PHYSIQUE - Concours blanc PCSI
Mardi 29 mai 2014 (durée : 4 heures)
1 Propulsion d’un sous-marin
Les systèmes de propulsion des sous-marins doivent être silencieux pour ne pas être repérés et fonction- ner de manière anaérobie, c’est-à-dire sans utiliser d’air, vu qu’en immersion totale, le milieu extérieur est l’eau et non l’air. La propulsion nucléaire est un type de propulsion largement utilisée dans les sous- marins militaires à l’heure actuelle. Les AIP (Air Independant Propulsion) représentent une autre classe de propulsion fonctionnant de manière classique, sans apport d’air et permettant de s’affranchir du dan- ger nucléaire. Parmi ces AIP, nous allons nous intéresser au moteur de Stirling.
Les deux parties sont indépendantes.
Première partie : moteur de Stirling
Le moteur deStirlinga été développé auXIXesiècle et a rapidement été délaissé au profit des moteurs à combustion interne (à essence et diesel). Il pourrait cependant connaître un essor significatif dans le futur compte-tenu, entre autres, des avantages qu’il présente en matière de protection de l’environnement.
La structure du moteur est représentée sur la figure ci-dessous :
[h]
Figure 1 – Moteur de Stirling
Dans une enceinte principale, peuvent se mouvoir d’une part un piston de travail et d’autre part un déplaceur, dont le rôle est de transvaser le fluide de travail depuis le volume de compression (zone froide) vers le volume d’expansion (zone chaude) et réciproquement. Lors du transvasement, le fluide parcourt dans un sens ou dans l’autre la chaudière à la température T3, le régénérateur et le refroidisseur à la températureT1.
Le fluide de travail décrit le cycle constitué des quatre phases suivantes (voir aussi schémas ci-dessous) : – pendant la phase de compression 1−2, le déplaceur se trouve en position haute et le fluide, entièrement situé dans la zone froide, est comprimé par le piston de travail dans sa course vers le haut.
– au point2, le piston reste au point mort haut et le déplaceur est ramené en position basse, ce qui a pour effet de transvaser le fluide comprimé, qui passe pendant la phase 2−3 de la zone froide vers la zone chaude, commençant par se réchauffer dans le régénérateur puis recevant un transfert thermique de la chaudière.
– pendant la phase de détente 3−4, le fluide se détend dans le volume d’expansion où il continue d’être chauffé par les tubes de la chaudière. Cette détente a pour effet de repousser le déplaceur et le piston de travail vers le bas.
– pendant la phase4−1, après que le piston a atteint le point mort bas, le déplaceur est ramené en position haute, ce qui a pour effet de transvaser le fluide de la zone chaude (volume d’expansion) vers la zone froide (volume de compression). Au cours de ce transfert, le fluide commence par céder un transfert thermique au régénérateur, puis il est refroidi par le refroidisseur.
En pratique, le régénérateur est un échangeur de chaleur : il reçoit un transfert thermique du gaz chaud dans un sens de circulation, qu’il restitue dans l’autre sens, lorsque le gaz est froid.
Figure2 – Cycle de Stirling
Nous étudierons le cycle de Stirling idéal. Au cours de celui-ci, n moles de gaz parfait de rapport de capacités thermiquesγ = CCp
v subissent les évolutions ci dessous.
– compression 1−2 isotherme réversible à la températureT1 = 300K ; – échauffement 2−3isochore jusqu’à l’état 3 de températureT3 = 600K ; – détente 3−4 isotherme réversible à la températureT3;
– refroidissement 4−1 isochore jusqu’à l’état1.
Il n’y a pas de travail autre que celui des forces de pression. On rappelle que la capacité thermique à volume constante s’écrit : Cv = γ−1nR , oùR désigne la constante des gaz parfaits.
Q.1 Tracer l’allure du cycle dans le diagramme (p, V) représentant la pression du gaz en fonction de son volume. Comment justifier si le cycle proposé est celui d’un moteur ou d’un récepteur ? Q.2 Exprimer le travailW12 reçu par le fluide au cours de la compression, en fonction den,R,T1 et
du rapport de compression ρ = VV1
2. En déduire le transfert thermique Q12 reçu par le fluide au cours de cette compression. Préciser les signes deW12 etQ12.
