THÉORIE DES NOMBRES Années 1996/97-1997/98 BESANÇON
G e n r e s e t f a c t e u r s i n v a r i a n t s d e f o r m e s h e r m i t i e n n e s
P. C A L A M E
G e n r e s e t f a c t e u r s i n v a r i a n t s d e
f o r m e s h e r m i t i e n n e s
P h i l i p p e C a l a m e
Ce travail a été effectué en vue de l'obtention d u Diplôme de m a t h é m a t i c i e n
de l'université de Lausanne, sous la direction d u Professeur
Jacques Boéchat.
Mai 1997
I n t r o d u c t i o n
Il est souvent intéressant et utile, en théorie des nombres, de comparer u n e propriété d ' u n o b j e t sur u n corps de nombres avec la propriété de l'objet d a n s ses localisés ; on m e t t r a en relation, p a r exemple, le fait q u ' u n élément d ' u n corps de n o m b r e soit u n carré avec le fait qu'il le soit d a n s chacun de ses localisés. L a théorie des formes q u a d r a t i q u e s sur les corps de nombres, c o m m e celles des formes hermitiennes, utilise avec succès ce procédé local- global avec, c o m m e point central, le t h é o r è m e de Hasse-Minkowski qui est certainement u n des r é s u l t a t s les plus difficiles et les plus profonds de la théorie. Ce t h é o r è m e nous dit essentiellement que l'isométrie de deux espaces quadratiques (ou hermitiens) sur u n corps de n o m b r e s est caractérisée p a r leur isométrie sur tous les localisés : deux espaces sont globalement isométriques si et seulement s'ils sont localement isométriques.
Nous n o u s intéresserons a u x réseaux, qui seront p o u r nous des espaces hermitiens sur l ' a n n e a u des entiers d ' u n corps de nombres. L'analogue d u théorème de Hasse-Minkowski d a n s ce cadre n'est plus vrai, et nous pouvons définir u n e relation d'équivalence plus faible que l'isométrie, correspondant à l'isométrie locale : nous dirons alors q u e deux réseaux sont dans le m ê m e genre si t o u s leurs localisés sont isométriques.
Le b u t de ce travail est d ' é t u d i e r les genres des réseaux. Nous commencerons p a r d o n n e r des invariants d'isométrie des réseaux ; nous m o n t r e r o n s qu'ils sont en fait des invariants de genre.
Si L est u n réseau, on p e u t considérer son réseau dual L * et les f a c t e u r s invariants de L d a n s L * ; ces derniers c o m p o r t e n t b e a u c o u p d'informations sur les genres et en constituent de ce fait u n invariant i m p o r t a n t .
D ' a u t r e p a r t , si K est u n corps de nombres et A son a n n e a u des entiers, alors l'extension à K d ' u n A-réseau est un espace hermitien sur K qui, grâce a u théorème de Hasse- Minkowski, est en fait u n invariant de genre. Les signatures a u x places infinies le sont alors aussi.
D a n s ce travail, nous m o n t r e r o n s que le n o m b r e de genres dont les r e p r é s e n t a n t s possèdent des facteurs invariants et des signatures donnés est fini et nous donnerons u n e m é t h o d e p o u r le calculer. La complication d u e a u cas ramifié dyadique r e n d difficile l'écriture d ' u n e formule générale explicite ; cependant, les résultats que nous obtiendrons nous p e r m e t t r o n t de trouver, de cas en cas et moyennant quelques calculs, u n e formule p o u r u n choix particulier de facteurs invariants et de signatures.
Le premier chapitre sera consacré a u x définitions générales ainsi q u ' à la description som- maire des différents outils dont nous a u r o n s besoin. Nous y définirons le genre et les facteurs invariants d ' u n réseau.
Le deuxième chapitre t r a i t e r a de l'étude globale des espaces hermitiens sur u n corps d e nombres. Nous commencerons par étudier les espaces hermitiens sur les localisés. Nous déduirons ensuite d u théorème de Hasse-Minkowski pour les formes q u a d r a t i q u e s u n e
version identique p o u r les formes hermitiennes, ce qui nous conduira naturellement au t h é o r è m e de Landherr.
D a n s le troisième chapitre, nous étudierons les liens entre l'isométrie des réseaux sur u n corps local et leurs facteurs invariants. Nous observerons t o u t d ' a b o r d que les facteurs invariants d ' u n réseau correspondent p a r f a i t e m e n t à ses décompositions de J o r d a n . Nous distinguerons ensuite trois cas possibles de corps locaux : les cas n o n ramifié, ramifié non dyadique et ramifié dyadique. Le premier cas est vraiment très facile alors q u e les complications et les difficultés techniques sont b e a u c o u p plus élevées p o u r le dernier.
Le dernier chapitre nous p e r m e t t r a de rassembler tous nos résultats et de passer d u local a u global. Nous calculerons le nombres de genres de réseaux de facteurs invariants et de signatures donnés.
Le travail se t e r m i n e r a par q u a t r e annexes qui contiennent des applications calculatoires de la théorie exposée.
D a n s la première, nous présenterons u n outil de calcul, le déterminant, qui fournit u n e aide précieuse p o u r le calcul des facteurs invariants d ' u n réseau.
D a n s les d e u x annexes suivantes, nous donnerons u n e liste explicite des genres de réseaux d a n s d e u x cas particulier : les genres de réseaux unimodulaires t o t a l e m e n t définis positifs d a n s les extensions cyclotomiques, p o u r la deuxième annexe, et les genres de réseaux de r a n g 2 sur les entiers de Gauss, p o u r la troisième. D a n s la q u a t r i è m e et dernière annexe, nous verrons q u ' u n genre ne possède pas forcément de représentant libre, en m o n t r a n t l'existence de contre-exemples p o u r certaines extensions q u a d r a t i q u e s d u corps des entiers rationnels. Nous en déduirons que leur a n n e a u des entiers n'est pas principal.
Je tiens à remercier m o n directeur de diplôme, le Professeur Jacques Boéchat, p o u r les dis- cussions enrichissantes que nous avons eues et p o u r son aide à résoudre certains problèmes particuliers. Mes remerciements vont aussi à Maurice Mischler qui m ' a proposé ce sujet et m ' a soutenu d u r a n t la p r é p a r a t i o n d u diplôme ainsi q u ' a u Professeur Henri Joris qui a accepté de relire ce travail.
Dorigny, mai 1997.
T a b l e d e s m a t i è r e s
C h a p i t r e 1. Généralités sur les corps de nombres et les formes hermitiennes , . 1
§ 1. Produits de deux anneaux de Dedekind 1
§ 2. Le théorème des facteurs invariants 5
§ 3. Places, complétions et corps de nombres 6
§ 4. Symbole et formule du produit de Hilbert 9
§ 5. Formes et modules hermitiens 10
§ 6. Réseaux et facteurs invariants 12
§ 7. Localisation de modules hermitiens sur les corps de nombres 16 C h a p i t r e 2. Equivalence de formes hermitiennes sur les corps de nombres . . . 19
§ 1. Isométrie des p-localisés : le cas décomposé 19
§ 2. Isométrie des p-localisés : le cas infini non décomposé 21
§ 3. Isométrie des p-localisés : le cas Sni non décomposé 22
§ 4. Le théorème de Hasse-Minkowski pour les formes hermitiennes 23
§ 5. Un système d'invariants pour les formes hermitiennes 24
§ 6. Représentation et isotropie 26 C h a p i t r e 3 . Isométrie de réseaux sur les corps locaux 29
§ 1. Quelques résultats sur les corps locaux 29
§ 2. Modularité et décompositions de Jordan 31
§ 3. Décompositions de Jordan saturées 34
§4. Cas d'une extension non ramifiée 36
§ 5. Cas d'une extension ramiâée non dyadique 36
§6. Cas d'une extension ramifiée dyadique : réseaux modulaires 38
§ 7. Cas d'une extension ramifiée dyadique : calcul du nombre de classes 45
§8. Cas d'une extension ramifiée dyadique : un exemple idyllique 49 C h a p i t r e 4 . Genres, facteurs invariants et signatures 53
§1. Vers un système d'invariants pour les genres 53
§ 2. Nombre de genres de facteurs invariants et de signatures donnés 55
§ 3. Formules pour le nombre de genres dans quelques cas particuliers 58
A n n e x e 1. Un outil de calcul : le d é t e r m i n a n t d ' u n réseau 59 A n n e x e 2. Réseaux unimodulaires d a n s les extensions cyclotomiques 63
A n n e x e 3 . Genres des réseaux entiers de r a n g 2 sur les entiers de G a u s s . . . . 67
A n n e x e 4 . Existence de genres ne contenant pas de réseau libre 71
B i b l i o g r a p h i e 73
C h a p i t r e 1
G é n é r a l i t é s s u r l e s c o r p s d e n o m b r e s e t l e s f o r m e s h e r m i t i e n n e s
D a n s ce premier chapitre, nous allons rappeler quelques notions qui n o u s seront utiles p a r la suite et définir ainsi le cadre d a n s lequel nous allons travailler.
