2.2 D´ efinition dans le cadre des prot´ eines

(1)

Chapitre 2

Introduction th´ eorique

2.1 D´ efinition g´ en´ erale dans un syst` eme simple

Considérons un système classique constitué deN particules identiques contenues dans un volumeV à l’équilibre à températureT. Si l’on observe la configuration de ce système, la probabilité de trouver la particule 1 en~r1, la particule 2 en~r2, . . ., et la particule N en~rN vaut, selon la loi de Boltzmann :

P^(N⁾(~r1, . . . , ~rN) = exp [−U/kT]

Z ,

avec Z = Z

V

. . . Z

V

exp[−U/kT]d~r1. . . d~rN , (2.1) où k est la constante de Boltzmann, et U = U(~r1, ~r2, . . . , ~rN) est l’énergie interne du système dans la configuration~r1, ~r2, . . . , ~rN. La probabilité P⁽ⁿ⁾(~r1, . . . , ~rn) d’observer la particule 1 en ~r1, 2 en ~r2, . . . , et n en ~rn, quelle que soit la configuration des N −n autres particules, est la somme de toutes les probabilités, définies par l’équation 2.1, qui sont compatibles avec la configuration spécifiée pour les particules 1 àn. C’est à dire :

P⁽ⁿ⁾(~r1, . . . , ~rn) = R

V . . .R

V exp[−U/kT]d~rn+1. . . d~rN

Z . (2.2)

Le potentiel de force moyenne w⁽ⁿ⁾(~r1, . . . , ~rn) associé aux n particules localisées respectivement en~r₁, . . . , ~r_n est défini par [1] :

exp

·

−w⁽ⁿ⁾(~r1, . . . , ~rn) kT

¸

= P⁽ⁿ⁾(~r1, . . . , ~rn)

P⁽¹⁾(~r1). . . P⁽¹⁾(~rn). (2.3) Si l’on dérive cette expression par rapport aux coordonnées de la particule située en ~ri

(avec i= 1, . . . , n), en utilisant l’´equation 2.2, on obtient :

∇^~^riw⁽ⁿ⁾ =h∇^~^riU⁽ⁿ⁾i − h∇^~^riU⁽¹⁾i, (2.4)

avec h∇^~^rⁱU⁽ⁿ⁾i= R

V . . .R

V exp[−U/kT]∇^~^rⁱU d~rn+1. . . d~rN

R

V . . .R

V exp[−U/kT]d~rn+1. . . d~rN

. (2.5)

43

(2)

La forceF~i agissant sur une particulei en position~ri, lorsque la configuration desN particules du syst`eme est d´ecrite par~r1, . . . , ~rN, vaut :

F~i =−∇^~^rⁱU(~r1, . . . , ~rN), (2.6) En conséquence, −h∇~riU⁽ⁿ⁾iest égal à hF~_i⁽ⁿ⁾i, la force agissant sur la particule ilorsque les particules 1 àn sont localisées respectivement en~r1, . . . , ~rn, moyennée sur toutes les configurations possibles des N −n autres particules. w⁽ⁿ⁾(~r1, . . . , ~rn) est donc bien un potentiel de force moyenne, l’opposé de son gradient étant égal à la différence des forces moyennes hF~_i⁽ⁿ⁾i et hF~_i⁽¹⁾i qui agissent sur la particule i (i= 1, . . . , n) :

−∇~riw⁽ⁿ⁾ =−¡

h∇~riU⁽ⁿ⁾i − h∇~riU⁽¹⁾i¢

=hF~_i⁽ⁿ⁾i − hF~_i⁽¹⁾i. (2.7) Ce potentiel est d´efini sur la base d’une moyenne statistique, sur les positions des N−n autres particules (Equations 2.2 et 2.3), et il a donc la nature d’une ´energie libre.

Notons que dans le cas d’un fluide isotrope, si l’on néglige les éventuels effets de bord, hF~_i⁽¹⁾i, la force qui s’exerce sur la particule i moyennée sur toutes les configurations des N − 1 autres particules est nulle, par symétrie. En outre, P⁽ⁿ⁾(~r₁, . . . , ~r_n) et w⁽ⁿ⁾(~r1, . . . , ~rn) ne dépendent pas des positions absolues~r1, . . . , ~rn des nparticules, mais uniquement de leurs positions relatives. En particulier, P⁽¹⁾(~r1) vaut 1/V tandis que P⁽²⁾(~r₁, ~r₂) et w⁽²⁾(~r₁, ~r₂) ne dépendent que de r₁₂, la distance séparant ~r₁ de ~r₂. Ceci n’est pas vrai dans un cristal par exemple, où P⁽¹⁾(~r1) est caractérisé par des maxima aigüs aux positions qui correspondent aux nœuds du réseau cristallin.

Lorsque différents types de particules (s_i) coexistent dans le même système, le développement qui précède doit être généralisé. Le potentiel de force moyenne W⁽²⁾(~r1, . . . , ~rn;s1, . . . , sn) affectant les particules de types1, . . . , snlocalisées en~r1, . . . , ~rn

peut dans ce cas être exprimé de la manière suivante [1] : exp

·−W⁽ⁿ⁾(~r1, . . . , ~rn;s1, . . . , sn) kT

¸

= P⁽ⁿ⁾(~r1, . . . , ~r2 |s1, . . . , sn)

P⁽¹⁾(~r1 |s1). . . P⁽¹⁾(~rn |sn) , (2.8) où P⁽¹⁾(~r1 |s1) est la probabilité conditionnelle d’observer la particule 1 en position~r1, sachant qu’elle est de types1, etP⁽ⁿ⁾(~r1, . . . , ~rn|s1, . . . , sn) la probabilité conditionnelle d’observer les particules 1, . . . , n dans les positions ~r1, . . . , ~rn, sachant qu’elles sont de types1, . . . , sn, respectivement. On peut également définir ∆W⁽²⁾, la différence entre les potentiels W⁽²⁾ et w⁽²⁾ :

∆W⁽ⁿ⁾(~r1, . . . , ~rn;s1, . . . , sn) = W⁽ⁿ⁾(~r1, . . . , ~rn;s1, . . . , sn)−w⁽ⁿ⁾(~r1, . . . , ~rn), (2.9) qui mesure le potentiel de force moyenne dans un système contenant plusieurs types de particules, en comparaison avec un système de référence dans lequel n’existe qu’un seul type de particules.