Q.3 Exprimer le transfert thermiqueQ23 reçu par le fluide au cours de l’échauffement, en fonction de n,R,T1,T3 etγ. Préciser son signe.
Q.4 Exprimer le travailW34 reçu par le fluide au cours de la détente, en fonction den,R,T3 etρ. En déduire le transfert thermiqueQ34 reçu par le fluide au cours de cette détente. Préciser les signes deW34 etQ34.
Q.5 Exprimer le transfert thermique Q41 reçu par le fluide au cours du refroidissement en fonction de n, R, T1, T3 etγ. Préciser son signe. Si le régénérateur est idéal, le transfert thermique qu’il fournit au fluide estqregenerateur =q23+q41. Que peut-on en dire ? ?
Q.6 Les échanges thermiques au cours des évolutions isochores sont internes à la machine. Les seuls échanges thermiques avec l’extérieur ont lieu pendant les phases isothermes. En déduire le rende- mentr de ce cycle moteur, en fonction de T1 etT3. Faire l’application numérique.
Q.7 Établir l’expression du rendementeC de Carnot pour un moteur fonctionnant entre les sources de températureT1 etT3. Comparer au rendement r du cycle de Stirling avec régénérateur idéal.
Deuxième partie : propulsion nucléaire
Un autre mode de propulsion des sous-marins utilise un réacteur nucléaire, qui fournit de l’énergie grâce à la fission nucléaire de combustible tel que l’uranium (circuit primaire). Cette énergie permet de vaporiser de l’eau, entraînant une turbine, couplée à un alternateur (voir figure ci-dessous). Celui-ci produit de l’électricité pour alimenter un moteur électrique faisant tourner l’hélice du sous-marin.
Figure 3 – Moteur à propulsion nucléaire
Nous nous intéresserons ici uniquement au circuit secondaire représenté schématiquement ci-dessous :
Figure 4 – Circuit secondaire
L’eau entre dans la pompe sous forme de liquide saturé (état 1), puis est comprimé de façon adiabatique réversible à la pression qui règne dans le générateur de vapeur(GV). En entrant dans le(GV), l’eau se trouve sous forme de liquide, comprimé à la pression P2. Elle en ressort sous forme de vapeur (état 3), à la même pression P2, puis pénêtre dans la turbine où elle se détend de façon adiabatique réversible en entraînant l’arbre de l’alternateur. A la sortie de la turbine (état 4), l’eau est diphasée. Ce mélange liquide-vapeur est alors liquéfié à pression constante dans le condenseur et en sort dans l’état1.
Q.8 Les quatre composants de ce cycle (dit cycle de Rankine), soit la pompe, le (GV), la turbine et le condenseur, fonctionnent avec un écoulement en régime permanent. L’objectif des questions qui suivent est d’établir l’expression du premier principe dans ce cas. Pour cela, on considère un composant(C) (cf. Figure 5) et on définit le systéme ferméΣf de la façon suivante :
– à l’instantt,Σf est constitué du fluide contenu dans (C) et de la masse dme de fluide entrant dans(C) entret ett+dt;
– à l’instant t+dt, Σf est constitué du fluide contenu dans (C) et de la masse dms de fluide sortant de(C)entre tett+dt.
Figure 5 – Schématisation du composant (C)
(a) Justifier très précisément l’égalitédme=dms. On noteradm cette quantité.
(b) On néglige les variations d’énergie cinétique (écoulement lent) et d’énergie potentielle de pesanteur (écoulement horizontal). Établir alors l’écriture suivante du premier principe :
∆h=wu+q
où∆hdésigne la variation d’enthalpie massique entre l’entrée et la sortie du composant (hs− he),wule travail massique utile reçu par le fluide de la part des parties mobiles du composant etq représente le transfert thermique massique reçu par le fluide dans le composant.
On précise que le travail massique utile n’intervient ni dans le générateur de vapeur, ni dans le condenseur et les évolutions au sein de la pompe et de la turbine sont adiabatiques.
