Réalisation de formes $\mathbb {Z}$-bilinéaires symétriques comme formes trace hermitiennes amplifiées

J

OURNAL DE

T

HÉORIE DES

N

OMBRES DE

B

ORDEAUX

G

RÉGORY

B

ERHUY

Réalisation de formes Z-bilinéaires symétriques comme

formes trace hermitiennes amplifiées

Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux, tome

12, n

o

_{1 (2000),}

p. 25-36

<http://www.numdam.org/item?id=JTNB_2000__12_1_25_0>

© Université Bordeaux 1, 2000, tous droits réservés.

L’accès aux archives de la revue « Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux » (http://jtnb.cedram.org/) implique l’accord avec les condi-tions générales d’utilisation (http://www.numdam.org/conditions). Toute uti-lisation commerciale ou impression systématique est constitutive d’une infraction pénale. Toute copie ou impression de ce fichier doit conte-nir la présente mention de copyright.

Article numérisé dans le cadre du programme Numérisation de documents anciens mathématiques

Réalisation

de

formes Z-bilinéaires

_symétriques

comme

formes

trace

hermitiennes

amplifiées

par GRÉGORY BERHUY

RÉSUMÉ. Dans cet

_article,

on montre de manière

_explicite

_que

toute forme Z-bilinéaire _symétrique non

_{dégénérée}

de _rang

_pair,

et non

Q-isomorphe

au

_{plan hyperbolique,}

se réalise comme forme

trace hermitienne

_amplifiée

d’une

_algèbre

_Z[03B1],

où 03B1 est un en-tier

_algébrique.

Plus _{précisement,} on _{montre que pour tout} S ~

M2n(Z)

symétrique,

avec

_detS~

0

_(et

_{detS~-1 (mod}

_Q*2)

si n =

1),

il existe un entier

_algébrique

03B1, une involution

Q-linéaire

03C3 de

Q(03B1),

03BB ~

_Q(03B1)

_{03C3-symétrique} et une Z-base _{v1, ...,} v2n d’un

idéal de

_Z[03B1]

tels que S =

(TrQ(03B1) /Q (03BBviv03C3j)).

ABSTRACT. In this _paper, we show

_by

an

_explicit

method that

every non

_{degenerate symmetric}

Z-bilinear form of even

rank,

which is not

_Q-isomorphic

to the

_{hyperbolic plane,}

can be realized as a hermitian scaled trace form of some

_algebra

Z[03B1],

where 03B1 is an

_{algebraic integer.}

More

_precisely,

we show that for _every symmetric matrix S E

_M2n(Z),

with

_{detS #}

0

_(and

_detS~

-1

(mod

Q*2)

if n =

1),

there exist _an

algebraic integer

03B1, a

Q-linear involution 03C3 of

_Q(03B1),

a _{03C3-symmetric} element 03BB ~

_Q(03B1)

and a Z-basis _{v1,... , v2n} of some ideal of

Z[03B1]

such that S =

(TrQ(03B1)/Q(03BB03C5i03C3j)).

Introduction.

_Krüskemper

a

_prouvé

dans

[2]

_que toute forme Z-bilinéaire

symétrique

et non

dégénérée

_peut

se réaliser comme une forme trace

ampli-fiée d’une

_{algèbre Z[a],}

où a est un entier

algébrique.

Le but de cet article

est de montrer un résultat similaire concernant les formes trace hermitiennes

amplifiées.

Je remercie vivement Eva

_{Bayer-Fluckiger,}

ma directrice de

thèse,

pour l’aide

qu’elle

m’a

_apporté

dans la réalisation de ce travail.

Définitions et notations. Dans ce

qui suit,

l’expression forme

Z-bilinéaire

désigne

un

couple

(M, b),

où M est un Z-module libre de

_type

fini et où

b : M x M - Z est une forme bilinéaire. On dit

qu’elle

est non

_{dégénérée}

si elle est non

_{dégénérée lorsqu’elle}

est vue comme forme

_{Qbilinéaire.}

Soit a un entier

_algébrique.