Les potentiels w⁽ⁿ⁾, W⁽ⁿ⁾ et ∆W⁽ⁿ⁾, qui décrivent les interactions simultanées de n particules sont fréquemment exprimés à l’aide de potentiels de paires. En particulier,

∆W⁽ⁿ⁾, qui prend explicitement en compte n particules et inclut la contribution des N−nautres en moyenne sur toutes les configurations qui leur sont accessibles, peut ˆetre approxim´e par la somme de tous les potentiels de paires ∆W⁽²⁾ :

(3)

∆W⁽ⁿ⁾(~r₁, . . . , ~r_n;s₁, . . . , s_n) =

n

X

i,j=1 ;i<j

∆W⁽²⁾(~r_i, ~r_j;s_i, s_j) (2.10) Afin d’obtenir cette relation, on utilise l’approximation de superposition, qui consiste à supposer que la probabilitéP⁽ⁿ⁾ de trouver n particules dans une configuration donnée

~r1, ~r2, . . . , ~rn est égale au produit de toutes les probabilités de paires possibles P⁽²⁾. Notons cependant que l’égalitéP⁽²⁾(~r1, ~r2) = P⁽¹⁾(~r1)P⁽¹⁾(~r2), qui impliquew⁽²⁾(~r1, ~r2) = 0, n’est vérifiée que dans le cas d’une distribution indépendante.

2.2 D´ efinition dans le cadre des prot´ eines

A partir de la fin des années 60, de nombreuses approches visant à exploiter les quantités sans cesse croissantes d’informations structurales obtenues expérimentalement, et à en extraire des relations statistiques utilisables dans le cadre de prédictions structurales, ont vu le jour [2–7]. Ces relations statistiques ont par la suite donné naissance à des fonctions énergétiques effectives permettant de décrire, de manière plus ou moins simplifiée, l’ensemble complexe des interactions qui s’établissent au sein des protéines [8–14]. Souvent qualifiés de statistiques ou de dérivés de bases de données, les potentiels issus d’approches de ce type se répartissent essentiellement en deux familles : ceux prenant la forme de fonctions prédéfinies dont les paramètres sont optimisés de manière à associer des énergies fortement négatives aux structures natives de protéines, relativement à des ensembles de conformations alternatives [15–28], et ceux dérivés à partir des fréquences relatives d’observation de certains éléments de séquence et de structure au sein de bases de données structurales (pour des revues, voir [29–37]). Ces derniers sont tous plus ou moins apparentés aux potentiels de force moyenne décrits dans la section précédente.

Nous nous attacherons tout d’abord à exposer la manière dont le formalisme présenté précédemment peut être appliqué aux protéines, afin de dériver une énergie libre décrivant l’interaction entre deux acides aminés dans un environnement protéique moyen, en fonction de la distance qui les sépare. Nous parcourrons ensuite brièvement le champ des différents types de potentiels possibles, avant d’évoquer plus en détail les diverses hypothèses et approximations qui sont nécessaires à la dérivation de potentiels de force moyenne dans le cadre des protéines.

2.2.1 Potentiel de distance entre r´ esidus

Définissons tout d’abord un modèle simplifié des protéines : chaque protéine est identifiée à un ensemble de N résidus, que l’on traite de la même manière que les particules évoquées dans la section précédente. Ni la connectivité de la chaˆıne protéique, ni les molécules de solvant ne sont prises en compte explicitement. Leur influence est cependant présente, implicitement, dans les moyennes statistiques qui sont calculées. On considère deux acides aminés de types1 ets2, respectivement, séparés par une distance r12.

Si l’on admet l’approximation selon laquelle le système est isotrope, et toutes les positions ~ri sont équivalentes, alors P⁽¹⁾(~ri) vaut 1/V et P⁽²⁾(~ri, ~rj) ne dépend que de

(4)

rij, la distance qui sépare ~ri de ~rj. La probabilité de trouver les résidus 1 et 2 séparés par une distance comprise entre r12 etr12+ ∆r12 ,P⁽²⁾(r12), correspond à la somme des probabilitésP⁽²⁾(~ri, ~rj) compatibles avec ce critère. C’est-à-dire :

P⁽²⁾(r12) = Z

V

Z

r12≤rij≤r12+∆r12

P⁽²⁾(~ri, ~rj)d~ri d~rj

' V ν(r12)P⁽²⁾(~r1, ~r2), (2.11)

où l’intégration est réalisée sur toutes les paires de positions ~ri et ~rj séparées par une distance comprise entre r₁₂ et r₁₂+ ∆r₁₂. ν(r₁₂) est le volume de la coquille sphérique centrée en~ri, de rayon intérieurr12et de rayon extérieurr12+∆r12, moyenné sur toutes les positions~ri. Dans un système où l’effet de bord est négligeable, si ∆r12 est suffisamment petit, ν(r₁₂) = 4πr²₁₂∆r₁₂, tandis que dans un système avec limites, la coquille est incomplète lorsque ~ri est proche du bord, et ν(r12) est en conséquence inférieur à 4πr²₁₂∆r12. Les molécules de solvant n’étant pas explicitement prises en compte, une protéine est ici un système avec limites, le bord de ce système correspondant à la surface de la protéine. Le volume accessible aux résidus situés à une distance comprise entrer12

etr12+ ∆r12 d’un résidu donné vautX4πr₁₂² ∆r12 en moyenne, oùX dépend de r12 mais aussi de la forme de la protéine et est compris entre 0 et 1. Une estimation deν(r₁₂) peut être obtenue aisément si l’on suppose que les protéines sont des sphères de rayon R, ce qui est une relativement bonne approximation dans le cas de protéines globulaires. Soit

~r₀ la position du centre de la protéine, et r₀₁=|~r₁−~r₀| la distance séparant le résidu en position~r1 de ce centre :

L’angle limite α est d´efini par les positions~r0 et~r1, et par l’intersection entre les deux sph`eres (de centres~r0 et~r1 et de rayons R et r12, respectivement). On a :

cosα= R²−r²₁₂−r₀₁²

2r₁₂r₀₁ . (2.12)

Sir01≥(R−r12) etr12 ≤2R, le volume V1 accessible aux résidus situés à l’intérieur de la protéine et à une distance comprise entre r12 et r12+ ∆r12 du résidu en position ~r1

vaut :

(5)

V₁ = ∆r₁₂ Z 2π

0

Z π

α

r²₁₂sinϕ dϕ dθ= πr12∆r12

r01

(R²−(r₁₂−r₀₁)²). (2.13) Au contraire, si r01 ≤ (R−r12) et r12 ≤2R, le volume V2 accessible aux r´esidus situ´es

à l’intérieur de la sphère et à une distance comprise entrer12 etr12+ ∆r12 du résidu en position~r1 correspond à une calotte sphérique complète de rayonr12 et d’épaisseur ∆r12, V2 vaut donc 4πr²₁₂∆r12. Le volume accessible aux résidus situés à l’intérieur de la sphère et à une distance comprise entrer12 etr12+ ∆r12 du résidu en position~r1, moyenné sur toutes les positions~r1 vaut (si r12 ≤R) :