Fixons t o u t d ' a b o r d quelques conventions.
Un a n n e a u sera t o u j o u r s c o m m u t a t i f et possédera toujours une unité.
D ' a u t r e p a r t , on n o t e r a volontiers p a r u n e égalité les isomorphismes canoniques entre mo- dules ou a n n e a u x et par u n e inclusion les homomorphismes canoniques injectifs d ' a n n e a u x ou de modules.
§ 1. P r o d u i t s d e d e u x a n n e a u x d e D e d e k i n d
D a n s ce premier p a r a g r a p h e , nous allons étudier le p r o d u i t de deux copies d ' u n a n n e a u de Dedekind et définir une notion de groupe d'idéaux fractionnaires p o u r ces types d ' a n n e a u x . Mais rappelons t o u t d ' a b o r d la définition et quelques propriétés des a n n e a u x de Dedekind.
O n appelle a n n e a u de Dedekind u n a n n e a u noethérien, intègre et intégralement clos tel que t o u t idéal premier non nul soit maximal.
Soit A u n a n n e a u de Dedekind. Notons K son corps des fractions.
O n dit q u ' u n sous ^ - m o d u l e o de K est u n idéal f r a c t i o n n a i r e de A s'il existe x £ K non nul tel que x o C A. O n vérifie aisément q u ' u n sous A-module a de K est un idéal fractionnaire de A si et seulement si o est de t y p e fini.
P o u r la suite d u texte, on dira idéal fractionnaire a u lieu d'idéal fractionnaire n o n nul.
Si a et b sont deux idéaux fractionnaires, on appelle produit de a et 6 le sous A-module de K engendré par { x y \ x £ a, y £ b } qui est encore u n idéal fractionnaire de A et que l'on note o - b. Il est bien connu que cette multiplication munit l'ensemble des idéaux frac- tionnaires I ( A ) d ' u n e s t r u c t u r e de groupe abélien libre a d m e t t a n t l'ensemble des idéaux premiers non nuls de A comme base.
Si a G I ( A ) et si p est u n idéal premier de A, on appelle valuation p-adique de a l'exposant de p d a n s la décomposition de a d a n s la base formée des idéaux premiers n o n nuls d e A. O n note wp(o) la valuation p-adique de a. Il est clair que vp : I ( A ) —> Z est u n h o m o m o r p h i s m e surjectif de groupes.
Si x £ K*, on écrit vp(x) au lieu de vp(xA) ce qui définit un h o m o m o r p h i s m e vp : K * —• Z.
Prolongeant v à K en posant wp(0) = oo, on obtient une application vp : K —• Z U {00}
vérifiant vp(xy) = vp(x) + vp(y) et vp(x + y) ^ m i n - j y ^ z ) , ? ^ ? / ) } , avec les conventions
usuelles sur l'usage d u symbole oo. O n obtient alors u n e valuation sur K que l'on appelle encore valuation p-adique (voir le p a r a g r a p h e 3).
Enonçons encore brièvement deux théorèmes caractérisant respectivement les modules projectifs de t y p e fini et les modules plats sur u n a n n e a u de Dedekind.
R a p p e l o n s t o u t d ' a b o r d quelques définitions et résultats.
Soit A u n a n n e a u , non nécessairement de Dedekind. Un A-module M est dit projectif s'il existe u n A - m o d u l e N tel que M © N soit libre. R e m a r q u o n s que si M est projectif de t y p e fini, on p e u t choisir u n tel N de sorte que M © N soit libre de t y p e fini.
Un A - m o d u l e M est dit plat si pour t o u t e application A-linéaire injective / : B —• C l ' h o m o m o r p h i s m e / <g> Id : M ®A B —• M ®AC induit par x ® y i—> x <g> f ( y ) est injectif.
Il est bien connu q u ' u n m o d u l e projectif et nécessairement plat.
P o u r la suite d u chapitre, projectif signifiera projectif de t y p e fini.
1 . 1 THÉORÈME. Soient A un a n n e a u de Dedekind et K son corps des fractions. Soit M un A - m o d u l e de type fini. Alors les conditions suivantes sont équivalentes :
(i) M est projectif.
(ii) M est s a n s torsion.
(iii) M est isomorphe à un sous A - m o d u l e d ' u n K - e s p a c e vectoriel V de dimension finie.
(iv) L ' h o m o m o r p h i s m e M —> M (g>A K induit p a r x i—• x ® 1 est injectif.
Preuve. La preuve se trouve d a n s [2]. L'équivalence entre (ii), (iii) et (iv) est la proposi- tion 4.1 de la page 88. L'implication de (ii) p a r (i) est claire, alors que sa réciproque est
l'assertion (b) d u théorème 13 de la page 95. •
E n particulier, t o u t idéal fractionnaire d ' u n a n n e a u de Dedekind est projectif.
1 . 2 T h é o r è m e . Soit A un a n n e a u de Dedekind. Un A - m o d u l e est p l a t si et seulement s'il est sans torsion
Preuve. Notons K le corps des fractions de A. Soit M u n A-module.
Supposons M plat. Alors l ' h o m o m o r p h i s m e canonique M —> M <S>A K est injectif et ainsi l'égalité x — x <S>1 = a x ® vérifiée pour t o u t x E M et p o u r t o u t a € A non nul, nous m o n t r e que M est sans torsion.
Réciproquement, supposons M sans torsion. Alors t o u s ses sous-modules de t y p e fini sont sans torsion donc, vu le théorème 1.1, projectifs et en particulier plats. O n conclut alors en observant q u ' u n m o d u l e est plat si t o u s ses sous-modules de t y p e fini le sont. Ce fait découle en effet de l'équivalence entre les assertions (a) et (b) d u t h é o r è m e 3, page 147,
d a n s [1]. •
Soient A u n a n n e a u de Dedekind et K son corps des fractions. E t u d i o n s l ' a n n e a u A x A.
Posons B = A x A e t E = K x K .
Considérons les h o m o m o r p h i s m e s d ' a n n e a u x 7Ti,7T2 : E —• K définis respectivement p a r tti(x, y) = x ct 7t2(x,y) = y. C h a c u n d ' e u x m u n i t K d ' u n e s t r u c t u r e de ^ - a l g è b r e que
§ 1. Produits de deux anneaux de Dedekind 3 l'on n o t e K \ et K2 respectivement. Il est clair que E ~ K \ © K2 en t a n t q u e ^ - m o d u l e . Le m ê m e p h é n o m è n e se p r o d u i t a u niveau des a n n e a u x : les h o m o r p h i s m e s 7Ti et 7r2
induisent des s t r u c t u r e s de algèbre sur A notées respectivement A i et A2. O n a aussi B = Ai © A2 c o m m e B - m o d u l e .
1 . 3 R e m a r q u e . L ' h o m o m o r p h i s m e canonique E ®B Ai —» K i induit p a r x ® y i-* iti(x)y est clairement u n isomorphisme d'algèbres sur E .
1 . 4 P r o p o s i t i o n . Soit M un B - m o d u l e de t y p e fini. Les conditions suivantes sont équivalentes :
(i) M est projectif.
(ii) L ' h o m o m o r p h i s m e M —> M ®B E induit p a r x t-» x ® 1 est injectif.
Preuve. Il suffit de vérifier que l'assertion (ii) implique l'assertion (i). C o m m e A i est projectif sur B , l'application M ®B A i —> ( M ®B E ) ®B A i est injective ; or, p a r la r e m a r q u e 1.3, ( M ®B E ) ®BAX = M ®B ( E ®B A i ) = M ®BKX = ( M ®B Ax) ®AK i ; ainsi, grâce a u t h é o r è m e 1.1, M ®B Ai est projectif sur A. Il existe alors u n /1-module N et u n entier positif n avec ( M ®B A i ) © N ot A™ c o m m e A-modules et donc aussi en t a n t q u e B - modules. O n a ainsi u n isomorphisme de 5 - m o d u l e s ( M ®BA i ) ® ( N ® A2) — A™(BA% = Bn
de sorte que M ®B Ax est B-projectif. O n m o n t r e de m ê m e que M ®B A2 est B-projectif
et on conclut en observant que M = ( M <g>B A i ) © ( M ®B A2). •
1 . 5 R e m a r q u e . Soit a u n sous fî-module de E . Alors l ' h o m o m o r p h i s m e i : o ®B E E induit p a r x ® y ^ x y est injectif. E n effet, il suffit de r e m a r q u e r q u e t o u t élément de o ®B E p e u t s'écrire sous la forme x ® y avec y £ E*.