Si I est un idéal de

7G(a~,

on note

, , ,

-Soit 3 un idéal de

Z [a],

et soit À un élément de tel _que À e

(J2)d.

La forme Z-bilinéaire

_{symétrique 3}

x 7 -

_Z,

_{(z, y)}

~ est

appelée fornae

trace

_amplifiée

de

_Z[a]

et notée

_{(7, UX).}

Si de

_plus

Q est une involution

Q-linéaire

non triviale de

~(a),

et

_{si p}

est

un élément de

l$a)

fixé _{par a} tel _{que M} e la forme Z-bilinéaire

symétrique 7 x 7 -

Z,

(x, Y)

e est

_{appelée forme}

trace

hermitienne

_amplifiée

de

_{Z [a]}

_par

_rapport

à _{Q, et} notée

_{(7, u,}

On notera H le

_plan

_hyperbolique

_{1, -1}

&#x3E;.

_Enfin,

si M est une matrice

carrée,

on note _xM son

polynôme

_{caractéristique.}

Réalisation de formes Z-bilinéaires comme formes traces

ampli-fiées.

_Krüskemper

a montré dans

_[2]

le résultat suivant :

Théorème 1. Toute

_forme

Z-bilinéaire

_symétrique

non

_{dégénérée}

_peut

être

réalisée comme

forme

trace

amplifiée

d’une

algèbre

_pour un certain

entier

_algébrique

a.

Réalisation de formes Z-bilinéaires comme formes traces

hermi-tiennes

_amplifiées.

Dans la

_suite,

on s’attachera à montrer le résultat

suivant :

Théorème 2. Toute

_forrrce

Z-bilinéaire

_symétrique

non

dégénérée

de _rang

pair,

et non

Q-isomorphe

à

IHI,

_peut

être réalisée comme

forme

trace

hermi-tienne

_amplifiée

d’une

_algèbre

_Z[a],

où a est un entier

_algébrique.

Preuve. Dans ce

_{qui suit,}

S E

_désignera

la matrice de la forme bi-linéaire considérée. On traite d’abord le cas n =

_1,

detS _e

~"‘2,

_qui

_ne

_peut

pas se résoudre _par la méthode

_générale

utilisée dans la suite.

_Remarquons

qu’une

forme trace hermitienne

_amplifiée

d’une extension

_{quadratique de Q}

est

_isométrique

à

_2À,

-2ad _&#x3E;, où d E

Q* _Q*2,

et donc le discriminant de cette forme est différent de -1.

_Ainsi,

une forme

Q-isomorphe

à H ne

peut

se réaliser comme une forme trace hermitienne

amplifiée.

Supposons

maintenant _{que n} = 1 et detS _E

~*2.

Alors S est

congruente

sur Q

à

_sI2

où s E

_~*,

et donc il existe U E

_GLn(Q)

tel que S =

sUtU.

On

_peut

_{supposer que} U est à coefficients entiers.

_Sinon,

il existe r E

tel _que rU soit à coefficients

_entiers,

et S =

T2

(rU)t(rU).

Soit donc

!7 = ( a).

Posons alors m =

det U,

_zi =

m(ai

₊

c),

_Z2 =

(c d)

° _{’ ’}

m(bi+d),

et 7 =

ZZlEBZZ2.

Montrons

que 3

_{est un} idéal de

Z [mi].

Pour

_cela,

il suffit de vérifier _que

_(rrzi)zl

et

_(mi)z2

sont dans 3. On vérifie aisément _que

et on a le résultat.

Désignons

maintenant par a la

_conjugaison

_complexe,

et

_posons

1

et donc S est la matrice de

_{(7, u, TrÀ)}

rela-tivement à la base _{Z1, z2.}

Pour traiter les _{autres cas,} nous avons besoin du résultat suivant :

Proposition.

Soit D E une matrices

diagonale

telle _que

det D #

0

Preuve de la

_proposition.

e On _{montre tout} d’abord

_qu’il

existe une matrice carrée de taille 2n

A2n

à coefficients

_entiers,

telle _{que xA2n} soit un

polynôme

pair

irréductible sur

Q,

et

D-IA2nD =

Si n =

_1,

_on

_peut

supposer que

, .