ν(r12) = 1

4 3πR³

·Z R

R−r12

Z 2π

0

Z π

0

V1r²₀₁sinϕ dϕ dθ dr01

+

Z R−r12

0

Z 2π

0

Z π

0

V₂r₀₁² sinϕ dϕ dθ dr₀₁

¸

=

·

1− 3r12

4R + r₁₂² 16R³

¸

4πr²₁₂∆r12. (2.14)

Le r´esultat est identique lorsqueR≤r12≤2R. Dans ce cas, on a en effet :

ν(r12) = 1

4 3πR³

·Z R

r12−R

Z 2π

0

Z π

0

V1r₀₁² sinϕ dϕ dθ dr01

¸

=

·

1− 3r12

4R + r²₁₂ 16R³

¸

4πr²₁₂∆r12. (2.15)

Notons que l’ensemble des conformations de chaque protéine à l’équilibre n’étant pas connu, il est en principe impossible d’estimer P⁽²⁾(r₁₂). On dispose cependant des structures natives d’un ensemble de protéines différentes. Une estimation de P⁽²⁾(r12) peut être obtenue à l’aide des fréquences relativesF(r12) d’observation de paires d’acides aminés séparés par une distance comprise entre r₁₂ et r₁₂+ ∆r₁₂ au sein de la base de données de protéines de structures connues. La justification de cette approximation sera discutée en Section 2.2.3. Sur la base des équations 2.3 et 2.11, on trouve que le potentiel non spécifiquew⁽²⁾ peut, dans le cas qui nous intéresse, être approximé par :

w⁽²⁾(r12)' −kTln

·

F(r12) V ν(r12)

¸

. (2.16)

Un raisonnement similaire peut être suivi pour le potentiel spécifique W⁽²⁾. La probabilité P⁽²⁾(r12|s1, s2) d’observer les acides aminés 1 et 2 séparés par une distance comprise entrer12 etr12+ ∆r12, en sachant qu’ils sont respectivement de type s1 et s2, est liée à la probabilitéP⁽²⁾(~r₁, ~r₂|s₁, s₂) par :

P⁽²⁾(r12|s1, s2) = Z

V

Z

r12≤rij≤r12+∆r12

P⁽²⁾(~ri, ~rj|s1, s2)d~rid~rj

' V ν(r12)P⁽²⁾(~r1, ~r2|s1, s2). (2.17)

(6)

Les probabilités P⁽²⁾(r12|s1, s2) peuvent être estimées à l’aide des fréquences relatives F(r12|s1, s2) d’observation de paires d’acides aminés (s1, s2) séparés par une distance comprise entrer12 etr12+ ∆r12 au sein de la base de données de protéines de structures connues. Quant aux probabilités P⁽¹⁾(~ri|si), elles valent 1/V, tout comme P⁽¹⁾(~ri), dès lors que l’on suppose que toutes les positions ~ri sont équivalentes. On trouve donc, à l’aide des équations 2.8 et 2.17 :

W⁽²⁾(r12, s1, s2)' −kTln

·

F(r12|s1, s2) V ν(r₁₂)

¸

. (2.18)

On peut également calculer la différence des potentiels W⁽²⁾ et w⁽²⁾, c’est-à-dire

∆W⁽²⁾, qui est indépendant de ν(r₁₂) et donc insensible aux imprécisions liées à l’estimation de cette quantité. En effet, sur la base des relations 2.16 et 2.18, l’équation 2.9 devient :

∆W⁽²⁾(r12, s1, s2)' −kTlnF(r₁₂|s₁, s₂)

F(r12) . (2.19)

Nous reviendrons, en Section 2.2.3, sur la signification des ´energies effectives calcul´ees

à l’aide de ces potentiels, notamment vis-à-vis de l’énergie libre de reploiement des protéines.

2.2.2 Diff´ erents types de potentiels

Le potentiel présenté dans la section précédente, qui découle des principes de base de la mécanique statistique, n’est qu’un cas particulier parmi le nombre sans cesse croissant de potentiels de force moyenne décrits dans la littérature. Ceux-ci se distinguent par des différences plus ou moins conséquentes au niveau de la manière dont ils sont dérivés. Par ailleurs, si les distances qui séparent les différents résidus dans une protéine constituent des informations structurales importantes, d’autres descripteurs conformationnels, tels que les angles de torsion de la chaˆıne principale ou l’accessibilité au solvant des résidus, sont cependant loin d’être dénués d’intérêt.

De manière générale, la plupart des potentiels de force moyennne dérivés de bases de données de protéines de structures connues peuvent être ramenés à l’équation suivante :

∆W(c, s)' −kT lnn^obs(c, s)

n^att(c, s) , (2.20)

oùsest un petit élément de séquence, tel qu’un résidu ou une paire de résidus, etcest un descripteur conformationnel local.nôbs(c, s) est le nombre d’observations conjointes des et de c dans la base de données structurale, tandis que nâtt(c, s) est la valeur attendue pournôbs(c, s) lorsque s et c ne sont pas corrélés. Au-delà du choix des descripteurs de séquence et de structuresetc, c’est essentiellement la méthode d’évaluation denâtt(c, s), c’est-à-dire le choix d’un état de référence, qui différencie les divers potentiels de force moyenne. Nous discuterons ce problème plus en détail dans la section suivante, et verrons que certains états de référence permettent de retrouver les équations 2.18 et 2.19.

Selon la nature des éléments de séquence et de structure considérés, différents types de potentiels peuvent être dérivés. Parmi les plus communément utilisés, on retrouve les potentiels de distance, pour lesquels s est une paire d’acides aminés (s1, s2) et c

(7)

est la distance qui les sépare (r12) [8, 12, 14, 38–51], ainsi que les potentiels de torsion, pour lesquels s correspond à un ou plusieurs acides aminés et c à des angles de torsion de la chaˆıne principale [11, 41, 52–55]. Relevons également l’existence de potentiels qui

évaluent les tendances des différents types de résidus à être plus ou moins accessibles au solvant [40–43, 55–57], ou encore de potentiels focalisés sur la création de ponts hydrogène [55, 58–60], de paires d’ions [61], ou d’interactions cation-π et π-π [62], voire sur les orientations relatives des différents éléments de structure secondaire constitutifs des structures protéiques [63]. Bien entendu, de nombreuses variations sur ces différents thèmes existent, et des potentiels basés sur divers modèles structuraux plus ou moins détaillés ont été mis au point dans le cadre de l’étude de protéines.

Chacun de ces potentiels est focalisé sur les corrélations existant entre des éléments de séquence et de structure particuliers et permet donc de décrire, selon ce point de vue particulier, l’ensemble des interactions qui régissent le comportement des protéines.