1 . 6 DÉFINITION. On appelle idéal f r a c t i o n n a i r e de B t o u t sous B - m o d u l e a de t y p e fini de E tel q u e a ®B E = E .
Notons I { B ) l'ensemble des idéaux fractionnaires de B . Vu la proposition 1.4, t o u t idéal fractionnaire de B est projectif.
Soit a u n sous B - m o d u l e de E . P o u r 1 < i ^ 2, on a o ®B Ai C E ®B Ai = K i et on a TTi(a) = a ®B Ai via ces identifications.
1 . 7 P r o p o s i t i o n . Soit o un sous B - m o d u l e de t y p e fini d e E . Alors les conditions suivantes sont équivalentes :
(i) o est un idéal fractionnaire de B .
(ii) a ÇyB Ai et a ®B A2 sont des i d é a u x fractionnaires de A.
(iii) a fl £ * ^ 0.
Preuve. M o n t r o n s que l'assertion (i) implique (ii).
Supposons que a soit u n idéal fractionnaire de B . Soit 1 ^ i ^ 2. Alors a ®B Ai est u n sous A-module de t y p e fini de K tel que (a ®B Ai) ®A. Ki = (a ®B E ) ®E K i =
— E ®B K i — K i de sorte que o ®B Ai est u n idéal fractionnaire de A.
M o n t r o n s que (ii) implique (iii).
Supposons que a ®B Ai et a (g>B A2 soient des idéaux fractionnaires de A. Alors, p o u r t o u t 1 ^ i ^ 2, il existe x^ G a <g>B Ai C Ki non nul. Considérons x — xx + x2 G K i © K2. Alors x G a H E*. E n effet, il est clair que x G (a (g>B A i ) © (o ®B A2) — a ; de plus, grâce à l'identification E — Kx © K2, on a x — (xi, x2) qui alors est évidemment inversible.
Vérifions finalement que l'assertion (iii) implique l'assertion (i).
Supposons que a H E* ^ 0. Considérons alors x G a D E*. Si y e E , on p e u t écrire
y = x ( x ~1y ) = x ® x ~ly G a ®B E . •
Soient o, b G I { B ) . Alors le sous B - m o d u l e de E engendré p a r { x y \ x G a, y G b } est u n idéal fractionnaire de B que l'on note o • b et que l'on appelle produit de a et de b. Il est clair que c e t t e multiplication m u n i t I ( B ) d ' u n e s t r u c t u r e de monoïde c o m m u t a t i f . 1 . 8 T h é o r è m e . Le monoïde I ( B ) est un g r o u p e abélien libre de base l'ensemble des i d é a u x de la f o r m e A i © pA2 et pA\ © A2 où p est un idéal p r e m i e r non nul d e A. D e plus, l'application $ : I ( B ) —> I ( A ) x I ( A ) définie p a r $ ( o ) = (o ®B A i , a <g>B A2) est un isomorphisme.
Preuve. E n utilisant l'identification de a <S>B Ai avec 7^(0), on p e u t aisément vérifier que (0 • b) <g)B Ai = (a ®B A i ) • (b (g>B A i ) p o u r t o u t a, b G I ( B ) ce qui m o n t r e que $ est u n h o m o m o r p h i s m e de monoïdes.
Considérons \j) : I ( A ) x I ( A ) —• I ( B ) définie p a r x|/(ai. a2) = a i © a2A2. Il est clair que o $ = Id et que $ o = Id donc $ est u n e bijection et ainsi u n isomorphisme de monoïdes. Finalement I ( B ) est u n g r o u p e abélien libre de base consistant en les idéaux
de la f o r m e A i © pA2 et pAi © A2 où p est u n idéal premier n o n nul de A. • Le t h é o r è m e 1.8 nous p e r m e t de définir p o u r t o u t idéal premier non nul p de A u n e
valuation p-adique :
1 . 9 D é f i n i t i o n . Soient p u n idéal premier non nul de A et a G I ( B ) . O n appelle valuation p-adique de o le couple formé des exposants respectifs de pAi © A2 et Ai © pA2
d a n s la décomposition de a d a n s la base décrite d a n s le théorème 1.8 et on la n o t e vp(a).
Il est clair que vp : I ( B ) —» Z x Z est u n h o m o m o r p h i s m e surjectif de groupes et que, p o u r t o u t a G I ( B ) , on a fp( a ) = (%(a ®B A i ) , i ;p( a A2) ) .
E t u d i o n s encore quelques groupes d'homomorphismes.
1 . 1 0 P r o p o s i t i o n . Soient V et W deux E - m o d u l e s . P o u r 1 ^ i ^ 2, n o t o n s =
= V ®E K i et Wi = W ®E Ki. Alors H o mE( V , W ) = H o m ^ V Ï , Wx) © H o mK( V2, W2).
Preuve. C o m m e V = V!®V2 et W = W1@ W2, on & H o mB( V , W ) = 0 H o i nE{ yuW j ) . Soient 1 < i , j ^ 2. Calculons H o mE( V i , W j ) .
Si i = j , alors, V* et W\ étant des Kj-modules, on a R o mE( V i , W i ) C HomA r(Vi,Wi), l'inclusion réciproque découlant de la surjectivité de la projection 7Tj définissant l'action
§ 2. Le théorème des facteurs invariants 5 de E sur Ki. Supposons i ^ j . Considérons, par exemple, / G H o m£( V î , VF2). Soit x e Vi. Alors / ( x ) - /((i,o)x) = (i,o)/(x) = (i,o)((o,i)/(rr)) = 0 de sorte q u e / = 0. •
§ 2 . L e t h é o r è m e d e s f a c t e u r s i n v a r i a n t s
Soient A u n a n n e a u de Dedekind et K son corps des fractions.
Fixons u n i f - e s p a c e vectoriel V de dimension finie n.
E t u d i o n s plus particulièrement les relations entre deux sous-modules projectifs de V. Le résultat f o n d a m e n t a l s'appelle le théorème des facteurs invariants. C'est le théorème 81:11 d a n s [7].
2 . 1 THÉORÈME. (Théorème des facteurs invariants) Soient V un K - e s p a c e vectoriel de dimension finie n et L et M d e u x sous A-modules projectifs de V tels que L ®A K —
= M ®A K — V. Alors il existe une base xl t. . . , xn de V, des i d é a u x fractionnaires a i , . . . , O n d e A et une suite t j D ••• D t„ d ' i d é a u x fractionnaires d e A tels que L =
= d i x i © • • • © OnXn et M = a i t i X i © • • • © a n tnxn. D e plus, la s u i t e t i D • • • D tn n e
d é p e n d q u e des sous-modules L et M . •
2 . 2 D é f i n i t i o n . Reprenons les n o t a t i o n s d u théorème 2.1. Les idéaux t i , . . . , tn s'ap- pellent les f a c t e u r s invariants de M d a n s L.
Nous souhaitons étendre le théorème des facteurs invariants à l ' a n n e a u A x A. N o t o n s alors B = A x A et E = K x K . Nous allons nous ramener au cas ci-dessus.
2 . 3 T h é o r è m e . Soient V un E - m o d u l e libre de r a n g fini n, L et M d e u x sous B - m o d u l e s projectifs de type ûni de V tels que L ®B E — M ®B E = V. Alors il existe une base x \ , . . . , xn de V et des i d é a u x fractionnaires a i , . . . , an de B et une unique suite t i 3 ••• D r„ d ' i d é a u x fractionnaires de B tels q u e L = a\X\ © ••• © anxn et M = a i t j x i © • • • © antnxn.