Q.9 On utilise le diagramme entropique de l’eau dans lequel la températureT est placée en ordonnée et l’entropie massiques en abscisse (fourni en ANNEXE A RENDRE AVEC LA COPIE). Dans ce diagramme, quelle est l’allure d’une évolution adiabatique réversible ? Justifier.
Q.10 On donne P2 = 50.105Pa, P1 = 1,0.105Pa et T3 = 500˚C. Les points 1 et 2 correspondant aux états 1 et 2 figurent déjà sur le diagramme (T, s) de l’eau fourni dans le document réponse en fin d’énoncé. Sur ce même diagramme, placer les points 3et4 correspondant aux états3 et4 du fluide, ainsi que le cycle de Rankine décrit par le fluide.
Q.11 A l’aide du diagramme (T, s), donner les valeurs numériques de T1, des enthalpies massiques h3
eth4 respectivement dans les états 3et 4, des entropies massiquess4 dans l’état 4, sV(T1) de la vapeur saturante à T1 etsL(T1)du liquide juste saturé à T1.
Q.12 Déterminer la valeur numérique du titre en vapeurx4 à la sortie de la turbine. On exprimera pour celas4 en fonction de x4,sV(T1) etsL(T1).
On donneh1 = 440kJ.kg−1 eth2 = 475kJ.kg−1.
Q.13 A l’aide du premier principe pour les écoulements permanents, déterminer les expressions et les valeurs numériques deqcondetqGV, les transfert thermiques massiques reçus par le fluide, respec- tivement dans le condenseur et dans leGV.
Q.14 Déterminer les expressions et valeurs numériques des travaux massiques utiles dans la pompe et la turbine, respectivement wpompe etwturb.
Q.15 Une fraction du travail produit par la turbine sert à entraîner la pompe. En déduire le travail massique utilewalt récupérable au niveau de l’alternateur. Donner sa valeur numérique.
Q.16 Définir et calculer numériquement le rendementη du cycle de Rankine.
2 Une balançoire
Un enfant faisant de la balançoire (Figure 6) est modélisé par une masse ponctuelle m située en M et suspendue en O par une tige rigide, de masse négligeable et de longueur l. Le champ de pesanteur
−
→g, de norme g, est supposé uniforme.
On suppose que le mouvement de l’enfant est plan. L’angle que fait la tige de suspension avec la verticale est noté θ(Figure 6). Les vecteurs unitaires −→ur,−→uθ,−u→z=−→ur∧ −→uθ, tels que définis sur la Figure 6, définissent un trièdre orthonormé direct lié à la balançoire.
Figure 6 – Enfant assis sur la balançoire (gauche) et repère cylindrique associé (droite)
Q.17 A quelle condition, sur la durée de l’expérience, le référentiel terrestre peut-il être considéré comme galiléen ? On donnera un ordre de grandeur.
Cette condition sera supposée être vérifiée dans toute la suite du problème.
2.1 Étude du mouvement de l’enfant sans frottements
Dans cette partie, tout frottement de la tige sur son axe de rotation et tout frottement dû à la résistance de l’air sont négligés.
Q.18 Établir l’équation différentielle du mouvement vérifiée par θ(t) en utilisant trois méthodes : (a) en appliquant le principe fondamental de la dynamique,
(b) en appliquant le théorème de l’énergie (ou puissance) cinétique, (c) en appliquant le théorème du moment cinétique.
Q.19 A quelle condition l’enfant assis sur la balançoire sera-t-il un oscillateur harmonique ? Donner l’expression littérale de la pulsation propre ω0 correspondante.
Q.20 Exprimer dans ces conditions la vitesse maximale de l’enfant vmax en fonction de l, ω0 et θm l’amplitude des oscillations.
Q.21 Application Numérique : l’enfant part d’un angle θ0 = 30˚ sans vitesse initiale. Avec les valeurs numériques suivantes :l= 2,5m,g= 10m.s−2 etm= 20kg, calculer la périodeT0 de l’oscillateur harmonique, ainsi que la vitesse maximale vmax de l’enfant.