C’est-à-dire que chaque potentiel exprime une relation entre séquence et structure qui est dominée par certains types d’interactions mais qui tient également compte, en moyenne, de toutes les spécificités d’un environnement protéique. En conséquence, une utilisation combinée de différents types de potentiels se révèle généralement fort avantageuse [41, 64, 65], malgré l’introduction inévitable d’une certaine redondance. Nous discuterons

´egalement cet aspect plus en d´etail dans la section suivante, et il fera l’objet du Chapitre 4.

2.2.3 Hypoth` eses et approximations

Il est aisément concevable que les différences fondamentales qui existent entre les protéines et les systèmes simples étudiés dans la Section 2.1 permettent quelques doutes

à propos de la validité de cette approche dans le cas de protéines.

La dérivation de potentiels de force moyenne à partir de bases de données de protéines de structures connues nécessite en effet de multiples hypothèses et approximations, qui sont détaillées ci-dessous. Certaines d’entre elles semblent relativement raisonnables au vu de l’une ou l’autre justification théorique ou de divers résultats expérimentaux. Il faut cependant admettre que, de manière générale, peu de réponses réellement satisfaisantes peuvent être apportées aux questions légitimes qui se posent à propos de la validité de ces différentes hypothèses et de la nature de leur impact sur les fonctions énergétiques mises au point. Les nombreux succès qui ont été obtenus à l’aide de potentiels de ce type dans des applications aussi diverses que la prédiction de structure de protéines (pour des revues, voir [33, 66–72]), la conception de séquences compatibles avec une structure donnée [36, 56, 73–76] ou l’évaluation des changements de stabilité résultant de mutations [49, 77, 78], confortent néanmoins, sinon la validité théorique, du moins la pertinence de cette approche.

Application de la loi de Boltzmann

Les équations 2.3, 2.8, et par extension 2.20, qui définissent des potentiels de force moyenne, découlent directement de la loi de Boltzmann (Equation 2.1) et impliquent des probabilités d’observation de certains événements dans un système à l’équilibre à une température T. Il est impossible de calculer exactement de telles probabilités dans le cas de protéines, car l’ensemble des conformations de chaque protéine à l’équilibre n’est

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pas connu. On dispose par contre d’une base de données constituée des conformations de plus basse énergie d’un ensemble de diverses protéines. Des fréquences d’association entre petits éléments de séquence et de structure sont extraites de cette base de données afin d’estimer les probabilités correspondantes.

Il est donc nécessaire de faire l’hypothèse que les protéines peuvent être divisées en petits éléments de séquence et de structure et que les fréquences d’observation de ces petits éléments dans la base de données correspondent à celles qui seraient observées dans l’ensemble des conformations à l’équilibre d’une seule protéine. Le fait qu’un élément de séquence n’adopte pas nécessairement, au sein d’une protéine, sa conformation de plus basse énergie reflète le concept de frustration : les diverses interactions qui déterminent la structure d’une protéine ne peuvent s’exercer indépendamment les unes des autres et la conformation d’énergie minimale d’une protéine ne correspondra généralement pas à l’assemblage des conformations de plus basses énergies des petits éléments de séquence.

On con¸coit ainsi qu’un élément de séquence donné puisse adopter des conformations différentes selon l’environnement protéique spécifique dans lequel il se trouve, et que les conformations les plus fréquentes soient celles dont l’énergie est minimale. Malgré cela, il n’est pas évident d’admettre à priori que la distribution des conformations adoptées par cet élément de séquence puisse être assimilée à une distribution de Boltzmann.

Plusieurs études semblent cependant valider cette hypothèse. Il a en effet été montré que la distribution des angles dièdres (φ, ψ) définissant la conformation de la chaˆıne principale des acides aminés (voir Annexe A) est proche d’une distribution de Boltzmann [11,79]. Il en va de même pour la distribution des angles dièdres des chaˆınes latérales [80], la distribution des différents types de résidus entre la surface et le coeur des protéines [81–83], ainsi qu’entre les divers éléments de structure secondaire et les diverses positions au sein de ces éléments [84–86], la distribution des paires d’ions [61], des prolines adoptant des conformationscis outrans [87], ou encore des tailles de cavités au sein de protéines globulaires [88]. De plus, dans chaque cas, il s’est avéré que la température apparente associée à la distribution est relativement proche de la température ambiante. Cette (( température conformationnelle )) (Tc) [79] a cependant un sens fort différent de la température du milieu dans lequel sont plongées les protéines. En effet, Tc reflète en quelque sorte l’ampleur des frustrations tolérées par les divers éléments de séquence. Ces frustrations sont fixées dans les structures natives des protéines et ne dépendent pas de la température du milieu (du moins dans l’intervalle de température où les protéines en question sont stables).

Une tentative d’explication th´eorique de la similitude entre la distribution des

éléments conformationnels observés dans des ensembles de structures natives de protéines et la distribution attendue à l’équilibre dans une protéine à une température Tc a été proposée [89,90]. Cette explication est basée sur la théorie des structures adoptées par des hétéropolymères aléatoires [91–94], et utilise le modèle d’énergie aléatoire (REM) [95].

Selon ce modèle, le système (dans notre cas, une protéine) peut accéder à un nombre important, mais fini, d’états qui peuvent être comparés à des minima énergétiques locaux (dans notre cas, différentes conformations de la chaˆıne protéique). De plus, le REM néglige toute corrélation entre les énergies des différentes structures accessibles

à une même séquence, et suppose que l’énergie de chacune d’entre elles équivaut à la somme d’un grand nombre de termes indépendants, qui correspondent aux différentes interactions établies au sein de la structure. Sous de telles conditions, la fraction de

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séquences aléatoires qui acquièrent une énergieE dans une structure donnée est décrite par une distribution gaussienne :

p(E) = 1

σ√

2π exp

·−(E−E)² 2σ²

¸

, (2.21)

où E est l’énergie moyenne, sur toutes les séquences, de la structure considérée, et σ est l’écart-type de cette distribution. Si l’on considère une séquence particulière, p(E) représente donc la probabilité que l’énergie de la structure en question égale E. Par ailleurs, si M est le nombre total de structures possibles, et en supposant que E et σ sont identiques pour toutes les structures, ¯mE = M p(E) est le nombre de structures d’énergie E associées à une séquence, en moyenne sur toutes les séquences possibles.