Preuve. P o u r chaque 1 < i ^ 2, posons Vi = V ®E Ki, Li = L ®B Ai et Mi = M ®B At. Il est clair que Vi est u n i f - e s p a c e vectoriel de dimension n et que Li est u n A-module projectif. O n a Li = L ®B Ai C 7 <g>B A{ = V ®E ( E <g>B Ai) = V ®E K i = V*. De plus Li<S>AK = (L (g>s Ai) ®A. Ki = (L ®BE ) ®EK i = V <g>£Ki = V . Bien évidemment, Mi a les m ê m e s propriétés. Vu le théorème 2.1, il existe une base a ; ^ , . . . , xi i n de Vi et des idéaux fractionnaires 0 ^ 1 , . . . , ciijn et r^i D • • • D x d e A tels que Li = iXj,i © • • • © cii,n£i,n et Mi = Oi,itj,iXj,i © • • • © Cl
Mais les i f - i s o m o r p h i s m e s K \ X \ j © K2x2j —» E définis p a r a x i j + b x2j (a, b) sont en fait ^ - l i n é a i r e s de sorte que V = V <g>E (KL © K2) = (V Kx) © (V ®E K2) = Vi © V2 =
= #1®1,1 © • • - © K i Xh n © K2x2,1 © • • • © K2X2 ,n — En comme ^ - m o d u l e s .
Grâce a u x identifications correspondantes, on obtient les isomorphismes L = L ®B B =
= L (Ai © A2) = L1 © L2 = (01,1X1,1 © • • • © ah nxh n) © (03,1X2,1 © • • • ® a2,nZ2,n) -
~ ( a i , i A1© o2, i A2) © - • • © ( a i , „ A i © o2,nA2) et de m ê m e M = M ®B ( Aa© A2) = M i © M2 ~
~ (ai,1^1 © a2, i A2) ( r i , i A1 © t2,iA2) © • • • © (ax,nAi © a2,nA2)(r1,nA1 © t2,nA2) avec les
inclusions évidentes t ^ i ^ i © v2^A2 D ••• D x ^nA \ © x2,nA2, ce qui m o n t r e l'existence de la suite des tj.
P r o u v o n s m a i n t e n a n t son unicité. Soient d e u x P h a s e s de V, ai, • • •, a™, ai> • • • ) °n des idéaux fractionnaires de B et t i D ••• D xn et r'x D D x'n
d e u x suites décroissantes d ' i d é a u x fractionnaires de B tels que L = Oi^i ffi • • • © OnXn =
= a ' ^ ® - ••®a'nx'n et M = a i t ^ i © - • - © anxnxn = a i t ' ^ © - • - © o ^ r ^ . O n voit alors que Li = (ai <g>B Ai) xx © • • • © (an ®B Ai) xn et Mt = (ai • t i ®B Ai) x i © • • • © (a„ • tn ®B At) xn. Mais, p o u r t o u t 1 < j < n, 011 a ( a j • Xj) <g>B Ai = (a^ ®B Ai) • (xj ®B Ai) ; de plus il est clair que t i <g>B Ai D • • • D xn ®B Ai de sorte qu'en utilisant l'unicité des facteurs invariants de Lt d a n s Mi, on obtient Xj <g)B Ai — x'j ®B A^ Ainsi, p o u r t o u t 1 ^ j ^ n , on
a = f j {Ai © A2) = (xj ®B At) © ( t j ®B A2) = (x'j ®B A!) © Ag) = x'r • O n p e u t définir, comme d a n s le cas d ' u n a n n e a u de Dedekind, la notion de facteurs invariants :
2 . 4 D é f i n i t i o n . Reprenons les notations d u théorème 2.3. Les idéaux t i , . . . , tn s'ap- pellent également les f a c t e u r s invariants de M d a n s L.
§ 3 . P l a c e s , c o m p l é t i o n s e t c o r p s d e n o m b r e s
D a n s ce p a r a g r a p h e , nous ne prouvons a u c u n résultat et renvoyons le lecteur a u x ouvrages de Frôhlich et Taylor [2] (chapitres II.2 , II.3 et I I I . l ) et de O ' M e a r a [4] (chapitres I et II).
Soit K u n corps. O n appelle valeur absolue sur K t o u t e application /? : K —• R telle que 0 ( x ) > 0 si x ^ 0, 0(0) = 0, 0 ( x y ) = (3{x) / % ) et (3{x + y) ^ p ( x ) + / % ) p o u r t o u t x , y E K . O n dit que la valeur absolue f3 est discrète si (3(K*) est u n sous groupe discret de R*2. Notons que si /? est discrète, on a (3(x + y) < m a x { fi(x), /3(y) } p o u r t o u t x , y e K .
Deux valeurs absolues /?i et 02 sur K sont dites équivalentes si elles induisent la m ê m e topologie sur K . On appelle place de K t o u t e classe d'équivalence de valeurs absolues sur K . Si p est u n e place de K , on a deux possibilités : soit t o u t e valeur absolue de p est discrète, soit aucune valeur absolue de p ne l'est. D a n s le premier cas, on dira q u e la place p est finie alors que d a n s le deuxième cas, on parlera de place infinie. Si p est u n e place finie de K et 02 e p, alors o(P) ••= {x £ K \ p i ( x ) ^ 1} = {x e K | (52(x) < 1} est u n a n n e a u principal que l'on appelle Vanneau de valuation de K en p. Cet a n n e a u possède u n unique idéal premier donné par tti(P) — {x £ K \fii(x) < 1} = {x £ K \ / 32( x ) < 1}.
Le quotient K ^ — t>(P)/m(P) s'appelle le corps résiduel de K en p.
O n appelle valuation sur K t o u t e application v : K —• Z U {oo} telle que v ( x y ) =
= v(x) + v(y), v ( x + y) ^ min{v(a;), v ( y ) } p o u r t o u t x, y £ K et v(x) = oo si et seulement si x = 0. Toute valuation v sur K induit une famille de valeurs absolues discrètes équivalentes données par x h-> p o u r t o u t a € R avec 0 < a < 1 et définit donc u n e place finie que l'on note encore v. La réciproque est également vraie : t o u t e valeur absolue discrète sur K provient d ' u n e valuation sur K .
Soient e/ k u n e extension de corps, p u n e place de K et ty u n e place de E . O n dit que ty
§ 3. Places, complétions et corps de nombres 7 est au-dessus d e p si la restriction de t o u t e valuation de ^3 est u n e valuation de p et l'on note ^3|p. D a n s ce cas p est finie si et seulement si ty est finie.
Soient K u n corps et p u n e place de K . Alors il existe une extension K ' de K et u n e place p' de K ' telle que K est dense d a n s K ' et p o u r t o u t e valeur absolue (5 e p', on a ( K ' , 0 ) complet et 0 \K e p. De plus, cette extension ( K ' , p') est unique à isomorphisme près. O n dit q u e K ' est le complété de K en p et on note Kp p o u r K ' et p p o u r p'. Si x Ç. K , on n o t e r a xp l'image de x dans Kp par l'inclusion de K d a n s Kp.
On appelle corps local t o u t couple ( K , p) formé d ' u n corps K et d ' u n e place finie p de K telle que ( K , (3) soit complet pour t o u t (3 6 p et dont le corps résiduel est fini. Nous noterons encore p l'unique idéal m a x i m a l rri(P) de l ' a n n e a u de valuation D(P) de K . O n dit que le corps local ( K , p) est dyadique si 2 € m.(P) ou, de manière équivalente, si K{P) est d e caractéristique 2 et n o n dyadique d a n s le cas contraire.
Si K est le corps des fractions d ' u n a n n e a u de Dedekind A et p u n idéal premier de A, on identifiera p avec la place finie de K induite p a r la valuation p-adique.
Soient A u n a n n e a u de Dedekind, K son corps des fractions, E u n e extension q u a d r a t i q u e d e K et B la clôture intégrale de A d a n s E .
Soient p et ^P des idéaux premiers de K et E respectivement. Alors la place est au-dessus de p si et seulement si l'on a l'inclusion des idéaux p B C
Si p est u n e place de K , alors il existe a u moins u n e place de E au-dessus de p, mais au plus deux. O n dit que la place p se décompose ou est décomposée s'il existe exactement deux places de E au-dessus de p. D a n s le cas contraire, on dit que p est non décomposée.
Soient p u n e place finie non décomposée de K et *}3 l'unique place de E au-dessus de p.
O n est d a n s l'une des d e u x situations suivantes :
i) O n a l'égalité p B = ty2 en t a n t qu'idéaux. D a n s ce cas, on dit que p est ramifiée d a n s l'extension e/k-
ii) On a l'égalité p B = en t a n t qu'idéaux. D a n s ce cas, on dit q u e p est inerte d a n s l'extension •%-.