, soit m E

7G-{0}

tel que soit un entier. La matrice

convient alors. Si n &#x3E;

_2,

on a .

B "V

On construit des matrices

_{tridiagonales}

de la manière suivante. Soient

T4,T6)’" T2n

et X des indéterminées

_{indépendantes}

_{sur Q}

_(remarquer

que l’indice des

Ti

varie de 2 en

2 ) .

Pour 2

_m

_n, on _pose

On définit aussi

_diag

_{s2r,.t, - - - , pour 2} m 2n. On _pose

alors

_{Ll2r,.z (T4, - - - ,}

_T2r,.t,

_{X) =}

₎

_{det (B2r,.L -}

_{X D-1 ) .}

_2rri On va montrer

_qu’il

existe

des

_{spécialisations}

_{T2j = t2 , 2}

_j

n telles _que

02n (t4, - - - ,

t2n, X )

soit

irréductible dans

_Q[X].

Pour

_cela,

on _{montre par} récurrence que

A2n

est

irréductible dans

_{~~T4 , - - - ,}

_T2n,

_XI,

_puis

dans

_{Q(T4, - - - ,}

_{T2n ) ~X ~ .}

On utilise alors le critère d’irréductibilité de Hilbert. Pour

_simplifier

les

notations,

on

omet les

_paramètres

Si m =

2,

_{on a} facilement

On considère ce

polynôme

comme un élément de

~(X~(T4~,

et on montre

qu’il

est irréductible. Pour

_cela,

il suffit de montrer son irréductibilité dans

Q(X) [T4].

Supposons qu’il

existe

_R(X)

E

_Q(X)

tel _que

_{A4 (R(X), X)}

= 0.

On a alors

Soit

_I(X)

un facteur irréductible Si vI

désigne

la valuation

par

rapport

à

_I,

on obtient

Il est clair n’est pas un

_carré,

donc

vI ( s 2 1 s 1 1 XZ -

1 )

= 1.

On obtient donc 1 + =

0,

_ce

qui

est

absurde,

_car E Z.

Comme le

_degré

en X de

A4

est

_égal

à

_2,

cela montre son irréductibilité dans

Q(X) [T4 ],

donc dans

_{Q[X, T4 ].}

_Supposons

avoir montré l’irréductibilité de

~2m-2(?4)’" T2m-2, X)

pour m &#x3E; 2. Notons

P2m-2

le déterminant de

la matrice obtenue en ôtant la

première

ligne

et la

première

colonne de

B2m-2 -X D2m_2’

Remarquons

que

degP2m-2

degA2m-2 ,

et donc

A2m-2

ne divise _pas

P2~.,.t_2.

En

développant

le

déterminant,

on obtient

On a ensuite

-~X(-~_iXA2~-2 -~2~-2) -T~~2~-2.

Con-sidérons ce

_polynôme

comme un élément de

)T2~-2~][~2~]’

Il

suffit de montrer son irréductibilité dans

Q(T4,’"

T2m-2, X ) ~Z’2m~

_pour

avoir le résultat voulu.

_{Supposons qu’il}

existe R e

_{Q(T4, ... ,}

_T2m-2,

_X)

tel que

A2y~(A,~) =0.

On a alors

Considérons la valuation Vd2m-2 par

rapport

à

A2m-2.

· Les

propriétés

élé-mentaires des valuations donnent immédiatement

... . _ .

En

_appliquant

_{va,._,} à

_{l’égalité précédente,}

on obtient 1 +

_2vo2m-2

_(R)

= 0.

Le même _{raisonnement que} celui du cas

_précédent

nous

_permet

alors d’ache-ver la récurrence.

Bref, A2n

est irréductible dans

~(T4 , - - - ,

T2n,

XI.

Montrons

_qu’il

est irréductible dans

_{~(T4 , - - - ,}

Pour

_cela,

il suffit de le montrer _pour sl - - - Or ce dernier

polynôme

est unitaire en

X et irréductible dans

_{~~T4 , - - - , T2n]}

donc dans

_{Q(T4, ... ,}

_{T2n )}

_{~X J .}

Le théorème d’irréductibilité de Hilbert nous donne alors le résultat voulu.