Sous ces conditions, il est possible d’estimer une énergie critique Ecr telle que, en moyenne sur les différentes séquences, une seule structure ait une énergie inférieure ou

´egale `a Ecr :

Z Ecr

−∞

¯

mE dE = 1. (2.22)

On trouve [89, 90] :

E_cr 'E−σ√

2 lnM . (2.23)

Pour la plupart des séquences aléatoires, l’énergie de la structure de plus basse énergie sera proche deE_cr. Certaines séquences, comparables en cela à celles des protéines réelles, peuvent cependant avoir une structure plus stable, dont l’énergie est significativement inférieure à Ecr. On peut définir une température critique moyenne Tcr, sous laquelle la structure de plus basse énergie est stabilisée [89, 90] :

T_cr =

µ∂SE

∂E

¯

¯E→Ecr

¶−1

avec S_E =kln ¯m_E Tcr ' σ/(k√

2 lnM), (2.24)

oùkest la constante de Boltzmann etSE l’entropie liée au nombre (moyen) de structures d’énergie E.

L’étape suivante consiste en l’évaluation de la fraction de séquences aléatoires dont la structure de plus basse énergie contient (φ+), ou ne contient pas (φ−), une certaine interaction i. Pour ce faire, on considère l’ensemble des séquences pour lesquelles la contribution de cette interaction à l’énergie totale est fixe et vaut ²i. La probabilité qu’une structure qui ne comprend pas l’interactioniait une énergieEvautp−(E) =p(E) (Equation 2.21). Dans le cas d’une structure au sein de laquelle l’interactioniest établie, la probabilité que cette structure ait une énergieE vaut [89, 90] :

p+(E) = 1

p2π(σ²−σ_i²)exp

·−((E−²i)−(E−²¯i))² 2(σ²−σ_i²)

¸

' p(E) exp

·

(¯²i−²i)∂lnp(E)

∂E −σ_i²∂lnp(E)

∂(σ²)

¸

, (2.25)

(10)

où ¯²iest l’énergie moyenne, sur toutes les séquences, de l’interactioni, etσ_i²est la variance de la distribution des énergies²i. L’expression, approximative, de p+(E) en fonction de p(E) est obtenue en supposant |²¯i −²i| et σ_i² suffisamment petits, et en négligeant le σ_i² du préfacteur. Si M+ est le nombre de structures qui comprennent l’interaction i, et M− =M−M+ le nombre de structures au sein desquelles cette interaction est absente, on peut montrer à l’aide des équations 2.23 à 2.25 qu’en première approximation [89,90] :

φ+(²i)

φ−(²i) ' M+p+(Ecr)

M−p−(Ecr) ' M+

M−

exp

· −1 kTcr

µ

²i−²¯i+ σ_i² 2kTcr

¶¸

=Aexp

·−²i

kTcr

¸

, (2.26) où A ne dépend pas de ²i. En conséquence, le nombre de séquences aléatoires qui stabilisent une structure donnée augmente exponentiellement pour chaque interaction de basse énergie que contient cette structure. Sous réserve des hypothèses conséquentes dont elle dépend, l’équation 2.26 corrobore donc l’observation de distributions semblables à une distribution de Boltzmann, si l’on accepte que plus le nombre de séquences aléatoires stabilisant des structures ayant une certaine caractéristique est grand, plus souvent cette caractéristique sera observée dans des protéines. On note également que, selon ce modèle, la température conformationnelleTc correspond à la température critiqueTcr, qui résulte de la diversité des structures possibles (via M) et de la dispersion des énergies, due à l’hétérogénéité des séquences (viaσ) (Equation 2.24).

Approximation de superposition et additivit´e des ´energies

L’énergie qu’acquiert une protéine de séquence S dans une conformation C, est communément estimée via la somme de toutes les contributions dues aux associations entre petits éléments de séquences et de structure c :

∆W(C, S)'X

i,j

∆W(ci, sj)' −kT X

i,j

lnn^obs(ci, sj)

nâtt(ci, sj) , (2.27) où la somme est réalisée sur tous les éléments de séquencesj qui constituentSet sur tous les éléments de structure ci associés à chaque sj. Dans le cas de potentiels de distance par exemple, i ne prend qu’une seule valeur pour chaque j, de sorte que ci corresponde

à la distance qui sépare les résidus de la pairesj.

Cette approximation, qui est r´eminiscente de l’approximation de superposition

énoncée précédemment (Equation 2.10), suppose l’indépendance des différents termes

∆W(ci, sj). Si une telle hypothèse peut être considérée comme fort raisonnable dans un système gazeux par exemple, il est plus difficile de lui attribuer une validité sans failles dans le cas des protéines [36, 96–98]. Un exemple flagrant des limitations induites par cette approximation est fourni par le potentiel de distance correspondant à la paire cystéine-cystéine, qui est caractérisé par une énergie fortement négative à courte distance, reflétant ainsi la formation d’un pont disulfure. Lorsque trois cystéines se trouvent à proximité les unes des autres, l’équation 2.27 implique l’estimation d’une énergie totale qui prend en compte la création de trois ponts disulfure, alors qu’un seul peut être formé.

La connectivité de la chaˆıne protéique joue également un rôle non négligeable à ce niveau.

En effet, la distance spatiale séparant le résidu en position l, le long de la séquence, du résidu en position k n’est pas indépendante de la distance spatiale séparant les résidus

(11)

en positionsl etk+ 1. De même, la conformation adoptée par la chaˆıne principale d’un résidu n’est pas indépendante des conformations des résidus voisins. Finalement, il est important de noter que les termes ∆W(ci, sj) incluent également certaines contributions entropiques, liées notamment à la présence implicite du solvant et à la discrétisation des conformations, qui ne peuvent en principe pas être sommées.

L’utilisation combinée de potentiels basés sur des descripteurs conformationnels différents peut être avantageuse mais induit également une certaine redondance. Par exemple, la distance séparant deux résidus n’est pas indépendante de leur accessibilité au solvant : la probabilité que deux résidus soient localisés en surface de la protéine est plus faible si l’on sait qu’ils sont proches l’un de l’autre. De même, les distances les plus probables entre résidus faisant partie d’une hélice α sont différentes de celles préférées au sein d’un feuilletβ.

Afin de réduire l’impact de la non-indépendance des interactions, il est possible de prendre en compte certains couplages, à l’aide potentiels basés par exemple sur la probabilité de trouver trois résidus en contact [40], ou sur la probabilité de trouver deux résidus en contact, sachant qu’ils ont une certaine accessibilité au solvant [41, 43], ou qu’ils sont associés à certains domaines d’angles de torsion de la chaˆıne principale [99].

Néanmoins, de telles approches se heurtent souvent aux tailles des bases de données structurales qui, lorsque la complexité des potentiels augmente, deviennent rapidement trop restreintes pour pouvoir en extraire des mesures statistiques fiables. Au Chapitre 4, nous nous attarderons sur la dérivation de divers termes de couplages et sur les avantages qui en sont retirés d’un point de vue prédictif.