O n n o t e r a 1Z (resp. X) l'ensemble des places ramifiées (resp. inertes).
N o t o n s J l'ensemble des places infinies n o n décomposées de K .
O n appelle corps de nombres t o u t e extension finie d u corps Q des rationnels.
Soit K u n corps de nombres. O n appelle a n n e a u des entiers de K la clôture intégrale A de Z d a n s K . O n sait que A est u n a n n e a u de Dedekind de corps des fractions K . On appelle plongement de K t o u t h o m o m o r p h i s m e d ' a n n e a u x Q-linéaire de K d a n s C.
O n dit q u ' u n plongement f de K est réel si f ( K ) C M et complexe d a n s le cas contraire.
C o m m e l'extension k/q est séparable, il y a exactement n = d i mQK plongements de K . De plus, on p e u t les grouper en r i plongements réels f i , . . . , fr i et 2 r2 plongements complexes 9i, c o g i , . . . , a o gT2 où a est la conjugaison complexe de C. O n a alors n = r i + 2r2. Les applications x i—• \fi(x)\ et x i-> \gi(x)\ sont des valeurs absolues et définissent en fait r i + r2 places distinctes. D ' a u t r e p a r t , t o u t idéal premier p induit u n e valuation p-adique et donc u n e place que l'on n o t e r a encore p. Selon u n théorème d'Ostrowski, ces
places sont t o u t e s distinctes et que t o u t e place de K est l'une d ' e n t r e elles. Les rx + r2 places définies à l'aide des plongements de K sont infinies alors que celles induites p a r les valuations p-adiques sont finies.
Soient K u n corps de nombres, A son a n n e a u des entiers et p u n e place de K .
Si p est finie, on définit l'anneau Ap c o m m e l'adhérence d e A d a n s Kp. Alors ( Kp, p) est u n corps local d ' a n n e a u de valuation Ap. Le corps Kp s'appelle le corps des nombres p-adiques de K et l ' a n n e a u Ap l'anneau des entiers p-adiques de A. R e m a r q u o n s que Ap
est u n A - m o d u l e sans torsion, donc plat.
L'application $ : I ( A ) — I ( AP) définie par <£>(a) = a ®A Ap = a Ap est u n h o m o r p h i s m e surjectif de groupes. De plus <|>(p) est l'unique idéal premier de AP, n o t é encore p, et
<l>(q) = Ap p o u r t o u t idéal premier q de A distinct de p.
Si p est infinie, on a Kp ~ R ou Kp ~ C selon que la place p provienne d ' u n plongement réel ou complexe. O n définira alors Ap = Kp.
Soient e/ k u n e extension q u a d r a t i q u e de corps de nombres, A et S les a n n e a u x des entiers respectifs de K et E . Alors B est la clôture intégrale de A d a n s E . N o t o n s a l'unique élément n o n trivial d u groupe de Galois de l'extension e/k-
Soit p u n e place de K .
O n a alors u n isomorphisme $ : E Kp —* J^J E<$ induit p a r <£>(x ® y) = ( xv • y )v. VI p
Les m ê m e s p h é n o m è m e s se produisent a u niveau des a n n e a u x d'entiers. O n a le m ê m e isomorphisme canonique $ : B <g)A Ap —• J^J B<#.
Soit p u n e place de K . W
i) Si p se décompose et si ^Pi et sont les deux places au-dessus de p, alors E<pj =
= E<p2 = Kp, B<Pl = B<$2 = Ap et donc E <8>kKp = Kpx Kp et B ®A Ap = Ap x Ap ; de plus, avec cette identification, on a (cr <g) I d ) ( x , y ) = (y, x).
ii) Si p € J , on a Kp ~ M et E ®K Kp ~ C ; de plus, avec ces identifications, l'involution a <g> Id est la conjugaison complexe.
iii) Si p est ramifiée (resp. inerte) et si est l'idéal premier au-dessus de p, alors la place pAp est ramifiée (resp. inerte) dans l'extension q u a d r a t i q u e E v/ kp donc E ®KKP = E<p et B Ap = B<$ ; de plus, avec cette identification, a <8> Id est l'élément non trivial d u groupe de Galois de e<9/kp-
Soit p u n idéal premier non nul de A. Nous sommes alors d a n s le cadre d u p a r a g r a p h e 1 et nous pouvons considérer l'application <3/ : I ( B ) —> I { B ®aAp) définie p a r \J/(a) = o ®A Ap. C e t t e application est u n h o m o m o r p h i s m e de groupes. Si p est décomposé et si et sont les idéaux premiers de B au-dessus de p, alors, grâce a u x identifications B ®A Ap =
= BV l x = Ap x Ap, on a \J/(a) = a BV l® a B y2 et % ( ^ ( a ) ) = ( t ^ ( a ) , w%( a ) ) . D a n s le cas contraire, si îp est l'unique idéal premier au-dessus de p, alors \p(a) = aB<$ et ainsi
%(\l/(&)) = '^(ci) en utilisant cette fois l'identification B <g)A Ap = B<$.
E n particulier, si a et b sont des idéaux fractionnaires de B avec a ®A Ap = b ®A Ap p o u r t o u t e place finie p de K , on a vv( a ) = % ( b ) p o u r t o u t idéal premier n o n nul de B et donc a = b.
§ 4. Symbole et formule du produit de Hilbert 9
§ 4 . S y m b o l e e t f o r m u l e d u p r o d u i t d e H i l b e r t
4 . 1 D é f i n i t i o n . Soient K u n corps ét a, b G K*. O n définit le symbole de Hilbert (a, b)K
de a et b c o m m e é t a n t un entier égal à + 1 s'il existe u n e solution (x, y) G K2 de l'équation a x2 + by2 = 1 et égal à —1 sinon.
R e m a r q u o n s à t i t r e d'exemple que ( a , b )c = 1 p o u r t o u t a, b G C*. Si a, b G M*, alors (a, b)R vaut 1 si a > 0 ou b > 0 ; ce m ê m e symbole vaut —1 d a n s les a u t r e s cas.
Soit e/ k une extension q u a d r a t i q u e de corps de caractéristique nulle. Si 9 et 6' sont des éléments de K * tels que alors J? est u n carré et l'on a ainsi (a, 0)K = {a,0')K p o u r t o u t a e K . O n n o t e r a alors (a, e/ k ) a u lieu de ( a , d )K.
E t u d i o n s le symbole de Hilbert sur des extensions quadratiques e/ k de corps complets de caractéristique nulle.
Intéressons-nous t o u t d ' a b o r d à l'extension Soit a G R*. Il est clair q u e (a, % ) est le signe de a. L'application a (a, % ) est ainsi u n h o m o m o r p h i s m e surjectif de groupes de M* sur {±1}. Son noyau est alors R*2 = { à â \ a G C*}.
Considérons m a i n t e n a n t u n corps local ( K , p) de caractéristique nulle et E une extension q u a d r a t i q u e de K . Notons a l'unique élément non trivial d u groupe de Galois de e/k- O n a des propriétés analogues que l'on regroupe d a n s le lemme ci-dessous d o n t la preuve se trouve d a n s [7], proposition 63:13.
4 . 2 L e m m e . L'application K * —> {±1} définie p a r a h-» (o, e/ k ) est un h o m o m o r p h i s m e surjectif de groupes, d o n t le noyau est { a a ( a ) \ a G E*}. E n particulier, n o u s avons
\ K * / { a a ( a ) \ a e E*}\ = 2. O
D o n n o n s m a i n t e n a n t quelques résultats à p r o p o s des liens entre les symboles de Hilbert sur les divers localisés d ' u n corps de nombres.
Voici la f o r m u l e du produit de Hilbert, aussi connue sous le n o m de loi de réciprocité de Hilbert. Elle est prouvée d a n s [7], au chapitre VII.
4 . 3 THÉORÈME. (Formule d u p r o d u i t de Hilbert) Considérons un corps de n o m b r e s K et a, b E K . Alors (ap, = 1 p o u r p r e s q u e t o u t e place p de K e t
n = l d
p
Soient e/ k u n e extension de corps de nombres, 0 G K avec E = K { V ë ) et p une place de K . O n posera (a, e/ k )0p P = %)K P ° u r t o u t a G K .
Supposons que p est décomposée. Alors 6p est u n carré d a n s Kp. E n effet, soit une place de E au-dessus de p. O n a = 0V G E<$ de sorte q u e 6V est u n carré d a n s
Mais E<$ = Kp et, par cette identification, ôp = 6V ce qui p e r m e t de conclure.