Une récurrence immédiate nous montre

alors _que

_P2m

est

_impair

et _que

_O2~

est

_pair

_{pour tout} m.

Pour

_simplifier

les

_notations,

on note encore

B2n et 02n

la matrice et le

polynôme

obtenus en

_{spécialisant.}

Alors det = det D _est irréductible et

pair,

d’après

ce

qui

précède.

Soit a2n E Z 2013

(0)

tel que

A2n = a2nDB2n

soit à

coefficients entiers. Alors - est _encore irréductible

a2n

pair.

De

_plus,

_{D-1 A2nD}

=

a2nB2nD

= = =

. Soit a E C une valeur _propre de

A2n.

Par

_{construction,}

c’est un entier

algébrique.

D’après

[3,

Th.

_1],

on

_peut

choisir un vecteur _propre

, ’"

de

_A2n

associé _{à a, avec vi E}

_Z[a]

_pour

_{tout i,}

tel _que

_{(vi, ... ) v2n )}

est une Z-base d’un idéal de

Z[a].

On

_prend

en effet _{pour vj} le

_j-ième

cofacteur de

A2n - al2n

dans une

ligne

fixée. Le fait _que l’on obtienne un vecteur propre

provient

de la formule de

_{développement}

du déterminant _par

_rapport

à une

_ligne.

Les relations avi =

ajivi +- - - - + suffisent à montrer _que l’on obtient bien un

idéal,

car les coefficients aij sont entiers.

De

_même,

_d’après

_[4,

_première

_{preuve du Th.}

_1],

il existe un vecteur propre

/ ~.~ B

de

_A2~

associé _{à a,}

_{avec v~}

E

_Q(a),

tel _que

_{(vi, ~ ~ ~ ,}

(v1, ~ ~ ~ , v2n)

sont deux bases de

_Q(a)

duales _par

_rapport

à

Rappelons

brièvement sa construction. Notons _{ai, - - - ,} U2,, les 2n

Q-plonge-ments

_{de Q(a)}

dans une clôture

séparable,

avec Id.

Posons (i)

=

et soit M =

(v Z ) .

Dans toute la

_suite,

on notera _{iiij le} mineur

associé à

Vi

et

_com(M)

_désignera

la matrice des cofacteurs. Alors soit

, ....I"

On

_peut

montrer _que c’est un élément de

Z[a].

Le vecteur défini _par ces 2n éléments

possède

alors les

propriétés

voulues

(cela

provient

la formule de

_{développement}

_par

_rapport

à une

_ligne,

et de la relation

_det(M)I2n

=

(com(M»tM).

La relation =

At 2n

entraîne _que

n-1va

est un vecteur _propre de

Puisque

xA2n est irréductible sur

_Q,

il est

_séparable,

et donc les _{sous-espaces propres associés} à

_{At 2n}

sont de dimension 1. et donc il existe

e

_Rappelons

_{que la}

_j-ième

_composante

_de

va est

où est le déterminant obtenu en ôtant la

_{première ligne}

et la

j-ième

colonne de

_{A2n - al2n}

_{(cf [3,}

_preuve du Th.

_1]).

On va montrer _que

est un

_polynôme

_impair

en a et _{que V2j} est

_pair

en _{a, pour}

1 j

n.

C’est _{vrai pour n} = 1 _{et n} = 2.

_Supposons

maintenant n &#x3E; 3. On voit

facilement _que

On

_peut

_supposer sans

_perte

de

généralité

_que = 1

pour tout m &#x3E; 2.

Un

_simple

calcul de déterminants nous donne alors

Mais

_{det(A2n-2 - aI2~-2) -}

est

_pair

en a. Par

hypothèse

de

récurrence,

b11 ( A2~-2 - al2n-2 )

est

_impair

en a. Le résultat est donc montré

si j = 1.

