Analyse statistique des données expérimentales

Analyse statistique des données expérimentales

Incertitudes et analyse des erreurs dans les mesures physiques

John Taylor

Plan

• Introduction : incertitudes sur les données

• Probabilités

• Distributions de probabilités

• Incertitudes, propagation des incertitudes

• Ajustement de courbes

Mesure et incertitude

• Toutes les quantités mesurées le sont à une précision finie

• La science de la mesure consiste à

– mesurer à la meilleure précision possible – d’évaluer l’incertitude sur la mesure

Erreur vs incertitude

• Erreur : écart entre la mesure et la valeur vraie (en général inconnue)

• Incertitude : écart probable

• Les barres d’incertitude contiennent probablement la valeur vraie

• Attention de ne pas sous-évaluer l’incertitude

• Mieux vaut une mesure présentant une grande

Mesure et incertitude

• Chiffres significatifs et mesure

• Quelle est la signification de :

– Albert a 22 ans

– J’ai parcouru 100 kilomètres à vélo

– Le LEP mesure 26,66 km de circonférence – Ce pointeur laser éclaire à 50 m

– This laser pointer shines to 54,68 yards

Mesure et incertitude

• Quelle est la signification de:

– G = (6,67428 ± 0,00067) × 10^11 m³ kg^1s^2 – m_e = (9,10938215 × 10^31 kg) ± 50 ppb

Chiffres significatifs

a = 7,35678 ± 0,345 (utilisation incorrecte) a = 7,3 ± 0,3

a = 7,356 ± 0,04 a = 7,3568 ± 0,005 a = 7,35678 ± 0,0007

On arrondit l’incertitude à 1 chiffre significatif

On arrondit la valeur au dernier chiffre significatif

Chiffres significatifs (exemple)

• Soit a = 3 m et b = 7 m

• a/b = 0,428571 ... ?

• a/b = 0,4

Incertitude

• Erreur de mesure

• Erreur systématique

• Incertitude aléatoire

• Incertitude sur une quantité dérivée

• Propagation des incertitudes

• Distribution de probabilité

Erreur de mesure

• Mesure de distance avec une règle graduée en millimètres:

– La précision ~ ½ mm

• Mesure de tension avec un multimètre:

– La précision dépend de l’appareil

– L’appareil est très précis mais la tension varie

Erreur systématique

• Vous avez mesuré une longueur à ± ½ mm

– Mais la règle est fausse de 10% !

• Vous avez mesuré une tension à 0,01%

– Mais l’appareil est décalibré de 5%

• Vous avez fait une mesure avec grand soin

– Mais un des appareils était débranché

Incertitude aléatoire (statistique)

• Vous répétez une mesure 100 fois

• Les résultats se

ressemblent mais ...

Incertitude

• L’ensemble des valeurs possibles sont décrites par une distribution de probabilité

• L’incertitude représente un intervalle à l’intérieur duquel la vraie valeur se trouve probablement

• L’incertitude = 1 déviation standard

Incertitude

Quelle est la signification de:

– G = (6,67428 ± 0,00067) × 10^11 m³ kg^1s^2 – m_e = (9,10938215 × 10^31 kg) ± 50 ppb

– L’incertitude = une déviation standard

– La probabilité que la vraie valeur soit dans cet

Exemple de mesures

• Fréquence d’un pendule (~ 1 s)

• Chronomètre très précis (~ 1s par an)

• À quelle précision puis-je mesurer la période ?

– quelques dixièmes de seconde

• L’histogramme présente une fluctuation

• Je peux moyenner sur plusieurs périodes

Exemple de mesures

• Fréquence de ma respiration

• Même précision de mesure que précédemment

• L’histogramme est plus large

• Le phénomène présente plus de variabilité

Est-ce la meilleure façon de mesurer

la période ?

Non

• Je compte 100 périodes ~ 100 s ± 0,2 s

• Plus facile et plus précis qu’avec plusieurs mesures

• 100 mesures de ~2 s à ± 0,2 s donnent

–

s s

T  2  0,002

s

i s

2 , 0 2

,

 0





Incertitude relative ou fractionnaire

– G = (6,67428 ± 0,00067) × 10^11 m³ kg^1s^2 – G = 6,67428 × 10^11 m³ kg^1s^2

– G = 0,00067 × 10^11 m³ kg^1s^2

– G/G = 0,00067/ 6,67428 = 10^-4 = 0,01 % – m_e = (9,10938215 × 10^31 kg) ± 50 ppb