O n a ainsi (a, e/ k )p = 1 p o u r t o u t a £ K .
Supposons p non décomposée. Soit l'unique place de E a u dessus de p. R a p p e l o n s que E<p est u n e extension q u a d r a t i q u e de Kp. O n vérifie aisément que E<$ = Kp( 9p) . O n a ainsi (a, % • ) = (ap, e^ / kv) p o u r t o u t a £ K .
La formule d u p r o d u i t de Hilbert p e u t alors se réécrire ainsi :
4 . 4 P r o p o s i t i o n . Soient e/ k une extension q u a d r a t i q u e d e corps de n o m b r e s et a £ K . Alors on a (a, e/ k )p = 1 sauf p o u r un n o m b r e fini de place p et
n w - i - a
Donnons les conditions de réalisations du symbole de Hilbert :
4 . 5 P r o p o s i t i o n . Soit e/ k une extension q u a d r a t i q u e de corps de nombres. Considérons p o u r c h a q u e place p de K un entier Ap € {±1}. Alors les conditions nécessaires et suffisantes p o u r qu'il existe a £ K tel que (a, e/ k )p = Ap p o u r t o u t e place p sont les suivantes :
(i) On a Àp = 1 p o u r t o u t e place décomposée p.
(ii) L'ensemble des places p telles que Àp = —1 est fini.
(iii) On a J | AP = 1.
p
Preuve. La nécessité découle de la proposition 4.4 et des quelques r e m a r q u e s ci-dessus.
P r o u v o n s la suffisance. Notons A l'ensemble des places p de K avec Àp = — 1. Alors A est fini et contient u n n o m b r e pair d'éléments. D ' a u t r e p a r t , t o u t p £ A est non décomposé de sorte que 9p n'est pas u n carré d a n s Kp. Vu le corollaire 71:19a d a n s [7], il existe a £ K
tel que (a, e/ k )p = — 1 si p G A et (a, e/ k )p = 1 sinon. •
§ 5 . F o r m e s e t m o d u l e s h e r m i t i e n s
Soient B C E une extension d ' a n n e a u x c o m m u t a t i f s et a u n a u t o m o r p h i s m e d ' a n n e a u involutif de E . Soit K l'anneau fixe de a , c'est-à-dire le sous-anneau de E défini p a r K = {x £ E | a ( x ) = x}. Posons A = B D K .
5 . 1 D é f i n i t i o n . Soit M u n B - m o d u l e projectif de t y p e fini.
(i) O n appelle f o r m e hermitienne sur M d a n s E t o u t e application h : M x M —» E telle que h ( x , y ) = a ( h ( y , x)) et telle que x h ( x , y ) soit S - l i n é a i r e p o u r t o u t y £ M fixé. On dit que le couple ( M , h) est u n B-module hermitien dans E . (ii) O n dit q u ' u n e forme hermitienne h sur M est non dégénérée si, y £ M é t a n t fixé,
h(x, y) = 0 pour t o u t x £ M n ' a lieu que si y = 0. D a n s ce cas, on dit que (M, h) est u n B - m o d u l e hermitien n o n dégénéré d a n s E .
§ 5. Formes et modules hermitiens 11 Si B — E , on o m e t t r a de préciser que la forme hermitienne est dans E . Si de plus B est u n corps, on parle plus volontiers d'espace hermitien sur B .
Lorsque l'involution a est l'identité de E , le t e r m e hermitien est remplacé p a r celui de qua- dratique et l'on parlera de forme, de module et d'espace quadratique. Le t e r m e hermitien est usuellement réservé a u cas où l'isomorphisme a n'est pas l'identité.
Soit ( M , h) u n S - m o d u l e hermitien d a n s E .
Alors h induit u n e application A-linéaire fa : M —• H o mB( M , E ) définie p a r fa(x)(y) =
= h ( y , x ) . Il est clair que h est non dégénérée si et seulement si fa est injective.
Notons h ( M ) — {h(x, x ) \ x E M } C K . Un élément a E K est dit représenté p a r ( M , h) si a € h ( M ) . Le m o d u l e hermitien ( M , h) d a n s E est dit universel si h ( M ) — K et isotrope s'il existe x E M non nul avec h(x, x) = 0.
Supposons ( M , h) non dégénéré. Si N est u n sous 5 - m o d u l e de M et si est non dégénérée, on dit que (N, /t|jvxw) est u n sous-module hermitien de ( M , h) q u e l'on note simplement ( N , h) ou N .
Deux 5 - m o d u l e s hermitiens ( M , h) et (N, k) d a n s E sont dits isométriques s'il existe u n isomorphisme JS-linéaire f : M N avec k ( f ( x ) , f ( y ) ) = h { x , y ) p o u r t o u t x , y E M et l'on note (M, h) ~ (N, k). Un tel / s'appelle u n e isométrie de ( M , h) sur (N, k).
Si ( N i , h i ) et (iV2, h2) sont deux 5 - m o d u l e s hermitiens d a n s E , on définit u n e forme hermitienne h i _L h2 sur N i © N2 d a n s E p a r (xx + x2, y \ + y2) h \ ( x i , yi) + h2( x2, y2).
Il est clair que h\ J_ h2 est non dégénérée si h\ et h2 sont non dégénérées. Le m o d u l e hermitien ( N i © N2, h< _L h2) s'appelle alors la s o m m e orthogonale de ( N i , h i ) et (N2, h2) et se note A^ ± N2.
Si N i et N2 sont deux sous B - m o d u l e s hermitiens de (M, h) avec M = © N2 et h ( N i , N2) = 0, on dit que M se décompose orthogonalement en N i et N2. Il est alors clair que l'application de ATi _L N2 sur M définie p a r ( n i , n2) m + n2 est u n e isométrie et l'on n o t e alors M - N i JL N2.
Soit A' u n e A-algèbre plate. Posons B ' = B ®A A' et E ' = E ®A A'. Alors a s'étend en une involution cr (g) Id de E ' que l'on n o t e encore cr. De plus les h o m o m o r p h i s m e s canoniques A' —» B ' —> E1 sont injectifs et, grâce a u x identifications qui en découlent, on a A' = {x E B ' | a (x) = x}.
Soit ( M , h) u n 5 - m o d u l e hermitien d a n s E . Alors M ' ••= M ®A A' = M ®B ( B <g>A A') =
= M ®bB ' est u n fi'-module projectif et h induit clairement u n e application A'-bilinéaire h ' : ( M A') x ( M ®A A!) —• E ' p a r (x <S> a, y ® b) h(x, y) ® ab. O n vérifie aisément que h' est u n e forme hermitienne sur M ' d a n s E ' . O n dit alors que ( M ' , h') est l'extension de ( M , h) à B ' et l'on note ( M ®B B ' , h ®B B ' ) p o u r ( M ' , h').
On a é v i d e m m e n t la transitivité de l'extension : si A" est u n e A'-algèbre plate, alors A" est u n A - m o d u l e plat. De plus, si B " •= B ®A A", on a ( ( M ®B B ' ) ®B> B ( h ®B B ' ) ®B, B " ) =
= ( M ®B B " , h ®B B " ) .
5 . 2 L e m m e . Soient A! une A-algèbre p l a t e et B ' ••= B ®A A'. Alors l'extension à B ' d ' u n m o d u l e hermitien non dégénéré est non dégénérée.
Preuve. Soit (M, h) u n B - m o d u l e hermitien non dégénéré d a n s E . R e m a r q u o n s que B ' est u n B - m o d u l e plat et n o t o n s (M7, h') son extension à B ' . Observons ensuite, en utilisant la projectivité de M , que <j> : H o mB{ M , E ) ®B B ' H o mB, ( M ®B B ' , E <g>s B ' ) défini p a r ® a i—>• {x ® b h-» 4>{x) (g> ab) est u n isomorphisme B'-linéaire. O n conclut alors en
c o n s t a t a n t que (<f>h <g> Id) est injective et que fi o (fih ® Id) = <py. • Une m a t r i c e X G Mn( E ) est dite a - h e r m i t i e n n e si = cr(Xji) p o u r t o u t i , j . Notons
H e r mn( i ? , cr) le sous-module des matrices (r-hermitiennes carrées d e dimension n.
Soient M u n B - m o d u l e libre et x \ , . . . , xn u n e B - b a s e de M .