Si j =

2,

on a

512(A2n -

aI2n) =

_s2n-lt2n

det(A2n-2 -

aI2n-2),

et si

j

&#x3E;

_2,

_{~1~(AZ~ -}

et en utilisant

l’hypothèse

de

_récurrence,

on a le résultat.

· On _{montre maintenant que}

B .., v _{~ /}

Ei

et les

_Ii

sont des

_polynômes

à coefficients entiers

_{respectivement pairs}

et

impairs.

Comme

_{Irr(a, Q) =}

_xA2n est

_pair,

les

_conjugués

de a s’écrivent

±~±02,’"

Soient ai :

a H _{a,0’2 :} a _{H - a ~ ~ ~ ~ : a H an,0’2n :} : _-an les

2n

_{Q-plongements}

de

_~(a).

Comme

_{précédemment,}

notons M la matrice

dont le coefficient à l’intersection de la

_{ligne i}

et de la

_{colonne j}

est le i-ème

_conjugué

de Autrement

_dit,

M = On

rappelle

alors

que vi

=

[4,

_première

preuve du Th.

1 ) .

On va montrer

detm

que

avi

E

_{Q(ci 2).}

Pour

_cela,

on _{montre que cette}

_quantité

est invariante

fixent

_{~( a2 ) .}

Ces

_{automorphismes}

T envoient a sur ~a et induisent une

permutation s,

de On a

det

Notons

_e(s,)

la

_signature

de la

_permutation

s,. Par

échange

des

lignes

f

-deux à

_deux,

on voit _{que 1}

r( a-1

det

_M,

_{p our}

t out T.

On veut montrer que la valeur

de _P,11 ne

_change

_pas

lorsque

l’on

remplace

a _par -a. Or on a 1 T / B T / ’B T, l B T ~ _ B T:1 1_B 1

En

_procédant

à

_l’échange

des

_lignes

deux à

_deux,

on en déduit _que ce

déterminant est

_égal

à ce

_qu’on

voulait montrer. On obtient donc

e On _montre enfin _que l’on

_peut

choisir _{a tel}

que

Puisque

A2m

est

_pair,

on

_peut

écrire

On

_peut

aisément montrer

_(comme

_pour

_A2m)

_que le

_polynôme

est irréductible _pour tout m.

D’après

le critère d’irréductibilité de

Hilbert,

on

_peut

trouver une

_{spécialisation}

des

_Ti

telle _que les

_{polynômes spécialisés}

A2n

et

F2n

sont irréductibles.

__

Soit a C C une racine de

_A2n.

Par

_définition,

=

Ll2n(a)

= 0.

Puisque

est irréductible et

_unitaire,

on a

(-I)ndetDF2n.

Ainsi

_{[Q(v’-a2) :}

_Q]

= 2n et

[Q(v’-a2) :

Q(a 2)]

=

2,

_ce

qui

signifie

que

-a2

n’est pas un carré dans

_{~(a2 ).}

Ceci achève la preuve

de la

_proposition.

Fin de la _preuve du théorème 2.

· Soit S _C

M2n (Z),

telle _que det

S :0

0. Si _n =

1,

_on

suppose de

plus

que ~1

(mod

Q*2 ).

On a S =

ut DU,

où U _E

GL2n(Q)

et D

vérifie les

_hypothèses

de la

_proposition.

On

_peut

_supposer U à coefficients dans

_Z,

sinon il existe a e Z -

₁₀₁

tel _que aU est à coefficients

_entiers,

et

S =

(aU)t 2D(aU).

a

On considère alors les éléments

_A2n,

_va

et A associés à D

_grâce

à la

proposition

précédente.

On a D =

(Ut)-lSU-1,

et donc

D-1

=

US-lUt.

Alors

_ÀUS-IUtva

=

v’,

c’est-à-dire

ÀS-1Utvo:

=

Posons C =

mUt A2n(Ut)-1,

_{avec m E} Z -

101

tel _que C est à coefficients

entiers,

On a alors =

On

va montrer _que 2t =

est un idéal de On voit facilement _{que w2 pour} tout Í. On a d’autre

_part

_maWa =

CWa.