2.2 Cas d’une force de frottements fluides
Au niveau de la liaison pivot Oz s’exercent des forces de frottement sur la tige. Le moment de ces forces (par rapport à O) est égal à−→
Γf =−Cdθdt−→uz oùC est une constante positive.
Q.22 De quel type de frottements s’agit-il ?
Q.23 Exprimer l’unité de C en utilisant les unités fondamentales du Système International.
Q.24 Établir l’équation différentielle à laquelle doit maintenant obéirθ(t).
Q.25 En supposant que l’angle θ reste suffisamment petit, à quelle inégalité doit satisfaireC pour que le mouvement de l’enfant puisse être considéré comme pseudo-périodique ?
Q.26 L’enfant part d’un angleθ0 sans vitesse initiale. Déterminer alors l’expression générale deθ(t) en considérant la condition précédente satisfaite. On précisera l’expression de la pseudo-période du système.
Q.27 A quelle condition peut-on approcher la pseudo-période par la période propre T0 de la question Q.19?
Q.28 Application numérique : Considérant cette condition satisfaite, on suppose que θ0 = 30˚. On observe que l’amplitude du mouvement est réduite de moitié après 20 oscillations. Calculer la valeur de la constante C avec les valeurs numériques données à la questionQ.21.
Les frottements ont pour conséquence d’amortir le balancement de l’enfant et un deuxième enfant vient donc aider le premier enfant qui se balance à maintenir une amplitude constante en le poussant (figure 7) avec une force horizontale vers l’avant, périodique non harmonique dont le module F(t) est représenté à la figure 7.
Figure 7 – Enfant poussée par un autre enfant (gauche) et profil de la force appliquée à l’enfant en fonction du temps (droite)
Q.29 A quel moment et à quelle fréquence l’enfant pousseur doit-il appliquer sa poussée sur l’enfant de la balançoire pour que son action soit la plus efficace possible ? Que vaut donc la période T de la force F(t) pour que l’action de l’enfant pousseur soit la plus efficace possible ? (on supposera les frottements faibles dans cette question et dans les suivantes).
On suppose que l’impulsion est suffisamment courte et l’amortissement suffisamment faible pour qu’on puisse considérer queθ(t)suit une évolution sinusoïdale de pulsation ω0 et d’amplitudeθ0. Q.30 Représenter sur un même graphe la fonctionF(t) de la figure 7 et l’angleθ(t).
Q.31 Déterminer la puissance moyenne dissipée par les frottements en fonction deC, ω0la pulsation du mouvement etθ0 l’amplitude du mouvement.
Q.32 Application numérique : En déduire le travail fourni par l’enfant pousseur après 20 oscillations de l’enfant se balançant (les valeurs numériques des différents paramètres sont ceux utilisés ou calculés à la questionQ.28).
2.3 Faire monter la balançoire
Une manière de faire monter la balançoire est la suivante : l’enfant peut rester assis et mettre son dos alternativement en avant ou en arrière tout en repliant puis étendant ses jambes afin de faire lever ou abaisser son centre de gravité.
En supposant comme précédemment que la masse de la balançoire est négligeable, on modélise l’enfant comme un ensemble de deux masses articulées. La masse totale de l’enfant estm+µen notant m la masse du bas du corps située au point M (la longueur de la balançoire OM est l) et µ la masse du haut du corps (la distance entre le centre de masse du haut du corps A - qui est situé environ à la position du coeur - et le point M estAM =acomme indiqué sur la figure 8).
Lorsque la balançoire va de l’avant, l’enfant met et maintient son corps en "arrière" tandis que durant le mouvement vers l’arrière, l’enfant met et maintient son corps en "avant". Pour simplifier, il est supposé que la direction AM fait un angle droit avec la direction OM durant les deux phases, comme indiqué à la figure 8. On considère que le changement de position est instantanée entre les deux phases.
On néglige à nouveau tous les frottements dans cette partie. (soit C = 0) On veut déterminer l’équation du mouvement.
