπεπε r
r r
r rrrr rrrr
En observant les expressions de ces deux forces, il apparaît que le remplacement de q par q' n'a pas modifié l'expression vectorielle entre parenthèses.
Cette grandeur vectorielle qu’on note E(M) r r r r
, est appelé le champ électrique, au point M, créé par la charge Q .
2 OM o
1 Q
E(M) u
4 r
==== πεπεπεπε r
rr
r rrrr
E(M) r r r r
est dû aux charges autres que celles que l'on place au point M .
La force exercée sur une charge ponctuelle q ou q’ placée au point M est le produit de cette charge par le champ électrique en ce même point :
Qq Qq'
F (M)rrrr ====qE(M) ourrrr Frrrr (M)====q 'E(M)rrrr Remarque :
La charge Q qui crée le champ électrique en tout point de l’espace est la source du champ. Les charges q et q’ sont un moyen de mettre en évidence la présence du champ électrique au point M.
Il y a un champ électrique autour de Q même en l'absence de la petite charge d'essai (q ou q’ ) qui sert à le mettre en évidence.
Le champ électrique est une grandeur vectorielle qui s’exprime dans le système MKSA, en Newton par Coulomb (N/C). Un champ électrique de 1 N/C crée sur une charge de 1 C une force de 1 N.
2- Champ crée par une distribution discontinue de charges :
Le principe de superposition qui s'applique aux forces électriques (voir chapitre I) s'applique également aux champs
électriques (ces grandeurs ne sont séparées que par le coefficient de proportionnalité q). Pour calculer le champ créé en un point par un ensemble de n charges Qi, on détermine d'abord le champ E1
r rr r
dû à Q1, le champ E2
rr rr
dû à Q2, …, le champ En rrr r
dû à Qn . Le champ résultant E(M) rrr r
est égal à la somme vectorielle des champs individuels Ei
r r r r
:
n n
i
i 2 i
i o i i
1 Q
E(M) E u
4 r
= =
= =
= =
= =
πε πε πε
∑
πε∑
∑ ∑ ∑ ∑
∑ ∑
r r
r r
r r
r r rrrr
3- Champ crée par une distribution continue de charges :
Dès que le nombre de charges augmente, la relation précédente ne permet plus de calculer le champ électrique, les calculs devenant trop complexes. Dans beaucoup de cas on pourra faire l'approximation que la charge électrique est répartie de manière continue dans l'espace et remplacer la somme par une intégrale. Le calcul de cette intégrale est grandement simplifié lorsque la distribution de charge est uniforme, c'est-à-dire de même densité partout dans l'espace considéré.
a – Distribution linéique :
Soit une charge Q répartie sur un fil conducteur avec une densité linéique λλλλ :
Soit un élément d uur uur uur uur ll
ll du fil. Ce d uur uur uur uur ll
ll contient une charge élémentaire dq, qui peut être assimilée à une charge ponctuelle.
u r r r r
d r r r r l ll l
dE r r r r dq
A M
B
r
Le champ élémentaire dE r rr r
crée par dq au point M est :
2 o
1 dq
dE u
4 r
==== πεπεπεπε rrr
r rrrr
avec dq = λλλλdllll Le champ total E
r r r r
crée par toute la distribution est :
B
AB A 2
o
1 d
E dE .u
4 r
= = λλλλ
= =
= =
= =
πε πε πε
∫
πε∫
∫ ∫ ∫ ∫
∫ ∫
r r
r r
r r
r r ll rll rrr
Si la distribution est uniforme ( λλλλ = constante) : B 2
o A
E d .u
4 r
==== λλλλ πεπε πεπε
∫∫∫∫
r r r
r ll rll rrr
b – Distribution surfacique :
Soit une surface chargée avec une densité surfacique σ (σ > 0)
σ (σ > 0) σ (σ > 0) σ (σ > 0).