Comme C est à coefficients

entiers,

cela

suffit _{à montrer que} E9

Zw2n

est un idéal. 2n

On vient donc de montrer _que

un entier

_algébrique

a tel _que

a 2 # _l

(mod

Q( a2 )), À

e

~((Tna)2),

m est un

_entier,

_égal

à 1 si S est

_diagonale,

et E9 est un idéal de

Z [ma] .

Par construction de _a,

_{[Q(a) :}

_{Q(a 2)]}

=

2,

et

wi s’écrit alors de manière

unique

sous la

_{forme w2}

=

xi + mciyi, où

Posons zi

= _{xi +} avec

_/3

=

a2,

et notons

z, le vecteur de

com-posantes

zi.

Soit enfin u l’involution

_Q-linéaire

de définie

_{par /3}

H

_-{3,

UIQ(a2)

= Id. On vérifie _que

Il reste à montrer

_{que J}

= est _un idéal

de Z[m/3].

Rap-pelons

tout d’abord _que la i-ème

_composante

de Va est un

polynôme

en a de la

parité

de Í. On

_peut

donc _poser v2i -

x2i et

où

pour 1

=

_{1, ... ,}

_n. Soit

tb

le vecteur défini _par tZZ =

x2i,

et _t2i-1 =

_{Pour i}

=

_{1,... ,}

_n. On _{va montrer} l’existence d’une matrice

à coefficients

_{entiers, qui}

admet

_t,

comme vecteur _{propre associé} à la valeur

propre /3.

Par

_définition,

Va est un vecteur propre de

A2n .

Par construction

On a aussi

Les relations

_{précédentes}

nous assurent

l’exis-tence d’une matrice B e telle _que

_{Btp =}

Il est clair _que z~ = car

_t,6

a été défini à

_partir

de _Va de la même manière

que _z~ a été défini à

_partir

de _Wa, c’est-à-dire en laissant fixe les

polynômes

en

a2,

et en

_remplaçant

a _par

{3

(on

_peut

également

faire un calcul _pour s’en

convaincre).

Par construction de B =

(bij),

on a

_bZ~

=

+aj; ,

ce

_qui

entraîne

facilement _que est à coefficients entiers. Comme

_{précédemment,}

cela suffit _pour conclure.

_Remarquons

_que

rra-4’~+2 a

e

_puisque

la

matrice de la forme trace hermitienne

_amplifiée

dans la base

_{(Zl,... , z2n)}

est par construction la matrice

_S’,

_qui

est à coefficients entiers.

_Enfin,

il est

bien clair _que

_Q

est un entier

algébrique.

On a finalement montré _que S est

la matrice de

_(~,

_0",

_Trm-4n+2À).

On _{remarque que} le théorème et sa démonstration restent valables si on

remplace Q

et Z _par un _corps de nombres et son anneau des

_{entiers, puisque}

tout _corps de nombres est hilbertien.

Remarques

sur l’effectivité de la méthode et calcul

_pratique.

La méthode décrite dans la _preuve

_permet

de trouver

_{explicitement}

les éléments définissant la forme trace hermitienne

_amplifiée.

En

_effet,

on

dia-gonalise

,S en

_{s’arrangeant}

_{pour avoir} une matrice de

_changement

de base

à coefficients entiers.

_Ensuite,

on calcule

A2n.

Il

n’y

a aucune difficulté à trouver une matrice de

_polynôme

_{caractéristique}

_{irréductible,}

car en

choi-sissant

_{t2, - - - , t2n}

au

_hasard,

on trouve _presque surement une matrice

qui

convient. On calcule ensuite les vi. Ce sont des

polynômes

en a de

degrés

inférieurs ou

_égaux

à 2n - 1.

Il n’est donc _pas nécessaire _{d’utiliser la relation XA2.}

_{(a) =}

0 _pour calculer

l’expression finale,

et donc cela ne

dépend

_pas de la nature de a.

Autre-ment

_dit,

a

_peut

être considéré dans ce calcul comme une

_{indéterminée,}

et

donc un

_logiciel

de calcul formel effectuera ceci sans aucun

problème.