Choix d’un état de référence

Il va sans dire que la méthode utilisée pour estimernâtt(c, s) a une influence majeure sur les fonctions énergétiques dérivées à partir de l’équation 2.20 [30, 96, 100]. Différents types d’états de référence ont été décrits dans la littérature, et nous en présenterons ici quelques-uns afin de souligner l’importance de cet aspect de la dérivation de potentiels de force moyenne. Nous ferons également une comparaison de potentiels de distance basés sur des états de référence différents, à l’aide de quelques exemples visuels. Notons cependant qu’il est difficile, voire impossible, de comparer qualitativement la pertinence des divers états de référence. En effet, leurs significations physiques sont souvent loin d’être claires et, d’un point de vue pratique, les performances relatives de potentiels basés sur différents états de référence peuvent dépendre du problème abordé. Si l’on admet malgré tout que l’état de référence choisi est une représentation adéquate de l’état déployé des protéines, alors ∆W peut être assimilé à une énergie libre de reploiement.

Etat de référence dans lequel séquence et structure ne sont pas corrélés.

Une approche très courante consiste à identifier l’état de référence à un état dans lequel la probabilité d’observer un élément de structure donné c est indépendante de la séquence, c’est-à-dire P(c|s) = P(c) [30, 38, 43, 48, 53, 101]. Les probabilités P(c|s) et P(c) peuvent être évaluées à l’aide des fréquences relatives d’observation dans la base de donnéesF(c|s) et F(c) :

(12)

P(c|s)'F(c|s) = nôbs(c, s) nôbs(s) P(c)'F(c) = nôbs(c)

n^obs , (2.28)

o`u n^obs(s) =P

cnôbs(c, s) est le nombre total d’observations de l’élément de séquences, quel que soit l’élément de structure cqui lui est associé. On définit également nôbs(c) = P

sn^obs(c, s) et n^obs = P

cn^obs(c) = P

c

P

snôbs(c, s). Afin que nâtt(c, s) égale nôbs(c, s) dans l’état de référence, c’est-à-dire lorsqueP(c|s) = P(c), il faut que :

nâtt(c, s) = nôbs(s)nôbs(c)

n^obs . (2.29)

Remarquons que, dans ce cas, si l’on assimile l’élément de séquencesà une paire d’acides aminés (s1, s2) et l’élément de structure c à la distance r12 qui les sépare, on retrouve le potentiel ∆W⁽²⁾(r12, s1, s2) défini par la relation 2.19. Cet état de référence correspond à un état globulaire moyen, compact et non-spécifique, dans lequel les acides aminés ne sont pas différenciés. L’énergie libre associée à un couple (c, s) est donc estimée relativement à la contribution moyenne des couples (c, x), oùxreprésente les différentes valeurs possibles des. Ceci implique par exemple qu’un potentiel de distance basé sur cet état de référence ne fera pas nécessairement état d’une forte répulsion à très courte distance, puisque cette caractéristique est commune à toutes les paires (s1, s2).

Il est bien entendu possible de plaider en défaveur d’un tel état de référence, en argumentant que l’état déployé des protéines est vraisemblablement caractérisé par des conformations nettement moins compactes, et qu’il n’y a aucune raison pour que l’énergie associée à une paire (c, s) soit nulle, en moyenne sur tous les s.

Etat de référence caractérisé par une surface étendue d’interaction avec le solvant.

Cependant, très peu d’informations structurales permettant de décrire l’état déployé des protéines sont disponibles. Cet état correspond d’ailleurs à un ensemble de conformations très diverses, dont les populations peuvent varier selon les conditions environnementales. Certaines approches visant à calculer nâtt(c, s) sur la base d’un modèle de l’état déployé caractérisé par une surface étendue d’interaction avec le solvant ont été mises au point [12, 45, 102, 103], notamment dans le cadre de la dérivation de potentiels de contact (qui sont essentiellement équivalents aux potentiels de distance, mis à part que l’élément de structure c ne peut prendre que deux valeurs, selon que la distancer₁₂soit ou non inférieure à une valeur limite). La plus populaire de ces approches est sans doute celle basée sur l’approximation dite quasi-chimique [12, 45]. Dans le cadre de cette approximation, l’établissement d’un contact entre deux résidus (de type s1 ets2, respectivement) est décrit comme résultant d’une réaction chimique de désolvatation :

(s1♥0) + (s2♥0)(s1♥s2) + (0♥0), (2.30) où 0 représente une molécule d’eau, et (x♥y) indique quexetysont en contact. L’énergie es1,s2 de création d’un contact (s1♥s2) est estimée à l’aide de la relation :

(13)

es1,s2 =−kT ln

·n(s1♥s2)n(0♥0) n(s1♥0)n(s2♥0)Cs1,s2

¸

, (2.31)

où n(s1♥s2) est le nombre de paires (s1, s2) en contact dans la base de données, et correspond à nôbs(c, s). Le nombre de contacts établis entre les résidus de type s_i et l’eau,n(si♥0), est estimé en déduisant, du nombre maximal de contacts possibles pour les résidus de typesi, le nombre de contacts entre les résidus de typesi et n’importe quels autres résidus. Le nombre effectif de molécules d’eau dans le système, et par extension le nombre de contacts entre ces moléculesn(0♥0), est evalué de manière à ce quees1,s2 soit nul dans le cas d’une distribution aléatoire des résidus et des molécules d’eau.Cs1,s2 est un facteur correctif qui tient compte des différences de composition entre les protéines de la base de données. Ce facteur est nécessaire car, au contraire des autres états de référence présentés dans cette section, nâtt est estimé ici à l’aide du nombre total d’acides aminés de type s₁ et de type s₂ dans la base de données (via n(s₁♥0) et n(s₂♥0)), et non du nombre total de paires d’acides aminés (s1, s2). Ces quantités sont bien entendu liées, mais il est évident que ce lien dépend de la composition exacte de chacune des protéines de la base de données.

De manière générale, les potentiels de contact ou de distance basés sur un état de référence étendu, caractérisé par une importante exposition des résidus au solvant, sont fortement dominés par l’effet hydrophobe. Les énergies effectives d’interaction entre résidus sont presque indistinctement attractives, reflétant ainsi la compacité des structures natives de protéines. Si de tels potentiels peuvent être utiles pour simuler les tous premiers pas du reploiement, il est apparu qu’ils sont peu performants lorsqu’il s’agit d’estimer l’adéquation entre une séquence donnée et diverses structures compactes [33].

Les interactions spécifiques entre les différents types de résidus sont en effet masquées par la prépondérance de l’effet hydrophobe. En conséquence, il semble généralement préférable de n’utiliser des potentiels de ce type qu’en combinaison avec d’autres, basés sur un état de référence plus compact [33].

Etat de référence dans lequel toutes les conformations sont équiprobables.