Le champ élémentaire dE rrr r
crée par la charge dq au point M est :
2 o
1 dq
dE u
4 r
==== πεπεπεπε rr
rr rrrr
avec dq= σ= σ= σ= σdS Le champ total E
r r r r
crée par toute la distribution surfacique est :
S 2 o
1 dS
E .u
4 r
σ σ σ
==== σ πεπε πεπε
∫∫∫∫∫∫∫∫
r r r
r rrrr
c – Distribution volumique :
De même pour une distribution volumique , une charge dq contenue dans un élément de volume dττττ crée un champ élémentaire dE
r rr r
au point M :
2 o
1 dq
dE u
4 r
==== πεπεπεπε r
r r
r rrrr
avec dq = ρρρρdττττ Le champ total E
r r r
r crée par tout le volume ττττ est :
2 o
1 d
E u
4 ττττ r ρ τρ τ ρ τρ τ
==== πεπεπεπε
∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫
rr
rr rrrr
4 - Topographie du champ électrique :
c- Représentation du champ électrique :
Le champ électrique est un champ vectoriel, c'est-à-dire qu'il est caractérisé en chaque point r de l'espace par un vecteur E(r)
r rr r
dont il faut connaître la direction, le sens et l'intensité. Dans un repère orthonormé cartésien, il est repéré par ses trois composantes scalaires : Ex, Ey et Ez .
urrrr r
dE r r r r
(S) dS
dq M
urrrr r
dE r rr r
(ττττ) dττττ
dq M
Exemple : Champ crée par une charge ponctuelle Q en un point M de l’espace : Le champ électrique tout comme la force de Coulomb est radial, il s'éloigne de la charge Q si celle-ci est positive (voir figure a) et se dirige vers celle-ci si elle est
négative (voir figure b).
d- Lignes de champ :
Etant donné un champ de vecteurs E r r r r
, une ligne de champ est par définition une courbe en tout point de laquelle le vecteur champ E
r r r r
est tangent (voir figure ci- dessous). Par convention une ligne de champ est orientée suivant le sens du champ électrique E
rr rr
.
Principales propriétés :
1- Une ligne de champ électrique part toujours de la charge positive (ou de l'infini) et arrive à la charge négative (ou à l'infini).
E r r r r
E r rr r E
r r r r
O
M
P
Une ligne de champ
Exemple de lignes de champ
2 - Les lignes de champ ne se coupent jamais. En tout point de l’espace passe une ligne de champ sauf dans les endroits où il y’a des charges.
3- L’intensité du champ est proportionnelle à la densité des lignes de champ.
4- Pour établir l’équation d’une ligne de champ, il suffit d’écrire: Errrr∧∧∧∧dlurururur====0rrrr .
c- Tube de champ :
Un tube de champ est un ensemble de lignes de champ s’appuyant sur un contour fermé (voir figure ci-contre).
II – Potentiel électrique :
1 – Circulation du champ électrique crée par une charge ponctuelle : Soit une charge q et une courbe ( Γ ) non chargée dans le vide. Le champ crée au point P de la courbe ( Γ ) est :
p 2
o
E q u
4 r
==== πεπεπεπε r
r r
r rrrr
avec r
u==== r rr rr rr rr
La circulation deE rr rr
le long de la courbe ( Γ ) est :
B B
A A 2
o
1 q r
C E.dl dl
4 r r
= =
= =
= =
= =
πεπε πεπε
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
r r r
ur r ur
ur ur
ur ur
ur ur
r r r r
or OP 'uuuruuuruuuruuur ====OPuuuruuuruuuruuur++++PP 'uuruuruuruur
avec OP 'uuuruuuruuuruuur = += += += +rrrrr druuruuruuruur , OPuuuruuuruuuruuur ====rrrrr et PP 'uuruuruuruur ====dlurururur d’où dlurururur====PP 'uuruuruuruur ====druuruuruuruur
ainsi B 3
o A
q r
C .dr
4 r
==== πεπεπεπε
∫∫∫∫
r r r r uuruuruuruur
sachant que: 1
rdr d(r.r) rdr
= 2 =
= =
= =
= =
uuruur uuruur
r r r
r r r
r r r
r r r
on aura: B 2 A B
A
o o A B o A o B
q dr q 1 1 q q
C V V
4 r 4 r r 4 r 4 r
= = − = − = −
= = − = − = −
= = − = − = −
= πεπεπεπε
∫∫∫∫
= πεπεπεπε − = πεπεπεπε − πεπεπεπε = −Nous constatons que la circulation de E r r r r
est indépendante du chemin suivi. Elle ne dépend que du point de départ et du point d’arrivée.