Q.33 Calculer le moment cinétique de l’enfant,LOz, sur l’axe Oz dans le référentiel galiléen lié au sol.
Q.34 Calculer le moment des forces de pesanteur par rapport à l’axe Oz, dans le cas où la balançoire va vers l’avant et dans le cas où la balançoire va vers l’arrière. On pourra introduire l’angle φtel quetan(φ) =a/l.
Q.35 En appliquant le théorème du moment cinétique, montrer que les équations du mouvement sont de la forme :
Figure 8 – Positions de l’enfant et de ses jambes assis sur sa balançoire mouvement vers l’avant :θ¨=−ω12sinθ(t)−∆ω2sin(θ(t)−φ)
mouvement vers l’arrière :θ¨=−ω21sinθ(t)−∆ω2sin(θ(t) +φ)
avectan(φ) =a/l. On explicitera les termes ω1 et∆ω en fonction dem, µ, l, a etg.
On veut étudier les petites oscillations.
Q.36 Dans le cas de petites oscillations, donner les équations linéarisées du mouvement durant les deux phases.
Q.37 Montrer que le mouvement est l’analogue d’un oscillateur harmonique excité, d’équation : θ¨+ Ω2θ(t) =Eexc(t) (1) dont on donnera sa pulsation propre Ω et dont on représentera graphiquement la fonction exci- tatrice Eexc(t) en fonction du temps (à l’instant initial l’enfant part vers l’avant avec le corps en arrière avecθ(t= 0) =θ0 <0).
La fonction excitatrice Eexc(t) se décompose en série de Fourier. Sa décomposition est : Eexc(t) = 4∆ω2φ
π
X
n=1,3,5
sin(nΩt)
n (2)
Q.38 Pourquoi peut-ona priori étudier la réponse du système pour chaque composante spectrale sépa- rément ?
Q.39 Justifier brièvement que dans cette série, il y a un terme susceptible de conduire à une réso- nance. Comment appelle-t-on ce terme ? Dans ce cas et en l’absence d’amortissement, que devient l’amplitude des oscillations forcées pour cette fréquence ?
Q.40 Chercher une solution de l’équation 1 établie à la questionQ.37 pour le terme résonant sous la forme :θ(t) =t(Kcos(Ωt) +K0sin(Ωt))oùK etK0 sont deux constantes qu’on déterminera. Quel est le sens physique de cette solution pour ce terme résonant ?
L’enfant se lance sans vitesse initiale, le corps en arrière et le point M fait un angleθ(0) =−φavec la verticale. Une étude mathématique complète montre que la réponse du système à une telle excitation est :
θ(t) =−t2∆ω2φ
πΩ sin(Ωt) +4∆ω2φ πΩ2
X
3,5...
1
n(1−n2)sin(nΩt) +Acos(Ωt) +Bsin(Ωt) (3) avecA=−φetB = ∆ωπΩ22φ
Pour une balançoire de longueur l= 2,5m, un enfant de masse m+µ= 20kg, ayant une longueur de corps (haut) a = 0,25m et une masse de corps(haut) µ = 6kg, la figure 9 présente le profil de la variation angulaire dans deux situations différentes : sans excitation et avec excitation selon le modèle proposé.
Q.41 Justifier sommairement la présence de chaque terme dansθ(t)et le type de régime associé à chaque terme.(on ne demande pas de calcul)
Figure 9 – Profil de variation angulaire en fonction du temps dans deux situations différentes Q.42 Attribuer chaque courbe de la figure 9 à chaque situation. En se basant sur la situation sans
excitation, justifier l’absence de frottements dans le modèle.
Q.43 Reproduire qualitativement ces courbes en représentant sur le même graphe la fonctionEexc(t).
Q.44 Comparer, pour chaque cas, la période mesurée sur les courbes à la période calculées dans les études précédentes.
Q.45 Commenter le poids relatif du fondamental vis-à-vis des autres composantes spectrales pour le cas avec excitation.
********* FIN de l’ÉPREUVE *********
ATTENTION IL Y A DES ANNEXES
NOM : Classe : PRÉNOM :
ANNEXE - A RENDRE AVEC LA COPIE