– m_e/ m_e = 5 × 10^8 – m_e= 4,6 × 10^8 kg

Propagation des incertitudes Additions et soustractions

• a = 9 ± 3 a entre 6 et 12

• b = 7 ± 2 b entre 5 et 9

• s = a + b = 16 ± 5 car s entre 11 et 21

Propagation des incertitudes Produits et quotients

• a = 29 ± 3 a entre 26 et 32

• b = 37 ± 2 b entre 35 et 39

• ab = 1073 et est entre 910 et 1248

Propagation d’incertitudes pour une somme

• Soit 2 mesures x ± x et y ± y

• z = x + y  z =  x +  y

• La règle est provisoire car on exagère un peu

• x ± x contient ~68%

• y ± y contient ~68%

Propagation d’incertitudes pour un produit

• a = 29 ± 3

• b = 37 ± 2

• z = ab = 1073 ± 169

 

 

^910,39,1248

35

32 , 26







ab b a

 

^{1 15%}

37 29

% 4 , 5

% 10 1

37 29

37 29

3 2 37

2 29

1 3 37

29

37 1 2

29 1 3

37 29





















 







 













 

 



 

 





 ab

b b a

a z

z  

 _{ }

Propagation d’incertitudes pour un quotient

• z=a/b On trouve le même résultat :

 

 



 



   





 







 

 

 

 



 

...

1

1 / 1

1

/ 1

b b a

a b

a

b b a

a b

a b

b b

a a a

b b

a z a















 

• Ajouter ou soustraire un nombre exact ne change pas l’incertitude absolue

• a = 7,3 ± 0,2

• b = 4

• a + b = 11,3 ± 0,2

• Multiplier ou diviser par un nombre exact ne change pas l’incertitude relative

• 4 x (7,3 ± 0,2) = 29,2 ± 0,8

Puissance

• et on additionne les incertitudes relatives

• a une incertitude 4 fois celle de a

• ça ressemble à une dérivée

a a

a a

a⁴    

a4

a n a f

a f

f ⁿ  





Règle générale (ou presque)

 

 

x x x nf

x n x x

nx f

x f

y y x

x f

f

y x x

y f

xy f

y x

f y

x f

y y x f

x f f

y x f f

x x f f

x f f

x n

n    





  













































 



 





 



1

,

Incertitudes indépendantes

• z = x + y

• z = x + y surestime l’incertitude sur z si les x et y sont indépendants

• l’erreur sur x a autant de chance d’être + ou 

• l’erreur sur y a autant de chance d’être + ou 

Propagation d’incertitudes

Incertitudes indépendantes

• x et y sont des variables indépendantes

• Et x et y sont des erreurs indépendantes

• Leurs effets s’additionnent quadratiquement

Incertitudes indépendantes

 



 







 

 



 







 



 y

y f x

x f f

pour des incertitudes indépendantes

Propagation d’erreurs

y x

axy f f

b a

by ax

f

x y f

y x

f

 

























2 2 2

2 2

2

2 2 2 2

2

(sans corrélations)

Probabilités et

Statistiques

Probabilité

• Probabilité qu’un événement X se produise

N N

P lim nombre de succès



 

Probabilité

• On lance un dé

• 6 résultats possibles

• Chaque résultat a un p_i = 1/6

1 0  p



 1

 ^p

Complément

• p = la probabilité que X se produise

• 1 p = la probabilité que X ne se produise pas

• q = 1 p est le complément de p

Calcul de la probabilité

• 1) Calculez le nombre total de

combinaisons N, supposées équiprobables

• 2) Calculez le nombre de ces combinaisons qui représentent un succès S

• 3) p = S/N

Calcul de probabilité

• Probabilité de tirer 3 avec 1 dé

• 1) N = 6 possibilités

• 2) S = 1 seule bonne combinaison

• 3) p = 1/6

Calcul de probabilité

• Probabilité de tirer une somme de 4 avec 2 dés

• 1) N = 6 x 6 = 36 possibilités

• 2) S = 3 (1,3) (2,2) (3,1)

• 3) p = 3/36 = 1/12

Calcul de probabilité

• Probabilité de tirer une somme de 7 avec 2 dés

• 1) N = 36

• 2) S = 6 (énumérez les)

Distribution de probabilité

• Indique la probabilité de succès pour chaque type d’événement

• Se présente sous forme graphique

Distribution pour 1 dé

Somme de 2 dés

Distributions

• Propriétés des distributions

– Moyenne, mode, médiane – Valeur attendue

– Moments

• Distributions de probabilité particulières

– Binôme, Gauss, Poisson, ...