Alors l'application qui associe à u n e forme hermitienne h sur M d a n s E la m a t r i c e ( h ( x i , x j ) ) est u n e bijection entre l'ensemble des formes hermitiennes sur M d a n s E et H e r m „ ( B , ex). Si X G Herm„(.E', cr), l'écriture ( M , h) = x ^ B © • • • © xnB ~ X signifiera que M est u n B - m o d u l e libre de base x \ , . . . , xn et que h est la forme hermitienne donnée par la m a t r i c e X .
La base dite orthogonale p o u r h si la matrice associée est diagonale. O n note alors volontiers M ~ < h ( x \ , x i ) > _L ••• _L < h ( xn, xn) > . De plus, elle est dite o r t h o n o r m é e si la m a t r i c e associée est la m a t r i c e unité.
Supposons m a i n t e n a n t que B — E et que A soit u n corps de caractéristique nulle. Soit ( M , h) u n JS-espace hermitien libre. Si x i , . . . , xn et yu . . . , yn sont deux B - b a s e s de M , alors les d é t e r m i n a n t s d e t ( h ( x i , x j ) ) et d e t ( h ( y i , y j ) ) des matrices associées sont t o u s les deux nuls ou t o u s les deux non nuls. Ils sont tous deux non nuls si et seulement si ( M , h) est non dégénéré. Si tel est le cas, ils définissent le m ê m e élément de A* j {a a (a) | a G B * } que l'on appelle le discriminant de (M, h) et que l'on note d ( M , h) ou plus simplement d M . P a r a b u s de notation, d M désignera aussi n ' i m p o r t e quel élément de A* dont la réduction m o d u l o { a a ( a ) | a G B*} donne d M a u sens strict.
Supposons que B = E soit u n corps de caractéristique nulle. Si N est u n sous-espace hermitien d ' u n espace hermitien non dégénéré ( M , h), alors le complément orthogonal de N d a n s M défini par Nx = {x G M | h(x, N ) = 0} est aussi u n sous-espace hermitien de V et l'on a M = N L N1-. E n particulier, t o u t espace hermitien a d m e t u n e base orthogonale.
Supposons que A soit u n corps d o n t B — E est une extension q u a d r a t i q u e et n o t o n s a l'unique élément d u groupe de Galois de l'extension •%. Soit ( M , h) u n espace hermitien de dimension n sur A. Définissons h' : M x M —> A par h ' ( x , y ) = \ ( h ( x , y ) + h ( y , x ) ) p o u r t o u t x, y G V. Il est clair que ( M , h') est u n espace q u a d r a t i q u e de dimension 2n sur A que l'on appelle l'espace associé à ( M , h) ou la trace de ( M , h). O n vérifie que h ( M ) = h ! ( M ) . Il est clair que les associés de deux B-espaces hermitiens isométriques sont isométriques.
§ 6 . R é s e a u x e t f a c t e u r s i n v a r i a n t s
Soient A u n a n n e a u de Dedekind et K son corps des fractions. Supposons K de ca- ractéristique nulle.
D a n s ce p a r a g r a p h e , on désignera p a r E une extension q u a d r a t i q u e de K ou l ' a n n e a u K x K . D a n s le premier cas, B sera la clôture intégrale de A d a n s E et a l'unique
§ 6. Réseaux et facteurs invariants 13 élément n o n trivial d u groupe de Galois de l'extension e/ k , alors que d a n s le deuxième cas B sera l ' a n n e a u A x A et cr(x,y) = (y, x). O n identifiera alors K (resp. A) avec la diagonale de K x K (resp. A x A). Observons que a \ b est u n e involution de B d ' a n n e a u fixe A.
6 . 1 D é f i n i t i o n . O n appelle B - r é s e a u t o u t B - m o d u l e hermitien d a n s E non dégénéré.
O n vérifie aisément que la somme orthogonale de deux B-réseaux est encore u n B-réseau.
6 . 2 DÉFINITION. Soit (L, h) u n B-réseau.
(i) O n dit que (L, h) est entier si h(L, L) C B .
(ii) O n dit que le B-réseau ( M , k) est u n sous-réseau de (L, h) si M est u n sous-module de L et si k — /i|mxm-
Il est clair q u e la A-algèbre K est plate car sans torsion. Notons que les h o m o m o r p h i s m e s canoniques B ®A K —> E et E <g>A K —» E sont des isomorphismes ce qui nous p e r m e t de considérer l'extension d ' u n B - r é s e a u à E .
Soit (L, h) u n B-réseau. Notons (V. h) son extension à E .
Supposons que E soit u n corps. Alors V est clairement libre de t y p e fini sur E . D ' a u t r e p a r t , le lemme 5.2 nous dit que (V., h) est non dégénéré de sorte que l ' h o m o m o r p h i s m e
<fih - V H o m£( y . E ) est injectif. E n c o m p a r a n t les dimensions des ^ - e s p a c e s vectoriels V et HomB(Vr, E ) , on m o n t r e alors que 4>h est u n isomorphisme.
Si E = K x K , les m ê m e s résultats sont vrais, mais nécessitent u n e preuve. Supposons alors q u e E = K x K et reprenons les n o t a t i o n s d u p a r a g r a p h e 1.
C o m m e n ç o n s p a r quelques remarques.
P o u r t o u t 1 ^ i ^ 2, notons V* = V ®B Ki et /j, = o h. Considérons x, y G V.
Ecrivons x = xx + x2 et y = y\ + y2 avec X\,y\ G Vx et x2, y2 G V2. O n a h ( x i , yx) =
= h({i,(i)xi,yi) = h ( x i , ( o , i ) y i ) = h ( x 1 (0 ) = 0 et de m ê m e h ( x2, y2) — 0. D ' a u t r e p a r t , h i ( x2, y i ) = h i ( ( o , i ) x2 >y i ) = 7ri(o,i) • h i ( x2, y i ) = 0 et aussi h2{ x i , y2) = 0. E n résumé, on obtient h ( x , y ) = h ( xx, y i ) + h ( xuy2) + h ( x2, y1) + h ( x2, y2) = ( h i ( xuy2) , h2( x2, y i ) ) . 6 . 3 L e m m e . S u p p o s o n s que E = K x K et que B = A x A. Soient (L, h) un B-réseau et (F, h) son extension à E . Alors V est un E - m o d u l e libre de r a n g fini et l'application K-linéaire (j>h • V — H o r n£, ( K E ) est un isomorphisme.
Preuve. Soit <f>\ : Vi HornA,(V"2, K ) l'application K-linéaire définie p a r <f)\(x)(y) =
= h2( y , x ) . Alors é\ est injective. E n effet, supposons par l'absurde qu'il existe x G V\
non nul tel que 4>x(x) = 0. Il existe a G K non nul avec a x G Lx et l'on a alors h(yi + y2, a x ) = a ( hx( yx, 0 ) , h2{ y2, x ) ) = a (0, <px{x){y2)) = 0 p o u r t o u t yx G Lx et y2 G L2 ce qui contredit la non dégénérescence de h sur L. O n m o n t r e de m ê m e que (j)2 : V2 —> H o mK( V i . K ) définie p a r 4>2(x)(y) = hx( y , x ) est u n e application K-linéaire injective.
Ainsi d i mKV i ^ dim^. ( H o m ^ V ^ , K ) ) — dimKV2 < d i m ^ ( H o mK( V i , K ) ) — d i mKV i de sorte que 4>i et 4>2 sont des isomorphismes if-linéaires.
Notons n = d i mK1 4 = d i m ^ . Alors V = Vi © V2 ~ © = (Kx © K2)n = En
c o m m e E - m o d u l e s , donc V est libre.
D ' a u t r e p a r t , on en déduit que <f>\ © <j)2 : V\ © V2 —> Hom^(V2, K ) © H o mj r( V i , K ) est u n isomorphisme if-linéaire. Mais <pi © 02 = 4>h moyennant l'identification de leurs images H o mK( V2, K ) © Hom/ s.(Vi, K ) = H o mK( y2 l K2) © H o mK( V ï , Kx) = H o mÊ( V , E ) donnée
p a r la proposition 1.10. Ainsi Qh est u n isomorphisme. • Reprenons le degré de généralité d u d é b u t d u p a r a g r a p h e .
E n r e g r o u p a n t nos résultats, nous avons prouvé :
6 . 4 C o r o l l a i r e . Soient (L, h) un B-réseau et (V, h) son extension à E . Alors V est un
E - m o d u l e libre de r a n g fini et h est non dégénérée s u r V. •
6 . 5 D é f i n i t i o n . Soient ( L , h ) u n B-réseau et (V,h) son extension à E . O n appelle d i s c r i m i n a n t de (L, h) le discriminant à V de (V, h) que l'on n o t e d L. On appelle rang de (L, h) le r a n g d u .E-module libre V et on le note r a n g (L, h) ou r a n g L.