Si la courbe ( Γ ) est fermée, la circulation de E rr rr
est nulle. La circulation du champ est donc conservative.
Tube de champ dS1
dS2
E ur ur ur ur
( ΓΓΓΓ)
rrrrr++++drrrrr
d r r r r l l l l
O q P’
P
urrrr E
rr rr
A
B
rrrrr
On pose :
o
V(r) q cste 4 r
= +
== ++
= +
πεπεπε πε
V( r ) est le potentiel électrique crée par la charge q au point P à la distance r de q.
En fait, le potentiel électrique est défini à une constante près. Il est bien évident que si on ajoute une constante quelconque à l'expression de V(r), le champ électriqueE
rr rr
, et donc les forces qui s'exerceront sur des charges placées en M(r), sont inchangés.
Remarque :
S’il n’y a pas de charges à l’infini, on prendra V( ∞ ) = 0. S’il y a des charges à l’infini, il faut choisir une origine des potentiels.
Pour la charge ponctuelle la constante est définie par : V( ∞ ) = 0 + cste = 0 ce qui donne une constante nulle (cste = 0),
d’où:
o
V(r) q
4 r
==== πεπεπεπε
Le potentiel d'une charge ponctuelle est un champ scalaire. En chaque point du voisinage de la charge, le potentiel prend une valeur numérique (un scalaire) s'exprimant en Volts (V).
2 – Potentiel crée par un ensemble de charges : a – Répartition discontinue de charges :
Nous avons vu précédemment que le champ électrique créé par une distribution de charges était égal à la somme vectorielle des champs électriques créés par chacune de ces charges si elle était seule. De même, le potentiel électrique créé par une distribution de charges est égal à la somme algébrique des potentiels électriques créés par chacune de ces charges si elle était seule :
i i
V(r)====
∑ ∑ ∑ ∑
V (r)Avec : i i
o i
V (r) q
4 r
==== πεπεπεπε est le potentiel crée par la charge qi au point M(r).
b – Distributions continues de charges :
La détermination du potentiel d'une distribution de charges continue utilise à la fois l’expression du potentiel d'une charge ponctuelle et le principe de superposition.
Si la distribution de charges est finie (donc pas de charge à l’infini) on aura alors les expressions suivantes :
Pour une distribution de charge linéique λλλλ :
o
V(r) 1 .dl 4 ΓΓΓΓr
==== λλλλ πεπε πεπε
∫∫∫∫
Pour une distribution surfacique σσσ: σ
o S
1 ds
V(r) 4 r
σ σσ
==== σ πεπε πεπε
∫∫∫∫∫∫∫∫
Pour une distribution volumique ρρρρ:
o
1 d
V(r) 4 ττττ r ρ τ ρ τρ τ
==== ρ τ πε πε πε πε
∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫
Si la distribution de charge est infinie (la constante d’intégration ne peut plus être considérée comme nulle), il ne sera donc plus possible de déterminer le potentiel par un calcul direct. Sa détermination ne peut se faire qu’à partir de l’expression du champ électrostatique, en utilisant la relation qui sera établie au paragraphe suivant.
