I) Cadre de l’étude :

Rayonnement dipolaire

(PC*)

I) Cadre de l’étude :

On considère un ensemble de charges q

, telles que

⁰

i

q =

∑ , mobiles au voisinage de l’origine O d’un système de coordonnées. On pose :

O x

y z

A

(q

)

M r = OM

On souhaite déterminer les champs ^E r

et ^B

r

à grande distance r de O et montrer que ce système rayonne de l’énergie (contrairement au dipôle statique).

i i

i

p ^r = ∑ q OA ^uuur

Le moment dipolaire de la

distribution de charges est :

Hypothèses simplificatrices :

• r >> a : a est de l’ordre de grandeur de l’extension spatiale de la distribution de charges

• v

<< c : la particule q

a une vitesse v

non relativiste

z a cos( t) ; p qa cos( t) u

dz a sin( t) dt

dz c donne a dt

= ω = ω

= − ω ω

<< << λ

r r

Zone de rayonnement :

L’étude du champ rayonné par ce dipôle à une distance r >> a de celui-ci conduit à distinguer trois zones dans l’espace :

• La zone statique : a << r << λ

(on ne tient pas compte de la durée de propagation)

• La zone intermédiaire : r ≈ λ

• La zone de rayonnement : r >> λ

On s’intéresse aux champs EM dans la zone de rayonnement, ce qui correspond

aux situations les plus répandues.

Rappels sur le potentiel vecteur :

Le potentiel d’une distribution volumique de courants est :

π τ

µ d

M A

c M t A

A j t

M A A

i i i

D

) ,

( ) 4

,

(

0

−

=

= ∫∫∫

r r

r

Pour une distribution filiforme, on utilise la correspondance l r r

id d

j τ = _:

l r r

r

M d A

c M t A

A i t

M A A

i i i

D

) ,

( ) 4

,

(

0

−

=

= ^µ _π ∫∫∫

Pour une répartition discrète :

( , )

4

i i i

i

q v t A M A M t c

A M µ

π

 

 − 

 

= ∑

r

r

II) Détermination des champs : 1) Expression générale :

On utilise :

( )

rot U a = grad U ∧ + a U rot a

uuur r uuuuuur r uuur r

On travaille en coordonnées sphériques.

On suppose :

p r = pu r z

On écrit :

B rotA et rotB E

ε µ ^∂ t

= =

∂

uuur r uuur r

r r

2) Expression des champs EM à grande distance de l’origine : Dans la zone de rayonnement (r >> λ)

L’expression du champ magnétique se simplifie en :

( , )

sin

4

p t r

B M t c u

rc

µ θ

π

 

 − 

 

=

&&

r r

Pour calculer le champ électrique, on utilise :

0 0 2

∂ 1 ∂

= =

∂ ∂

r r

uuur r E E

rotB ε µ t c t

En utilisant un formulaire mathématique :

Ainsi :

( ) ( )

2

1 1

sin sin

sin sin

∂ ∂

= −

∂ ∂

uuur r r r

rotB r B u

r B u

r θ r r θ ^θ

θ θ θ

: ( , )

sin 4

 

 − 

 

=

&& r p t c Avec B M t

rc

µ θ

π ^:

0 0

2 2

cos 1

2 sin

4 4

   

=  −  +  − 

   

uuur r r r

&& &&&

r

r r

rotB p t u p t u

c c r c r c ^θ

µ θ µ

π π θ

Par intégration temporelle :

0 0

2

cos 1

2 4 sin

   

=  −  +  − 

   

r r r

& &&

r

c r r

E p t u p t u

r c r c ^θ

µ θ µ

π π θ

En faisant à nouveau la même approximation que pour le champ magnétique, on trouve pour le champ électrique dans la zone de rayonnement :

0

2

( , ) sin 1 sin

4 4

   

− −

   

   

= =

&& &&

r r r

r r

p t p t

c c

E M t u u

r ^θ rc ^θ

µ θ θ

π πε

3) Approximation locale par une onde plane :

Dans la zone de rayonnement, on constate que les champs ^E r

et ^B

r

sont perpendiculaires au vecteur u r

et que :

u r

B E

= c ∧

r r r

III) Aspect énergétique :

1) Puissance rayonnée par un dipôle :

On calcule le vecteur de Poynting dans la zone de rayonnement :

Puissance rayonnée :

On calcule le flux du vecteur de Poynting à travers la sphère de centre O et de rayon r :

Cette puissance rayonnée ne dépend pas de r (le milieu est non absorbant)

2) Cas d’un mouvement sinusoïdal :

IV) Exemple d’application ; rayonnement d’une particule chargée :

Voir feuille de TD

Complément ; polarisation par diffusion :

A partir de la lumière non polarisée du Soleil, la lumière diffusée dans des

directions orthogonales à la direction du Soleil est polarisée rectilignement.

Complément ; grille polarisante :

Les polariseurs du laboratoire d’optique sont des « Polaroïds », constitués de feuilles de plastique transparent fortement étiré dans une direction et rendu

conducteur.