Un autre méthode d’évaluation de nâtt(c, s), qui possède au moins l’avantage de la simplicité, consiste à considérer un état de référence dans lequel toutes les valeurs accessibles au descripteur conformationnel c sont équiprobables [59, 63]. Supposons par exemple que c soit discrétisé de manière à pouvoir prendre nc valeurs différentes c1, c2, . . . , cnc. On définit alors l’état de référence par :

n^att(c, s) = n^obs(s) nc

. (2.32)

Il est bien entendu nécessaire que les conformations ci représentent des fractions identiques de l’espace conformationnel ou, à défaut, que les fréquences d’observation dans la base de données soient convenablement pondérées, ce qui n’est pas forcément

évident à mettre en place. Pour un potentiel de distance par exemple, si l’on considère des intervalles de distance de largeur constante ∆r12, on doit écrire :

n^att(r12, s1, s2) = n^obs(s1, s2)ν(r12)

V , (2.33)

(14)

oùν(r12) est le volume de la coquille sphérique de rayon intérieurr12et de rayon extérieur r12+ ∆r12, moyenné sur toutes les positions accessibles à son centre. Les difficultés liées à l’évaluation de ce volume ont été évoquées précédemment (Section 2.2.1). Notons qu’avec un tel état de référence, les potentiels définis par les équations 2.20 et 2.18 sont identiques.

Les potentiels de ce type, au contraire de ceux basés sur l’état de référence défini par l’équation 2.29, incluent la contribution moyenne des différents éléments de séquence s. Cette caractéristique peut dans certains cas être un avantage, par exemple au niveau du traitement de la répulsion à courte distance dans un potentiel de distance.

Cependant, dans de nombreuses applications, dont notamment la détermination de la structure de plus basse énergie correspondant à une séquence donnée et la recherche de séquences stabilisant une strucure donnée, la plupart des caractéristiques communes à tous les acides aminés ne présentent que peu d’intérêt pratique. De plus, l’inclusion de ces contributions dans les potentiels peut avoir comme conséquence un écrantage des contributions plus spécifiques, comme c’est le cas avec l’effet hydrophobe lorsqu’un état de référence non-compact est utilisé.

Autres états de référence dans le cas de potentiels de distance.

Relevons également l’existence d’états de référence plus originaux définis en vue d’obtenir des potentiels de distance présentant certaines caractéristiques particulières.

Par exemple, on peut poser :

nâtt(r12, s1, s2) = nôbs(r12, s1)nôbs(r12, s2)nôbs(s1, s2)nôbs

nôbs(r₁₂)nôbs(s₁)nôbs(s₂) , (2.34) où nôbs(r12, s1) =P

s2nôbs(r12, s1, s2) est le nombre de paires de résidus, dont l’un est de types1, séparés par une distance r12, et nôbs(s1, s2) = P

r12nôbs(r12, s1, s2) est le nombre total de paires (s₁, s₂). De la même manière, nôbs(s₁) = P

r12n^obs(r₁₂, s₁), n^obs(r₁₂) = P

s1n^obs(r12, s1) et n^obs = P

r12nôbs(r12). Avec un tel état de référence, l’énergie libre associée à une paire (s1, s2) séparée par une distance r12 est nulle, en moyenne sur tous less1 ou sur tous less2. Il en résulte que certaines particularités liées à l’effet hydrophobe sont exclues des potentiels, ce qui permet par exemple une description plus précise des interactions électrostatiques [48]. Nous reviendrons plus tard sur l’intérêt des potentiels de ce type (Section 4.3). Le dernier état de référence que nous évoquerons ici a été défini de manière à forcer les potentiels de distance à tendre vers zéro lorsquer12 tend vers une certaine valeur limite rlim [49]. Ainsi :

n^att(r12, s1, s2) =n^obs(rlim, s1, s2) ν(r12)

ν(rlim), (2.35)

avecrlim = 15˚A etν(r)'4πr^α∆r, oùα <2 est un paramètre ajustable dépendant de la base de données. Cette méthode permet également, dans une certaine mesure, d’exclure l’influence de l’effet hydrophobe.

Exemples de la sensibilité des potentiels au choix d’un état de référence.

Afin d’illustrer l’influence du choix d’un état de référence, la Figure 2.1 donne les valeurs de nâtt(c, s), nôbs(c, s), et ∆W⁽²⁾(c, s) dans le cas d’un potentiel de distance,

(15)

pour deux paires d’acides aminés (Glu-Lys et Leu-Leu). On remarque que les valeurs de nôbs(r12, s1, s2) sont quasiment nulles lorsque r12 est inférieur à 3 ˚A, et qu’il en va de même pour nâtt(r12, s1, s2) avec les états de référence décrits par les équations 2.29 (traits noirs) et 2.34 (traits rouges). En conséquence, selon la nature et la taille des acides aminés considérés, l’énergie ∆W⁽²⁾ pourra être favorable ou défavorable à très courte distance.

Figure2.1 –Influence du choix d’un état de référence sur le potentiel de distance entre résidus.A gauche, le nombre de paires d’acides aminés observées (nôbs(r12, s1, s2), en trait noir gras) et attendues (nâtt(r12, s1, s2)) sont portées en fonction der12pour deux couples d’acides aminés : (Glu- Lys) et (Leu-Leu). Les distancesr12 sont réparties en intervalles de 0.5 ˚A de largeur, à l’exception des valeurs der12 inférieures à 3 ˚A qui sont groupées dans un intervalle unique. Les valeurs de nôbs sont obtenues par comptage dans l’ensemble des protéines monomériques de laDB1403 (voir Annexe B). Les valeurs denâtt sont calculées pour différents états de référence, à partir des équations 2.29 (trait noir), 2.33 (trait vert), 2.34 (trait rouge) et 2.35 (trait bleu). A droite, le potentiel ∆W⁽²⁾(r12, s1, s2), calculé via l’équation 2.20 sur la base de chacun de ces états de référence, est porté en fonction der12.

Par ailleurs, on relève également la présence de pics dans les courbes denôbs(r12, s1, s2), aux alentours de 7 et de 12 ˚A, qui correspondent au premier et au deuxième voisin.

Ces pics sont également présents, de manière plus ou moins atténuée, dans les courbes de nâtt(r12, s1, s2) liées à ces deux états de référence. Dans ces deux cas, l’estimation de nâtt(r12, s1, s2) est en effet basée sur le nombre de paires observées à un certaine distance, en moyenne sur différents types d’acides aminés. Les différents acides aminés

étant caractérisés par des tailles différentes, les distances qui correspondent au premier et au deuxième voisin sont donc différentes, ce qui explique l’atténuation de ces pics dans nâtt(r12, s1, s2).