La

difficulté réside a

_priori

dans la détermination

des v(

(indispensable

_pour

calculer

_À),

car

l’expression

donnée dans la _preuve

dépend

des

conjugués

de _{a, et} une fois le calcul des déterminants

_effectués,

il faut

_manipuler

a, ce

qui

est loin d’être

aisé,

et ne se fait _pas de manière

algorithmique.

Ce

_qui

suit donne une méthode

_qui

_permet

de

calculer v(

de manière

systé-matique.

On _{sait que}

_{(vl , - - - ,}

et

_(v’,

_v,,)

forment deux bases de

2n 2

Q(a).

On montre facilement _que =

j=1

Soit G = Grâce aux relations de

_Newton,

on

s’aperçoit

que le calcul des coefficients de cette matrice revient à l’inversion

d’une matrice

_{triangulaire,}

ce

qui

est

_simple.

Soit V la matrice des

coordon-nées de

_{(vl , - - - , V2n)}

dans la base

_(1,

_{a, ... ,}

_{ct 2n-1).}

La relation

_précédente

nous montre alors _que les coordonnées

_{des v’~}

dans la base

_{(1, a, - .. ~}

_{a2n-1 )}

sont données _par les vecteurs colonnes de =

Autre-2n .

ment

_dit,

On achève ensuite le calcul en trouvant m et en 3

i=l

explicit ant

les

_puis

les ~.

Exemple.

On conserve dans la suite les notations

_{précédentes.}

On va

appliquer

la méthode

_précédente

_pour réaliser le réseau

_{~ .}

... "

La forme bilinéaire associée à ce réseau a _pour matrice trouve alors _par réduction de Gauss

(On

s’est

_arrangé

_{pour avoir} U à coefficients

_entiers).

En

_prenant

_{t4 =} 1 dans

B4

et en

multipliant

_par un entier convenable

I w w i w B

pour avoir des coefficients

entiers,

on trouve

, v v ~w v ,

xA4 (X ) -

X~ - 960X~

+

_{103680, qui}

est irréductible

_{sur Q}

car c’est un

polynôme

d’Einsenstein _{pour p =} 5. Soit a E C une racine de ce

polynôme.

On obtient alors

Posons Les relations de Newton donnent alors

immé-diatement

_{~o - 4, ~2 = 1920,}

_u4 =

_1428480,

a6 = 1172275200 _et

~1 - ~3 =

- - n

La dernière colonne de

a-1 Vt

nous donne

On vérifie _par

_simple

calcul _que

On a alors

Posons ~

Alors

S se réalise donc comme la forme trace hermitienne

_amplifiée

de

_l’algèbre

7Gb (J,cr, TrÀ)

avec =

X4+960X2+103680,

=

Ílz1E9Ílz2E9Zz3E9

-,n

Remarquons

que ce n’est _pas la construction la

_{plus simple}

de

_A4

en tant que forme trace hermitienne

amplifiée.

En effet on

_peut

obtenir

A4

à

_partir

des racines 5-ièmes de l’unité

_(cf.

_par

_exemple

_{[1, §4]).}

BIBLIOGRAPHIE

[1] E. _{Bayer-Fluckiger, Jacques Martinet,} Formes quadratiques liées aux _{algèbres semi-simples.}

J. reine angew. Math. 451 _(1994), 51-69.

[2] M. _{Krüskemper, Algebraic} construction of bilinear forms over Z. Pub. Math. de Besançon,

Théorie des nombres _{(96/97-97/98).}

[3] O. _Taussky, On a theorem of Latimer and MacDuffee. Canad. J. Math. 1 _(1949), 300-302.

[4] O. Taussky, On matrix classes _{corresponding} to an ideal and its inverse. Illinois Math. J. 1

(1957), 108-113.

Grégory BERHUY

Equipe de _{Mathématiques} de _Besançon UMR 6623 du C.N.R.S.

16, route de Gray

F-25030 _Besançon Cedex FRANCE E-rrtctil: _{berhuyomath.univ-fcomte.fr}