3 – Relation entre le champ et le potentiel en un point donné :
Soit un potentiel V(M) crée par une charge ponctuelle , n charges ponctuelles ou par une distribution continue quelconque au un point M(x,y,z), on a par définition :
V(M) AE.dl
∞
∞
∞
= − ∞
= −
= −
= −
∫∫∫∫
rrrr urururur ou encore dV(M)= −= −= −= −E.dlrrrr urururur Err rr
et dl ur ur ur ur
ont respectivement pour composantes : Ex, Ey, Ez et dx, dy, dz.
d’où : dV(M) = - (Ex.dx + Ey.dy+ Ez.dz) (1)
Si le potentiel V(M) est une fonction continue au voisinage du point M et possède des dérivées partielles, alors la variation de V(M) est une différentielle totale :
V(M) V(M) V(M)
dV(M) dx dy dz
x y z
∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂
= + +
= + +
= + +
= + +
∂ ∂ ∂
∂∂ ∂∂ ∂∂
∂ ∂ ∂ (2)
Par identification des relations (1) et (2), les composantes du vecteur E r rr r
sont :
x y z
V(M) V(M) V(M)
E , E et E
x y z
∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂
= − = − = −
= −= − = −= − = −= −
= − = − = −
∂ ∂ ∂
∂∂ ∂∂ ∂∂
∂ ∂ ∂
d’où : E(M)rrrr = −= −= −= −gradV(M)uuuuruuuuruuuuruuuur
D’une façon générale, à partir d'un champ scalaire, il est possible de construire un champ vectoriel dont les composantes en coordonnées cartésiennes sont données par la relation:
E(M)rrrr = −= −= −= −gradV(M)uuuuruuuuruuuuruuuur Conséquence :
• Le champ E r r r r
dérive d’un potentiel V.
• Le champ E r r r r
a le même module que celui du vecteur grad uuuur uuuur uuuur uuuur
, mais orienté dans le sens des potentiels décroissants.
• Si le potentiel est exprimé en volt (V) , alors le champ est exprimé en volt par mètre (V/m).
4 – Topographie du potentiel : 1 – Surfaces équipotentielles :
Les surfaces équipotentielles sont des surfaces sur lesquelles le potentiel reste constant.
Exemple : Surfaces équipotentielles d’une charge ponctuelle :
Le potentiel crée par une charge ponctuelle est :
o
V q
4 r
==== πεπεπεπε
Surface équipotentielle implique que:
o
V q cste
4 r
= =
== ==
= =
πε πεπε
πε d’où r = cste.
Cette équation est celle d’une sphère, les surfaces équipotentielles d’une charge ponctuelle sont donc des sphères centrées sur la charge..
Les surfaces équipotentielles associées à des charges à symétrie sphérique (charge ponctuelle ou de configuration sphérique) sont des surfaces sphériques dont le centre coïncide avec celui de la distribution des charges (voir figure). Dans le cas de celles à symétrie cylindrique (long fil droit, cylindres coaxiaux, etc), les surfaces équipotentielles sont cylindriques et centrées sur l'axe de la distribution (voir figure). Dans le cas des charges sources sur des surfaces planes, les équipotentielles sont des plans parallèles à celui de la distribution.
2- Propriétés a – Si d l
r r r r
est un déplacement élémentaire quelconque sur une surface équipotentielle on a : Ed lr rr rr rr r= −= −= −= −dV
et puisque V = cste on a dV = 0 d’où Ed lrrrr rrrr ====0 . Il en résulte donc que E
rr rr
est perpendiculaire à la surface équipotentielle (voir figure). Ceci implique que les lignes de champ sont toujours orthogonales aux surfaces équipotentielles.
b – Le potentiel diminue quand on suit une ligne de champ
La circulation élémentaire de E r r r r
est dC====E.dlrrrr urururur====E.dl>>>>0
avec dl = pp’
Or dC = - dV ce qui implique que dV < 0. Il en résulte que le potentiel diminue lorsqu’on passe de p en p’. La ligne de champ part donc d’un maximum de potentiel et arrive à un minimum de potentiel.
c – Les lignes de champ et les surfaces équipotentielles se resserrent en même temps dans les régions où le champ est plus intense.
Surface
équipotentielle
Distribution sphérique Distribution cylindrique
p p’
30V 20V
E r r r r
minimum de potentiel
maximum de potentiel
Ligne de champ Surfaces
équipotentielles