(16)

Au contraire, les deux autres états de référence, définis respectivement par les

équations 2.33 (traits verts) et 2.35 (traits bleus), sont basés sur l’estimation géométrique deν(r12) et supposent que les résidus sont ponctuels. On constate donc d’une part une valeur nettement plus importante de nâtt(r12, s1, s2) pour des distances r12 inférieures à 5 ˚A, et d’autre part l’absence de (( pics )) aux alentours de 7 et 12 ˚A.

Outre ces deux différences, les potentiels définis à partir des états de référence 2.29 (traits noirs) et 2.33 (traits verts) apparaissent fort similaires dans l’exemple de la Figure 2.1, ce qui valide les approximations faites dans le cadre de l’estimation deν(r12) (Equation 2.14), du moins lorsquer12 est compris entre 5 et 15 ˚A. Le potentiel défini par l’équation 2.35 (traits bleus) leur est également similaire, si ce n’est que, par définition, il est nul lorsquer12vaut 15 ˚A. Ceci implique un décalage vertical de la courbe de potentiel

∆W⁽²⁾, particuli`erement important pour certaines paires d’acides amin´es, telles que la paire Glu-Lys.

Le potentiel basé sur l’état de référence 2.34 (traits rouges) est défini de manière à exclure les contributions communes à toutes les paires (s1, x) et (x, s2), où x représente n’importe quel résidu. Par exemple, la leucine est un acide aminé hydrophobe qui a une nette préférence envers l’enfouissement dans le coeur de la protéine. Par rapport

à la moyenne des acides aminés, la leucine aura donc plus fréquement un autre résidu

à proximité. Les effets de ce type sont inclus dans nâtt(r12, s1, s2), ce qui explique que le potentiel correspondant soit moins favorable que les autres pour la paire Leu-Leu entre 5 et 8 ˚A. Ce n’est pas le cas pour la paire Glu-Arg qui établit une interaction

électrostatique spécifique. Notons finalement que ce potentiel tend rapidement vers zéro lorsque r12 devient supérieur à 8-10 ˚A, indiquant ainsi que les contributions reprises par les autres potentiels à de telles distances ne sont pas spécifiques à la paire de résidus, mais résultent plutôt des préférences individuelles de chacun des deux résidus.

Discr´etisation de l’espace conformationnel

L’un des grands avantages des potentiels présentés dans ce chapitre, par rapport aux fonctions d’énergie basées sur une description physique des diverses interactions, est qu’ils peuvent aisément être adaptés à n’importe quelle représentation simplifiée des protéines.

Cela permet naturellement une réduction importante du temps de calcul, indispensable dans de nombreuses applications au vu de la complexité des systèmes étudiés. De telles fonctions simplifiées induisent également un lissage du paysage énergétique, qui rend les études in silico de protéines moins sensibles à de fortes variations énergétiques locales. Par ailleurs, il est également possible de plaider en faveur de ces représentations simplifiées en argumentant qu’elles reflètent une certaine réalité du reploiement des protéines. En effet, les vitesses de reploiement des protéines étant incompatibles avec une exploration exhaustive de leurs espaces conformationnels, les résidus ne voient probablement pas avec précision le détail atomique des résidus voisins, mais ressentent plutôt globalement certains groupes d’atomes ou acides aminés complets, du moins dans les premières étapes du processus de reploiement, avant qu’une structure compacte ne soit atteinte. La discrétisation de l’espace conformationnel des protéines est donc une approximation nécessaire pour des raisons pratiques, mais qui présente néanmoins certains avantages.

La manière dont la discrétisation est réalisée dépend généralement du problème envisagé et de la précision escomptée, ainsi que des contraintes au niveau du temps de

(17)

calcul disponible et de la taille de la base de données utilisée pour dériver les potentiels.

Le choix des paramètres liés à cette discrétisation, tels que le nombre d’intervalles de distance, de valeurs d’accessibilité au solvant ou d’angles de torsion, peut naturellement avoir un impact non négligeable sur le pouvoir prédictif des potentiels [104]. Notons qu’il est parfois possible de définir une discrétisation de l’espace conformationnel qui ait une certaine signification physique. C’est par exemple le cas lorsque les valeurs d’angles de torsion de la chaˆıne principale des résidus sont répartis en domaines qui sont séparés par des barrières énergétiques (voir Annexe A).

Remarquons également que certains aspects qui ne sont généralement pas pris explicitement en compte lors de la dérivation de potentiels, même si leur influence apparaˆıt implicitement dans les moyennes statistiques qui sont calculées, peuvent avoir une certaine importance. Il s’agit notamment des différences de tailles des acides aminés [100], de la présence de molécules de solvant [102,103,105] ou encore de la connectivité de la chaˆıne protéique [106,107]. Par ailleurs, différentes manières, plus ou moins simplifiées, de décrire la séquence des protéines ont été exploitées. Ainsi, certains potentiels sont basés sur un alphabet réduit d’acides aminés [108, 109] tandis que d’autres considèrent jusqu’à 167 types d’atomes, différenciés selon la nature des acides aminés auxquels ils appartiennent [101, 103]. Les descripteurs conformationnels utilisés dans notre travail, basés sur une représentation simplifiée de la structure des protéines, sont présentés en Annexe A.

Influence de la base de donn´ees

Afin de permettre le calcul de moyennes statistiques fiables, il est nécessaire que la base de données utilisée pour dériver les potentiels soit à la fois grande et diversifiée.

Les bases de données créées à une telle fin incluent donc généralement un nombre aussi important que possible de structures protéiques, déterminées par cristallographie aux rayons X (RX) ou par résonance magnétique nucléaire (RMN), qui respectent certains critères. Deux types de critères sont fréquemment énoncés. Le premier concerne la qualité des structures, afin de minimiser l’impact des imprécisions expérimentales sur les potentiels. L’ambition du deuxième est d’éviter l’introduction d’un biais vis-à-vis de certains types de structures, en imposant une limite supérieure à la similarité structurale et/ou à l’identité de séquence entre deux protéines de la base de données.

Ces critères sont nécessaires mais induisent une limitation sévère du nombre de structures protéiques qui peuvent être incluses dans la base de données. Dans certains cas, par exemple pour des éléments de séquences liés à des acides aminés peu fréquents tels que la méthionine ou le tryptophane, il est possible que le nombre de structures constituant la base de données soit insuffisant et que l’estimation des probabilités d’association entre s et c s’en trouve fort affectée. Afin de remédier à ce problème, une version modifiée de l’équation 2.20 est généralement utilisée [38] :

∆W(c, s) = −kTln

· σ

σ+nâtt(c, s) + nôbs(c, s) σ+nâtt(c, s)

¸

, (2.36)

oùσest un paramètre ajustable. Lorsquenâtt(c, s) est petit par rapport àσ, les fréquences relatives extraites de la base de données sont considérées comme peu représentatives et l’on fait tendre ∆W(c, s) vers zéro, afin d’éviter que ces données ne dominent les