Intéressons-nous à la réciproque d u corollaire 6.4.
Soient (V, h) u n E - m o d u l e hermitien libre et non dégénéré et L u n s o u s - B - m o d u l e projectif de V tel que L ®B E = V. Il est clair que h \ lxl est une forme hermitienne d a n s E . 6 . 6 P r o p o s i t i o n . Soient (V, h) un E - m o d u l e hermitien libre et non dégénéré et L un sous B - m o d u l e p r o j e c t i f de V tel q u e L ®B E = V. Alors (L, h \ ixi ) est un B - r é s e a u d o n t l'extension à E est (V, h).
Preuve. Il suffit de m o n t r e r que I i \ l x l est non dégénérée.
R e m a r q u o n s t o u t d ' a b o r d que, si x e y , il existe b E E* avec bx E L. E n effet, soit x G V. C o m m e V = L ®B E , il existe y E L et b E E avec x = by. Ecrivons b = ca avec c E B et a E E*. O n a ainsi a x — cy E L.
Soit x E L. Supposons que h(x, y) = 0 p o u r t o u t y E L. Soit z E V ; considérons a E E*
avec a z E L. On a alors h(x, z) = a ( a ) ~1h ( x , a z ) = 0 et donc, v u la non dégénérescence
de (V,h), on a x = 0. Ainsi h h x L est non dégénérée. •
Venons-en à la définition d u dual d ' u n B-réseau.
6 . 7 D é f i n i t i o n . Soient (L, h) u n B-réseau et V — L ®B E . O n appelle dual de L le sous B - m o d u l e L * de V défini p a r L * = {x E V \ h(x, L) G B } .
Le lemme suivant découle directement des définitions :
6 . 8 L e m m e . Un B-réseau (L, h) est entier si et seulement si L C. L * . •
§ 6. Réseaux et facteurs invariants 15 Soient (L, h) u n B - r é s e a u et (V, h) son extension à E .
Vu le t h é o r è m e 2.1 et le corollaire 2.3, il existe u n e E - b a s e X i , . . . , xn de V et des idéaux fractionnaires a i , . . . , an de B tels que L = aiXi © • • • © onxn. C o m m e l'application fih : V —>• H o m£( K E ) est u n isomorphisme, il existe une Z?-base • • •, yn de V duale de la base x i , . . . , xn d a n s le sens où h ( x i , y j ) = ôij. Soit x G V. Ecrivons x — Aij/iH h A nyn
avec A i , . . . , An G E . O n a alors h ( x , L ) = \ i h ( yua i x i ) + ••• + An h ( yn, anxn) =
= Aicr(ai) + • • • + Xna(On) de sorte que h ( x , L ) G B si et seulement si l'on a les in- clusions Ai o-(ai), • • •, An cr(a„) C B . Ainsi L * = a ( a i ) ~ly x © • • • © ^(an)"1?/»!-
E n résumé, nous avons prouvé :
6 . 9 P r o p o s i t i o n . Soient (L, h) un B-réseau et (V, h) son extension à E . Considérons une E - b a s e x \ , . . . , xn de V et des i d é a u x fractionnaires a i , . . . , On d e E tels q u e L =
= aiXi © • • • © anxn. Soit y i , . . . , yn base de V, duale de x i , . . . , xn d a n s le sens où h ( x i , y j ) = Alors L * = o(cii)~lyi © • • • © cr(an)'~lyn. E n particulier L * est un sous B - m o d u l e projectif de V tel q u e L * <g>s E = V et ( L * , / i |L#x L# ) est un B-réseau dont
(F, h) est l'extension à E . •
6 . 1 0 D é f i n i t i o n . Soient ( L , h ) u n B-réseau. O n appelle f a c t e u r s invariants de (L, h) les facteurs invariants de L d a n s L * .
Il est clair que d e u x réseaux isométriques ont m ê m e s facteurs invariants.
6 . 1 1 R e m a r q u e s . La proposition 6.9 nous p e r m e t i m m é d i a t e m e n t de vérifier : i) P o u r t o u t B - r é s e a u ( L , h ) , on a { L * ) * = L.
ii) Soient L et M deux B-réseaux. O n a (L ± M ) * = L * 1 M#.
iii) Si (L, h) et u n B-réseau et a est un idéal fractionnaire de B , on a ( a L ) # = a ( a ) ~lL * .
6 . 1 2 D é f i n i t i o n . Soit ( L , h ) u n B-réseau. O n dit que ( L , h ) est unimodulaire si ses facteurs invariants sont t o u s égaux à B .
R e m a r q u o n s q u ' u n B-réseau est unimodulaire si et seulement si L = L * . Définissons encore quelques invariants d'isométrie des réseaux.
6 . 1 3 D é f i n i t i o n . Soit (L, h) u n B-réseau d a n s E . O n appelle échelle (resp. norme) de ( L , h ) le sous B - m o d u l e H L (resp. M L ) de E engendré p a r h ( L , L ) (resp. h ( L ) ).
6 . 1 4 L e m m e . Soit (L, h) un B-réseau. Alors H L et M L sont des i d é a u x fractionnaires d e B et l'on a M L C H L .
Preuve. Il est clair que "HL et M L sont de t y p e fini sur B et que M L C H L .
R e m a r q u o n s qu'il existe x G L avec h ( x , x ) ^ 0 . E n effet, raisonnons p a r l'absurde.
Soient x , y G L ; posons a = h{x,y) et considérons b E K * avec ba G B . O n a alors a + cr(a) = h ( x + y , x + y) — h ( x , x ) — h ( y , y ) = 0 et 0 = h ( x + ba y, x + ba y) = 2 b a a ( a ) , de sorte que h(x, y) = 0 p o u r t o u t x , y G L, ce qui contredit le fait que (L, h) est n o n dégénérée. Ainsi h ( x , x ) G M L fl E* C H L C \ E * et le résultat découle alors des définitions
et de la proposition 1.7. •
§ 7. L o c a l i s a t i o n d e m o d u l e s h e r m i t i e n s s u r l e s c o r p s d e n o m b r e s
Soient i f u n corps de nombres, A son a n n e a u des entiers, E u n e extension q u a d r a t i q u e de i f et B la clôture intégrale de A d a n s E . O n considère l'unique élément n o n trivial a d u groupe de Galois de l'extension e/k-
Soit p u n e place de K .
Nous souhaitons étendre les modules hermitiens sur E (resp. B ) k E ®K Kp (resp.
B Ap). Les résultats d u p a r a g r a p h e 3 nous p e r m e t t e n t de nous placer d a n s le cadre d u p a r a g r a p h e 6.
Rappelons que la i f - a l g è b r e i fp et la A-algèbre Ap sont toutes deux plates car sans torsion.
Les extensions que l'on souhaite considérer ont alors u n sens et nous pouvons définir : 7 . 1 D é f i n i t i o n . Soit p une place de i f .
(i) Soit (V, h) u n espace hermitien sur E . O n appelle p-localisé de (V, h) l'extension de (V., h) k E Kp que l'on note (Vp, hp).
(ii) Soit (L, h) un B-réseau. On appelle p-localisé de (L, h) l'extension de (L, h) à B ®A Ap que l'on note (Lp, hp).
Le lemme 5.2 nous p e r m e t alors d'énoncer :
7 . 2 L e m m e . Le p-localisé d ' u n espace hermitien non dégénéré s u r E est non dégénéré.
D e même, le p-localisé d ' u n B-réseau est un ( B ®A Ap)-réseau. •
Nous sommes en mesure de donner une définition d u genre d ' u n réseau.
7 . 3 D é f i n i t i o n . Soient (L, h) et (M, k) deux B-réseaux. O n dit que (L, h) et (M, k) sont dans le m ê m e genre si, p o u r t o u t e place p de i f , les p-localisés (Lp, hp) et (Mp, kp) sont isométriques.
Il est clair que deux réseaux isométriques sont d a n s le m ê m e genre.
M o n t r o n s que deux réseaux d a n s le m ê m e genre ont les mêmes facteurs invariants.
Observons t o u t d ' a b o r d que la localisation c o m m u t e avec la prise d u dual et des facteurs invariants d a n s le sens où le d u a l d u localisé d ' u n réseau est le localisé de son d u a l et les facteurs invariants de son localisé sont les localisés de ses facteurs invariants.