2 types de distributions

• Distributions discrètes

• Distributions continues

Distributions discrètes

(comme on a déjà vu)

– P(x_i) > 0 pour des x_i discrets – P(x_i) = 0 partout ailleurs

 

Somme de 2 dés

Distributions continues

• Le nombre de résultats permis est 

• Chaque résultat a une probabilité = 0

• On définit la densité de probabilité

f(x) dx = probabilité de trouver le résultat entre x et x + dx

Distribution continue

Mode

• Valeur la plus probable

= 7 pour la somme de 2 dés Non défini pour un dé

Médiane

• Point qui sépare la distribution en 2 moitiés égales

• = 7 pour la somme de 2 dés

• = 3,5 pour un dé

(ou toute valeur entre 3 et 4)

Moyenne

• Ou valeur attendue

• Discrète :

• Continue :





 



dx x

xp

x p

x_{i i} ) (

) (





Pour une distribution symétrique

• Moyenne = Mode = Médiane

Valeur estimée

• Moyenne =

– est la valeur attendue (ou estimée) de x – Notée

• La moyenne de x est la valeur estimée de x

• La valeur attendue de toute fonction f(x) est





 

 f x p x f x p x dx

f ( _i ) ( _i ) ou ( ) ( )

x

Normalisation

1 )

( 1

) (

1 )

( 1

) (

















dx x

p dx

x p

x p

x

p

Propriétés de la valeur attendue

n x n

x

x g

b x

f a

x bg

x af







 ( ) ( ) ( ) )

(

Ex: N lettres au hasard dans N enveloppes

Combien y a-t-il de lettres dans la bonne enveloppe?

X_i= 0 ou 1 selon que la lettre i est dans la bonne enveloppe ou non

Ex: N lettres au hasard dans N enveloppes

Combien y a-t-il de lettres dans la bonne enveloppe?

X_i= 0 ou 1 selon que la lettre i est dans la bonne enveloppe ou non

1 /

1

* /

1 1























N N

N X

X X

X X

X N

i i

i i

Quel que soit N, il y a en moyenne 1 lettre dans la bonne enveloppe

Moments

• Différentes distributions

peuvent avoir la même moyenne mais être

différentes

Moments

• On peut représenter une distribution par l’ensemble de ses moments

2 2 1

0 1

x m

µ m

m

x m_i ⁱ









...

Normalisatio n

Moyenne

Moments centrés

• On soustrait la moyenne pour recentrer

 

1 0

0 1 µ

µ

µ x

µ_i ⁱ









Normalisation

Moyenne recentrée = 0

Écart-type

• Représente la largeur de la distribution



 = Écart quadratique moyen

= Déviation moyenne

2 2

2 2 2

2

2 2

2 2

2 2

2 2

2

2 2

2

2 )

(

x x

s

x x

µ x

µ µµ

x

µ x

µ x

µ µx

x

µ µx

x µ

x s













































Mesure et incertitude

• Je mesure une quantité 5 fois

• x = 17, 16, 18, 17, 18

• Quelle est la valeur probable de x et son incertitude ?

1 

Probabilité de N événements

• Obtenir 25 piles en 35 lancers

• Obtenir 30 fois 6 en 100 lancers

• Que 10 noyaux de radium se désintègrent en 5 minutes

• Que la bactérie se divise 20 fois en 1 heure

• Que 8 de vos 10 mesures soient dans un certain intervalle

Distribution binômiale

• On lance un dé 100 fois

• La valeur attendue du nombre de 6 est ~17

• Quelle est la probabilité de tirer r fois 6 ?

• Toutes les séries (a₁, a₂,..., a₁₀₀) sont équiprobables

• La probabilité de 6 à chaque case est p = 1/6

• Chaque combinaison de r succès et nr échecs a une probabilité

r n

r p

p (1 ) ^

)!

(

!

! r n

r

n r

n

 



 





r n

B pr p

r n

r p n

n r

P  ^

  (1 )

)!

(

! ) !

;

; (

•Il y a combinaisons de r

succès

Probabilité pour r succès et nr échecs =

67 , 1 )

1 (

33 , 3 6

/ 20













p np

np µ



727 ,

3 )

1 (

66 , 16 6

/ 100













p np

np µ



Désintégration radioactive

• 1 g de radium = 2,7*10²¹ atomes = 1 Ci = 1,7*10¹⁰ désintégrations/s

• Demi-vie = 5,26 *10⁸ min ~ 1000 ans

• Probabilité qu’un atome donné se désintègre dans les 5 minutes est faible p ~ 10^8

• µ = np = 5*10 désintégrations en 5 minutes

• Probabilité de r désintégrations =

r n

B pr p

r n

r p n

n r

P  ^

  (1 )

)!

(

! ) !

;

; (

Mais n! est impossible à calculer n est très grand

p est très petit np = µ est fini

On remplace p par µ/n

n r

r n r

r

r r n

B

n µ µ

r n

n n

n µn µ n

µ r

n r

n

n µ n

µ r

n r

p n n r P

) 1

) ( 1 )...(

1 (

) 1

(

) 1

( )!

