b 2 13 Devoirsurveillédemathématiquesn°1
Jeudi5otobre2006 - Durée:2heures
L'usagedesalulatr iesommeeluidelaopiedu(dela)voisin(e)sontvivementdéonseillés
L
Exercice 1 Un peu d’ordre
Nousonsidèreronsonnuslesrésultatssuivants:
Dénition Soientaetbdeuxnombresréelsquelonques.
Nousdironsqueaestsupérieuràblorsqueladifférenea¡bestpositive.Onnoteraalors
a>b
Théorème1 Soitaetbdeuxréelsvérianta>b.Soitunréelquelonque.Alorsonatoujours
aÅ>bÅ
Théorème2 Onpeutmultiplierparunmêmenombreréel......lesdeuxmembresd'uneinégalitésansenhangerlesens.
Théorème3 Sionmultiplielesdeuxmembresd'uneinégalitéparunmêmenombre......,alorsl'inégalitéhangedesens.
a. Complétezles......desthéorèmes2et3pourqu'ilssoientorrets.
b. Refor mulezlethéorème1sousfor med'unephraseenlangageourant,surlemodèledesénonésdesthéorèmes2
et3.
. Résolvezlesinéquationssuivantes.
i) ¡3xÅ5>¡37
ii) 1
2
x¡365x
Vousjustierezhaquealulenitantladénitionoulethéorèmequevousutilisez.Vousdonnerezl'ensembledes
solutionssousfor med'inter valle.
d. Onvoudraitsavoirsionpeutadditionnermembreàmembredeuxinégalitésdemêmesens?
Vousommenerezpardonnerdesexemplesquiillustrentetteproposition.
Voustenterezensuitedeladémontrerdansleasgénéral.
L
Exercice 2
Ondonne:
tÆ( p
2¡ p
7)(
p
2Å p
7 ) uÆ 1
2 Å
7
5
£ 3
4 vÆ
2
3 Å1
2¡ 1
6 a. Calulert,uetvetdonnerlesrésultats
souslafor melaplussimplepossible.
b. Compléterletableaui-dessousàl'aidedessymboles2(appar tient)etÝ(n'appar tientpas):
Ensembles
N Z D Q R
t
u
L
Exercice 3
a. Lenombre1,555est-ilunnombrerationnel?Justier.
b. Existe-t-ildesnombresdéimauxquinesoientpasrationnels?Justier.
. Existe-t-ildesnombresrationnelsquinesoientpasdéimaux?Justier.
L
Exercice 4
a. Ér iresouslafor med'unproduitdepuissanesdenombrespremiers:
xÆ5 2
£5 9
£10
¡2
yÆ (¡2)
3
£24 2
27 3
£
¡
2 3
¢
¡2
b. Ér iresouslafor mea p
bÅ,avea,b ,desentiersetbétantlepluspetitpossible:
MÆ p
288¡
p
162 PÆ(3 p
5¡2) 2
L
Exercice 5
Complétezavel'undessymbolessuivants:Ç,È,Æ.(Auunejustiationn'estdemandée)
15
11 ...
19
11
¡5
24 ...
¡7
24
15
11 ...
15
13
¡15
21 ...
¡25
35
¼
3
...0,99
3
p
10¡1 ...
p
10Å1
3
L
Exercice 6
Quelaluleffetue-t-onsiontapesurlaalulatr ie:
C(5+4)m3M5+6
Donnezlerésultat.
L
Exercice 7
a. Ondonnelesinter vallesIÆ℄¡3;3℄etJÆ℄¡1;1℄
i) Compléterave2ouÝ: ¡¼...I
p
2¡1...J
ii) Dessinerenver tl'inter valleIetenrougel'inter valleJsurladroitegraduée:
−1
−2
−3
−4
−5
−6 1 2 3 4 5 6
0
iii) Déter minerI\JetI[J
b. Ondonnelesinter vallesIÆ℄¡1;4[etJÆ[¡3;Å1[
i) Dessinerenver tl'inter valleIetenrougel'inter valleJsurladroitegraduée:
−1
−2
−3
−4
−5
−6 1 2 3 4 5 6
0
ii) Déter minerI\JetI[J
QUESTIONBONUS(FACULT ATIVE)