(

!

!

) 1

)! ( (

! ) !

;

; (

 









 

 



 





  ^

) 1 1 )...(

1 lim (

1 lim 1

lim 1

) 1

(

) 1

(

!

) 1 )...(

1 ) (

;

; (

 









 



 

 





 



 

 







 



 



r r

µ n

r n r

B r

n

r n

n n n

n µ n

n e µ n

n µn µ µ

r n

r n

n p n

n r P

Distribution de Poisson

) ,

( )

;

; lim (

) 1

(

) 1

(

!

) 1 )...(

1 ) (

;

; (

µ r

µ P p e

n r P

n µn µ µ

r n

r n

n p n

n r P

r µ

r n r

B r







 



 



n = 10, p = 0,5 µ = 5

n = 100, p = 0,05 µ = 5

Propriétés de la distribution de Poisson

• Normalisation

• Écart-type

! 1 ) ! , (

0

0









 













 

µ µ x

µ x

x

x µ P

e x e

e µ

x µ µ e

x P

Rayons cosmiques

• 180 rayons cosmiques / (m² min)

• Combien en passe-t-il en 10 secondes ?

• µ = 180*10/60 = 30

• On peut prédire qu’il passera

rayons cosmiques en 10 secondes

30 30 

5 , 5 30

30

secondes 10











3

seconde 1

 

Distributions de Poisson

• Nombre de fautes de frappe dans une page

• Nombre d’individus vivant plus de 100 ans

• Nombre de  émis par une source

• Nombre d’incendies à Montréal par semaine

• Nombre de gens tirant le numéro gagnant

Additivité

• x obéit à

• y obéit à

• Alors, z = x + y obéit à

) ,

,

(x m p P_B

) ,

,

( y n p P_B

) ,

,

(z m n p P_B 

y x

z  

Additivité

• x obéit à

• y obéit à

• Alors, z = x + y obéit à

) ,

(x µ₁ P_P

) ,

( y µ₂ P_P

) ,

(z µ₁ µ₂ P_P 

2 2

y x

z

y x

z





  





Distribution gaussienne

• La distribution de Poisson est asymétrique

• Mais devient plus symétrique pour µ grand

• Pour µ>30, la distribution est symétrique

5 , 5 30

30

secondes 10











7 , 1 3

3

seconde 1











Distribution gaussienne

• Abraham de Moivre 1733

• Distribution continue de à

• Maximum en x = µ

• Forme en cloche

• D’application très générale



  

Distribution gaussienne

• Taille des individus

• QI

• Incertitudes

• Vitesse des molécules

 

2 2

2

2 ) 1

(





µ x

G

x e

P

 



Distribution gaussienne

• 2 paramètres : µ et 

• Symétrique autour de µ

Additivité

• x obéit à

• y obéit à

• Alors, z = x + y obéit à ) ,

,

( _{x x}

G x µ

P 

) ,

,

( _{y y}

G y µ

P 

) ,

,

( _{z z}

G z µ

P 

y x

z  

Distribution normale

• Distribution gaussienne

• µ = 0

= 1

Fonction tabulée Fonction standard

2

2

2 ) 1

(

x

N

x e

P 



Distribution normale









1 

1

% 68 68269

, 0 )

(x dx P_N







68 

, 0

68 , 0

5 , 0 )

(x dx

P_N

P.E.  0 , 68 



  2 , 35

Largeur à mi-hauteur

Distribution gaussienne









2 ) 1

(

% 68 68269

, 0 )

(

68 , 0

68 , 0



















dx x

P

dx x

P

G G

Fonction erreur erf(x)



 



















 









2 ) 1

( ) 1 (

2

2

2 2

erf a dx

e dx

x P

dx e

a erf

a

a a x

a

N

a a

x





Fonction erreur

68 ,

0 )

(

1 )

(

0 )

0 (

1 2 





 erf

erf erf

Théorème de la limite centrale

• Sans démonstration

• Indique pourquoi tant de phénomènes obéissent à une distribution gaussienne

Théorème de la limite centrale

• Soit x_i i = 1, ..., n n variables indépendantes

• Les x_i obéissent à des distributions caractérisées par des µ_i et des _i

• Alors, est distribuée selon une

• gaussienne avec

 n i xi

1

5 , 5 30

30











7 , 1 3

3











Lorentz

• Pas de lien avec les autres distributions

• Phénomènes de résonance

• Circuits RLC

Lorentz

•  est infini

• On utilise 

   

1







 

µ P_L x



Lorentz